După ce am discutat despre asimptotele orizontale și cele verticale, putem acum să povestim despre asimptotele oblice. Aceste asimptote sunt mai interesante decât celelalte (deci, decât cele orizontale sau verticale) deoarece sunt mai generale, adică din ele le putem deduce și pe celelalte.
Adică, dacă am învățat bine asimptotele oblice, atunci știm și asimptote orizontale sau verticale, numai că asimptotele oblice sunt ceva mai grele decât cele orizontale sau verticale. Sunt mai grele deoarece ele ne cer să calculăm nu una, ci două limite.
Un exemplu de funcție care are asimptotă oblică este o fracție de polinoame, la care numărătorul este un polinom cu gradul mai mare cu o unitate decât numitorul (pentru a reține mai bine această șmecherie, faceți legătura cu faptul că numărătorul este un cuvânt mai lung decât numitorul). Dacă gradul numărătorului nu este mai mare decât al numitorului, atunci, așa cum am văzut, fracția va avea asimptotă orizontală.
Un astfel de exemplu este funcția
$$f(x)=\frac{\text{polinom de gradul cinci}}{\text{polinom de gradul patru}}.$$
Această funcție va avea asimptotă oblică.
Dacă o funcție are asimptotă orizontală într-o parte (deci, înspre unul dintre cele două infinituri posibile, cel pozitiv și cel negativ), atunci să nu vă prind că mai căutați și asimptotă oblică în acea parte. Căutați, eventual, în cealaltă parte.
Sau invers: dacă într-o parte ați găsit asimptotă oblică, atunci nu are rost să mai căutați asimptotă orizontală în acea parte, ci doar eventual în cealaltă parte.
Acum să vedem cum se determină o asimptotă oblică pentru o anumită funcție. Spuneam că trebuiesc calculate două limite. Prima limită ne va spune cât de înclinată este asimptota, iar a doua limită ne va spune pe unde trece asimptota, adică pe unde taie axa verticală (axa ordonatelor).
Așadar, prima limită ne va furniza un număr „m” care se numește „panta asimptotei”. Relația dintre acest număr m și unghiul de înclinare este dată de formula
$$m=\tan\alpha,$$
adică panta este tangenta unghiului de înclinare.
Cu cât panta este mai mare, cu atât unghiul de înclinare este mai mare, deci cu atât asimptota este „mai oblică”. Desigur, ne referim aici la valoarea absolută a pantei și a unghiului când spunem „mai mare”.
Să vedem acum limita aceea care ne furnizează panta asimptotei. Iat-o:
$$\large{\color{red}{m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}}.$$
Observați că aici am dat doar limita din partea dreaptă a funcției, ca să nu vă încurc cu prea multe informații deodată, dar la fel de bine puteți căuta asimptota și în partea stângă, punând în limita de mai sus loc de $\infty$ pe $-\infty$.
Totul depinde de ceea ce vi se cere în problemă: dacă vi se va cere să „căutați asimptotele”, atunci va trebui să căutați în ambele părți, dar dacă vi se cere să căutați asimptota doar într-una dintre cele două părți, desigur, nu o veți căuta și în cealaltă parte.
A doua limită, deci cea care ne furnizează locul asimptotei se determină după ce am determinat panta. Aceasta deoarece pentru loc ne trebuie și panta. Locul asimptotei este un număr care se notează cu „n”.
Limita care ne dă locul asimptotei este
$$\large{\color{blue}{n=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]}}.$$
Asta-i tot. Adică, asta-i tot ce vă trebuie pentru asimptotele oblice. Așadar, haideți la un exemplu. Determinați asimptota oblică spre dreapta a funcției
$$f(x)=\frac{3x^2+7}{2x-1}.$$
Avem
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^2+7}{2x-1}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x-1}\cdot\frac{1}{x}.$$
Așadar,
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{(2x-1)\cdot x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}.$$
Dar atunci când am povestit despre limite spre infinit din fracții, noi am aflat că dacă gradele sunt egale, atunci limita căutată este tocmai raportul coeficienților monoamelor principale. Obținem deci
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}=\color{red}{\frac{3}{2}}.$$
Aceasta este panta asimptotei oblice căutate. Ea ne sune că pe un caiet cu pătrățele asimptota urcă 3 pătrățele în timp ce se deplasează spre dreapta cu 2 pătrățele. Altfel spus, cateta verticală este 3, iar cateta orizontală este 2, iar tangenta unghiului de urcare este raportul dintre cateta verticală și cateta orizontală.
Urmează să găsim locul ei. Pentru aceasta vom calcula limita
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{3x^2+7}{2x-1}-\color{red}{\frac{3}{2}}\cdot x\right].$$
Aducem la același numitor și apoi amplificăm
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot(3x^2+7)-3x\cdot(2x-1)}{2\cdot(2x-1)},$$
Adică, dacă am învățat bine asimptotele oblice, atunci știm și asimptote orizontale sau verticale, numai că asimptotele oblice sunt ceva mai grele decât cele orizontale sau verticale. Sunt mai grele deoarece ele ne cer să calculăm nu una, ci două limite.
Un exemplu de funcție care are asimptotă oblică este o fracție de polinoame, la care numărătorul este un polinom cu gradul mai mare cu o unitate decât numitorul (pentru a reține mai bine această șmecherie, faceți legătura cu faptul că numărătorul este un cuvânt mai lung decât numitorul). Dacă gradul numărătorului nu este mai mare decât al numitorului, atunci, așa cum am văzut, fracția va avea asimptotă orizontală.
Un astfel de exemplu este funcția
$$f(x)=\frac{\text{polinom de gradul cinci}}{\text{polinom de gradul patru}}.$$
Această funcție va avea asimptotă oblică.
Dacă o funcție are asimptotă orizontală într-o parte (deci, înspre unul dintre cele două infinituri posibile, cel pozitiv și cel negativ), atunci să nu vă prind că mai căutați și asimptotă oblică în acea parte. Căutați, eventual, în cealaltă parte.
Sau invers: dacă într-o parte ați găsit asimptotă oblică, atunci nu are rost să mai căutați asimptotă orizontală în acea parte, ci doar eventual în cealaltă parte.
Acum să vedem cum se determină o asimptotă oblică pentru o anumită funcție. Spuneam că trebuiesc calculate două limite. Prima limită ne va spune cât de înclinată este asimptota, iar a doua limită ne va spune pe unde trece asimptota, adică pe unde taie axa verticală (axa ordonatelor).
Așadar, prima limită ne va furniza un număr „m” care se numește „panta asimptotei”. Relația dintre acest număr m și unghiul de înclinare este dată de formula
$$m=\tan\alpha,$$
adică panta este tangenta unghiului de înclinare.
Cu cât panta este mai mare, cu atât unghiul de înclinare este mai mare, deci cu atât asimptota este „mai oblică”. Desigur, ne referim aici la valoarea absolută a pantei și a unghiului când spunem „mai mare”.
Să vedem acum limita aceea care ne furnizează panta asimptotei. Iat-o:
$$\large{\color{red}{m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}}.$$
Observați că aici am dat doar limita din partea dreaptă a funcției, ca să nu vă încurc cu prea multe informații deodată, dar la fel de bine puteți căuta asimptota și în partea stângă, punând în limita de mai sus loc de $\infty$ pe $-\infty$.
Totul depinde de ceea ce vi se cere în problemă: dacă vi se va cere să „căutați asimptotele”, atunci va trebui să căutați în ambele părți, dar dacă vi se cere să căutați asimptota doar într-una dintre cele două părți, desigur, nu o veți căuta și în cealaltă parte.
A doua limită, deci cea care ne furnizează locul asimptotei se determină după ce am determinat panta. Aceasta deoarece pentru loc ne trebuie și panta. Locul asimptotei este un număr care se notează cu „n”.
Limita care ne dă locul asimptotei este
$$\large{\color{blue}{n=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]}}.$$
Asta-i tot. Adică, asta-i tot ce vă trebuie pentru asimptotele oblice. Așadar, haideți la un exemplu. Determinați asimptota oblică spre dreapta a funcției
$$f(x)=\frac{3x^2+7}{2x-1}.$$
Avem
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^2+7}{2x-1}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x-1}\cdot\frac{1}{x}.$$
Așadar,
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{(2x-1)\cdot x}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}.$$
Dar atunci când am povestit despre limite spre infinit din fracții, noi am aflat că dacă gradele sunt egale, atunci limita căutată este tocmai raportul coeficienților monoamelor principale. Obținem deci
$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+7}{2x^2-x}=\color{red}{\frac{3}{2}}.$$
Aceasta este panta asimptotei oblice căutate. Ea ne sune că pe un caiet cu pătrățele asimptota urcă 3 pătrățele în timp ce se deplasează spre dreapta cu 2 pătrățele. Altfel spus, cateta verticală este 3, iar cateta orizontală este 2, iar tangenta unghiului de urcare este raportul dintre cateta verticală și cateta orizontală.
Urmează să găsim locul ei. Pentru aceasta vom calcula limita
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}[f(x)-\color{red}{m}\cdot x]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{3x^2+7}{2x-1}-\color{red}{\frac{3}{2}}\cdot x\right].$$
Aducem la același numitor și apoi amplificăm
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot(3x^2+7)-3x\cdot(2x-1)}{2\cdot(2x-1)},$$
după care obținem
$$\color{blue}{n}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2+14-6x^2+3x}{4x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{14+3x}{4x-2}=\color{blue}{\frac{3}{4}}.$$
Așadar, asimptota va tăia axa verticală la trei sferturi de pătrățea pe un caiet cu pătrățele. Graficul funcției va arăta cam așa, în partea dreaptă, spre plus infinit:
Așadar, asimptota va tăia axa verticală la trei sferturi de pătrățea pe un caiet cu pătrățele. Graficul funcției va arăta cam așa, în partea dreaptă, spre plus infinit:
Acum avem tot ce ne trebuie pentru a scrie ecuația asimptotei oblice. Dar asta nu înseamnă că am scris-o deja. La bac să scrieți efectiv ecuația, altfel puteți fi depunctați.
Atunci, ecuația asimptotei noastre oblice este
$$y=\color{red}{\frac{3}{2}}x+\color{blue}{\frac{3}{4}}.$$
Observați în final că funcția dată ca exemplu are nu doar asimptotă oblică, ci și asimptotă verticală. Acest lucru este posibil. În schimb, nu este posibil să avem în aceeași parte asimptotă oblică și asimptotă orizontală, așa cum am menționat deja. Rețineți aceste aspecte!
Observați în final că funcția dată ca exemplu are nu doar asimptotă oblică, ci și asimptotă verticală. Acest lucru este posibil. În schimb, nu este posibil să avem în aceeași parte asimptotă oblică și asimptotă orizontală, așa cum am menționat deja. Rețineți aceste aspecte!
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.