Faceți căutări pe acest blog

duminică, 31 august 2014

Funcții primitive


O funcție primitivă se notează de regulă cu majuscula funcției a cărei primitivă este. De exemplu, primitiva funcției f este funcția F. Primitiva funcției g este funcția G.

Dar ce este primitiva unei funcții? De ce este primitivă? Are vreo legătură cu Comuna Primitivă în care trăiau oamenii mai demult? Hmmm... Într-un fel, are. Haideți să vedem în ce fel.

Oamenii din Comuna Primitivă au trăit înaintea noastră în timp, iar noi suntem descendenții lor, derivații lor. Noi derivăm (provenim) din strămoșii noștri. Acum faceți analogia următoare între trecerea timpului și operația de derivare a funcțiilor: strămoșii noștri sunt mai mari (mai bătrâni) decât noi, deci și funcțiile primitive sunt înaintea celor neprimitive. Făcând această legătură, veți gândi automat că f (mic) este derivat din F (mare). Matematic putem scrie $F'=f$.

Facem un tabel sugestiv:

Vechi Nou
Primitiv Actual
F f
Nederivat  Derivat  
$x^2$ $2x$


Exemplul din tabel are următoarea justificare. Știți că $(x^2)'=2x$. În acest caz, $F=x^2$, iar $f=2x$. Așadar, primitiva (una dintre primitivele) funcției $2x$ este funcția $x^2$.

Dar e ce zic că „una dintre” primitivele funcției $2x$ este funcția $x^2$? Există oare mai multe primitive pentru una și aceeași funcție? Oare funcția $2x$ mai are și alte primitive în afară de $x^2$? Desigur! Funcția $2x$ are o infinitate de primitive!

Cum „o infinitate” de primitive? Vreau să văd măcar două! Ca să văd prin ce diferă o primitivă de alta. Desigur, pe una dintre primitivele funcției $2x$ o avem, și anume, o avem pe cea mai simplă, cea mai „frumoasă”: $x^2$. Ei bine, o altă primitivă a funcției $2x$ este funcția... atenție... $x^2+5$.

Da, da, $x^2+5$ este o altă primitivă a funcției $2x$, diferită de $x^2$! Cum verificăm asta? Cum verificăm că $x^2+5$ este primitivă a funcției $2x$? Simplu: derivăm funcția $x^2+5$ și vedem dacă obținem funcția $2x$.

Avem atunci $(x^2+5)'=(x^2)'+5'$. Toată șmecheria este în acest $5'$. Căci știm că derivata oricărui număr constant (deci, care nu-l conține pe $x$) este întotdeauna zero. Deci, $5'=0$. Și cum $5'=0$, obține că $(x^2+5)'=(x^2)'+5'=(x^2)'=2x$.

Dar „șmecheria” nu este valabilă doar pentru numărul $5$, desigur, ci este valabilă și pentru numărul $8$ sau $163$. Așadar, orice număr (din infinitatea de numere posibile) adăugăm lângă funcția $x^2$, obținem tot o primitivă a funcției $2x$. Se mai spune că orice primitivă a funcției $2x$ este funcția simplă și frumoasă $x^2$ la care mai adăugăm o constantă.

Prin urmare, cel mai important este ca, atunci când calculați o primitivă, să găsiți întâi primitiva aceea simplă și frumoasă, deci fără constantă, iar la finalul calculului, ca să fiți cât mai riguroși, să nu uitați să completați constanta.

Faptul că există o infinitate de primitive pentru o funcție, ne determină să ne referim la acestea prin cuvintele „mulțimea primitivelor” unei funcții. De asemenea, acest noian de primitive ne obligă să spunem că primitivele unei funcții sunt „integrale nedefinite”, spre deosebire de integralele definite care dau rezultate unice și bine determinate.

sâmbătă, 30 august 2014

Din Cauchy rezultă Lagrange, iar din Lagrange rezultă Rolle


În clasa a XI-a învățați la Analiza Matematică aceste trei teoreme importante legate de derivate. Vreau aici să vă arăt că este suficient să o rețineți pe prima, iar restul pot fi deduse din aceasta. Și puteți observa de la bun început că însuși numele acestor mari savanți, aranjați în ordine alfabetică, ne avantajează să reținem legătura de succesiune dintre teoremele lor: Cauchy, Lagrange, Rolle.

Să începem, deci. Începem, desigur, cu teorema lui Cauchy. Această teoremă ne spune cam următorul lucru:
$$\frac{\text{diferența lui f}}{\text{diferența lui g}}=\frac{\text{derivata lui f}}{\text{derivata lui g}}.$$
Am putea simplifica și mai mult și să reținem doar atât din ce spune teorema:
$$\color{red}{\text{diferența=derivata}}.$$

Dar, desigur, la școală este inacceptabilă o asemenea simplificare. Un profesor care ar începe să vorbească despre teorema lui Cauchy spunând că această teoremă nu afirmă nimic altceva decât că „diferența este egală cu derivata” ar putea părea cel puțin neserios. Eu însă risc asta pentru voi, deoarece doresc să învățați să extrageți mereu esențialul din ceea ce vi se predă la școală, singurul care vă va rămâne în minte peste ani (știu asta din experiență ).

Și dacă o asemenea simplificare este, totuși, inacceptabilă în școală, haideți să ne apropiem încet de forma riguroasă a acestei teoreme. Altfel spus, pornind de la esențialul „diferența=derivata”, vom tot adăuga câte o „haină”, câte un amănunt, acestui nucleu al teoremei, până când vom ajunge la forma ei finală, forma îmbrăcată cu haine elegante.

Prima haină, prima trecere pe care o facem de la „diferența=derivata” va fi fracția. Adăugând această haină, obținem forma:
$$\frac{\text{diferența lui f}}{\text{diferența lui g}}=\frac{\text{derivata lui f}}{\text{derivata lui g}}.$$

Apoi, mai punem încă o haină și explicităm la ce diferență ne referim. Avem atunci
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\text{derivata lui f}}{\text{derivata lui g}}.$$

Următoarea haină ne explicitează și derivata:
$$\color{red}{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}.$$

Mai trebuie să punem niște haine ca să vedem cine sunt literele $a$, $b$ şi $c$. Făcând aceasta, obținem forma bine îmbrăcată a teoremei lui Cauchy:

Dacă funcțiile $f$ și $g$ definite pe intervalul închis $[a; b]$ și cu valori în $\mathbb{R}$ sunt continue pe $[a; b]$, derivabile pe $(a; b)$ și $g'(x)$ nu se anulează nicăieri în intervalul $(a; b)$, atunci există un număr $c\in(a; b)$, astfel încât
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.$$

Aceasta este teorema lui Cauchy. Ați văzut, deci, că din toată tărășenia asta pe care am albăstrit-o eu, voi puteți reține esențialul teoremei lui Cauchy, și anume: „diferența=derivata”.








Acum mergem mai departe, să vedem cum obținem teorema lui Lagrange din teorema lui Cauchy. Forma bine îmbrăcată a teoremei lui Lagrange este:
Dacă funcția $f$ definită pe intervalul închis $[a; b]$ și cu valori în $\mathbb{R}$ este continuă pe $[a; b]$ și derivabilă pe $(a; b)$, atunci există un număr $c\in(a; b)$, astfel încât
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).$$

Ei bine, cum rezultă teorema lui Lagrange din teorema lui Cauchy? Observați un singur lucru: teorema lui Lagrange este teorema lui Cauchy în care funcția $g(x)$ este tocmai cea mai simplă funcție neconstantă, adică $\color{red}{g(x)=x}$. Pentru această funcție sunt îndeplinite condițiile din teorema lui Cauchy, deoarece $g(x)=x$ este continuă și derivabilă pe $[a; b]$. De asemenea, $g'(x)=1$, deci nu se anulează nicăieri. Prin urmare
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$
devine echivalentă cu 
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(c)}{1},$$
adică, exact ceea ce afirmă teorema lui Lagrange.






În fine, să vedem de ce teorema lui Rolle rezultă din teorema lui Lagrange. Teorema lui Rolle ne spune:
dacă funcția $f$ definită pe intervalul închis $[a; b]$ și cu valori în $\mathbb{R}$ este continuă pe $[a; b]$, derivabilă pe $(a; b)$ și, în plus, $f(a)=f(b)$ atunci există un număr $c\in(a; b)$, astfel încât
$$f'(c)=0.$$

Observați, desigur, că dacă în teorema lui Lagrange punem condiția suplimentară ca $f(a)=f(b)$, atunci, evident, fracția capătă numărătorul nul și deci se anulează în întregime, ducând la concluzia finală că $f'(c)=0$.

Așadar, iată ce se poate obține pornind de la esențialul „diferența=derivata”. În ultimă instanță, mesajul este cât se poate de logic, din moment ce știm că derivata însăși este o fracție de diferențe, atunci când acele diferențe devin extrem de mici.

vineri, 29 august 2014

Ecuații și inecuații

Mulți elevi au probleme cu rezolvarea ecuațiilor sau a inecuațiilor, chiar dacă unele dintre ele sunt foarte simple. Oare de ce? Am observat că unul dintre motive este acela că ei efectiv nu știu ce sunt ecuațiile și, evident, nici inecuațiile. Așadar, ce sunt acestea?

Ecuațiile și inecuațiile sunt propoziții (deci cu subiect și predicat) al căror subiect este necunoscut. Predicatul unei ecuații este „este egal cu”, iar predicatul unei inecuații este „este mai mic (mare) decât”. Așadar, o (in)egalitate în care apare o necunoscută este o (in)ecuație. Uneori, se folosesc și relațiile „mai mare sau egal” și „mai mic sau egal”, notate, respectiv, cu semnele „$\geq$” și „$\leq$”

Exemplu de ecuație: $x+1=3$. Exemplu de inecuație $4-x<2$.

De regulă, (in)ecuațiile sunt date în forma canonică, adică în forma „o funcție, un semn și zero”. De exemplu, ecuația $x+1=3$ poate fi dată sub forma canonică $x-2=0$, unde funcția este $f(x)=x-2$, iar semnul este „$=$”. 

Dacă funcția ce apare în (in)ecuație este un polinom (cum se întâmplă extraordinar de des), atunci (in)ecuația se numește (in)ecuație polinomială. (In)ecuațiile polinomiale sunt baza a ceea ce trebuie să știți în legătură cu (in)ecuațiile. Vreau să spun, de fapt, că dacă știți să rezolvați foarte bine (in)ecuațiile polinomiale, atunci veți ști să rezolvați cam orice alt tip de (in)ecuații, căci restul (in)ecuațiilor vi se dau  de regulă în așa fel încât să se reducă la (in)ecuații polinomiale. Bineînțeles, nici problema reducerii la o (in)ecuație polinomială nu este de lepădat, doar că ea nu reprezintă esențialul.

Veți mai întâlni (in)ecuații exponențiale, logaritmice, iraționale, trigonometrice, etcetera. Apoi, veți întâlni (in)ecuații cu o singură necunoscută de gradul întâi, de gradul doi sau de grad mai mare. Veți întâlni apoi chiar și sisteme de (in)ecuații cu mai multe necunoscute. Deci, studiul (in)ecuațiilor este indispensabil pentru reușita voastră în matematică.

Ecuațiile și inecuațiile au soluții. Problema fundamentală a (in)ecuațiilor este găsirea soluțiilor care satisfac acele (in)ecuații. Asta înseamnă că trebuie căutate niște numere care dacă sunt puse în locul necunoscutei sau necunoscutelor ce apar în (in)ecuație, determină ca (in)ecuația să se transforme într-o propoziție adevărată. De exemplu, a găsi soluția ecuației $x+1=3$ înseamnă să găsim că $x=2$, deoarece, dacă în ecuație punem în locul lui $x$ numărul 2, obținem propoziția adevărată $2+1=3$. În acest caz, 2 este soluția ecuației $x+1=3$.

Alte probleme legate de (in)ecuații ar putea fi cele în care vi se cere verificarea unor soluții. De exemplu, vi se poate cere să verificați dacă numărul 8 este soluție a ecuației $x+1=3$. Pentru aceasta, voi îl veți înlocui pe $x$ cu 8 în ecuația dată și veți verifica dacă propoziția obținută este adevărată sau falsă. Ia să vedem. Facem $8+1=3$. Aiurea! Este fals! Căci 8+1 este 9, iar 9 nu este egal cu 3. Deci, nicidecum 8 nu este o soluție a ecuației date. Se mai spune că 8 nu satisface ecuația dată.

De altfel, veți vedea că dacă ați găsit o soluție a unei ecuații polinomiale de gradul întâi, atunci nu are rost să mai căutați o altă soluție, deoarece soluția ecuației polinomiale de gradul întâi este unică. Și cum noi l-am găsit deja pe 2 ca fiind soluție a ecuației $x+1=3$, este evident că orice alt număr, deci și 8, nu va mai fi o soluție a ecuației noastre.

În fine, mai există probleme cu parametri, în care vi se cere efectiv să găsiți o parte din (in)ecuații atunci când vi se dau soluțiile. Altfel spus, aceasta este un fel de problemă inversă găsirii soluțiilor. De exemplu, vi se poate cere să găsiți cât este parametrul $a$ din ecuația polinomială de gradul întâi $x+a=3$ a cărei soluție este 2. Observați că această problemă se transformă într-o ecuație a cărei necunoscută devine parametrul $a$.

Ei bine, sunt tare multe de spus despre ecuații și inecuații. Va fi cazul să le luăm cândva la puricat așa pe rând, cum se cuvine. Până atunci, vă doresc toate cele bune.

joi, 28 august 2014

Funcția de gradul doi


Cu emoție în glas mă angajez să vă vorbesc acum despre această noțiune fascinantă. Vom trece prin diverse peripeții până să o înțelegem bine, dar merită.

Funcția de gradul doi este cea mai importantă funcție polinomială pe care trebuie să o știe un licean. Este cea mai importantă deoarece este cea mai folosită și cea mai bogată în consecințe dintre funcțiile pe care trebuie să le cunoască liceanul.

Pornim de la forma ei generală:
$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\,\, f(x)=ax^2+bx+c.$$
Aici, coeficienții $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale, iar primul coeficient este nenul. Căci dacă $a$ ar fi nul, atunci funcția noastră ar deveni o funcție de gradul întâi, nu de gradul al doilea.


Dacă vom desena această funcție, pardon, dacă vom face reprezentarea ei grafică într-un sistem de axe de coordonate, ca să ne exprimăm mai complet, atunci vom obține o linie curbă frumoasă care se numește „parabolă”.

De exemplu, dacă vom reprezenta grafic funcția $f(x)=2x^2-5x-18$, vom obține (cu ajutorul programului Maxima) parabola
Observați că parabola funcției date are vârful în jos. Așa se întâmplă dacă numărul din fața lui $x^2$ este pozitiv. Dacă numărul ar fi fost negativ, obțineam o parabolă cu vârful în sus. Iată, deci, parabola pentru funcția $f(x)=-2x^2-5x-18$:
Se mai spune despre prima parabolă că „ține apa”, pe când a doua nu. Mai pompos spus, prima parabolă este convexă, iar a doua este concavă. Așadar, rețineți o primă proprietate importantă a funcției de gradul doi: semnul coeficientului $a$ din fața lui $x^2$ determină dacă vârful parabolei este orientat în jos sau în sus. Observați cu această ocazie că vârful nu va fi niciodată orientat spre dreapta sau spre stânga, ci ori în sus, ori în jos.

Poziția vârfului parabolei ne mai spune încă ceva despre funcția de gradul doi. Dacă vârful este în jos (deci dacă $a$ este pozitiv), atunci funcția are un minim. Iar dacă vârful este în sus, atunci, logic, funcția are un maxim. Valoarea extremă (deci, minimul sau maximul) este dată de coordonata verticală a vârfului. Așadar, dacă într-o problemă oarecare vi se cere să determinați ceva legat de extremul funcției de gradul doi, atunci vi se cere de fapt să vă amintiți cât este coordonata verticală a vârfului.

Și dacă tot vorbim despre coordonatele vârfului, să ne amintim că vârful este un punct V care are două coordonate: o abscisă și o ordonată, deci un $x$ și un $y$. Abscisa este coordonata $x$, valoarea din stânga, iar ordonata este coordonata $y$, valoarea din dreapta. Abscisa ne spune unde se află extremul, iar ordonata ne spune cât este extremul. Așadar, coordonatele vârfului parabolei sunt $$V(unde; cât).$$
Mai avem că
$$unde=-\frac{b}{2a},$$
$$cât=-\frac{\Delta}{4a}.$$

Observați că toate punctele de pe parabolă (ca și de pe orice alt grafic al unei funcții, oricât de complicată ar fi acea funcție) au coordonatele $M(unde;cât)$! Mai mult, pentru orice asemenea punct este valabilă relația supremă:
$$cât=f(unde)!$$



Alte elemente importante care apar în studiul funcției de gradul doi sunt intersecțiile graficului său cu câte una dintre cele două axe de coordonate sau chiar cu o dreaptă oblică oarecare. Să le luăm pe rând. 

Intersecția care ne place cel mai mult este cea dintre graficul funcției și axa orizontală (axa OX). Ne place cel mai mult deoarece această intersecție are legătură cu rădăcinile polinomului de gradul doi care definește funcția de gradul doi. 

Vă amintiți că vârful avea coordonatele „unde” și „cât”, „unde” fiind coordonata orizontală, iar „cât” fiind coordonata verticală. Ei bine, la fel, orice punct din plan are două asemenea coordonate. Deci și punctele în care parabola intersectează axa OX. Doar că pentru punctele care se află pe axa OX, coordonata „cât” este tocmai zero! Altfel spus, pentru punctele de intersecție dintre parabolă și axa OX avem $y=0$. Numai coordonatele „unde” pot fi nenule, deci coordonatele $x$. Iar aceste coordonate $x$ sunt tocmai rădăcinile $x_1$ și $x_2$ ale polinomului $ax^2+bx+c$, deci soluțiile ecuației $ax^2+bx+c=0$.

De exemplu, funcția polinomială $x^2-3x+2$ are ca intersecții cu axa OX cele două puncte $A(1;0)$ și $B(2;0)$, căci numerele $x_1=1$ și $x_2=2$ sunt rădăcinile ecuației $x^2-3x+2=0$.
Așadar, în general, intersecțiile parabolei cu axa OX sunt punctele $A(x_1;0)$ și $B(x_2;0)$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile polinomului de gradul doi care definește funcția.

Înainte de a trece mai departe la intersecția cu axa verticală, aș dori să mai observați ceva privind intersecția cu axa orizontală:
  • Dacă polinomul de gradul doi nu are rădăcini (reale), ceea ce se întâmplă atunci când $\Delta$ este negativ, atunci parabola nu intersectează axa OX (parabola este „prea sus” ca să mai ajungă la axă (respectiv, „prea jos”, dacă $a$ este negativ)). Altfel spus, minimul este prea mare (sau maximul este prea mic). 
  • Iar dacă $\Delta$ este nul, atunci cele două rădăcini sunt egale, deci intersecția cu axa OX se reduce la un punct, adică parabola devine tangentă la axa OX., deci vârful parabolei atinge axa OX. Atenție la această ultimă proprietate, căci de multe ori se cere la bacalaureat!



În fine, haideți să tratăm acum intersecția (mult mai simplă) a graficului cu axa verticală, deci cu axa OY. De ce zic că este mai simplă? Pentru că această intersecție este întotdeauna un singur punct. Nu pot fi două asemenea puncte. Fie $C(unde; cât)$ punctul de intersecție al graficului cu axa verticală. De data aceasta „unde”-le va fi zero și „cât”-ul va fi de calculat, invers decât la axa orizontală. Deci, pentru acest caz, avem că $x=0$


Dar am văzut mai sus că relația supremă ne spune că trebuie să avem întotdeauna $cât=f(unde)$. Așadar, pentru punctul $C(0;cât)$ vom avea $cât=f(0)$. Dar $f(0)$ este tocmai termenul liber al polinomului (termenul fără $x$)! Prin urmare, punctul de intersecție al graficului cu axa OY va fi $C(0;c)$.


Observați ceva important pentru intersecția cu axa verticală: spre deosebire de cazul intersecției cu axa orizontală, unde era posibil să nu avem puncte de intersecție cu axa (dacă $\Delta$ era negativ), intersecția cu axa OY există întotdeauna, pentru orice funcție de gradul doi!

Cam acestea sunt proprietățile remarcabile ale funcției de gradul doi și ale parabolei sale asociate. Judecați-le, ca să nu mai aveți probleme cu înțelegerea lor. Ar mai rămâne de discutat intersecția dintre parabolă și o altă dreaptă, diferită de cele două axe ale sistemului de coordonate, dar acest lucru poate fi amânat pentru un articol viitor.

Editare în 18 septembrie 2016: am creat azi un applet în geogebra care vă permite să înțelegeți mai mult dinamica graficului funcției de gradul al doilea.

miercuri, 27 august 2014

Logaritmul


Se pare că logaritmul este o amenințare pentru elevii începători. Pe lângă faptul că are un nume atât de urât, mai are și alte ciudățenii de proprietăți pe care elevii nu le-au înțeles. Așa că e cazul să facem puțină ordine printre prejudecățile pe care le avem despre logaritm.

Să pornim un pic de la puteri. Știți că $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$. Este un exemplu la care apelez foarte des, căci conține numere diferite și este ușor de reținut. În acest exemplu $2^3$ este o putere, care are ca bază numărul 2 și are ca exponent numărul 3.

Ei bine, logaritmul este tocmai exponentul! Altfel spus, „logaritm” este un alt nume pompos pe care îl dăm exponentului, deși ele sunt unul și același lucru. Așadar, putem scrie $\log_2 8=3$. Observați, deci, că atât exponentul este 3, cât și logaritmul. Atât exponentul, cât și logaritmul sunt unul și același lucru! Logaritmul nu este altceva decât exponentul unui număr (dacă facem din numărul acela o putere). Logaritmul lui 8 este 3, dacă folosim baza 2, căci îl putem transforma pe 8 într-o putere cu baza 2, adică $8=2^3$. 

Când vi se va cere în viitor să determinați logaritmul unui număr, vă veți gândi să transformați numărul respectiv într-o putere (cu baza ce apare la logaritm) și să rețineți din acea putere doar exponentul. De exemplu, dacă vi se cere să determinați logaritmul în baza 5 din numărul 125, vă veți gândi să-l scrieți pe 125 ca o putere cu baza 5 și vom afla că logaritmul cerut este tocmai exponentul puterii pe care am scris-o când l-am transformat pe 125 într-o putere. Mai exact, deoarece $125=5\cdot 5\cdot 5=5^3$, avem că logaritmul (în baza 5) din 125 este 3.

Desigur, contează mult baza logaritmului. Căci, de exemplu, logaritm din 64 poate fi și 3 și poate fi și 6. Cum așa? Iată cum. Logaritm în baza 4 din 64 este doar 3, deoarece îl putem scrie pe 64 ca și $4^3$. Pe când logaritm în altă bază din 64, de exemplu, în baza 2, este un alt număr, adică este 6, deoarece îl putem scrie pe 64 ca și $2^6$. 

Dacă știți bine puteri, atunci știți bine și logaritmi. Nu-i așa? Căci, din moment ce logaritmul este tocmai exponentul, pentru a găsi proprietățile logaritmilor trebuie doar să ne jucăm cu proprietățile puterilor. Iată câteva exemple de proprietăți simple ale logaritmului.

Din moment ce logaritmul lui 8 este 3 (în baza 2, desigur), putem spune că logaritmul lui $2^3$ este 3. Dar oare cât va fi logaritmul lui $2^5$? Evident, va fi 5. Dar logaritmul lui $3^{100}$ (de data aceasta, în baza 3)? Evident, va fi tocmai exponentul, adică 100. Mai precis spus, avem
$$\log_2 2^3=3$$
și 
$$\log_3 3^{100}=100.$$
Observați proprietatea? Nu-i așa că putem scrie în general
$$\color{red}{\log_a a^p=p}?$$
Și când vă gândiți că am descoperit această proprietate doar din simpla constatare a faptului că logaritmul nu este altceva decât tocmai exponentul unei puteri...

Dar mai putem descoperi o asemenea proprietate, bazată pe egalitatea dintre logaritm și exponent. Știm că avem $2^3=8$ și știm că 3 este logaritmul lui 8 (în baza 2). Înseamnă că unde vedem 3 putem să punem $\log_2 8$. Haideți, atunci, să vedem ce iese dacă aplicăm această înlocuire în relația $2^3=8$. Vom avea $2^{\log_2 8}=8$! Ce fain! Vedeți ce șmecherie?! Ia să vedem acum, cât credeți că va fi $5^{\log_5 125}$? Sunt convins că nu veți crede că e 126 :) . Bun. Deci, mai putem extrage o proprietate faină a logaritmului:
$$\color{red}{a^{\log_a p}=p}.$$
Aceste două proprietăți ne spun, prin abuz de limbaj, că baza puterii și baza logaritmului „se reduc” și dispar ambele.

Haideți să intrăm acum și în alte amănunte, ca să vedem mai îndeaproape legătura dintre puteri și logaritmi, descoperind noi proprietăți ale exponenților, pardon, ale logaritmilor, pornind de la identitatea de care vorbeam dintre exponent și logaritm. Pentru aceasta, vom lua încă un exemplu, diferit, și anume $2^{3+4}=2^7$.

Presupunem că știm bine puteri, deci știm, de exemplu, că $2^{3+4}=2^3\cdot 2^4=8\cdot 16$. Dar, dacă două numere sunt egale, atunci și exponenții lor sunt egali (deci și logaritmii lor). Mai exact, dacă $a=b$, atunci și $\log_x a=\log_x b$. Altfel spus, dacă avem o egalitate de numere, atunci putem „logaritma” acea egalitate. Așadar dacă $2^{3+4}=8\cdot 16$, atunci și $\log_2 2^{3+4}=\log_2(8\cdot 16)$. 

Dar am văzut mai sus că $\log_a a^p=p$, așadar $\log_2 2^{3+4}=3+4$. De semenea, în loc de 3 putem scrie $\log_2 8$, iar în loc de 4 putem scrie $\log_2 16$. Prin urmare, putem scrie $\log_2 8+\log_2 16=\log_2(8\cdot 16)$. Astfel, prin generalizare, înlocuind numerele cu litere, am descoperit o altă proprietate faină a logaritmilor:
$$\color{red}{\log_x a+\log_x b=\log_x(a\cdot b)}.$$
Desigur, dacă în stânga am fi pus, în loc de adunare, scădere, atunci în dreapta am fi avut, în loc de înmulțire, împărțire.

Din proprietatea anterioară, punând în loc de $b$ tocmai $a$, obținem ${\log_x a+\log_x a=\log_x(a\cdot a)}$, adică ${2\cdot\log_x a=\log_x(a^2)}$. Și punând în loc de 2 litera $n$, obținem o altă proprietate importantă a logaritmilor:
$$\color{red}{n\cdot\log_x a=\log_x a^n}.$$

Cam acestea sunt cele mai importante proprietăți generale pe care trebuie să le știe un începător. Dar nu putem termina așa până nu mai povestim de două proprietăți numerice indispensabile. Știm că orice număr (nenul) ridicat la puterea zero este unu. Deci, știm că $a^0=1$, oricât am pune în locul lui $a$. Și cum logaritmul este tocmai exponentul, avem proprietatea
$$\color{red}{\log_a 1=0}.$$
Și, evident, nu cred că pune probleme de înțelegere proprietatea
$$\color{red}{\log_a a=1}.$$

Acum sunt mai liniștit, căci am speranța că v-am limpezit puțin din ceața pe care o mai aveați în minte privind logaritmii.

marți, 26 august 2014

Grade sau radiani?

Mulți începători se feresc de radiani pentru că n-au înțeles mai nimic legat de aceștia. Haideți să vedem ce putem face pentru a clarifica lucrurile.

Așa cum gradele sau kilogramele sunt unități de măsură, tot astfel și radianii sunt unități de măsură. De exemplu, putem vorbi de 7 radiani sau 1532 de radiani. Acestea sunt unghiuri. Chiar foarte mari. De exemplu, primul unghi pe care l-am dat, deci unghiul de 7 radiani, are cam 401 grade. Este un unghi destul de mare. Ce să mai vorbim despre unghiul de 1532? Acesta din urmă are aproape 88 de mii de grade! Ciudat, nu?

Deci, o primă concluzie pe care o putem trage este că radianii sunt „mai puțini” decât gradele. Altfel spus, dacă veți transforma vreodată un unghi din grade în radiani, va trebui să obțineți un număr mai mic. Invers, dacă veți transforma din radiani în grade, va trebui să obțineți un număr mai mare.

Totuși, nu ne-am înțeles încă asupra radianilor. De ce dumnezeu unii vorbesc de exemplu despre „doi pi radiani”? De ce nu spun simplu doar „doi radiani” sau „șapte radiani”? De ce adaugă cu răutate și cuvântul acela ciudat, „pi”?

Hmmm... Răspunsul direct ar fi: pentru precizie. Este mai precis, mai riguros să spui „doi pi radiani” decât să spui „6,28 radiani”. Asta pentru că „pi” nu este exact 3,14, ci este puțin mai mult de-atât. De exemplu, o valoare mai precisă (dar tot aproximativă) a lui pi este $\pi\approx 3,1415926$. Desigur, vă dați seama ce haos ar fi în matematică dacă am opera cu asemenea zecimale. Și-atunci nu mai bine folosim un simplu cuvânt „pi” în locul atâtor zecimale? Evident că da.

Bun, acum că am înțeles de ce folosim cuvântul „pi”, haideți să înțelegem și cum folosim această noțiune. Pornim de la o echivalență importantă: un unghi care are 180 de grade este un unghi care are pi radiani. Mai exact, avem ceva de genul $\color{red}{180\equiv\pi}$, unde semnul „$\equiv$” înseamnă „echivalent” și ne spune că un unghi de 180 de grade este egal cu un unghi de $\pi$ radiani.

Acum să vedem niște calcule. De exemplu, vreau să transform un unghi de 360 de grade în radiani. Cum fac? Echivalența anterioară îmi spune că peste tot unde văd 180 de grade, eu pot pune în loc $\pi$. Doar că 360 de grade nu ne arată nimic cu 180. Așa să fie oare? Da de unde. Păi, $360=2\cdot 180$. Așadar $360\equiv 2\cdot\pi=2\pi$, adică un unghi de 360 de grade este egal cu un unghi de doi pi radiani. Hmmm... Făinuț, nu-i așa?

Făinuț, făinuț... Cu un unghi mai mare de 180 de grade ne-am descurcat binișor. Dar ce ne facem dacă ni se cere să transformăm în radiani un unghi mai mic decât 180 de grade? Ce ne facem, de exemplu, dacă ni se cere transformarea pentru unghiul de 90 de grade? Cum „ce ne facem”? Dar în cazul unghiului mai mare ce am făcut? Am căutat în el un unghi de 180 de grade ca să-l transformăm urgent în pi. De ce n-am face și în acest caz la fel? Ia să vedem. Deci, avem de transformat un unghi de 90 de grade... Și nu are acest unghi în el ceva cu 180? Hmmm... Ba da, are! Cum să nu? Căci putem să scriem $90=\frac{180}{2}$. Și înlocuim repede, repede pe 180 cu $\pi$ și obținem că un unghi de 90 de grade este egal cu un unghi de $\frac{\pi}{2}$ radiani.

Ei, nu-i așa că începe să apară ceva mai simplu? Dar haideți să facem problema și mai simplă. Adică, să vedem cum putem scăpa de „chinul” descoperirii lui 180 într-un unghi dat în grade. Să presupunem că ni se dă un unghi de $g$ grade și vrem să vedem câți radiani $r$ are acest unghi. Avem relația următoare, extrem de sugestivă:
$$\color{blue}{r}\color{red}{=\frac{g}{180}\cdot}\color{blue}{\pi}.$$
Iar de aici rezultă automat și relația de transformare inversă, din radiani în grade:
$$\color{blue}{g}\color{limegreen}{=\frac{r}{\pi}\cdot}\color{blue}{180}.$$
Vă rog să observați o chestie faină pe care am colorat-o în albastru: „terminăm exact cu ceea ce începem”. Mai exact, dacă începem cu „r” de la radiani, atunci formula se termină cu „$\pi$”. Dacă începem cu „g”, de la grade, atunci formula se termină cu „180”.

Mult succes!

luni, 25 august 2014

Un determinant de ordinul trei. Regula lui Sarrus, regula triunghiurilor și proporționalitatea


Enunț:
Fie matricea $A=\begin{pmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
16&-48&40\\
\end{pmatrix}$.
Să calculeze determinantul  acestei matrice.

Rezolvare. Un elev grăbit, care se va bucura că problema primită la bacalaureat este atât de simplă, își va aminti repede că un determinant de ordinul 3 se poate calcula cu regula lui Sarrus și se va apuca sârguincios de treabă. Astfel, el va copia primele două rânduri ale matricei și le va pune dedesubtul acesteia, obținând
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
16&-48&40\\
\end{vmatrix}.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$

Apoi, se va apuca să facă produsele care se cuvin, conform regulii lui Sarrus, pe diagonală. Pentru aceasta, el va înmulți întâi diagonala principală
$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{red}{2}&-6&5\\
4&\color{red}{-12}&10\\
16&-48&\color{red}{40}\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
și va obține produsul $p_1=2\cdot(-12)\cdot 40=-960$. Apoi va trece la diagonala următoare, paralelă cu diagonala principală
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
\color{red}{4}&-12&10\\
16&\color{red}{-48}&40\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&\color{red}{5}\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
și va obține $p_2=4\cdot(-48)\cdot 5=-960$. În fine, va termina cu ultima diagonală paralelă cu diagonala principală
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\color{red}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&\color{red}{-6}&5\\
4&-12&\color{red}{10}\\
\end{matrix}$$
obținând, culmea, $p_3=-960$, același rezultat ca și pentru celelalte produse.

Chinuit de coincidența tulburătoare a acestor trei rezultate, își va face meseria mai departe, așa cum știe că trebuie procedat la calculul determinanților de ordinul 3 conform regulii lui Sarrus. Mai exact, el va trece să calculeze de-acum cele trei produse obținute pe diagonalele paralele cu diagonala secundară și va avea
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&\color{blue}{5}\\
4&\color{blue}{-12}&10\\
\color{blue}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix}.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
Va nota atunci că $p_4=5\cdot(-12)\cdot 16=-960$. Bănuind corect că nu va mai vedea altceva decât acest ciudat $-960$, va mai calcula apoi
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&\color{blue}{10}\\
16&\color{blue}{-48}&40\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
\color{blue}{2}&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
și, respectiv,
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
16&-48&\color{blue}{40}\\
\end{vmatrix},\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&\color{blue}{-6}&5\\
\color{blue}{4}&-12&10\\
\end{matrix}$$
obținând de fiecare dată $-960$, adică $p_5=-960$ și $p_6=-960$.

Fiind acum în posesia celor șase produse, va face calculul final conform regulii lui Sarrus, adunând produsele paralele cu diagonala principală și scăzând produsele paralele cu diagonala secundară. Așadar, va obține $$\det A=\color{red}{p_1+p_2+p_3}\color{blue}{-p_4-p_5-p_6}=$$
$$=\color{red}{-960-960-960}\color{blue}{+960+960+960}=0.$$

Da, tocmai 0! A ajuns la un rezultat atât de banal, după un calcul atât de anevoios... Nu cumva este ceva putred la mijloc? Nu cumva putea ajunge mai repede la un asemenea rezultat? Oare examinatorul ar fi mulțumit de această rezolvare sisifică a elevului nostru? Mă îndoiesc...




Dar ce se putea face mai rapid, totuși, din moment ce acest simplu rezultat final ar fi fost atât ușor de prevăzut? Ar fi trebuit, oare, folosită regula triunghiurilor? Hmmm... Poate că un elev familiarizat cu regula triunghiurilor nu s-ar mai fi chinuit să coboare primele două rânduri și ar fi obținut produsele anterioare făcând înmulțirile direct prin triunghiurile cu laturile mici paralele cu diagonala principală,
$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{red}{2}&-6&5\\
4&\color{red}{-12}&10\\
16&-48&\color{red}{40}\\
\end{vmatrix},$$


$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&\color{red}{5}\\
\color{red}{4}&-12&10\\
16&\color{red}{-48}&40\\
\end{vmatrix}$$
și
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&\color{red}{-6}&5\\
4&-12&\color{red}{10}\\
\color{red}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix},$$
respectiv, cu laturile mici paralele cu diagonala secundară,
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&\color{blue}{5}\\
4&\color{blue}{-12}&10\\
\color{blue}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix},$$

$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{blue}{2}&-6&5\\
4&-12&\color{blue}{10}\\
16&\color{blue}{-48}&40\\
\end{vmatrix}$$

și

$$\det A=\begin{vmatrix}
2&\color{blue}{-6}&5\\
\color{blue}{4}&-12&10\\
16&-48&\color{blue}{40}\\
\end{vmatrix},$$

obținând și el, desigur, același rezultat nul în final. Dar oare elevul care aplică regula triunghiurilor poate fi mulțumit de metoda pe care a aplicat-o? A câștigat el mult mai mult timp decât elevul din metoda lui Sarrus? Desigur, nu prea. Și acest elev a muncit din greu ca să afle rezultatul acesta banal.





Și atunci ce este de făcut? Hmmm... Păi, examinatorul ar cam fi dorit ca elevul să-și amintească una dintre cele mai importante proprietăți ale determinaților, cea privind proporționalitatea: orice determinant care conține două linii (sau, echivalent, coloane) proporționale este nul.

Așadar, un elev ceva mai atent nu se va angaja din prima în calcule sisifice, ci va trebui să aibă două momente de luciditate pentru a rezolva problema:

  1. Să-și amintească regula proporționalității;
  2. Să observe două linii sau coloane proporționale în determinant.
Aceste două momente de luciditate îi vor permite să câștige foarte mult timp, pe care l-ar putea folosi la rezolvarea altor probleme.

Dar să vedem, totuși, dacă determinantul nostru are două linii sau două coloane proporționale. Dacă privim atent determinantul, observăm că deja chiar primele două linii sunt proporționale:
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
\color{red}{2}\cdot 2&\color{red}{2}\cdot (-6)&\color{red}{2}\cdot 5\\
16&-48&40\\
\end{vmatrix},$$
deci, există un număr (în cazul nostru, numărul $2$), astfel încât elementele uneia dintre linii (în cazul nostru, elementele liniei 2) se obțin prin înmulțirea cu acel număr a elementelor corespunzătoare de pe altă linie (în cazul nostru, de pe linia 1).

Desigur, observați că cel care a conceput problema a fost foarte darnic cu elevul, deoarece toate liniile și chiar toate coloanele acestui determinant sunt proporționale. Așa că, dacă cumva elevul ar fi analizat determinantul doar după coloane, tot ar fi constatat proporționalitatea necesară și ar fi ajuns la concluzia iminentă conform căreia acest determinant este nul.

Așa că fiți mereu atenți la eventualitatea foarte probabilă ca problema dată să poată fi abordată printr-o metodă simplă.

duminică, 24 august 2014

Teorema fundamentală a trigonometriei rezultă din teorema lui Pitagora


Teorema lui Pitagora ne spune că într-un triunghi dreptunghic pătratul celei mai mari laturi (latură care se numește ipotenuză) este suma pătratelor celorlalte două laturi mai mici (care se numesc catete).





Observați că vârfurile triunghiului sunt notate cu majuscule, iar laturile triunghiului sunt notate cu minuscule. De asemenea, mai observați că literele mici se opun literelor mari, deci o latură se notează cu litera mică corespunzătoare unghiului aflat departe de acea latură.

Cu aceste notații, teorema lui Pitagora devine $\color{red}{a^2=b^2+c^2}$.

Acum să ne amintim care era definiția sinusului și a cosinusului. Avem că
$$sinus=\frac{cateta\,opusă}{ipotenuză},$$
$$cosinus=\frac{cateta\,alăturată}{ipotenuză}.$$

Cu litere, avem relațiile posibile
$$\sin B=\frac{b}{a},$$
$$\sin C=\frac{c}{a},$$
$$\cos B=\frac{c}{a},$$
$$\cos C=\frac{b}{a}.$$
Observați cu această ocazie că sinusul unui unghi este egal cu cosinusul celuilalt unghi. Această proprietate poate fi scrisă mai pompos sub forma
$$\sin(90-x)=\cos x.$$

Acum, vrem să vedem cât este $\sin^2 B+\cos^2 B$, precum și cât este $\sin^2 C+\cos^2 C$. Pentru aceasta ne vom folosi de relațiile date mai sus, inclusiv de teorema lui Pitagora. Avem întâi
$$\sin^2 B+\cos^2 B=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$$
Apoi, mai avem și
$$\sin^2 C+\cos^2 C=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2+b^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$$
Așadar, oricare ar fi unghiul $B$ sau $C$, putem scrie relația
$$\color{red}{\sin^2x+\cos^2x=1}.$$
Aceasta este formula fundamentală a trigonometriei. După cum vedeți, ea rezultă din teorema lui Pitagora. Prin urmare, este cam tot la fel de importantă. Ea ne mai spune, printre altele, că dacă cunoaștem sinus, atunci putem să aflăm cât este cosinus. Și reciproc.

sâmbătă, 23 august 2014

Centrul unui segment și centrul unui triunghi (oare și al unui tetraedru?)

Există oare vreo legătură între cele două (trei) entități de care vorbește titlul articolului nostru? Da, există o legătură admirabilă! Și ea ne este revelată de geometria analitică. 

Pe scurt, geometria analitică ne spune că dacă știm coordonatele a două puncte, atunci mijlocul segmentului format de cele două puncte are ca și coordonate tocmai media aritmetică a coordonatelor respective ale celor două puncte.

De asemenea, dacă știm coordonatele a trei puncte, atunci coordonatele centrului (de greutate al) triunghiului format cu cele trei puncte este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare.

Fie $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ două puncte în plan. Notăm cu $M(x_M;y_M)$ mijlocul acestui segment. Cum mijlocul este media aritmetică a capetelor, avem
$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$$ și $$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.$$

Să mai aducem un punct în plan, alături de punctele A și B, ca să putem discuta și despre centrul unui triunghi. Fie $C(x_C;y_C)$ acest nou punct (sper că nu l-ați ales chiar coliniar cu punctele A și B). S-a născut astfel un triunghi format de cele trei puncte. Vrem să discutăm despre centrul („mijlocul”) acestui triunghi.

Așa cum anticipați deja, centrul triunghiului este și el o medie aritmetică, precum a fost centrul unui segment. Haideți să concretizăm aceasta. Notăm cu $G(x_G;y_G)$ centrul (de greutate al) triunghiului sau „mijlocul” acestuia, așa cum ne place să fim mai direcți. Atunci, coordonatele acestui minunat punct sunt date în funcție de vârfurile („capetele”) triunghiului, astfel:
$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$$ și $$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}.$$

Observați că x-ul mijlocului este media aritmetică a x-urilor capetelor, iar y-ul mijlocului este media aritmetică a y-urilor capetelor. Deci, să nu amestecați valorile pentru x cu valori pentru y.

Ce vă spune intuiția despre centrul unui tetraedru (figură geometrică din spațiu formată cu patru puncte)? Nu cumva și el este o medie aritmetică? Răspunsul este afirmativ, desigur. 

Mai mult, există încă o subtilitate care leagă centrul segmentului cu centrul triunghiului și cu centrul tetraedrului: centrul segmentului este la o doime de capăt, centrul triunghiului este la două treimi de capăt, iar centrul tetraedrului este la trei pătrimi de capăt (din mediană). Amănunte puteți găsi în articolul mai amănunțit dedicat acestui subiect.

Așa învățați mai bine matematică, făcând legături între cunoștințe matematice care par a fi disparate!

vineri, 22 august 2014

Trapezul este un triunghi mare minus un triunghi mic

Vreau să vă arăt în materialul de față că există o legătură foarte strânsă între aria triunghiului și aria trapezului. În sensul că dacă deja cunoașteți aria trapezului, dar nu vă amintiți aria triunghiului (ceea ce este destul de improbabil), atunci automat vă veți da seama cât este aria triunghiului dacă vă imaginați că și triunghiul este un trapez, doar că baza mică a triunghiului este nulă, egală cu zero.

Invers, dacă știți cât este aria triunghiului, dar nu știți cât este aria trapezului (ceea ce este mult mai probabil, deoarece aria triunghiului este mai simplă decât aria trapezului), atunci imaginați-vă că trapezul este un triunghi mare căruia vântul i-a retezat „acoperișul”, unde „acoperișul” este un alt triunghi mai micuț. Așadar, în acest caz, aria trapezului este dată de aria triunghiului mare minus aria triunghiului mic.

Desenul corespunzător este


.
Triunghiul mic are înălțimea mică egală cu i (cea colorată în albastru), trapezul are înălțimea h (cea colorată în roșu), iar triunghiul mare are înălțimea I dată de suma celor două înălțimi, adică I=i+h.

Să vedem cum obținem aria trapezului, când cunoaștem bazele triunghiurilor (B mare și b mic) și înălțimile lor. Știm că aria triunghiului mare este $$A_{mare}=\frac{BI}{2}$$. 
Mai știm că aria triunghiului mic este $$A_{mic}=\frac{bi}{2}$$.
Atunci aria trapezului va fi aria triunghiului mare din care scădem aria triunghiului mic, că vântul și-a făcut de cap și a îndepărtat „acoperișul” :) . Așadar, avem $$A_{trapez}=\frac{BI}{2}-\frac{bi}{2}.$$
Dar știm că I=i+h, așadar $$A_{trapez}=\frac{BI}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{B(i+h)}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{Bi}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}.$$

Atât. De aici încolo, oricât ne-am juca cu aceste relații nu vom putea obține niciodată formula ariei trapezului! Oricum am înlocui și am dezlocui pe I cu i+h sau mai știu eu ce alte încercări ați vrea voi să faceți, nu vom reuși să ducem la capăt dorința noastră de a găsi aria trapezului.

De ce, oare? Pentru că ne lipsește încă o informație prețioasă, pe care n-am exprimat-o încă în formule. Și anume, n-am exprimat în formule faptul că baza b este paralelă cu baza B! Dacă nu exprimăm și această relație, atunci este ca și cum am permite ca „acoperișul” trapezului să fi fost strâmb, oblic, ceea ce este inadmisibil pentru trapez. Trapezul are bazele strict paralele.

Așadar, pentru a obține formula ariei trapezului, va trebui să folosim cumva și această informație indispensabilă, altfel matematica ne va spune mereu că nu știe să ne dea formula pe care o dorim. Să vedem ce putem face în acest caz. Să vedem cum putem transforma (informația calitativă privind) paralelismul bazelor într-o informație cantitativă pe care să o putem folosi la calculul ariei trapezului. Pentru aceasta trebuie să observăm că bazele paralele determină faptul că triunghiul mare este asemenea cu triunghiul mic

Asta înseamnă că raportul dintre o latură a triunghiului mic și o latură a triunghiului mare este la fel ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și o altă latură corespunzătoare a triunghiului mare. În cazul nostru, asta înseamnă că raportul dintre baza mică și baza mare este la fel ca și raportul dintre înălțimea mică și înălțimea mare. Mai exact, avem $$\frac{b}{B}=\frac{i}{I}.$$

Dar aceasta este o proporție (deci, o egalitate de fracții). Asta înseamnă că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Prin urmare, avem în sfârșit relația indispensabilă pe care am așteptat-o cu nesaț:
$$\color{red}{Bi=bI}.$$

De aici încolo totul decurge liniștit. N-avem decât să înlocuim în formula ariei, obținută mai sus, pe Bi cu bI, deci cu b(i+h). Să vedem ce iese. Avem
$$A_{trapez}=\frac{Bi}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{b(i+h)}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{bi}{2}+\frac{bh}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}.$$
Aici observăm că $\frac{bi}{2}$ se reduce, așa că ne rămâne formula finală a ariei trapezului:
$$A_{trapez}=\frac{bh}{2}+\frac{Bh}{2}=\color{blue}{\frac{(b+B)h}{2}}.$$

A fost destul de lungă determinarea legăturii complete dintre triunghi și trapez. Și ca să nu mai treceți prin acest calvar altă dată, eu vă recomand să învățați bine formula ariei trapezului. Ați văzut că dacă știți formula ariei trapezului, atunci o știți și pe cea a triunghiului. Ba, mai mult, tot din aria trapezului puteți obține chiar și formula ariei paralelogramului (deci și a dreptunghiului), căci paralelogramul nu este altceva decât un trapez cu bazele egale, deci cu B=b. De altfel, un obiectiv important al profesorilor buni trebuie să fie acela de a vă învăța să memorați cât mai puțin și să deduceți cât mai mult, iar eu asta mă voi strădui mereu să fac aici pentru voi.

joi, 21 august 2014

Ecuații reciproce de gradul patru

Într-un material anterior rezolvam o problemă cu o ecuație de gradul trei, care avea proprietatea interesantă că toți coeficienții polinomului egal depărtați de capete erau egali între ei. Mai exact, ecuația de gradul trei cu această proprietate arată cam în felul următor:
$$ax^3+bx^2+bx+a=0.$$

Spuneam acolo că orice polinom de această formă (și, în general, de orice grad impar), are una dintre rădăcini egală cu -1. Este o informație extrem de prețioasă, căci noi știm că dacă cunoaștem o rădăcină a unui polinom, atunci cu schema lui Horner putem coborî gradul polinomului cu o unitate, reducând ecuația polinomială dată la una mai simplă (și obținând astfel în cazul nostru o ecuație reciprocă de grad par).

Vom povesti acum despre o ecuație reciprocă de gradul patru, adică o ecuație de forma
$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0.$$
Interesant este că această ecuație nu mai are ca rădăcină pe -1 în general, precum avea ecuația reciprocă de gradul trei, așa că nu ne mai putem folosi de această informație. 

Trebuie să căutăm altceva. Acest „altceva” se ascunde în faptul că fiecare coeficient al polinomului (cu excepția celui din mijloc) apare de două ori. Ei bine, ce facem noi când un factor apare de mai multe ori? Vă amintiți? Desigur, dăm factor comun, ca să nu scriem factorul de mai multe ori, ci doar o singură dată. Și poate că, dând factor comun, ne va veni vreo idee despre ce să facem mai departe.

Și, pentru a vedea mai bine factorii comuni, vom grupa termenii polinomului altfel, în așa fel încât factorii comuni să fie unul lângă celălalt. Obținem ecuația sub forma
$$(ax^4+a)+(bx^3+bx)+cx^2=0.$$
Acum, că avem această formă, vom da factorii comuni care se cuvin și vom obține
$$a(x^4+1)+b(x^3+x)+cx^2=0.$$

Am ajuns într-un impas. Am cam terminat de dat factorii comuni și totuși ecuația noastră nu este tare prietenoasă cu noi. Ce am mai putea face mai departe? Cineva ar putea observa că sub această formă ne-au mai rămas doar trei coeficienți. Trei coeficienți? Hmmmm... Unde am mai întâlnit noi trei coeficienți? Unde? Păi, la ecuația de gradul doi! Despre care știm că arată astfel:
$$ax^2+bx+c=0.$$

O fi având oare ecuația noastră de gradul patru vreo legătură cu o ecuație de gradul doi? Hmmm... dacă nu ne-ar „încurca” acel $x^2$ de lângă $c$, ar fi super. Oare n-am putea scăpa de el? Cum scăpăm de așa ceva? Păi, împărțind cu el!

Haideți să vedem atunci ce se întâmplă dacă împărțim toată ecuația noastră cu $x^2$. Dar, stați! Nu v-am întrebat întâi dacă putem împărți toată ecuația cu $x^2$. Când nu putem împărți cu ceva? Atunci când acel ceva este zero. Așadar, verificăm înainte dacă nu cumva $x^2$ este zero. Păi, dacă $x^2$ ar fi zero, atunci și $x$ ar trebui să fie zero. Iar dacă $x$ ar fi zero, atunci am obține după înlocuirea lui $x$ cu zero în ecuația dată că și $a$ este zero, ceea ce ne-ar strica toată ecuația de gradul patru și ar transforma-o în cine știe ce ecuație. Așa că putem fi liniștiți că $x$ nu este zero, deci că putem împărți cu el, deoarece ecuația noastră este una de gradul patru, deci cu $a\ne 0$.

Făcând împărțirea ecuației cu $x^2$ obținem
$$a\frac{x^4+1}{x^2}+b\frac{x^3+x}{x^2}+c=0.$$

Și pentru că încă tot nu suntem mulțumiți de forma noastră, haideți să mai facem ceva în plus, din ceea ce se poate. Și anume, să distribuim numitorul. Obținem atunci ceva mai interesant:
$$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c=0.$$
Hmmm... Păi, această formă este mult mai apropiată de cea a unei ecuații de gradul doi! Yupppiii! Ne apropiem încet de ceea ce dorim (dorim să transformăm ecuația noastră reciprocă de gradul uriaș patru într-una mult mai simplă, de gradul doi).

Ne chinuim încă puțin, căci mai trebuie să facem o șmecherie. O ecuație de gradul doi arată a ceva de genul $ay^2+by+c=0$. Și ecuația noastră seamănă mult cu o asemenea ecuație de gradul doi, doar că parcă ceva lipsește. Hmmm... Apar parantezele $(x^2+\frac{1}{x^2})$ și $(x+\frac{1}{x})$... Hmmmm... 

Există oare vreo legătură între cele două paranteze? Oare prima paranteză este pătratul celei de-a doua? Asta era! Asta era întrebarea care trebuia pusă! Păi, haideți să vedem... Haideți să ridicăm a doua paranteză la pătrat și să vedem ce obținem. Avem
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot{x}\cdot\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}.$$
Dar ce am obținut? Am obținut exact prima paranteză, doar că mai apare acolo un 2, care sperăm să nu ne facă prea mari probleme.

Atunci, haideți să notăm $y=x+\frac{1}{x}$. Avem atunci că prima paranteză este $y^2-2$. Altfel spus, ecuația noastră reciprocă de gradul patru în $x$ a devenit acum o ecuație de gradul doi în $y$
$$a(y^2-2)+by+c=ay^2+by+c-2a=0.$$
Această ecuație se rezolvă, desigur, ca orice ecuație de gradul doi, cu acel delta. Veți găsi două rădăcini pentru $y$. Apoi, veți egala pe rând expresia în $x$ dată de $y=x+\frac{1}{x}$ cu fiecare dintre valorile găsite pentru $y$, obținând astfel câte două ecuații de gradul doi în $x$ care vă vor furniza toate cele patru rădăcini ale ecuației inițiale de gradul patru. Cam asta ar fi tot despre ecuația reciprocă de gradul patru. Succes!


.

miercuri, 20 august 2014

Reducerea la primul cadran

Într-un material alăturat, numit „Tabelul trigonometric” prezentam cele mai importante lucruri despre primul cadran și spuneam că primul cadran conține numai unghiurile ascuțite, deci pe cele mai mici de 90 de grade. A venit vremea să discutăm și despre valorile trigonometrice ale unghiurilor mai mari decât 90 de grade

Vom vedea că pentru a găsi funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiurilor mai mari de 90 de grade va fi suficient să le folosim pe cele din primul cadran, cu niște semne modificate.


Trecerea de la cadranul II la cadranul I


Să începem întâi cu cadranul II. De exemplu, alegem unghiul de 120 de grade. Chiar dacă acest unghi este mai mare decât 90 de grade, are și el un sinus și un cosinus, deci are și tangentă și cotangentă. Vrem să determinăm valorile acestora și vrem să arătăm că există o legătură între valorile din cadranul II și cele din cadranul I. Altfel spus, dacă știți bine valorile din cadranul I, atunci puteți ști și valorile din cadranul II, învățând în plus formulele de trecere de la cadranul II la cadranul I.

Vom arăta mai jos cum apar aceste formule de trecere. Pentru aceasta, ca să ajungă în cadranul II, punctul M din desenul nostru trebuie să se deplaseze mai departe în sens trigonometric și trebuie să iasă din cadranul I pentru a ajunge în următorul cadran. Aveți mai jos desenul cu punctul M ajuns la unghiul de 120 de grade.



Arcul galben are 120 de grade, iar arcul albastru are 30 de grade, deoarece 120=90+30. Acum ne interesează cât de lungă este cateta roșie, ea reprezentând tocmai sinusul unghiului de 120 de grade. De asemenea, ne va interesa cât de lungă este cateta verde, ea reprezentând cosinusul unghiului de 120 de grade (cosinușii sunt verzi și mereu paraleli cu axa OX).



Dar putem observa ceva interesant: triunghiul dreptunghic care a apărut în desen ar putea fi rotit cu imaginația spre dreapta cu 90 de grade ca să ajungă în primul cadran. Atunci, cateta roșie ar fi paralelă cu axa OX (deci ar fi un cosinus), iar cateta verde ar fi paralelă cu axa OY (deci ar fi un sinus). Așadar, putem ușor determina lungimile celor două catete din moment ce cunoaștem sinusul de 30 de grade și cosinusul de 30 de grade, unghiul de 30 de grade fiind unghiul din primul cadran. 




Având determinate lungimile, ne mai rămâne să determinăm semnul lor, acesta fiind singurul care ne va face probleme. Dar de ce vorbesc despre probleme cu semnul în al doilea cadran? Că doar n-o fi mare lucru să clarificăm și problema semnelor din al doilea cadran. Haideți să clarificăm, deci, problema semnelor în al doilea cadran.




Ce înseamnă a clarifica problema semnelor? Înseamnă a stabili ce semn are sinusul în al doilea cadran și a stabili ce semn are cosinusul în al doilea cadran. Atât. Păi, ia să vedem. Știm că sinușii sunt verticali, iar cosinușii sunt orizontali. Observăm, deci, cum cateta roșie corespunzătoare unghiului de 120 de grade se află deasupra axei OX, acolo unde sunt încă valori pozitive pentru y, deci pentru sinuși. Așadar, în al doilea cadran sinusul este încă pozitiv, chiar dacă începe să scadă de la valoarea 1 către valoarea 0.




În schimb, cosinusul corespunzător unghiului de 120 de grade, fiind orizontal, se află în partea stângă a axei OY, deci este în zona valorilor negative. Așadar, în al doilea cadran cosinusul este negativ




Observați cu această ocazie că, în general, pe măsură ce punctul M se plimbă pe cerc de colo-colo, sinusul se poate afla numai în două poziții posibile, deasupra sau dedesubtul axei OX, iar cosinusul se poate afla și el numai în două poziții posibile, la dreapta sau la stânga axei OY. Aceste poziții vor determina fără dubiu semnul celor două funcții trigonometrice: sinusul aflat deasupra axei OX este pozitiv, iar cosinusul aflat în dreapta axei OY este pozitiv.




Dar nu avem încă ceea ce ne trebuie pentru unghiul de 120 de grade. Cu toată vorbăria noastră prelungită, încă nu am stabilit clar cât este sinusul și cât este cosinusul acestui unghi interesant. Așadar, suntem nevoiți să facem un rezumat al celor povestite, ca să vedem ce valori au funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiului de 120 de grade. Ne trebuie semn și valoare. Începem cu sinusul.




Am zis că sinusul este deasupra, deci are semnul pozitiv. Valoarea. De asemenea, am mai zis că valoarea sinusului de 120 e grade este exact ca și valoarea cosinusului de 30 de grade, căci prin rotația spre dreapta (deci, în sens invers trigonometric a) triunghiului format, cu 90 de grade, obținem un triunghi răsturnat și cu catetele egale în primul cadran. Putem scrie, deci, că



$$\sin 120=\sin(90+30)=\cos 30.$$

Cum, în loc de 30 putem să punem orice valoare (care să producă un unghi aflat în cadranul II, desigur), vom putea scrie formula generală

$$\color{red}{\sin(90+x)=\cos x}.$$

Această relație ne spune cât va fi sinusul unui unghi din cadranul II atunci când (se presupune că) cunoaștem (bine de tot) funcțiile trigonometrice din cadranul I. 

Să vedem acum cât va fi cosinusul unui unghi din cadranul II.

Din răsturnarea triunghiului am văzut că sinusul se transformă în cosinus, iar cosinusul se transformă în sinus. Așadar, valoarea cosinusului din cadranul II va fi egală cu sinusul din cadranul I, atâta doar că în cadranul doi cosinusul trebuie să fie negativ, deci vom pune semnul minus în față. Așadar,

$$\cos 120=\cos(90+30)=-\sin 30$$

În general, vom avea pentru cosinusul din cadranul II
$$\color{limegreen}{\cos(90+x)=-\sin x}.$$

Acum doresc să vă atrag atenția asupra unui lucru foarte interesant care ne va fi de un folos nemaipomenit în cele ce urmează. Observați că sinusul s-a transformat în cosinus, iar cosinusul s-a transformat în minus sinus. Nu vi se pare ceva cunoscut? Cum să nu? Dacă știți derivate, știți că sinus derivat este cosinus, iar cosinus derivat este minus sinus. Așadar, dacă știți derivate, atunci știți să obțineți ușor funcțiile trigonometrice din al doilea cadran, făcând șmecheria că prin derivare se scad 90 de grade din unghi.


Trecerea de la oricare cadran la cadranul I


Dar matematica este și mai frumoasă de atât! Regula asta cu derivarea este valabilă pentru oricare dintre cele patru cadrane! Ce dumnezeu vreau să spun aici? Vreau să spun că în oricare dintre cele patru cadrane vă aflați, dacă doriți să ajungeți la cadranul I, derivați de atâtea ori de câte ori trebuie pentru a scăpa de câte un 90 de grade. La fiecare derivare SE SCAD 90 de grade din unghi. Sau, poate vă place mai mult integrarea (deși mă îndoiesc :) ). 

Dacă vă place mai mult integrarea, atunci respectați regula opusă: la fiecare integrare SE ADUNĂ 90 de grade la unghi. Integrarea este utilă, de exemplu, atunci când vreți să treceți de la cadranul patru la cadranul unu și nu aveți chef să derivați de trei ori, ci mai degrabă preferați să integrați o singură dată, pentru a aduna 90 de grade și pentru a obține astfel un unghi mai mare de 360 de grade, dar aflat în primul cadran (căci adunând sau scăzând 360 de grade este ca și cum am sta pe loc).

Cunoscând cum trece sinus și cosinus de la un cadran la altul, puteți afla ușor și tangenta și cotangenta, din moment ce tangenta este sinus supra cosinus, iar cotangenta este inversa tangentei.

Exemplu


Ei, ce părere aveți, v-ați lămurit cum e cu trecerea asta de la un cadran la altul? Sunteți pregătiți de un exemplu? Ia să vedem. Vrem să găsim sinus de 240 de grade. Desigur, 240 este mai mare decât 90, deci putem aplica derivarea ca să dispară 90 de grade din unghi. Deoarece noi știm că sinus derivat este cosinus, avem că $\sin 240=\cos(240-90)=\cos 150$. Deci, am scăpat de cadranul III și am ajuns în cadranul II, mai aproape de casă (deci, mai aproape de cadranul I) :) .

Acum suntem ca și în situația în care exemplul nostru ar fi început cu determinarea lui $\cos 150$. Aplicăm, așadar, pasul de derivare a lui cosinus. Cosinus derivat este minus sinus. Așadar, $\cos 150=-\sin(150-90)=-\sin 60$. Iată, deci, că prin două derivări succesive, am ajuns de la cadranul III la cadranul I și am obținut rezultatul final că $\color{blue}{\sin 240=-\sin 60}$, reducând astfel problema din cadranul III la cadranul I.

Deci, să nu uitați niciodată șmecheria asta cu derivarea! Ea vă va ajuta enorm ori de câte ori veți avea nevoie de funcțiile trigonometrice ale unghiurilor mari. Demonstrația riguroasă a acestei șmecherii ține de proprietățile remarcabile ale numerelor complexe.

marți, 19 august 2014

Relaţia dintre o dreaptă şi două puncte, în plan

În materialul anterior vă vorbeam despre relația dintre o dreaptă și un punct, subliniind modalitatea prin care putem decide dacă o dreaptă trece printr-un punct anume sau, echivalent, dacă un punct anume se află pe o dreaptă dată. Aici aș dori să scot în evidență relația dintre dreaptă și două puncte. Esența acestei relații constă în faptul că prin două puncte trece o dreaptă unică, în opoziție cu faptul că printr-un singur punct pot trece o infinitate de drepte.

Relația strânsă dintre două puncte date și o dreaptă este pecetluită prin ceea ce se numește „ecuația dreptei ce trece prin două puncte”. Voi folosi litere ca să o pot scrie la modul cât mai general, dar voi o puteți exemplifica prin niște valori concrete. Așadar, fie două puncte în plan, A și B, de coordonate $A(x_A;y_A)$ și, respectiv, $B(x_B;y_B)$. Se cere ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte cunoscute din plan.

Vă recomand să rețineți această ecuație în cele două forme interesante:
  • forma cu egalitatea dintre două proporții:
$$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}.$$

Observați că dacă ați reușit să determinați ce urmează după $y$ la numărător, nu mai trebuie să mai calculați ce urmează după $y_B$ la numitor (am constatat că unii elevi au tendința să recalculeze valoarea). De asemenea, dacă rețineți cum arată prima fracție, atunci a doua fracție este identică cu prima fracție, doar că în locul literei $y$ apare litera $x$.



  • forma cu determinantul de ordinul 3:
$$\begin{vmatrix}x&y&1\\x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\end{vmatrix}=0$$

Forma cu egalitatea dintre două proporții pare mai simplă, căci nu necesită cunoașterea determinanților, însă forma cu determinantul este cea mai elegantă și mai plină de semnificații. Aceasta din urmă ne spune, de fapt, că triunghiul format cu punctul generic $M(x;y)$ și cu punctele date $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ are valoarea ariei nulă. Acest lucru mai înseamnă că punctele $M(x;y)$, $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ sunt coliniare. Altfel spus, forma cu determinantul ne dă informația firească și esențială conform căreia există o legătură profundă între condiția de coliniaritate a trei puncte (anularea determinantului de mai sus) și ecuația dreptei care trece prin acele (trei) puncte.

luni, 18 august 2014

Semnificația ecuației analitice a dreptei

Geometria analitică este geometria numerelor. Geometria analitică a reușit să găsească o legătură între figurile geometrice și numere. De exemplu, în plan, un punct este o pereche de numere. În spațiul cu trei dimensiuni (deci, în care putem duce trei drepte reciproc perpendiculare prin același punct), un punct este un triplet de numere.

Și dacă am reușit să înlocuim punctele din spațiu cu numere, atunci putem înlocui orice figură geometrică cu numere. De exemplu, o dreaptă în plan va putea fi scrisă ca o relație între niște numere. Iată un exemplu de asemenea relație, care se numește ecuația (generală a) dreptei: $4x+2y-5=0$. Această relație este ecuația dreptei care trece prin toate punctele (o infinitate) de forma $(x;y)$ care satisfac relația dată. 

Ne putem întreba dacă punctul $(2;3)$ se află pe dreapta dată ca exemplu, deci, echivalent, ne putem întreba dacă dreapta dată trece prin punctul $(2;3)$. Pentru a verifica dacă punctul $(2;3)$ se află pe dreapta $4x+2y-5=0$ va trebui ca în ecuația dată să-l înlocuim pe $x$ cu $2$ și pe $y$ cu $3$ și să vedem dacă obținem rezultatul $0$. Avem $4\cdot 2+2\cdot 3-5=8+5-5=8\ne 0$. Adică, în loc să obținem ca rezultat numărul $0$, noi am obținut ca rezultat numărul $8$. Cum interpretăm rezultatul? Simplu: punctul $(2;3)$ nu se află pe dreapta $4x+2y-5=0$. Echivalent, dreapta $4x+2y-5=0$ nu trece prin punctul $(2;3)$.

Pentru aprofundare, putem concepe o problemă pe care ați putea-o primi la examene: „să se determine parametrul real a astfel încât punctul de coordonate $(-2;a)$ să aparțină dreptei de ecuație $4x-y+3=0$”. Când aparține un punct unei drepte? Atunci când coordonatele punctului satisfac ecuația dreptei. Așadar, trebuie să presupunem și noi că ambele coordonate ale punctului nostru $(-2;a)$ satisfac ecuația dreptei $4x-y+3=0$. Trebuie să avem, așadar, $4\cdot(-2)-a+3=0$, deci $-8-a+3=0$. Rezolvăm această ecuație în $a$ și vom avea $-a=-3+8=5$, deci $\color{blue}{a=-5}$. Așadar, punctul $(-2;-5)$ aparține dreptei  $4x-y+3=0$ (sau, echivalent, dreapta trece prin acest punct).

Desigur, există o infinitate de puncte care satisfac ecuația unei drepte. E și firesc să fie așa, din moment ce orice dreaptă are o infinitate de puncte.

duminică, 3 august 2014

Numerele raționale

După ce v-am povestit despre numerele naturale și întregi, a venit rândul numerelor raționale. Dacă vă mai amintiți, numerele întregi au apărut din necesitatea de a putea face scăderi Între orice două numere naturale, nu doar scăderi dintr-un număr mare a unui număr mic.


Ei bine, numerele raționale au apărut și ele dintr-un motiv similar. Mai exact, numerele raționale au apărut din necesitatea de a putea face împărțiri între orice două numere întregi, nu doar între anumite numere întregi (cele divizibile).
  • Și, așa cum numerele întregi puteau fi scrise (dacă vă mai amintiți) ca niște perechi între două numere naturale, de data aceasta, numerele raționale pot fi scrise ca fiind perechi de două numere întregi.
  • Și, așa cum, perechile numerelor întregi erau echivalente prin adunarea și scăderea unui aceluiași număr, tot astfel, perechile cu care scriem numerele raționale sunt echivalente dacă înmulțim (amplificăm) sau împărțim (simplificăm) cu același număr întreaga pereche.


„Rațio” înseamnă „raport”, „împărțire”. Asta vrea să spună așadar că numerele raționale sunt un fel de rezultat al unei împărțiri. De exemplu, numărul 3/4 (3 supra 4) este un număr rațional, fiind rezultatul împărțirii lui 3 la 4. El este o pereche formată din numerele întregi 3 și 4.


Acest număr, 3/4 se mai numește și „trei pătrimi”. Numărul 3 (numărul de sus) se numește „numărător”, iar numărul 4 (numărul de jos) este „numitor”. În ansamblu, tot numărul rațional 3/4 se mai numește și „fracție” (este ceva fracționat, nu este întreg). Numitorul numește fracția: în cazul nostru 4 este numitorul și numele fracției este „pătrime” (sau „sfert”). Numărătorul , adică numărul 3, numără pătrimile și ne spune câte pătrimi conține fracția noastră.


Ca denumiri pentru numitori mai cunoaștem:
  • întregi (unități)
  • doimi (jumătăți)
  • treimi
  • pătrimi (sferturi)
  • cincimi
  • șesimi
  • șeptimi
  • optimi
  • noimi
  • zecimi
și așa mai departe, unde numele ne spune clar despre ce numitor este vorba.


Numerele raționale se pot scrie sub formă de fracții ordinare (3/4 sau 9/5) sau sub formă de fracții zecimale (0,75 sau, respectiv, 1,8). Desigur 3/4=0,75 și 9/5=1,8, deci cele două forme descriu același număr rațional.


În funcție de valoarea lor, numerele raționale pot fi supraunitare, echiunitare sau subunitare. Cele supra sunt mai mari, cele echi sunt egale, iar cele sub sunt mai mici decât 1. Fracțiile supraunitare au numărătorul mai mare decât numitorul.


Dintr-o fracție supraunitară se pot scoate întregi în afara fracției. De exemplu, fracția 9/5 este egală cu un întreg și 4/5. Scoaterea întregilor dintr-o fracție supraunitară se face prin împărțirea numărătorului la numitor:


fracție supraunitară=numărător/numitor=cât+rest/numitor


Cu formula de mai sus putem scoate întregii din fracție. De exemplu, să aplicăm formula pentru fracția 22/5. Facem împărțirea lui 22 la 5 și obținem câtul 4 și restul 2. Înseamnă că 22/5=4 întregi 2/5. Datorită faptului că uneori (atunci când nu există pericol de confuzie) punctul pentru înmulțire nu se mai pune, trebuie să avem grijă la scrierea 4 2/5 ca să nu confundăm numărul scris în paranteză (4 întregi 2/5) cu numărul (4 înmulțit cu 2/5).


În fine, dacă dorim să scăpăm de întregii din fața fracției și să-i introducem în fracție, procedăm invers de cum am procedat la scoaterea lor în afara fracției. Așadar, avem formula:


întregi numărător/numitor=(întregi înmulțiți cu numitorul plus numărătorul)/numitor


În exemplul nostru, 4 întregi 2/5=(4∙5+2)/5=22/5

Despre fracții ireductibile putem vorbi mai pe larg în altă parte.