Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 18 octombrie 2014

Ecuația tangentei la graficul unei funcții


Să se determine ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=x^2$, în punctul de abscisă $x=-1$.



Ce anume se cere? Se cere ecuația tangentei. Dar ce este tangenta? Tangenta este o dreaptă. Și nu orice fel de dreaptă, ci o dreaptă care atinge graficul funcției $f(x)=x^2$. Nu nu o atinge oriunde, ci o atinge într-un punct a cărui abscisă este tocmai $-1$ (chiar dacă nu s-a dat și ordonata, ci numai abscisa).

Ia priviți graficul de mai jos.
Funcția este desenată cu albastru, iar tangenta este desenată cu roșu. Cele două se ating, se iubesc, se sărută în punctul de abscisă $x=-1$.


Bun. Acum să presupunem că nu am văzut graficul și că vrem să găsim prin calcule ecuația dreptei care sărută funcția. Cum facem?

Există o regulă generală care spune că panta dreptei tangente la graficul unei funcții $f(x)$ într-un punct de abscisă $x=a$ este dată de derivata funcției în acel punct. Așadar, avem formula
$$\large{\color{red}{\frac{y-f(a)}{x-a}=f^\prime(a)}}.$$


Acum avem tot ce ne trebuie pentru a găsi ecuația căutată. Trecem la treabă. Concretizăm în  formula precedentă valorile pe care le-am primit noi în problemă. Adică, noi am primit că funcția este $f(x)=x^2$, iar abscisa punctului de tangență este $a=-1$.

Atunci
$$\frac{y-f(-1)}{x-(-1)}=f^\prime(-1).$$
Dar $f(-1)=(-1)^2=1$. Și cum $f^\prime(x)=(x^2)^\prime=2x$, rezultă că $f^\prime(-1)=2\cdot(-1)=-2$.

Obținem, deci
$$\frac{y-1}{x+1}=-2.$$

De aici vom obține ecuația dreptei căutate, prelucrând puțin rezultatul anterior. Numitorul fracției din stânga îl ducem în dreapta și va ajunge la numărător lângă $-2$. Mai exact, vom avea
$$y=1=-2(x+1).$$

Desfacem paranteza și rezultă
$$y-1=-2x-2.$$

Îl ducem și pe $-1$ din stânga în dreapta (cu semn schimbat) și obținem ecuația tangentei căutate
$$\large{\color{red}{y=-2x-1}},$$
exact așa cum vedeți și în grafic în dreapta sus.