Faceți căutări pe acest blog

duminică, 27 iulie 2014

Operații cu două numere întregi


Acum, că știm ce sunt numerele întregi, ne rămâne să înțelegem bine cum facem operații cu asemenea numere. Pentru aceasta este important să ne reamintim ceva esențial despre numărul întreg și anume că orice număr întreg are două componente principale: semn și valoare. Spuneam că, de exemplu, numărul întreg negativ -7 are semnul minus și valoarea 7, iar numărul întreg pozitiv 15 are semnul plus și valoarea 15. De aceea, atunci când facem operații cu numere întregi va trebui să lucrăm în două etape distincte: într-o primă etapă vom determina semnul numărului întreg rezultat, iar în a doua etapă vom determina valoarea (modulul) rezultatului operației. Deci, întâi determinăm semnul, apoi determinăm valoarea.


Operațiile cele mai importante cu numerele întregi sunt adunarea și înmulțirea. Dacă veți ști bine să adunați două numere întregi, atunci vă va fi ușor și să le scădeți, căci există o legătură importantă între adunarea și scăderea numerelor întregi, așa cum vom vedea mai jos. Totodată, dacă veți ști bine să înmulțiți două numere întregi, atunci veți ști bine și să le împărțiți, căci semnul împărțirii este exact același ca și semnul înmulțirii. Așadar, deocamdată, concentrați-vă doar la adunare și la înmulțire.


Să le luăm, deci, pe rând. Începem cu adunarea. Vrem să știm să adunăm corect două numere întregi. Putem întâlni numai trei posibilități de adunare a două numere întregi:
  1. Prima posibilitate și cea mai ușoară este să întâlnim două numere întregi pozitive. Acestea se adună foarte ușor, căci nu avem probleme cu semnul rezultatului. Semnul unei asemenea sume va fi sigur semnul plus, așa că nici măcar nu se mai scrie. De exemplu, vrem să adunăm numărul întreg pozitiv 8 cu numărul întreg pozitiv 9. Care credeți că va fi rezultatul? Desigur, rezultatul (deci, suma) va fi numărul întreg pozitiv 17. Acastă problemă mai putea fi scrisă și cu semne. Adică, puteam scrie (+8) + (+9) = (+17). Doar că, pentru a nu abuza de atâtea semne, putem scrie mult mai economic și mai simplu 8+9=17. Așadar, suma a două numere întregi pozitive nu este altceva decât, pur și simplu, suma a două numere naturale.
  2. A doua posibilitate în ordinea complexității este să întâlnim două numere întregi negative. Această problemă este puțin mai complicată decât problema anterioară deoarece aici apare semnul minus. Iar semnul minus nu este chiar atât de delicat cu noi precum a fost semnul plus deoarece semnul minus ne obligă să-l scriem efectiv. Dar valoarea rezultată va fi tot suma valorilor celor două numere întregi negative. De exemplu, vrem să adunăm numărul întreg -3 cu numărul întreg -6. Stabilim întâi semnul. Semnul este minus. Apoi stabilim valoarea. Valoarea este 3+6=9. Așadar, suma dintre numărul întreg negativ -3 și numărul întreg negativ -6 este numărul întreg negativ -9. Simbolic, avem (-3) + (-6) = (-9) .
Înainte de a trece la cea de-a treia și cea mai urâtă posibilitate, vreau să facem un mic rezumat al primelor două posibilități. Dacă adunăm două numere întregi de același semn, atunci rezultatul are același semn cu fiecare dintre termenii adunării, iar valoarea rezultatului va fi suma valorilor celor două numere întregi.


  1. În fine, haideți să terminăm și cu cea de-a treia posibilitate. Haideți să vedem ce se întâmplă dacă adunăm un număr întreg pozitiv cu unul negativ (sau, ceea ce este exact același lucru, dacă adunăm un negativ cu un pozitiv). Cât este, deci, suma dintre numărul întreg pozitiv 6 și numărul întreg negativ -9? Desigur, ca de obicei, și aici trebuie să ne gândim întâi la semnul rezultatului. Care va fi semnul acestei adunări? Ciudat este că în acest caz semnul depinde de valorile celor două numere întregi care trebuie adunate. Mai exact, trebuie întâi să comparăm valorile celor două numere întregi și să stabilim care valoare este cea mai mare dintre cele două și abia apoi putem determina semnul rezultatului. Mai precis, semnul rezultatului va fi tocmai semnul numărului cu valoarea cea mai mare. În exemplul pe care l-am dat, numărul -9 are valoarea cea mai mare, căci 9 este mai mare decât 6. Așadar, semnul rezultatului final va fi minus.


Acum va trebui să trecem la cea de-a doua etapă care urmează după stabilirea semnului și anume la stabilirea valorii rezultatului. Pe lângă faptul că semnul ne-a dat bătaie de cap, de parcă nu ne-ar fi fost de ajuns, ne dă bătaie de cap și valoarea. Mai exact, deși aici discutăm încă despre adunarea a două numere întregi, totuși valoarea rezultatului final va fi în mod ciudat o scădere între două valori, o scădere din valoarea cea mai mare a celeilalte valori.


Observați, deci, că valoarea cea mai mare are un rol important în determinarea rezultatului final, atât în determinarea semnului, cât și în determinarea valorii. Adică, rezultatul final va avea semnul numărului cu valoarea cea mai mare, iar valoarea finală va fi dată de diferența dintre valoarea cea mai mare și valoarea cealaltă. În cazul exemplului nostru avem deci rezultatul (+6) + (-9) = (-3).


Rezumat. Putem vorbi de o regulă valabilă pentru toate cele trei posibilități de adunare:
  • Semnul rezultatului este tocmai semnul numărului cu valoarea cea mai mare;
    • Bine, bine, dar ce facem dacă cele două numere au aceeași valoare? Păi, atunci dăm semnul uneia dintre ele, care ne place nouă mai mult :) .
  • Valoarea rezultatului se obține astfel:
    • dacă cele două numere au semne contrare, atunci scădem din valoarea mare valoarea mică;
    • în rest adunăm valorile.


Acum trecem la înmulțire. Înmulțirea numerelor întregi este mult mai ușoară decât adunarea, deoarece la înmulțire valoarea nu ne mai produce bătăi de cap, ci numai semnul. Și nici măcar semnul rezultatului nu este chiar atât de complicat de obținut, căci el nu mai depinde de valorile numerelor înmulțite, așa cum era în cazul adunării. Semnul rezultatului depinde doar de semnele numerelor care se înmulțesc. Mai exact, avem doar următoarele două situații:
  • Dacă semnele sunt contrare (deci când unul este plus, iar celălalt este minus), atunci semnul rezultat al înmulțirii va fi minus;
  • În rest (deci când avem același semn la ambele numere), semnul rezultat al înmulțirii este plus.
Asta-i tot. Înmulțirea numerelor întregi este ușoară. Aveți treabă doar cu semnul. Cu valoarea nu. Dacă știți să înmulțiți două numere naturale, atunci știți să înmulțiți și două numere întregi.


Așa cum v-am promis, dacă știți adunarea, atunci și scăderea e ușoară. Iar dacă ați înțeles înmulțirea, atunci va fi ușor de vorbit și despre împărțire. Haideți să terminăm, deci, și cu scăderea, că ne-am cam lungit cu celelalte două. Cum scădem două numere întregi dacă știm să le adunăm? Haideți să vedem. Luăm un exemplu. Vrem să știm cât este rezultatul scăderii dintre numărul -5 și numărul 8. Simbolic scris, vrem să știm cât este (-5) - (+8). Avem de făcut două lucruri, două schimbări de semn:
  • schimbăm scăderea în adunare, deci schimbăm semnul scăderii în semnul adunării;
  • schimbăm semnul celui de-al doilea număr.
Așadar, (-5) - (+8) = (-5) + (-8) = (-13). Atât. Iată, deci, că dacă știm să adunăm două numere întregi, putem și să le scădem, prin simpla schimbare a două semne.


Mai avem împărțirea. Împărțirea este exact ca și înmulțirea. Mă refer la determinarea semnului. Voi copia mai jos ce am scris la înmulțire și voi înlocui cuvântul „înmulțire” cu „împărțire”. Așadar
  • Dacă semnele sunt contrare (deci când unul este plus, iar celălalt este minus), atunci semnul rezultat al împărțirii va fi minus;
  • În rest (deci când avem același semn la ambele numere), semnul rezultat al împărțirii este plus.

Oare am terminat? Am epuizat subiectul? Sau mai sunt dileme? Aaaaa. Da, mai sunt două dileme. Una este legată de folosirea parantezelor, iar cealaltă este legată de operațiile cu mai multe numere întregi, nu doar cu două. Totuși, cred că aceste subiecte merită articole separate, așa că vom lua acum o pauză.