Faceți căutări pe acest blog

marți, 30 septembrie 2014

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute


Unul dintre cele mai simple sisteme de două ecuații cu două necunoscute este următorul
$$\begin{cases}
x+y=5\\
x-y=1
\end{cases}.$$
Acest sistem ne va permite să înțelegem ușor cum putem rezolva în general asemenea sisteme.

Voi vorbi aici despre două metode mai accesibile, metoda substituției și metoda reducerii, dar despre metoda lui Cramer sau a lui Gauss vom vorbi cu altă ocazie.



Începem cu metoda substituției. Substituție înseamnă înlocuire. Deci metoda substituției este metoda înlocuirii.

Din păcate, metoda substituției este cea mai urâtă, cea mai neelegantă metodă de a rezolva un sistem de ecuații. Dar este și cea mai puternică. Este puternică deoarece cu metoda substituției putem rezolva sisteme (neliniare) foarte complicate pe care nu le mai putem rezolva cu celelalte metode.


Cu metoda substituției sistemul nostru se rezolvă astfel:

-Se alege una dintre ecuații și una dintre necunoscute. În cazul acestui sistem simplu pe care îl avem noi ca exemplu alegerea pe care o facem este destul de arbitrară, căci nu ne afectează prea mult viteza de calcul. Însă, în cazul altor sisteme, e bine să aruncăm un ochi la ecuația și necunoscuta pe care o alegem, în așa fel încât să evităm pe cât posibil fracțiile prea complicate.

Necunoscuta aleasă este cea care vrem să dispară din calculele noaste cât mai repede, iar ecuația aleasă este cea în care necunoscuta aleasă capătă cea mai simplă formă.

Noi vom alege atunci, fără niciun criteriu relevant, prima ecuație și prima necunoscută, deci ecuația
$$x+y=5$$
și necunoscuta $x$.

-Se tratează celelalte necunoscute de parcă ar fi niște numere concrete și se determină necunoscuta aleasă în funcție de celelalte necunoscute. Calculul se face în ecuația aleasă.

În cazul nostru, din ecuația
$$x+y=5,$$
trecând necunoscuta $y$ în partea dreaptă a egalității (așa cum facem cu valorile cunoscute în cazul rezolvării unei ecuații cu o necunoscută), obținem
$$x=5-y.$$

-Valoarea obținută în pasul precedent se înlocuiește în celelalte ecuații peste tot unde apare necunoscuta aleasă .

În cazul nostru, cealaltă ecuație este
$$x-y=1.$$
În această ecuație vom înlocui peste tot unde găsim necunoscuta $x$ cu valoarea corespunzătoare acesteia pe care am găsit-o din prima ecuație, adică cu $5-y$. Deci, vom obține
$$(5-y)-y=1.$$

-După acest pas, a dispărut una dintre necunoscute, iar sistemul a devenit mai simplu cu o necunoscută și cu o ecuație. Din acest moment se repetă pașii precedenți de parcă acum am începe să rezolvăm sistemul.

În cazul nostru, sistemul care avea două ecuații și două necunoscute a devenit un „sistem” cu o singură ecuație (ecuația $(5-y)-y=1$) și cu o singură necunoscută, necunoscuta $y$. Așadar, vom rezolva această ecuație simplă și vom obține
$$5-y-y=1,$$
$$5-2y=1,$$
$$5-1=2y,$$
de unde reiese că $y=2$.

În acest moment, sistemul este aproape rezolvat, doar că în ecuația corespunzătoare primei necunoscute pe care am făcut-o să dispară, în loc de $y$ vom pune valoarea 2. Adică, în ecuația $x=5-y$ vom face $x=5-2$, deci vom obține în final $x=3$.






Deci, cu metoda substituției am terminat. Să vedem acum în ce fel rezolvăm sistemul cu metoda reducerii. Și cu această metodă eliminăm câte o necunoscută, numai că metoda de eliminare este mai elegantă și se bazează pe proprietățile remarcabile ale ecuațiilor.

Aceste proprietăți constă în faptul că înmulțirea unei ecuații cu un număr oarecare sau adunarea a două ecuații ale sistemului între ele (chiar și după ce au fost înmulțite cu un număr) lasă neschimbată esența sistemului, adică lasă neschimbate valorile pe care le obținem pentru necunoscute dacă alegem să trecem de la sistemul inițial la sistemul prelucrat.

Așadar, metoda reducerii ne permite să prelucrăm sistemul cum ne place nouă în așa fel încât să dispară (să se reducă) necunoscute prin adunarea sau scăderea ecuațiilor sistemului (eventual, după înmulțirea în prealabil a acestor ecuații cu numere convenabile care să permită reducerea).

În cazul sistemului nostru suntem fericiți, căci putem face să dispară o necunoscută (necunoscuta $y$) chiar și fără să înmulțim ecuațiile cu vreun număr convenabil. Această dispariție va avea loc dacă vom aduna pur și simplu prima ecuație $x+y=5$ cu cea de-a doua ecuație a sistemului $x-y=1$.

Adunându-le, vom obține
$$\begin{cases}
x+y=5\\
\underline{x-y=1}
\end{cases}\\
2x\,\,\backslash=6,$$
adică $2x=6$, ecuație suficient de banală încât să obținem ușor că $x=3$.

Cam atât pentru astăzi. Mâine vom vedea cum se rezolvă un sistem cu ceva mai complex.



luni, 29 septembrie 2014

Integrala definită e o sumă infinită


Vă place titlul? Forma lui versificată v-ar putea ajuta să rețineți formula interesantă pe care o vom scrie cu roșu în acest articol.

Să presupunem că vrem să calculăm următoarea limită:
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}.$$
Altfel spus, ni se cere să adunăm 5 termeni
$$\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^2}+\frac{5}{5^2},$$
atunci când în loc de 5 punem numere din ce în ce mai mari, până la cel mai mare număr posibil, deci până la infinit.

Observați rapid că avem o metodă băbească de a calcula această sumă (voi folosi întâi suma cu 5 termeni): dăm factor comun pe $\frac{1}{5^2}$, după care calculăm suma termenilor progresiei aritmetice simple $1+2+3+4+5$ rămase (care este o sumă Gauss simplă). Concret, cum suma termenilor progresiei este $\frac{5\cdot 6}{2}$, obținem
$$\frac{1}{5^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^2}+\frac{5}{5^2}=\frac{5\cdot 6}{2\cdot 25}=\frac{6}{2\cdot 5}.$$
Desigur, acest rezultat se modifică (se micșorează) pe măsură ce în loc de 5 punem numere din ce în ce mai mari. De exemplu, dacă am pune în loc de 5 numărul 6, am obține ca rezultat numărul $\frac{7}{12}$, care este mai mic decât $\frac{3}{5}$.

Să vedem acum suma în general tot cu metoda băbească. Dăm factor comun pe $\frac{1}{n^2}$ și calculăm suma $1+2+...+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$. Așadar, limita căutată va fi
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot(n+1)}{2n^2}.$$
Simplificăm acum cu $n$ și obținem
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}.$$
Calculând această limită simplă, obținem în final cu metoda băbească rezultatul
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.$$


Să arătăm acum că există o metodă elegantă de a calcula limita cerută, o metodă ce ne scutește de complicații dacă știm să calculăm integrale. Pentru aceasta, ne-a fost dăruită următoarea formulă minunată
$$\large{\color{red}{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx}}.$$

Să vedem cum calculăm atunci limita de mai sus cu formula primită. Trebuie să stabilim doar cum arată $f(x)$ la noi. Noi avem de calculat limita
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}.$$
Această limită va trebui adusă la forma din partea stângă a formulei, ca să putem descoperi cum arată la noi $f(x)$. Așadar, vom muta unul dintre cele două $n$-uri de la numitor în fața sumei și vom obține
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}.$$
Acum luăm expresia de după sumă din limita noastră de calculat și o egalăm cu expresia de după sumă din formulă și obținem
$$\frac{k}{n}=f\left(\frac{k}{n}\right).$$
Dar această egalitate ne spune deja cum arată $f(x)$. Pentru că nu avem decât să înlocuim pe $\frac{k}{n}$ cu $x$ și obținem
$$x=f(x),$$
adică
$$f(x)=x.$$
Cu acestea, limita noastră devine
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}=\int_0^1 x dx=\left.\frac{x^2}{2}\right\vert_0^1=\frac{1}{2}.$$
Deci, am obținut același rezultat ca în cazul obținut cu metoda băbească.


Desigur, metoda elegantă este mult mai utilă, căci poate fi aplicată mult mai multor sume, chiar mai complicate decât exemplul nostru anterior, așa cum este posibil să întâlniți la bac.

duminică, 28 septembrie 2014

Asimptote oblice


După ce am discutat despre asimptotele orizontale și cele verticale, putem acum să povestim despre asimptotele oblice. Aceste asimptote sunt mai interesante decât celelalte (deci, decât cele orizontale sau verticale) deoarece sunt mai generale, adică din ele le putem deduce și pe celelalte.

Adică, dacă am învățat bine asimptotele oblice, atunci știm și asimptote orizontale sau verticale, numai că asimptotele oblice sunt ceva mai grele decât cele orizontale sau verticale. Sunt mai grele deoarece ele ne cer să calculăm nu una, ci două limite.

Un exemplu de funcție care are asimptotă oblică este o fracție de polinoame, la care numărătorul este un polinom cu gradul mai mare cu o unitate decât numitorul (pentru a reține mai bine această șmecherie, faceți legătura cu faptul că numărătorul este un cuvânt mai lung decât numitorul). Dacă gradul numărătorului nu este mai mare decât al numitorului, atunci, așa cum am văzut, fracția va avea asimptotă orizontală.

Un astfel de exemplu este funcția
$$f(x)=\frac{\text{polinom de gradul cinci}}{\text{polinom de gradul patru}}.$$
Această funcție va avea asimptotă oblică.

Dacă o funcție are asimptotă orizontală într-o parte (deci, înspre unul dintre cele două infinituri posibile, cel pozitiv și cel negativ), atunci să nu vă prind că mai căutați și asimptotă oblică în acea parte. Căutați, eventual, în cealaltă parte.

Sau invers: dacă într-o parte ați găsit asimptotă oblică, atunci nu are rost să mai căutați asimptotă orizontală în acea parte, ci doar eventual în cealaltă parte.




Acum să vedem cum se determină o asimptotă oblică pentru o anumită funcție. Spuneam că trebuiesc calculate două limite. Prima limită ne va spune cât de înclinată este asimptota, iar a doua limită ne va spune pe unde trece asimptota, adică pe unde taie axa verticală (axa ordonatelor).



Așadar, prima limită ne va furniza un număr „m” care se numește „panta asimptotei”. Relația dintre acest număr m și unghiul de înclinare este dată de formula
$$m=\tan\alpha,$$
adică panta este tangenta unghiului de înclinare.

Cu cât panta este mai mare, cu atât unghiul de înclinare este mai mare, deci cu atât asimptota este „mai oblică”. Desigur, ne referim aici la valoarea absolută a pantei și a unghiului când spunem „mai mare”.

Să vedem acum limita aceea care ne furnizează panta asimptotei. Iat-o:
$$\large{\color{red}{m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}}.$$
Observați că aici am dat doar limita din partea dreaptă a funcției, ca să nu vă încurc cu prea multe informații deodată, dar la fel de bine puteți căuta asimptota și în partea stângă, punând în limita de mai sus loc de $\infty$ pe $-\infty$.

Totul depinde de ceea ce vi se cere în problemă: dacă vi se va cere să „căutați asimptotele”, atunci va trebui să căutați în ambele părți, dar dacă vi se cere să căutați asimptota doar într-una dintre cele două părți, desigur, nu o veți căuta și în cealaltă parte.



A doua limită, deci cea care ne furnizează locul asimptotei se determină după ce am determinat panta. Aceasta deoarece pentru loc ne trebuie și panta. Locul asimptotei este un număr care se notează cu „n”.

Limita care ne dă locul asimptotei este
$$\large{\color{blue}{n=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]}}.$$




Asta-i tot. Adică, asta-i tot ce vă trebuie pentru asimptotele oblice. Așadar, haideți la un exemplu. Determinați asimptota oblică spre dreapta a funcției
$$f(x)=\frac{3x^2+7}{2x-1}.$$

Avem
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^2+7}{2x-1}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x-1}\cdot\frac{1}{x}.$$
Așadar,
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{(2x-1)\cdot x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}.$$

Dar atunci când am povestit despre limite spre infinit din fracții, noi am aflat că dacă gradele sunt egale, atunci limita căutată este tocmai raportul coeficienților monoamelor principale. Obținem deci
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}=\color{red}{\frac{3}{2}}.$$
Aceasta este panta asimptotei oblice căutate. Ea ne sune că pe un caiet cu pătrățele asimptota urcă 3 pătrățele în timp ce se deplasează spre dreapta cu 2 pătrățele. Altfel spus, cateta verticală este 3, iar cateta orizontală este 2, iar tangenta unghiului de urcare este raportul dintre cateta verticală și cateta orizontală.




Urmează să găsim locul ei. Pentru aceasta vom calcula limita
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{3x^2+7}{2x-1}-\color{red}{\frac{3}{2}}\cdot x\right].$$

Aducem la același numitor și apoi amplificăm
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot(3x^2+7)-3x\cdot(2x-1)}{2\cdot(2x-1)},$$
după care obținem
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2+14-6x^2+3x}{4x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{14+3x}{4x-2}=\color{blue}{\frac{3}{4}}.$$
Așadar, asimptota va tăia axa verticală la trei sferturi de pătrățea pe un caiet cu pătrățele. Graficul funcției va arăta cam așa, în partea dreaptă, spre plus infinit:



Acum avem tot ce ne trebuie pentru a scrie ecuația asimptotei oblice. Dar asta nu înseamnă că am scris-o deja. La bac să scrieți efectiv ecuația, altfel puteți fi depunctați.

Atunci, ecuația asimptotei noastre oblice este
$$y=\color{red}{\frac{3}{2}}x+\color{blue}{\frac{3}{4}}.$$

Observați în final că funcția dată ca exemplu are nu doar asimptotă oblică, ci și asimptotă verticală. Acest lucru este posibil. În schimb, nu este posibil să avem în aceeași parte asimptotă oblică și asimptotă orizontală, așa cum am menționat deja. Rețineți aceste aspecte!

sâmbătă, 27 septembrie 2014

Asimptote orizontale și verticale


Asimptotele pe care le învățați în liceu sunt niște drepte. Punct. Așa că, dacă vi se cere să determinați asimptotele, de fapt vi se cere să determinați niște drepte. Prin urmare, rezultatul trebuie să fie tocmai ecuația unei drepte, nu altceva. Nu un număr, nu un cuvânt, ci ecuația unei drepte.

Există trei feluri principale de asimptote în plan, așa cum există trei feluri principale de drepte în plan. Mai exact, există asimptote (deci, drepte) orizontale, asimptote verticale și asimptote oblice.

Desigur, în ultimă instanță, toate dreptele pot fi considerate ca fiind drepte oblice, doar că unghiul de înclinare poate fi și de 0 grade și poate fi și de 90 de grade. Așadar, am putea spune că asimptotele oblice sunt cele mai importante.

Cu toate acestea, noi vom discuta aici numai despre cazul particular de asimptote oblice în care unghiul este 0 grade (asimptote orizontale) sau 90 de grade (asimptote verticale), lăsând discuția despre asimptotele oblice pentru altă ocazie.

Totuși, încă nu v-am spus cu adevărat ce sunt asimptotele. V-am spus că ele sunt niște drepte, dar nu v-am spus încă de ce nu ne mulțumim să le spunem în continuare doar „drepte” și ne încăpățânăm să facem pe deștepții și le spunem așa pompos „asimptote”. Ei bine, le spunem „asimptote” pentru că ele sunt niște drepte mai speciale, niște drepte de care se apropie necontenit graficul unei funcții.

Un exemplu bun de funcție al cărei grafic ne scoate bine în evidență asimptotele este funcția $f(x)=\frac{1}{x}$. Graficul acestei funcții este următorul:



Observați că graficul acestei funcții (cel desenat cu albastru) se apropie de două drepte care apar în desen cu linie punctată. Una dintre aceste drepte este o dreaptă orizontală (de la stânga la dreapta), iar cealaltă dreaptă este verticală (de jos în sus).

Dar cum adică „se apropie”? Ce înseamnă că graficul se apropie de o anumită dreaptă, de o anumită asimptotă? Înseamnă că pentru o anumită valoare limită a parametrului $x$, graficul funcției date devine tocmai identic cu asimptota respectivă.

Altfel spus, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ putem scrie întotdeauna egalitatea între ecuația graficului funcției (care este exprimată prin $y=f(x)$) și ecuația dreptei asimptote (care este exprimată în general prin $y=mx+n$). Deci, pentru valorile asimptotice ale lui $x$ avem întotdeauna
$$f(x)=mx+n.$$

În cazul funcției noastre, dacă parametrul $x$ devine infinit (sau minus infinit), funcția devine $y=f(\pm\infty)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\pm\infty}=0$. Dar ecuația $y=0$ reprezintă tocmai ecuația dreptei orizontale OX, așadar, această dreaptă este asimptota orizontală a funcției date, atât către $\infty$, cât și către $-\infty$.

În general, vă puteți da seama „din ochi” cam ce asimptotă va avea o funcție dacă ea este reprezentată de o fracție de polinoame. Pentru aceasta comparați gradul numărătorului cu gradul numitorului. Dacă cele două grade sunt egale sau gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului, atunci fracția are asimptotă orizontală.




Acum povestim despre asimptota verticală a funcției. Ecuația unei asimptote verticale este întotdeauna de forma $x=un număr$. Acel număr se găsește studiind unde devine infinită (sau minus infinită) funcția.

Așadar, asimptota verticală este un fel de inversă a asimptotei orizontale, căci în timp ce în cazul asimptotei orizontale cel care era infinit era parametrul $x$, în cazul asimptotei verticale, cel care trebuie să fie infinit este parametrul $y=f(x)$.

Deci, pentru a găsi asimptota verticală în cazul funcției noastre trebuie să găsim acel număr care pus în locul lui $x$ face ca funcția să fie infinită sau minus infinită. Care o fi acest număr? Când devine infinită o fracție de forma $\frac{1}{x}$? Bineînțeles, atunci când numitorul se anulează.

Prin urmare, ecuația asimptotei verticale corespunzătoare funcției noastre dată ca exemplu este $x=0$, căci dacă punem în locul lui $x$ valoarea 0 în expresia funcției $\frac{1}{x}$ obținem valoarea $\pm\infty$.

vineri, 26 septembrie 2014

Pătratul unui număr care se termină cu 5


Mi-am amintit de o șmecherie faină și doresc să v-o împărtășesc repede și vouă. Este vorba despre înmulțirea cu el însuși a unui număr ce se termină cu 5. De exemplu, vreau să știu rapid cât este $75\cdot 75$. Șmecheria este să luăm toată partea din fața lui 5 (în cazul nostru, îl luăm pe 7) și să o înmulțim cu numărul care urmează imediat după el (în cazul nostru, după 7 urmează imediat 8), iar după rezultat să punem $\color{blue}{25}$.

Așadar, în cazul nostru, vom avea $7\cdot 8=\color{red}{56}$, deci $75\cdot 75=\color{red}{56}\color{blue}{25}$.

Desigur, asta este valabil și pentru un număr de trei cifre, nu doar pentru unul cu două precum a fost 75. De exemplu, $125\cdot 125$ este $12\cdot 13=\color{red}{156}$, după care punem 25, așadar, $125\cdot 125=\color{red}{156}\color{blue}{25}$.



Să vedem și o mică demonstrație a acestui fapt drăguț. În general, dacă pornim cu un număr de forma $a\cdot 10+5$ și vrem să-l ridicăm la pătrat, vom avea conform formulei $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
$$(a\cdot 10+5)^2=(a\cdot 10)^2+2\cdot a\cdot 10\cdot 5+5^2.$$
Așadar, făcând niște calcule, obținem
$$(a\cdot 10+5)^2=a^2\cdot+a\cdot 100+25=a(a+1)\cdot 100+25.$$
Ultimul rezultat reprezintă demonstrația căutată.

joi, 25 septembrie 2014

Derivata ne ajută să înțelegem monotonia unei funcții


Dacă reușim să calculăm derivata unei funcții, atunci găsim o mulțime de informații. De exemplu, dacă știm că derivata unei funcții este mereu pozitivă pe o anumită porțiune din mulțimea numerelor reale (porțiune care se numește interval), atunci știm și despre funcția respectivă (deci, despre cea nederivată) că este mereu crescătoare. Și, desigur, acolo unde derivata este mereu negativă, funcția este mereu descrescătoare.

Pentru o funcție crescătoare, la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mare, iar la o funcție descrescătoare este invers, adică la un $x$ din ce în ce mai mare îi corespunde un $y$ din ce în ce mai mic.



Așadar, pentru o funcție crescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{red}{\geq 0}$$
va avea mereu semnul plus pentru că cele două diferențe vor avea mereu același semn.


În schimb, pentru o funcție descrescătoare, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{blue}{\leq 0}$$
va avea mereu semnul minus pentru că cele două diferențe vor avea mereu semn contrar.




Și cum derivata nu este altceva decât tocmai o limită de asemenea fracții, reiese astfel de ce semnul derivatei ne dă informații despre monotonia funcției.





Dar, oare ce se întâmplă acolo unde derivata nu e nici pozitivă și nici negativă (sau e și pozitivă și negativă, cum preferați), deci este nulă? Cum va fi funcția acolo? Păi, încercăm să deducem logic: pe intervalul pe care derivata este nulă, funcția nu va fi nici crescătoare și nici descrescătoare, ci va avea mereu aceleași valori peste tot, adică va fi constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa OX.

Observăm atunci că pentru o funcție constantă, o fracție în care punem la numărător o diferență cu valorile lui $y$, iar la numitor o diferență cu valorile lui $x$, deci o fracție de forma
$$\frac{y\text{ mai mare}-y\text{ mic}}{x\text{ mai mare}-x\text{ mic}}\color{limegreen}{= 0}$$
va avea mereu valoarea nulă pentru că numărătorul ei va fi mereu nul.

Așadar, putem concluziona următoarele:

  • Dacă derivata unei funcții este pozitivă (și nenulă) pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este (strict) crescătoare pe acel interval;
  • Dacă derivata unei funcții este negativă (și nenulă) pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este (strict) descrescătoare;
  • Dacă derivata unei funcții este nulă pe un anumit interval, atunci putem trage liniștiți concluzia că funcția respectivă este constantă.
Parantezele de mai sus se corespund, adică dacă derivata funcției este pe deasupra și nenulă, atunci funcția este strict monotonă (deci, strict crescătoare sau strict descrescătoare, deci doar în urcare sau doar în coborâre). Altfel, funcția poate fi și constantă pe undeva, nu doar în urcare sau în coborâre.

miercuri, 24 septembrie 2014

Derivata este o limită


Să presupunem că ni se cere să găsim care este derivata funcției $f(x)=x^2$. Noi știm că răspunsul este simplu, adică $2x$, dar vrem să scoatem clar în evidență modul în care se obține acest răspuns.

Există două definiții echivalente ale derivatei. Una se scrie astfel

$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$

iar a doua se scrie

$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

A doua derivată se obține din prima dacă înlocuim în prima definiție peste tot unde vedem $ceva$ cu $x$ și peste tot unde a fost $x$ în prima definiție înlocuim cu $x+h$.



Eu prefer să folosesc acum cea de-a doua definiție, pentru că obțin direct rezultatul cu $x$, nu cu $ceva$. Folosind  a doua definiție, vom arăta că
$$(x^2)^\prime=2x.$$

Să trecem la treabă. Funcția noastră pe care trebuie s-o derivăm este, deci, $f(x)=x^2$. Definiția ne spune că
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Deci, vom înlocui în cazul nostru peste tot unde vedem $f(x)$ cu $x^2$ și peste tot unde vedem $f(x+h)$ cu $(x+h)^2$. Așadar,
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$

Dar din formulele de calcul prescurtat noi știm că $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$. Deci, calculul nostru devine
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}.$$

Dar se observă că la numărător se reduce $x^2$ cu $-x^2$, deci rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}.$$

Cum această limită este în continuare un caz exceptat de tipul $\frac{0}{0}$, rezultă că trebuie să prelucrăm cumva mai departe expresia $\frac{2xh+h^2}{h}$ ca să scăpăm de cazul exceptat.

Pentru aceasta, vom observa că putem da factor comun pe $h$ în expresia $2xh+h^2$. Astfel, calculul nostru devine acum
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{h\cdot(2x+h)}{h}.$$
Acum putem simplifica fracția noastră cu $h$ și ne rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}(2x+h)$$
care nu mai este caz exceptat. Mai exact, trecând la limită și egalându-l acum pe $h$ cu $0$ fără frica de a mai obține vreun caz exceptat, obținem
$$\large{\color{red}{(x^2)^\prime}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=\color{red}{2x}}.$$

Ați văzut aici, așadar, un exemplu simplu care arată în ce mod derivata este o limită.

marți, 23 septembrie 2014

Formula de integrare prin părți rezultă dintr-o formulă de derivare


Ieri vă povesteam cum integrala și derivata „se simplifică” reciproc. Am făcut-o pentru că am avut în minte un gând pentru articolul de astăzi. Căci, vom vedea azi că această formulă de simplificare ne ajută să înțelegem mai bine formula integrării prin părți și ne ajută să ne-o amintim mai ușor la bac dacă din cauza emoțiilor s-ar putea să nu fiți siguri de vreun semn sau ceva.

Așadar, să recapitulăm un pic. Avem nevoie de două lucruri de bază:
formula $$\int(f)^\prime=f$$
și implicația conform căreia din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$ (unde am omis să ne mai strofocăm cu constanta și cu $dx$, ca să se rețină esența).



Acum, haideți să ne amintim de formula de derivare a produsului a două funcții, care ne spune
$$\large{\color{blue}{(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime}}.$$


Ok. Dar, dacă din egalitatea $f=g$ rezultă egalitatea $\int f=\int g$, înseamnă că și din egalitatea
$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime$$
va rezulta egalitatea
$$\int(f\cdot g)^\prime=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime),$$
unde am pus în paranteză expresia din dreapta ca să se înțeleagă că integrarea se face pentru tot termenul din dreapta egalității.


Mai departe, din faptul că $\int(f)^\prime=f$, obținem că
$$\int(f\cdot g)^\prime=f\cdot g.$$

Înseamnă că putem scrie fără integrală în partea stângă a egalității și avem
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime).$$


Păi, suntem aproape gata. Mai avem de împrăștiat semnul integralei la cei doi termeni, căci $\int(u+v)=\int u+\int v$. Obținem, deci,
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime).$$

Dar aceasta este tocmai formula de integrare prin părți, numai că nu este aranjată așa cum se învață la școală. Haideți să ajungem la forma sub care se învață la școală.

Știm că din $a=b$ rezultă și că $b=a$, căci egalitatea este, evident, comutativă. Așadar, din
$$f\cdot g=\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)$$
rezultă
$$\int(f^\prime\cdot g)+\int(f\cdot g^\prime)=f\cdot g.$$

Acum nu ne mai rămâne decât să aruncăm o integrală din stânga în dreapta, unde va ajunge cu semn schimbat, desigur. Pe care vreți s-o aruncăm în dreapta? Căci o putem arunca pe oricare. Eu prefer să o aruncăm pe a doua, deci vom obține
$$\int(f^\prime\cdot g)=f\cdot g-\int(f\cdot g^\prime).$$

În fine, vom scrie formula fără paranteze ca să aveți cât mai puține semne de memorat, concentrându-vă la esențe, și ne vom întipări formula finală de integrare prin părți pe care acum sper că o vedeți cu alți ochi
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$

luni, 22 septembrie 2014

Derivata și integrala "se simplifică" reciproc


Vă povesteam prin 31 august care este relația dintre primitiva $F$ a unei funcții $f$ și funcția însăși. Mai exact, știți că avem formula banală
$$F^\prime=f.$$

De asemenea, mai știm că dacă două funcții sunt egale, deci $f=g$, atunci și integralele lor sunt egale, adică $\int f=\int g$, bineînțeles, fără să uităm de constanta de integrare care face diferența dintre două primitive ale aceleiași funcții.

Mai întâi să înțelegem bine ce ne spune formula $F^\prime=f$ și faptul că egalitatea $f=g$ implică egalitatea $\int f=\int g$. Mai exact, din egalitatea $F^\prime=f$ putem trage și concluzia că $\int(F^\prime)=\int f$.

Dar, din definiția funcției $F$ ca fiind o primitivă a funcției $f$, știm că $\inf f=F$. Deci, putem scrie atunci mai departe că că $\int(F^\prime)=\int f=F$. Luând începutul și sfârșitul acestei egalități obținem, de fapt
$$\int(F^\prime)=F.$$

Dar această formulă nu depinde de litera pe care o folosim pentru $F$. Așa că putem scrie și
$$\int(f^\prime)=f$$
sau chiar
$$\int(g^\prime)=g,$$
adică orice literă ne trece nouă prin cap. Și atunci noi vom prefera să rescriem această formulă pentru litera $f$, care este o literă mai folosită. Deci, avem relația deosebită:
$$\large{\color{red}{\int(f^\prime)=f}}.$$
Bineînțeles, nu ne-am bătut capul nici cu constanta irelevantă aici și nici cu semnul $dx$ pe care voi trebuie să le scrieți mereu. Noi am scos aici în evidență doar esența acestei relații importante.




Exemplu

Haideți să vedem treaba asta pe un exemplu. Să vedem dacă relația este adevărată pentru o anumită funcție simplă a cărei integrală o cunoaștem bine, de exemplu, pentru funcția $f=x^2$. Adică, să vedem dacă
$$\int (x^2)^\prime dx=x^2.$$

Pentru aceasta, avem de făcut puțină muncă. Adică, întâi trebuie să derivăm pe $x^2$, după care să calculăm integrala din rezultat. Haideți să vedem. De la derivate știți că avem
$$(x^2)^\prime=2x.$$
Așadar, trebuie să integrăm pe $2x$, deci calculăm $\int 2x dx$.

Această integrală este ușor de calculat dacă știm că constanta iese în față și dacă știm formula
$$\int x^8 dx=\frac{x^9}{9},$$
pardon (că asta nu-i „formulă”), dacă știm formula
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.$$

Deci,
$$\int 2x dx=2\int x dx=2\int x^1 dx=2\cdot\frac{x^2}{2}=x^2.$$

Iată, deci, că putem spune că
$$\color{blue}{\int (x^2)^\prime dx}=\int 2x dx=\color{blue}{x^2}.$$

Iată, așadar, o grămadă de lucru pentru o nimica toată, când puteam observa de la bun început rezultatul. Tocmai de aceea, aveți mare grijă când întâlniți o asemenea integrală din ceva ce trebuie derivat; nu vă mai chinuiți să derivați după care să integrați derivata, ci pur și simplu scrieți rezultatul direct (cu adăugarea la sfârșit a constantei de integrare, pentru profesorii care nu se mulțumesc cu esența răspunsului).

duminică, 21 septembrie 2014

Limite de fracții mai generale cu infinit pe infinit


În materialul precedent vorbeam despre o limită simplă în care $x$ tindea spre $\infty$. De ce era ea simplă? Pentru că, atât la numărător, cât și la numitor, am avut câte un polinom amărât de gradul întâi. Și am aflat acolo că e ceva cu raportul coeficienților.

Vrem să clarificăm acum ce se întâmplă cu acest raport al coeficienților, în general, când ne permitem libertatea să ne jucăm în fracțiile noastre cu orice fel de polinom, atât la numărător, cât și la numitor.

Știm că orice polinom poate fi scris în forma canonică, adică forma în care începem cu monoamele de gradul cel mai mare și continuăm frumos cu monoamele de grad din ce în ce mai mic. De exemplu, forma canonică a polinomului $x+3x^2-2x^3+1$ este $-2x^3+3x^2+x+1$. Deci, monomul de gradul cel mai mare în cazul nostru este $-2x^3$. Acesta este monomul principal al polinomului.

În calculul limitelor noastre nu vom avea nevoie de altceva, decât de monomul principal al fiecăruia dintre polinoamele care apar la numărător, respectiv, la numitor. Haideți să vedem.




Cazul gradelor egale


Să presupunem că ni se cere să calculăm următoarea limită

$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}.$$

Observați că nici numărătorul și nici numitorul nu sunt aranjați frumos în ordine canonică, începând cu gradul cel mai mare. Nicio problemă. Nu ne speriem noi de așa ceva. Dimpotrivă, vom căuta cu grijă unde se află monomul de gradul cel mai mare la numărător și la numitor și vom avea „nesimțirea” să nu mai băgăm în seamă celelalte monoame!

Altfel spus, limita raportului dintre cele două polinoame se reduce drastic la limita raportului monoamelor principale. Așadar, avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5\color{red}{+3x^6}-2x+1}{3x\color{red}{-x^6}+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{\color{red}{+3x^6}}{\color{red}{-x^6}}.$$

Iar de aici încolo știți să mergeți mai departe, nu-i așa? Căci nu vă rămâne decât să simplificați fracția $\frac{+3x^6}{-x^6}$ cu $x^6$ și obținem că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^5+3x^6-2x+1}{3x-x^6+2+4x^2-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^6}{-x^6}=\frac{3}{-1}=-3.$$





Cazul gradelor diferite



Cazul gradului mai mare la numărător


Mai rămâne să vedem ce facem în cazul în care gradele monoamelor principale de la numărător și numitor sunt diferite, nu egale, cum era în cazul simplu de mai sus. Oare credeți că în acest caz se modifică ceva? Nici vorbă! Dimpotrivă, în acest caz, după simplificare, nici măcar nu mai obținem caz exceptat!

Să luăm repede un exemplu clar. Fie de calculat limita
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}.$$

Căutăm, desigur, monoamele principale ale celor două polinoame și avem
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5\color{red}{+3x^8}-5x}{12x^3+6x^6+2\color{red}{-4x^7}-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x^8}{-4x^7}.$$
Simplificăm cu $x^7$ și avem, deci
$$\lim_{x\to\infty}\frac{9x^4-7x^5+3x^8-5x}{12x^3+6x^6+2-4x^7-8x^4}=\lim_{x\to\infty}\frac{+3x}{-4}=-\infty.$$


Cazul gradului mai mare la numitor


Ce credeți că am fi obținut dacă gradul mai mare era la numitor? Păi, ia imaginați-vă că ați primi să calculați limita fracției răsturnate de mai sus. Ce ați obține? Nimic altceva decât răsturnatul lui $-\infty$, adică $\frac{1}{-\infty}$, adică $0$.

O mică concluzie, deci:

  • Dacă la numărător gradul este mai mare, atunci obținem ca limită ceva cu infinit (poate fi minus infinit);
  • Dacă la numitor gradul este mai mare, atunci obținem ca limită zero.
Mult spor s-aveți!

sâmbătă, 20 septembrie 2014

Un exemplu simplu cu limite de fracții în cazul infinit pe infinit


Acest articol vine ca o continuare firească a celui anterior. Arătăm aici cum se calculează o limită de fracții polinomiale în cazul în care, după înlocuirea imediată a lui $x$, obținem cazul exceptat $\frac{\infty}{\infty}$.

Un exemplu simplu de asemenea limită, în care am ales niște coeficienți cât mai diferiți pentru ca elevul să observe legăturile, este

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2\cdot\infty+3}{4\cdot\infty-5}=\frac{\infty}{\infty}.$$

Cum asemenea limite nu se pot calcula direct prin înlocuire, ci trebuie prelucrate, vom căuta să modificăm ceva la expresia noastră
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
astfel încât să scăpăm de nedeterminare.

Atunci, în ipoteza că nu avem voie să folosim regula lui l'Hôpital, pentru a scăpa de infinit vom încerca să vedem ce se întâmplă dacă simplificăm cu „infinit”, adică dacă simplificăm cu $x$ înainte de a-l înlocui cu $\infty$.

Pentru a putea simplifica fracția
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
cu $x$ suntem nevoiți să-l dăm factor forțat pe $x$, atât la numărător, cât și la numitor, căci doar așa vom putea simplifica cu $x$.

Obținem atunci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{x\cdot 2+x\cdot\frac{3}{x}}{x\cdot 4-x\cdot\frac{5}{x}}=\frac{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}{x\left(4-\frac{5}{x}\right)}}.$$
Simplificând apoi cu $x$, obținem deci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}}.$$
Prin urmare, limita noastră devine atunci
$$\large{\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{2+\frac{3}{\infty}}{4-\frac{5}{\infty}}}.$$

Dar noi știm că 
$$\frac{1}{\infty}=\frac{oricenumărfinit}{\infty}=0.$$
Așadar, limita noastră devine în final
$$\large{\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{\infty}}{4-\frac{5}{\infty}}=\frac{2+0}{4-0}=\frac{2}{4}}.$$

Observați ceva interesant la rezultat? Am obținut că, limita este tocmai raportul coeficienților lui $x$, indiferent de ceea ce există în rest la numărător sau la numitor. Această consecință este cât se poate de generală. Vom vedea într-un material ulterior că limitele cu fracții polinomiale au ca rezultat raportul coeficienților ce apar în fața monoamelor de gradul maxim.

vineri, 19 septembrie 2014

Limite de fracții în cazul zero pe zero


Desigur că titlul este oarecum vag, deoarece putem face fracție cu orice funcție. De exemplu, putem scrie că $f(x)=\frac{f(x)}{1}$ și asta ar însemna că articolul nostru ar trebui să discute despre orice fracție posibilă.

Desigur, nu-i chiar așa, iar un începător nu va fi atât de pretențios. Dimpotrivă, când va auzi „limite de fracții” el se va gândi că este vorba despre limite cu fracții polinomiale. Și va avea dreptate. Căci asemenea limite merită o discuție separată.

Așadar, dăm întâi un exemplu de limită cu fracție polinomială
$$\lim_{x\to 5}\frac{x-6}{2x-7},$$
ca să ne asigurăm că elevul înțelege bine la ce fel de fracții ne referim.

Limita dată în exemplul nostru este simplă și se poate calcula ușor prin înlocuirea lui $x$ cu 5. Dar există probleme atunci când ajungem la cazuri exceptate, precum $\frac{\infty}{\infty}$ sau $\frac{0}{0}$ despre care am povestit în articolul precedent. Noi aici ne vom ocupa deocamdată doar cu acest ultim caz exceptat, $\color{red}{\frac{0}{0}}$.

Să dăm, deci, un exemplu de limită în care apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$. Să calculăm, de pildă
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}.$$

Observați că dacă înlocuim pe $x$ cu 3 (așa cum se cuvine pentru început), obținem
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{3^2-7\cdot 3+12}{3-3}=\frac{0}{0},$$
deci caz exceptat.

Ce facem când ajungem la un caz exceptat, vă mai amintiți? Prelucrăm expresia înainte de a face înlocuirea. Bine, bine, dar ce am putea prelucra noi la această expresie?

De regulă, la asemenea limite, numărătorul se împarte exact cu numitorul și rezultă un polinom mai simplu decât numărătorul. Prin împărțire scăpăm de fracție, deci scăpăm și de cazul exceptat. Dacă știți să împărțiți polinoame, atunci puteți face direct împărțirea numărătorului la numitor și obțineți

$\begin{array}{ ll | l }

x^2&-7x+12&x-3 \\
\hline
-x^2&+3x &\color{red}{x-4}\\
\hline
=&\underline{-4x+12}&\\
&\underline{+4x-12}&\\
&=====&\\
\end{array}$.

Dacă nu vă mai amintiți cum se face împărțirea polinoamelor, atunci trebuie să vă amintiți măcar următoarea șmecherie cu factorul comun prin care trebuie să facem ceva cu numărătorul în așa fel încât să aibă legătură cu numitorul. Mai exact, scriem numărătorul astfel
$$x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3).$$
Observați că am prelucrat numărătorul în așa fel încât să dăm factor comun și să apară numitorul în paranteze. Astfel, mai dăm o dată factor comun tocmai numitorul și obținem
$$x^2-7x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)\color{red}{(x-4)}.$$

O altă șmecherie pe care o puteți folosi este să căutați rădăcinile polinomului de la numărător. Cum polinomul de la numărător are gradul doi, putem calcula delta
$$\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$
Atunci, rădăcinile vor fi
$$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1},$$
deci $x_1=3$ și $x_2=4$. În acest caz, rădăcinile ne spun că polinomul nostru de gradul doi $x^2-7x+12$ poate fi scris ca un produs de polinoame de gradul întâi
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Dacă nu știți nici împărțirea polinoamelor, nici șmecheria cu factorul comun și nici măcar legătura dintre rădăcinile unui polinom și descompunerea acestuia în paranteze, dar vă mai amintiți, totuși, regula lui l'Hôpital, atunci sunteți câștigați, căci cu această regulă puteți calcula orice limite de fracții polinomiale. Problema este că regula lui l'Hôpital poate fi folosită doar atunci când este permisă utilizarea derivatei (cum este cazul la bac), iar derivatele se învață după limite, căci însăși derivata este o limită. Așa că, până la urmă, va trebui să învățați împărțirea polinoamelor, șmecheria cu factorul comun sau descompunerea cu parantezele.

Așadar, presupunând că printr-una dintre metode am reușit să obținem rezultatul împărțirii polinomului de la numărător cu polinomul de la numitor, am ajuns în situația în care putem scrie
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-4)=3-4=-1,$$
acesta fiind răspunsul căutat în cazul limitei noastre.

joi, 18 septembrie 2014

Toate cazurile exceptate sunt echivalente între ele


Am văzut deja două cazuri de nedeterminare în calculul limitelor. Era vorba despre cazurile
$$\frac{\infty}{\infty}$$ și $$\frac{0}{0}.$$

Să arătăm întâi că aceste două cazuri de nedeterminare (sau cazuri exceptate) sunt echivalente, adică pot fi deduse unul dintr-altul. Am văzut într-un material precedent că
$$\frac{1}{\infty}=0.$$

Așadar, din $\frac{0}{0}$ putem obține

$$\color{red}{\frac{0}{0}}=\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}=\frac{1}{\infty}\cdot\frac{\infty}{1}=\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}.$$



Acum să mai observăm că o operație făcută cu o nedeterminare ne duce tot la o nedeterminare.

De exemplu, dacă înmulțim numărul 5 cu o nedeterminare $\frac{\infty}{\infty}$ obținem nedeterminarea
$$5\cdot\frac{\infty}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$

La fel, dacă înmulțim numărul 8 cu o nedeterminare $\frac{0}{0}$ obținem nedeterminarea
$$8\cdot\frac{0}{0}=\frac{0}{0}.$$

Dacă ridicăm numărul 7 la o putere nedeterminată, vom obține tot o nedeterminare. Sau dacă vom logaritma o nedeterminare vom obține tot o nedeterminare.



Atunci haideți să vedem dacă $\infty\cdot 0$ este nedeterminare. Cum putem pune mereu în loc de 0 expresia $\frac{1}{\infty}$, avem că
$$\color{red}{\infty\cdot 0}=\infty\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Așadar, $\infty\cdot 0$ este și ea o nedeterminare.


Dar și $\infty-\infty$ este o nedeterminare, căci am putea da ca „factor comun” pe $\infty$, și am obține
$$\color{red}{\infty-\infty}=\infty\cdot(1-1)=\infty\cdot 0.$$


Logaritmând $\color{red}{1^{\infty}}$ și folosindu-ne de o proprietate a logaritmilor, obținem
$$\ln(1^{\infty})=\infty\ln 1=\infty\cdot 0,$$
deci, nedeterminare.


Sau,
$$\color{red}{0^0}=0^{1-1}=\frac{0}{0},$$
nedeterminare.
La fel
$$\color{red}{\infty^0}=\infty^{1-1}=\frac{\infty}{\infty},$$
altă nedeterminare.

Concluzia este că dacă știți bine că $\color{red}{\frac{\infty}{\infty}}$ este nedeterminare, atunci obțineți toate celelalte nedeterminări

$\color{red}{\frac{0}{0}}$, $\color{red}{\infty\cdot 0}$, $\color{red}{\infty-\infty}$, $\color{red}{1^{\infty}}$, $\color{red}{0^0}$ și $\color{red}{\infty^0}$.

Nu uitați aceste nedeterminări (sau cazuri exceptate), căci ele vă obligă să prelucrați expresia de sub limită înainte de înlocuire.

miercuri, 17 septembrie 2014

Nu orice limită poate fi calculată prin simpla înlocuire


În materialele precedente am văzut că anumite limite simple se pot calcula prin simpla înlocuire a variabilei $x$ cu constanta spre care tinde această variabilă. De asemenea, am văzut că dacă variabila tinde spre infinit, limita se complică puțin, dar chiar și în acest caz ea poate fi calculată în situații obișnuite tot prin simpla înlocuire.

Vom arăta acum că există situații extraordinare în care simpla înlocuire nu ne mai ajută. Să începem cu un exemplu. Vrem să calculăm
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}.$$

Prin simpla înlocuire am obține că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\frac{\infty}{\infty}.$$

Dar noi știm că $\frac{5}{5}=1$, deci și în cazul nostru am fi tentați să scriem că rezultatul este 1. Dar, vai, noi știm că $2\cdot\infty=\infty$, așadar, am putea scrie fără să greșim că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\frac{2\cdot\infty}{\infty}.$$

Acest ultim rezultat ar părea să fie nu 1, ci 2, ceea ce este contradictoriu. Ce ne facem atunci? Ce număr alegem pentru această limită, 1 sau 2?

Păi, nu știm ce să alegem. Suntem indeciși. Suntem în fața unei nedeterminări. Ea ne spune că nu orice limită poate fi rezolvată prin simpla înlocuire. Asemenea nedeterminări trebuie evitate cumva. Cum le-am putea evita? Cum am putea evita nedeterminarea din cazul limitei noastre?

Avem o singură soluție: să nu sărim direct să înlocuim variabila $x$ cu $\infty$, ci să încercăm să prelucrăm expresia înainte de a înlocui.

În cazul nostru concret vom face simplificarea fracției cu variabila $x$ înainte de înlocuirea cu $\infty$ și vom obține
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x}=\lim_{x\to\infty}1=1.$$

Iată, deci, că prelucrarea expresiei ne scapă de nedeterminarea $\frac{\infty}{\infty}$ și ne dă un rezultat simplu în care nu ne mai chinuim.




Ei bine, problema este că nu doar expresia $\frac{\infty}{\infty}$ este nedeterminare, ci și spre exemplu expresia $\frac{0}{0}$. Aceasta se întâmplă deoarece avem $0=2\cdot 0$, deci putem fi la fel de îndreptățiți să scriem  „egalitatea” ciudată
$$\frac{0}{0}=\frac{2\cdot 0}{0}.$$

Așadar și $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare și trebuie să o evităm prin prelucrarea expresiei înainte de înlocuire.

Vom vedea în materialul următor nu doar că mai sunt o grămadă de alte cazuri de nedeterminare, ci și că toate cazurile de nedeterminare sunt echivalente între ele.

marți, 16 septembrie 2014

Limită când x tinde la infinit din unu pe x


Am văzut în materialul anterior cum se calculează o limită dintre cele mai simple posibile, pe care le poate calcula chiar și un elev de gimnaziu.

Vom face acum un pas suplimentar, către o limită pentru care nu sunt suficiente cunoștințele pe care le poate obține un elev obișnuit la gimnaziu. Este vorba despre limita din titlu, care se scrie simbolic astfel
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.$$

Ați văzut în materialul precedent că pentru calculul limitelor se începe cu înlocuirea. Adică, cu înlocuirea lui $x$ cu numărul spre care tinde el. În cazul nostru, începem prin înlocuirea lui $x$ cu $\infty$ și obținem, deci, că
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}.$$
Înlocuirea o poate face și elevul de gimnaziu, că nu este mare lucru. Că doar nu va pune în locul lui $x$ cine știe ce altă valoare diferită de $\infty$. Deci nu este problema cu înlocuirea. Problema este cu mersul mai departe după înlocuire. Mai exact, elevul de gimnaziu nu știe cât este $\frac{1}{\infty}$.

Dar, dacă cumva ne urmărește un elev de gimnaziu acum (fiți siguri că ne urmărește :)  ), el va afla aici cât este $\frac{1}{\infty}$. Nu vom da răspunsul din prima, ci vom face întâi un mic raționament cu o pâine.

Imaginați-vă că vă duceți cu o pâine într-un loc cu oameni amărâți și flămânzi, precum sunt în Africa. Și doriți să împărțiți acea pâine în mod egal la cât mai mulți oameni. Dacă dați toată pâinea unui singur om, atunci el o va primi pe toată, dar ceilalți vor privi supărați și ne vor acuza de nedreptate.

Dacă doriți să împărțiți pâinea la doi oameni, atunci fiecare va primi doar o jumătate de pâine, dar măcar vor fi doi pe care i-ați hrănit.

Desigur, putem împărți pâinea și la patru oameni, caz în care ei vor primi fiecare câte un sfert de pâine.

Dacă o vom împărți la zece oameni, atunci fiecare va primi doar o zecime de pâine. Așadar, cu cât împărțim în mod egal pâinea la mai mulți oameni flămânzi, cu atât fiecare om va primi o bucățică mai mică de pâine.

Desigur, putem ajunge să ne imaginăm cât va primi fiecare om dacă am împărți o pâine la un milion de oameni flămânzi. Sau chiar la un miliard. Are o pâine un miliard de firimituri? Mă îndoiesc. Sau, cel puțin, firimiturile ar deveni invizibile cu ochiul liber.




Și acum vine întrebarea fundamentală: cât ar primi un om dacă am împărți pâinea la o infinitate de oameni?

Am văzut că bucățile de pâine și firimiturile se micșorează pe măsură ce oamenii se înmulțesc. Și cum această tendință nu are de ce să se schimbe pe măsură ce numărul de oameni devine din ce în ce mai mare, rezultă că și bucata de pâine primită de un om va fi din ce în ce mai mică.

Și atunci, pasul următor este să extrapolăm. Adică, admitem că dacă numărul oamenilor este infinit de mare, atunci firimiturile sunt infinit de mici. Dar „infinit de mic” înseamnă zero! Numai zero este infinit de mic. Firimituri mai mici decât cele de volum zero nu există.

Obținem atunci ceva foarte interesant, profund, filozofic, ceva care contravine oarecum bunului simț și nu-i permite elevului de gimnaziu să înțeleagă o asemenea subtilitate. Obținem că dacă împărțim o pâine la o infinitate de oameni, atunci aceștia nu mai primesc nimic din ea.

Așa că mai bine împărțiți o pâine la un număr mai mic de oameni, căci măcar așa veți fi siguri că ei primesc ceva din pâinea respectivă.

După acest raționament ciudat, vom scrie că
$$\large{\color{red}{\frac{1}{\infty}=0}}.$$

Este o relație despre care se crede că un elev de gimnaziu n-o poate înțelege, motiv pentru care limitele se predau doar la liceu. Căci, elevul de gimnaziu ar putea să calculeze (prin înlocuire) eventual doar limite extrem de simple, în care nu se lucrează cu infiniți, ci se înlocuiește $x$ cu numere obișnuite. Doar că asemenea limite banale sunt aproape inutile.

Așadar, voi să nu uitați niciodată (cel puțin până la bac :) ) că limita din titlu este

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}=0.$$

luni, 15 septembrie 2014

Cele mai simple limite




Limitele sunt „ziduri” care nu pot fi depășite. De exemplu limită când $x$ tinde la infinit din  fracția $\frac{x}{x+1}$ este numărul $1$. Așadar, în acest caz, $1$ este zidul pe care nu îl poate depăși niciodată fracția $\frac{x}{x+1}$.

Dacă în locul lui $x$ începem să punem întâi 0, obținem că fracția va fi $\frac{0}{0+1}=0$. Apoi, continuăm cu 1 și obținem că fracția va fi $\frac{1}{1+1}=0,5$. Mai departe, dacă în locul lui $x$ vom pune 2, atunci obținem $\frac{2}{2+1}=0,66666...$. Dacă în locul lui $x$ vom pune 3, vom obține ca rezultat un număr și mai mare, adică $\frac{3}{3+1}=0,75>0,66666>0,5$.

Așadar, pe măsură ce în locul lui $x$ punem numere din ce în ce mai mari, crește și rezultatul fracției $\frac{x}{x+1}$. Cu toate acestea, există un „zid” de netrecut pentru această fracție, oricât de mare ar fi numărul pus în locul lui $x$, iar acest zid este tocmai numărul 1 și se poate spune că limita spre infinit a fracției date este 1.




Se pune problema cum găsim asemenea ziduri. De unde știm noi că numărul 1 este zid pentru fracția $\frac{x}{x+1}$?

Dacă știi derivate, atunci răspunsul este foarte des destul de simplu, căci există de exemplu regula lui l'Hôpital pe care o poți folosi cu brio într-un asemenea caz.

Problema este că însăși derivata este și ea o limită și tocmai de aceea întâi se învață limite și apoi se învață derivate. Din acest motiv, noi vom evita acum deocamdată folosirea derivatelor pentru calculul limitelor și vom povesti mai degrabă de alte metode, mai concrete.


În general, pentru a calcula o limită de genul

$$\lim_{x\to a}f(x),$$

unde $a$ poate fi un număr obișnuit (adică, finit) sau unul neobișnuit (adică, infinit sau minus infinit), elevul va pune (deci, va înlocui) peste tot unde vede $x$ tocmai numărul $a$ spre care tinde $x$. Această înlocuire îl scutește pe elev să mai folosească simbolul $$\lim_{x\to a}.$$

De exemplu, dacă avem de calculat
$$\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-3}$$
vom înlocui peste tot unde vedem $x$ în expresia $\frac{2x}{x-3}$, tocmai cu numărul $5$ și vom obține o fracție în fața căreia nu mai trebuie să punem semnul $$\lim_{x\to 5},$$ adică
$$\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-3}=\frac{2\cdot 5}{5-3}.$$

Mai departe, nu ne rămâne decât să calculăm expresia banală $\frac{2\cdot 5}{5-3}$ pe care o poate calcula ușor chiar și un elev de gimnaziu. Calculând această valoare obținem
$$\frac{2\cdot 5}{5-3}=\frac{10}{2}=5$$

și putem spune că am obținut limita căutată. Scriem atunci că
$$\lim_{x\to 5}\frac{2x}{x-3}=5.$$

Am avut aici un exemplu foarte simplu, din care a trebuit să tragem doar concluzia că, de regulă, calculul limitelor începe prin simpla înlocuire a lui $x$ (sau a simbolului care apare în partea de jos a limitei, dacă acesta nu este tocmai $x$, ci altceva) cu numărul (obișnuit sau neobișnuit, finit sau infinit) spre care tinde $x$.

Așadar, cele mai simple limite sunt cele care pot fi calculate prin simpla înlocuire. În cazurile fericite înlocuirea ne duce la o expresie rezonabilă, pe care o poate calcula ușor chiar și un elev de gimnaziu.

Dar, desigur, foarte puține limite pe care le veți primi explicit la bac vor fi atât de simple. De regulă, veți primi niște limite pe care nu le va putea rezolva un elev de gimnaziu prin simpla înlocuire. Așa că rămânem datori să povestim în viitor și despre limite din ce în ce mai complicate.

duminică, 14 septembrie 2014

Bézout a valorificat cel mai bine teorema împărțirii cu rest



În cazul numerelor întregi, teorema împărțirii cu rest ne spune că se întâmplă întotdeauna ca deîmpărțitul să fie egal cu împărțitorul înmulțit cu câtul și adunat cu restul. Simbolic, avem

$$D=C\cdot Î+R.$$

De exemplu, dacă alegem ca deîmpărțit pe 16 și ca împărțitor pe 3, atunci vor mai apărea în context alte două numere, dintre care unul va fi câtul, iar celălalt va fi restul. În cest caz, câtul va fi 5, iar restul va fi 1 și vom putea scrie

$$16=3\cdot 5+1$$

Teorema împărțirii cu rest ne spune nu doar că există 5 și 1, astfel încât $16=3\cdot 5+1$, ci și că nu mai există altele pentru care să fie valabil așa ceva.

Dar am uitat să menționăm o condiție de bază pentru ca teorema să fie adevărată. Este necesar ca ceea ce numim „rest” să fie mai mic decât împărțitorul. Dacă n-am pune această condiție, atunci am putea să găsim și alte numere $a$ și $b$ așa încât să avem $16=3\cdot a+b$.

De exemplu, am putea avea $a=2$ și $b=10$, deci am avea $16=3\cdot 2+10$. Doar că în acest caz, restul nu este mai mic decât împărțitorul, așa cum trebuie să fie restul prin definiție.

Așadar, există un singur rest mai mic decât împărțitorul.







După această scurtă introducere, trecem acum la polinoame, căci această teoremă este valabilă și în cazul polinoamelor. Altfel spus, în loc de numere întregi, lucrăm acum cu polinoame.

Numai că aici condiția ca restul să fie „mai mic” decât împărțitorul este puțin mai nuanțată. Căci, cum ar putea fi un polinom „mai mic” decât un alt polinom? În cazul polinoamelor, condiția este ca gradul restului să fie mai mic decât gradul împărțitorului.

Așadar, în cazul polinoamelor, teorema împărțirii cu rest ne spune că pentru orice polinom  $D(x)$ considerat „deîmpărțit” și un polinom $Î(x)$ considerat „împărțitor”, există un singur polinom $C(x)$ numit „cât” și un singur polinom $R(x)$ numit „rest” astfel încât gradul restului să fie mai mic decât gradul împărțitorului.

Prin urmare, simbolic, teorema împărțirii cu rest pentru polinoame ne spune că putem întotdeauna scrie:

$$D(x)=Î(x)\cdot C(x)+R(x),$$

unde vom ține seama că gradul lui $R(x)$ este mai mic decât gradul lui $Î(x)$.

Cam atât despre teorema împărțirii cu rest pentru polinoame. Acuma să vedem dacă are vreo utilitate această teoremă, cât de cât. Așa, la modul general, nu prea se întrevăd cine știe ce minunății în legătură cu această teoremă. Dar, vom vedea că se întrevăd minunății în cazul mai particulare.

Cel mai important, mai interesant, caz particular al teoremei împărțirii cu rest este cazul în care împărțitorul este un polinom de gradul cel mai mic (dar un pic mai mare decât zero). Deci, cel mai important caz al teoremei împărțirii cu rest este cazul în care împărțitorul are tocmai gradul unu.

De ce este atât de important acest caz? Pentru că în acest caz restul trebuie să aibă gradul zero, adică trebuie să fie un simplu număr, căci restul trebuie să aibă gradul mai mic decât împărțitorul! Vom vedea că acest număr care este restul are o legătură fascinantă cu împărțitorul.

Haideți să concretizăm. Ziceam că împărțitorul interesant este cel de gradul unu. Cum arată un polinom de gradul unu? Păi, simplu, trebuie să apară $x$ la puterea unu. Așadar, un polinom de gradul unu arată astfel $ax+b$. Deci, să vedem ce se întâmplă dacă alegem ca împărțitor un polinom de forma $ax+b$.

Teorema împărțirii cu rest ne spune că în acest caz putem scrie

$$D(x)=(ax+b)\cdot C(x)+R.$$

Observați că la $R$ nu am mai pus $x$ din moment ce restul trebuie să fie un polinom de gradul zero, adică număr obișnuit.

Bine, bine, am scris noi teorema pentru acest caz, dar ne spune ea oare ceva interesant? Absolut! Ne spune ceva despre numărul acela $R$.

Imaginați-vă că toată expresia $(ax+b)\cdot C(x)$ ar dispărea și ar rămâne doar

$$D(x)=R.$$

Când s-ar putea întâmpla asta? Păi, desigur, doar atunci când expresia $(ax+b)\cdot C(x)$ ar fi nulă. Dar oare când putem noi avea $(ax+b)\cdot C(x)=0$? Cea mai interesantă situație ca să avem $(ax+b)\cdot C(x)=0$ este ca însuși împărțitorul să fie zero, adică să avem $ax+b=0$.

Altfel spus, trebuie să rezolvăm ecuația banală $ax+b=0$. Această ecuație are ca soluție numărul $x=-\frac{b}{a}$. Altfel spus, numărul $-\frac{b}{a}$ este rădăcină a polinomului $ax+b$. Atunci ce am obținut, de fapt? Ne spune acum ceva nou teorema împărțirii cu rest?

Da, ne spune. Ne spune că dacă punem în locul lui $x$ peste tot rădăcina polinomului $ax+b$ (deci, numărul $-\frac{b}{a}$), atunci vom obține o valoare concretă interesantă a restului.

Haideți să îl înlocuim în teorema împărțirii cu rest pe $x$ cu rădăcina $-\frac{b}{a}$ ca să vedeți că nu vorbesc prostii. Să vedem ce obținem. Avem

$$D(-\frac{b}{a})=0\cdot C(x)+R.$$

Am pus $0$ în loc de $ax+b$, căci dacă pun în locul lui $x$ numărul $-\frac{b}{a}$ obțin, desigur $0$, din moment ce $-\frac{b}{a}$ este rădăcina lui $ax+b$.

Așadar, ce am obținut? Repetăm, am obținut $D(-\frac{b}{a})=0\cdot C(x)+R$. Și cum n-are rost să mai prelungim agonia cu expresia $0\cdot C(x)$ pe care o putem înlocui efectiv cu $0$, am obținut, de fapt, că
$$D(-\frac{b}{a})=R.$$
Sau mai bine scriem
$$R=D(-\frac{b}{a}),$$
căci pe noi ne interesează restul $R$.

Haideți să spunem în cuvinte ce am obținut. Restul împărțirii unui polinom $D(x)$ la polinomul de gradul întâi $ax+b$ este tocmai $D(-\frac{b}{a})$! Super rezultat!

Desigur, acest rezultat poate fi pus într-o formă și mai simplă. Doar că pentru aceasta punem în locul lui $a$ numărul $1$, iar în loc de $b$ o să punem $-b$ ca să scăpăm de semnul „$-$” din paranteza lui $D(x)$. Avem atunci următoarea formă mai simplă: restul împărțirii unui polinom $D(x)$ la polinomul de gradul întâi $x-b$ este tocmai $D(b)$.

Nu-i jucărie această concluzie, căci primiți la bac tot felul de calcule în care vi se cer asemenea resturi. Așadar, rețineți această minune de proprietate. Bineînțeles, veți primi alte litere, nu  neapărat $D(x)$ sau $C(x)$, dar voi puteți adapta concluzia noastră „albastră”.

De exemplu, mai puteți reține această concluzie și sub forma: restul împărțirii unui polinom $f(x)$ la polinomul $x-a$ este $f(a)$, formă pe care o și învățați în liceu, de altfel.

Dacă vreți să fiți și mai economi, puteți reține această concluzie chiar și sub forma mai prescurtată: restul împărțirii lui $f$ la $x-a$ este $f(a)$.





Buuun. Ei bine, să trecem acum la Bézout. Să vedem ce a făcut Bézout cu această concluzie. A privit, a citit și a răscitit propoziția „restul împărțirii lu $f$ la $x-a$ este $f(a)$” până când i-a venit o idee. Imaginați-vă că s-a întrebat următorul lucru: „dar ce ar ieși dacă $a$ ar fi tocmai rădăcină pentru $f$?”.

Bineînțeles, nu oricine pune întrebări ciudate, ci numai geniile au curajul să întrebe ceva ce alții nu au mai întrebat înaintea lor. Bézout a fost un geniu și a întrebat. Ba chiar a și răspuns.

Desigur, răspunsul este banal. Dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $f(a)$ este tocmai zero, căci asta înseamnă „rădăcină”. Dar dacă $f(a)=0$, atunci restul împărțirii lui $f$ la $x-a$ este nul. Adică nu avem rest.

Dar ce înseamnă că nu avem rest? Înseamnă că $f$ este divizibil cu $x-a$.

Asta-i tot. Haideți acum să formulăm în cuvinte concluzia lui Bézout: dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $f$ se divide cu $x-a$.

Sau mai putem spune altfel: dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $f$ este divizibil cu $x-a$.

Sau, totuna:  dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $x-a$ îl divide pe $f$.

Așadar, dacă primiți la bac o problemă cu divizibilitatea polinoamelor, este foarte probabil ca ea să poată fi rezolvată cu minunata teoremă a lui Bézout.

Mult succes, puilor!

sâmbătă, 13 septembrie 2014

Matricea trigonometrică


Vreau să vă vorbesc aici despre o matrice extraordinar de interesantă, pe care o numesc „matricea trigonometrică”.

Eroul despre care vorbim aici este următoarea matrice minunată
$$\begin{pmatrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{pmatrix}.$$
Haideți să o notăm cu $T(x)$.

Această matrice m-a frământat mult în tinerețe, când eram elev ca voi. Și m-a chinuit degeaba, căci ulterior am aflat că toate proprietățile pe care i le-am (re)descoperit eu în perioada în care o studiam erau, spre dezamăgirea mea, cunoscute deja. Așa că m-am dezumflat repede.

Cea mai interesantă proprietate a acestei matrice, proprietate care face legătura cu articolul precedent în care vă vorbeam despre formula lui Euler, este că $T(x)$ poate fi scrisă ca un fel de $e^{ix}$, deci, ca un fel de $\cos x+i\sin x$.

Dar, haideți să facem niște operații cu această matrice ca să vedeți ce poate ea. Facem întâi produsul ei cu ea însăși, deci o ridicăm la puterea a doua. Avem

$$T^2(x)=T(x)\cdot T(x)=\begin{pmatrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\cos x&-\sin x\\
\sin x&\cos x
\end{pmatrix}.$$
Făcând înmulțirea, obținem
$$T^2(x)=\begin{pmatrix}
\cos^2x-\sin^2x&-2\sin x\cos x\\
2\sin x\cos x&\cos^2x-\sin^2x
\end{pmatrix}.$$

Dar $\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)$, iar $2\sin x\cos x=\sin(2x)$. Prin urmare
$$T^2(x)=\begin{pmatrix}
\cos(2x)&-\sin(2x)\\
\sin(2x)&\cos(2x)
\end{pmatrix}.$$


Să mai arătăm că
$$T(a)\cdot T(b)=T(a+b).$$


Avem
$$\color{blue}{T(a)\cdot T(b)}=\begin{pmatrix}
\cos a&-\sin a\\
\sin a&\cos a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\cos b&-\sin b\\
\sin b&\cos b
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}
\cos a\cos b-\sin a\sin b&-(\cos a\sin b+\cos b\sin a)\\
\cos a\sin b+\cos b\sin a&\cos a\cos b-\sin a\sin b
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}\cos(a+b)&-\sin(a+b)\\
\sin(a+b)&\cos(a+b)

\end{pmatrix}=\color{blue}{T(a+b)}.$$

Iată, deci, că acum mai aveți o altă modalitate (matriceală) prin care puteți reține și în alt mod cele două formule de bază ale funcțiilor trigonometrice pentru suma unghiurilor $a$ și $b$ pe care le-am dedus în materialul anterior folosindu-ne acolo de minunata formulă a lui Euler.


vineri, 12 septembrie 2014

"Cea mai remarcabilă formulă matematică" implică alte formule trigonometrice fundamentale


Vom porni de la „cea mai remarcabilă formulă matematică” (după spusele marelui fizician Richard Feynman). Aceasta spune că pentru orice număr $x$ este adevărat că

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

unde $e$ este minunatul număr al lui Euler $e\approx 2,7182818...$

Această formulă ne permite să deducem o mulțime de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice și vreau să vă arăt câteva dintre lucrurile pe care le puteți deduce dacă știți această formulă.

Dacă înlocuim în formula dată pe $x$ cu $2x$, atunci obținem că

$$e^{i(2x)}=\cos(2x)+i\sin(2x)$$.

Dar, din proprietățile puterilor știm că
$$e^{i(2x)}=(e^{ix})^2.$$

Deci

$$\color{blue}{\cos(2x)+i\sin(2x)}=\\=e^{i(2x)}=(e^{ix})^2=(\cos x+i\sin x)^2=\\

=(\cos x+i\sin x)\cdot(\cos x+i\sin x).$$ 


Așadar, dacă păstrăm termenul din stânga egalității și facem înmulțirea factorilor din dreapta, obținem
$$\color{blue}{\cos(2x)+i\sin(2x)}=\\=\cos x\cdot\cos x+i\cos x\sin x+i\sin x\cdot\cos x-\sin x\sin x.$$

Sau, și mai frumos

$$\color{blue}{\cos(2x)+i\sin(2x)=(\cos^2x-\sin^2x)+i(2\sin x\cos x)}.$$

Cum două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă au ambele părți (și cea reală și cea imaginară) egale între ele, ați obținut dintr-un șut două formule importante din trigonometrie:
$$\large{\color{red}{\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x}}$$
și
$$\large{\color{red}{\sin(2x)=2\sin x\cos x}}.$$

Deci, nu uitați, nici sinusul dublului nu este dublul sinusului și nici cosinusul dublului nu este dublul cosinusului.


Tot din proprietățile puterilor, mai exact din proprietatea $x^{a+b}=x^a\cdot x^b$, folosindu-ne de cea mai remarcabilă formulă matematică, mai putem deduce două formule de bază ale trigonometriei.

Dacă $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, atunci avem și
$$e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b).$$
Deci,

$$\color{blue}{\cos(a+b)+i\sin(a+b)}=e^{i(a+b)}=e^{ia}\cdot e^{ib}=\\
=(\cos a+i\sin a)\cdot(\cos b+i\sin b)=\\
=\cos a\cos b+i\cos a\sin b+i\sin a\cos b-\sin a\sin b=\\
=\color{blue}{(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b+\sin a\cos b)}.$$
Așadar, din nou, din egalitatea celor două numere complexe obținem ceva minunat și prețios în trigonometrie:
$$\large{\color{red}{\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}}$$
și
$$\large{\color{red}{\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b}}.$$

Acum sper că nu mai puteți uita asemenea formule. Și mai sper că, chiar dacă cumva le veți uita până la bac, aveți acum un instrument puternic pentru ca să vi le puteți reaminti în două minute, acolo, pe o ciornă.

joi, 11 septembrie 2014

Calculul radicalului de ordinul doi


Radicalul de ordinul doi din 16 este 4, deoarece 4 înmulțit cu el însuși de două ori este 16. Pentru a găsi radicalul unui număr avem la dispoziție un algoritm foarte asemănător cu împărțirea.

Haideți să ridicăm întâi la pătrat (deci, la puterea a doua) un număr. Să zicem, 267,89. Avem
$$267,89^2=267,89\cdot 267,89=71765,0521.$$

Acum, dacă vom extrage radical din 71765,0521 va trebui să obținem, desigur, tocmai 267,89.

Procedăm după cum urmează. Descriem în continuare cei patru pași de extragere a radicalului. Primii doi pași sunt nerecursivi (deci nu trebuie repetați), iar ultimii doi pași se repetă de câte ori este nevoie, deci sunt pași recursivi.





Pașii nerecursivi


Pasul 1: Structurarea pe grupe.  Structurăm numărul 71765,0521 în grupe de câte două cifre, începând de la virgulă, atât spre stânga virgulei, cât și spre dreapta ei. Așadar, pornind de la virgulă, numărul nostru structurat arată în felul următor:
$$71765,0521=\color{red}{7}\color{blue}{17}\color{green}{65},\color{red}{05}\color{blue}{21}.$$


Pasul 2: Radical din prima grupă. Mai departe, ne ocupăm de prima grupă (singura grupă specială), care este grupa $\color{red}{7}$. Ce facem cu ea? Căutăm să ghicim cel mai mare număr care ridicat la pătrat ne dă tocmai această grupă sau un număr ceva mai mic (așa cum și la împărțire căutăm să ghicim de câte ori se cuprinde câtul în deîmpărțit).

De exemplu, numărul 3 este prea mare, căci $3^2=3\cdot 3=9>7$. Atunci încercăm cu 2 și obținem $2^2=4<7$. Deci, $\color{red}{2}$ este numărul căutat, corespunzător grupei $\color{red}{7}$.

Continuăm similar ca în cazul împărțirii, doar că aici nu facem înmulțire, ci ridicare la pătrat. Mai exact, ridicăm la pătrat numărul $\color{red}{2}$, iar rezultatul îl scriem sub grupa $\color{red}{7}$ și facem diferența dintre $7$ și $4$ și ne rămâne $3$. Așadar, obținem:

$$\begin{array}{ c c c c c | c }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&\\
3&&&&&
\end{array}$$.




Pașii recursivi


Pasul 3: Coborâre și dublare. Coborâm grupa următoare (în cazul nostru, grupa $\color{blue}{17}$) lângă rezultatul diferenței (deci, lângă 3) și dublăm rezultatul pe care l-am obținut până în acest moment (deci, îl dublăm pe 2 și îl transformăm în $2\cdot 2=4$).

Obținem atunci
$$\begin{array}{ r r c c c | c }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&4\\
&317&&&&
\end{array}$$.

Pasul 4: Determinarea cifrei următoare. Căutăm o cifră nouă, cea mai mare posibilă, pe care o atașăm la rezultatul dublat (în cazul nostru, 4), iar numărul obținut îl înmulțim tocmai cu această cifră și urmărim ca rezultatul înmulțirii obținut în asemenea condiții să nu depășească numărul format la pasul 3 prin coborârea grupei următoare (în cazul nostru, 317). Am prefigurat cifra pe care o căutăm cu semnul „ _ ” ca să vizualizăm unde va fi locul ei
$$\begin{array}{ r r c c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&4\text{ _}\cdot\text{_}\\
&317&&&&
\end{array}$$.

În cazul nostru, cifra căutată este tocmai 6 (deoarece rezultatul final complet va trebui să fie numărul 267,89 de la care am pornit cu exemplul nostru). Așadar, vom înmulți numărul $46$ cu $6$, iar rezultatul obținut îl vom așeza sub $317$ pentru a face scăderea. Obținem astfel
$$\begin{array}{ r r c c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\
\hline
\underline{4}&&&&&4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276\\
&317&&&&\\
&\underline{276}&&&&\\
&\text{ }41&&&&
\end{array}$$.

Odată ce am determinat această cifră, ea va reprezenta cifra următoare a rezultatului final și o așezăm lângă numărul existent deja, adică lângă 2. Prin urmare, până în prezent rezultatul nostru a devenit egal cu 26.



De aici încolo procedăm prin repetarea pașilor 3 și 4 până când obținem rezultatul final. Așadar, coborâm următoarea grupă lângă 41 și determinăm cu chiu cu vai cifra următoare:
$$\begin{array}{ r r r c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&52\text{ _}\cdot\text{_}\\
&\underline{276}&&&&\\
&&4165&&&
\end{array}$$.

Tragem cu ochiul la rezultatul final (267,89) și deducem fără nicio încercare că cifra următoare este 7. Dacă n-am ști rezultatul, desigur, ar trebui să încercăm pe rând câteva cifre până găsim cifra optimă, cea mai mare posibilă („ _ ”), dar nici prea mare, ca nu cumva rezultatul înmulțirii (dintre 52_ și _) să depășească noul număr obținut prin coborârea grupei curente (deci numărul 4165).

Așadar, suntem în situația
$$\begin{array}{ r r r c c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689\\
&\underline{276}&&&&\\
&&4165&&&\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&\text{ }476
\end{array}$$.


Acum am ajuns la virgulă. Asta înseamnă că vom proceda în continuare la fel ca mai sus cu pașii 3 și 4, doar că odată cu coborârea grupei de după virgulă, va trebui să adăugăm virgula și la rezultatul curent. Avem atunci
$$\begin{array}{ r r r r c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7}, \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&534\text{ _}\cdot\text{_}\\
&&4165&&&\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&
\end{array}$$,

deci
$$\begin{array}{ r r r r c | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784\\
&&4165&&&\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&\\
&&&\underline{42784}&&\\
&&&\text{}4821
\end{array}$$.

În fine, coborâm ultima grupă. Ce coincidență, este chiar 21! Așadar,
$$\begin{array}{ r r r r r | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&\underline{534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784}\\
&&4165&&&5356\text{ _}\cdot\text{_}\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&\\
&&&\underline{42784}&&\\
&&&&482121
\end{array}$$.

Observați că am dublat numărul 2678, fără să ne mai pese de virgulă, căci virgula am pus-o deja unde trebuia și nu ne mai chinuie cu nimic.

În fine, schema noastră de calcul arată în totalitate astfel:
$$\begin{array}{ r r r r r | l }
\color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8}\color{blue}{9} \\
\hline
\underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\
&317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\
&\underline{276}&&&&\underline{534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784}\\
&&4165&&&5356\color{blue}{9}\cdot\color{blue}{9}=482121\\
&&\underline{3689}&&&\\
&&&47605&&\\
&&&\underline{42784}&&\\
&&&&482121\\
&&&&\underline{482121}\\
&&&&====
\end{array}$$.

Sper că am reușit să vă fiu de folos...


Editare ulterioară: am mai scris un articol despre un șir interesant care vă permite calculul radicalului de ordinul doi, prin recurență. Cred că merită să-l citiți.

miercuri, 10 septembrie 2014

Alte proprietăți ale combinărilor


Așa cum vă povesteam într-un articol precedent, combinările (deci, coeficienții binomiali ce apar în dezvoltarea binomului lui Newton) se regăsesc în triunghiul lui Pascal:

$$\begin{matrix}
n=0&&&&&&&&1&&&&&&&&&&\\
n=1&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&\\
n=2&&&&&&1&&1+1&&1&&&&&&&&\\
n=3&&&&&1&&1+2&&2+1&&1&&&&&&&\\
n=4&&&&1&&1+3&&3+3&&3+1&&1&&&&\\
n=5&&&1&&1+4&&4+6&&6+4&&4+1&&1&&\\
\end{matrix}.$$

Acest triunghi este, desigur, nelimitat în jos, dar noi ne folosim doar de câteva linii relevante din care putem extrage alte proprietăți interesante ale combinărilor.

Cea mai clară proprietate este recurența combinărilor, ce exprimă tocmai modul în care este construit acest triunghi. Mai exact, vă amintiți că fiecare coeficient poate fi scris ca o sumă formată cu cei doi coeficienți vecini aflați pe rândul precedent.

De exemplu, pentru rândul corespunzător puterii 4 avem că
$$4=C_4^1=\color{blue}{C_{3+1}^{0+1}=C_3^0+C_3^1}=1+3,$$
$$6=C_4^2=\color{blue}{C_{3+1}^{1+1}=C_3^1+C_3^2}=3+3,$$
$$4=C_4^3=\color{blue}{C_{3+1}^{2+1}=C_3^2+C_3^3}=3+1,$$
iar pentru rândul corespunzător puterii 5 avem
$$5=C_5^1=\color{blue}{C_{4+1}^{0+1}=C_4^0+C_4^1}=1+4,$$
$$10=C_5^2=\color{blue}{C_{4+1}^{1+1}=C_4^1+C_4^2}=4+6,$$
$$10=C_5^3=\color{blue}{C_{4+1}^{2+1}=C_4^2+C_4^3}=6+4,$$
$$5=C_5^4=\color{blue}{C_{4+1}^{3+1}=C_4^3+C_4^4}=4+1.$$

Desigur, această recurență se păstrează mereu pentru orice rând al triunghiului. Asta înseamnă că putem înlocui numerele concrete care apar mai sus cu litere. Printr-o asemenea înlocuire rezultă o formulă de recurență de toată frumusețea:
$$\large{\color{red}{C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1}}},$$
unde trebuie doar să avem grijă la ce numere punem în locul literelor ca să nu iasă cumva în partea de jos a combinărilor un număr mai mic decât în partea de sus.

Alte proprietăți ale combinărilor rezultă tocmai din modul lor de calcul. Avem două modalități de calcul al combinărilor: o modalitate care folosește aranjamentele și alta care folosește numai factorialul. 

Modalitatea cu aranjamentele se pate observa în exemplul următor
$$C_{10}^3=\frac{A_{10}^3}{3!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}.$$
Observați că în acest exemplu numărătorul pornește de la 10 și are 3 factori. Dacă am avea de calculat $C_{11}^2$ numărătorul ar porni de la 11 și ar avea 2 factori, deci am avea
$$C_{11}^2=\frac{A_{11}^2}{2!}=\frac{11\cdot 10}{1\cdot 2}.$$

Modalitatea cu factorialul rezultă din exemplul
$$C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot(10-3)!}=\frac{10!}{3!\cdot 7!},$$
respectiv, din exemplul
$$C_{11}^2=\frac{11!}{2!\cdot(11-2)!}=\frac{11!}{2!\cdot 9!}.$$

Modalitatea cu aranjamentele vă scutește de scrierea explicită a factorialului mare de la numărător și vă sugerează de multe ori forma acestui numărător atunci când vi se cere să rezolvați o ecuație cu combinări care conțin litere în partea de jos.




În fine, mai povestim despre o ultimă formulă, foarte utilă în anumite probleme în care apar sume urâte cu combinări consecutive. Pornim de la un exemplu concret pentru a ne da seama ce se întâmplă, după care vom înlocui numerele cu litere. 

Calculăm prin modalitatea cu factorialul $C_9^4$ și obținem
$$C_9^4=\frac{9!}{4!\cdot 5!}.$$
Acum vrem să vedem dacă putem găsi vreo legătură între $C_9^4$ și $C_8^3$. Pentru aceasta, calculăm și $C_8^3$ și obținem
$$C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!}.$$
Să vedem acum care o fi legătura dintre $C_9^4$ și $C_8^3$. Observăm că $9!=9\cdot 8!$ și că $4!=4\cdot 3!$. Înlocuind, obținem
$$C_9^4=\frac{9!}{4!\cdot 5!}=\frac{9\cdot 8!}{4\cdot 3!\cdot 5!}=\frac{9}{4}\cdot\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{9}{4}C_8^3.$$
Sper că ați observat acum legătura dintre cele două combinări. Apare o fracție între cele două combinări, al cărei numărător și numitor conține tocmai numerele ce apar la combinarea cu numerele mai mari.
Așadar, am mai avea de exemplu 
$$C_{213}^{25}=\frac{213}{25}C_{212}^{24}.$$

Suntem, deci, în posesia unei alte formule de recurență cu ajutorul căreia obținem o combinare cu numere mari dintr-o combinare cu numere mai mici:
$$\large{\color{red}{C_{\color{blue}{n}}^{\color{green}{k}}=\frac{\color{blue}{n}}{\color{green}{k}}C_{n-1}^{k-1}}}.$$

Desigur, dacă vă place mai mult, fracția se poate aduce lângă prima combinare, doar că atunci trebuie răsturnată și avem ceva parcă mai simetric:
$$\large{\color{red}{\frac{\color{green}{k}}{\color{blue}{n}}C_{\color{blue}{n}}^{\color{green}{k}}=C_{n-1}^{k-1}}}.$$

Gata, v-am împuiat capul destul cu formule pentru combinări. Sunt chiar prea multe pentru bac și poate nu veți avea nevoie niciodată de toate. Bineînțeles, eu aș prefera totuși să le învățați în eventualitatea că veți avea nevoie de ele mai departe în viață.

marți, 9 septembrie 2014

Suma combinărilor de rang par


Am văzut în materialul anterior că suma tuturor combinărilor ce apar pe același rând din triunghiul lui Pascal este dată de formula
$$\large{\color{blue}{C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n}}.$$

Vă amintiți că această formulă am obținut-o folosindu-ne de dezvoltarea binomului lui Newton în care l-am înlocuit pe $a$ cu 1 și pe $b$ tot cu 1.

Continuând pe aceeași linie, se poate pune problema dacă mai putem obține ceva interesant prin înlocuirea lui $a$ și $b$ din binomul lui Newton cu ceva tot atât de simplu precum a fost 1. Ceva asemănător de simplu precum este 1 va fi de fapt chiar $-1$. Așa încât, de data aceasta îl vom înlocui pe $a$ cu 1, iar pe $b$ cu $-1$.

Pentru puterile particulare pe care am obișnuit să le luăm ca exemplu (nici prea simple, nici prea complicate), adică 4 și 5, vom obține dezvoltările:

$[1+(-1)]^4=(1-1)^4=\\
=C_4^0\cdot 1^4+C_4^1\cdot 1^3\cdot(-1)+C_4^2\cdot 1^2\cdot(-1)^2+\\
+C_4^3\cdot 1\cdot(-1)^3+C_4^4\cdot(-1)^4$

și respectiv

$[1+(-1)]^5=(1-1)^5=\\
=C_5^0\cdot 1^5+C_5^1\cdot 1^4\cdot(-1)+C_5^2\cdot 1^3\cdot(-1)^2+\\

+C_5^3\cdot 1^2\cdot(-1)^3+C_5^4\cdot 1\cdot(-1)^4+C_5^5\cdot(-1)^5.$


Dar $1-1=0$, iar $-1$ la o putere pară este $1$ și la o putere impară este $-1$. Ținând seama de aceste lucruri, dezvoltările noastre devin:

$$\color{blue}{0=C_4^0-C_4^1+C_4^2-C_4^3+C_4^4}$$

și respectiv

$$\color{blue}{0=C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5}.$$

Adică, se începe cu semnul „$+$” și se continuă alternativ cu semnul „$-$”, apoi cu semnul „$+$” și tot așa. Se observă că dezvoltarea după puterea pară se termină cu semnul „$+$”, iar dezvoltarea după puterea impară se termină cu semnul „$-$”.

Am obținut, deci, că suma alternativă a combinărilor este întotdeauna nulă. Deci, dacă am aduna acest rezultat la oricare altul, nu s-ar modifica acel rezultat. Ce vreau să spun? Vreau să vă propun o șmecherie. Haideți să adunăm la formula veche
$$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4=2^4$$
formula recent obținută
$$C_4^0-C_4^1+C_4^2-C_4^3+C_4^4=0,$$

iar la formula veche
$$C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=2^5$$
formula recent obținută
$$C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0.$$

Punem termenii acestor formule unul sub altul pentru a observa ceva, întâi pentru puterea a patra, apoi pentru puterea a cincea:
$$\begin{matrix}
C_4^0&C_4^1&C_4^2&C_4^3&C_4^4&2^4\\
C_4^0&-C_4^1&C_4^2&-C_4^3&C_4^4&0
\end{matrix}$$

și respectiv

$$\begin{matrix}
C_5^0&C_5^1&C_5^2&C_5^3&C_5^4&C_5^5&2^5\\
C_5^0&-C_5^1&C_5^2&-C_5^3&C_5^4&-C_5^5&0
\end{matrix}.$$

Observați acum că al doilea rând conține termeni cu semn opus celor din primul rând. Asta înseamnă că dacă vom aduna cele două rânduri, termenii de semn opus se vor reduce și vor dispărea iar termenii de același semn vor apărea de două ori, deci se vor dubla. Așadar, vom obține formula
$$2C_4^0+2C_4^2+2C_4^4=2^4$$

și
$$2C_5^0+2C_5^2+2C_5^4=2^5.$$

Dar avem acolo prea mulți de $2$ care ne încurcă, așa că putem împărți totul cu $2$ și vom obține în ambele cazuri:
$$\color{blue}{C_4^0+C_4^2+C_4^4=2^3}$$

și
$$\color{blue}{C_5^0+C_5^2+C_5^4=2^4}.$$

Dar oare ce ne spun cele două formule? Nimic mai simplu decât faptul că suma combinărilor de rang par poate fi scrisă sub forma generală, valabilă atât pentru puteri pare, cât și pentru puterile impare, astfel:
$$\large{\color{red}{C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=2^{n-1}}}.$$

Observați că decât să scriem de două ori formula separat pentru puterile pare și separat pentru puterile impare, am preferat să o scriem o singură dată și să terminăm dezvoltarea cu puncte de suspensie, în speranța că elevul va înțelege la ce ne referim. Căci singura deosebire între cele două puteri este că la puterile pare dezvoltarea se termină cu ultimul termen, iar la puterile impare dezvoltarea se termină cu penultimul termen, așa cum ați văzut în cazul celor două puteri luate ca exemplu.


Dar n-am terminat. De ce? Pentru că mai putem deduce încă ceva interesant. Și anume, suma combinărilor de rang impar. Doar că pentru a obține această sumă, acum nu vom mai aduna cele două rânduri așezate unul sub altul, ci le vom scădea. Prin scădere, vor dispărea termenii care au același semn în cele două rânduri și se vor dubla termenii care au semn contrar.

Așadar, vom obține:
$$2C_4^1+2C_4^3=2^4$$

și
$$2C_5^1+2C_5^3+2C_5^5=2^5.$$

Scăpând și aici de $2$-urile care ne încurcă, vom obține
$$\color{blue}{C_4^1+C_4^3=2^3}$$

și
$$\color{blue}{C_5^1+C_5^3+C_5^5=2^4}.$$

Prin urmare, putem scrie o formulă și pentru suma combinărilor de rang impar:
$$\large{\color{red}{C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n-1}}},$$
unde am pus din nou punctele de suspensie pentru a scrie formula o singură dată pentru orice putere $n$, indiferent că $n$ este putere pară sau impară.

Cam asta e tot. A fost greu?