Faceți căutări pe acest blog

duminică, 26 octombrie 2014

Dacă nu vă mai amintiți cum stă treaba cu modulul


Ce este modulul? Mulți dintre elevi știu doar atât despre modul: că modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Deci, ei știu de exemplu că $|-5|=5$. Și, într-adevăr, într-un fel acest lucru spune totul despre modul.

Totuși, atunci de ce li se pare mai greu să analizeze modulul unei expresii mai complicate, precum ar fi $|-5+2|$ sau, și mai rău, $|x-4|$? Dintr-un singur motiv: pentru că n-au înțeles cum e posibil să avem ceva de genul $|x|=-x$. Ce dumnezeu mai caută printre noi semnul acela minus din moment ce modulul oricărui număr este pozitiv?

Răspunsul este dat de următoarea observație. Știți că $-(-5)=+5$. De asemenea, $-(-8)$ este $+8$. Ce rezultă de aici? Că putem scrie un număr pozitiv chiar și folosindu-ne de semnul minus. Iată, deci, că semnul minus nu este chiar atât de parșiv, încât să apară numai în fața numerelor negative, căci două minusuri este un plus. Și nu numai două, ci, în general, un număr par de minusuri este echivalent cu un plus.

Așadar, acum când nu ne mai este atât de ciudă pe semnul minus, să încercăm să vedem ce vrea să spună, de fapt, expresia $|x|=-x$. Pentru a înțelege și mai bine despre ce este vorba, voi folosi cuvinte în expresia cu modul. Știți că $|pozitiv|=pozitiv$, iar asupra acestui aspect nu trebuie insistat.

Însă pentru numerele negative avem
$$\color{blue}{|negativ|}=\color{red}{-}\color{blue}{(negativ)}.$$
Așadar, minusul acela urât apare în cazul modulului doar dacă se calculează modulul unui număr negativ.

Și atunci, având în vedere că de regulă nu știm cât este $x$, deci nu știm nici ce semn are, spunem că modul din $x$ este tocmai $x$ dar numai dacă $x$ are semnul plus și este $-x$ dacă $x$ are semnul minus. Simbolic, acest lucru se scrie
$$|x|=\begin{cases}
\text{tocmai }x&\text{,    dacă }x\text{ este ceva normal, pozitiv} \\
-x&\text{,    dacă }x\text{ este o ciudățenie negativă}
\end{cases}.$$

Sau și mai simbolic, deci și mai abstract, fără prea multe mângâieri, modulul se scrie
$$\large{\color{red}{|x|=\begin{cases}
+x&\text{,    dacă }x\geq 0 \\
-x&\text{,    dacă }x<0
\end{cases}}}.$$

Și iată că suntem acum în posesia definiției modulului unei expresii oarecare $x$. Dar, desigur, în locul lui $x$ noi avem dreptul să punem orice. Deci, putem pune și $y-4$ sau $7x+5$, cu toate înlocuirile care se cuvin în asemenea cazuri.