Faceți căutări pe acest blog

joi, 2 octombrie 2014

Fracții zecimale, fracții ordinare


Se poate întâmpla să primiți ca problemă o fracție ordinară, pe care să trebuiască să o transformați în fracție zecimală. De asemenea, se poate și invers, să primiți o fracție zecimală pe care să o transformați în fracție ordinară.

Pentru a înțelege deosebirea dintre fracțiile ordinare și cele zecimale, vom vedea niște exemple. Avem așa drept exemple:

  • Fracții ordinare: $\frac{2}{3}$;     $\frac{-10}{10}$;      $\frac{4}{3}$;
  • Fracții zecimale: $3,12$;    $0,9$;     $45,678(91011)$.

Avem și contraexemple:
  • Contraexemple de fracții ordinare: $\frac{\sqrt{2}}{2}$;     $\frac{9}{\pi}$;    $\frac{5}{0}$;    $1,2$;
  • Contraexemple de fracții zecimale: $\frac{1}{2}$;        $0,101001000100001\dots$.
Din aceste exemple și contraexemple deducem două lucruri fundamentale:
  • Distincția dintre o fracție ordinară și una zecimală nu este neapărat o distincție valorică, ci mai ales o distincție de formă. Adică, forma unei fracții ordinare este diferită de forma unei fracții zecimale, chiar dacă cele două pot avea una și aceeași valoare. De exemplu, fracția ordinară $\frac{1}{2}$ este valoric egală cu fracția zecimală $0,5$, ele diferind doar prin formă.
  • Forma unei fracții ordinare sau zecimale nu este suficientă pentru denumirea ei, ci contează și conținutul. O fracție ordinară trebuie să conțină, atât la numărător, cât și la numitor, doar numere întregi, nu orice fel de numere ($\sqrt{2}$ sau $\pi$ nu sunt numere întregi); de asemenea, numitorul unei fracții ordinare nu poate fi nul, altfel fracția nu are sens (nu știm dacă o asemenea fracție este infinită sau minus infinită, rațională sau irațională, etc.). La fel, și fracțiile zecimale respectă condiția ca partea zecimală să fie periodică (simplă sau mixtă), chiar și cu perioada nulă.
Acestea fiind spuse, să vedem cum putem transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale și invers.






Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale


Cea mai uzuală metodă de transformare a unei fracții ordinare în fracție zecimală este împărțirea numărătorului la numitor. De exemplu, fracția ordinară $\frac{10}{4}$ va deveni prin împărțirea lui $10$ la $4$ fracția zecimală $2,5$ și vom putea scrie
$$\frac{10}{4}=2,5.$$

O altă metodă care ne permite să câștigăm timp este transformarea numitorului într-o putere a lui 10 prin amplificarea fracției ordinare cu un număr convenabil care să permită această transformare. De exemplu, fracția ordinară anterioară $\frac{10}{4}$ putea fi calculată mult mai repede dacă am fi amplificat-o cu $25$ (numărul care face ca numitorul să devină o putere a lui 10). Am fi avut atunci
$$\frac{10}{4}=\frac{10\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{250}{100}=\frac{25}{10}=2,5.$$
Dacă vă obișnuiți să observați așa ceva, atunci veți putea câștiga mult timp în asemenea calcule.

O altă șmecherie care vă poate ajuta să câștigați timp este amplificarea fracției cu un număr care face ca numitorul să devină format numai din 9, caz în care fracția zecimală rezultată va fi periodică. De exemplu, fracția ordinară $\frac{1}{3}$ poate fi transformată în fracție zecimală dacă o amplificăm cu 3, obținând $\frac{3}{9}$, adică $0,(3)$.



Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare


Vom povesti acum despre cum putem transforma, invers, o fracție zecimală în fracție ordinară, deci, din ceva cu virgulă în ceva cu linie de fracție. Pornim de la cea mai complicată posibilitate pe care o putem găsi la o fracție zecimală și arătăm cum poate fi ea transformată în fracție ordinară. Pornim, de fapt, de la un exemplu care să înglobeze cea mai complicată situație. 

Să zicem, deci, că vi se cere să transformați în fracție ordinară următoarea fracție zecimală
$$1,234(56).$$
Va trebui să faceți următorul calcul
$$1,234(56)=\frac{123456-1234}{99000}.$$
Acest exemplu vă spune totul despre transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare, căci el este suficient de explicit încât să conțină întreaga diversitate a fracțiilor zecimale. El ne permite să observăm că la numărător vom scrie numărul format din toate cifrele care apar minus numărul format din cifrele care nu sunt în paranteză, iar la numitor vom pune întâi atâția de 9 câte cifre sunt în paranteză, după care vom pune atâția de 0 câte cifre sunt după virgulă în afara parantezei.

Dar ce ne facem dacă nu avem nicio cifră în paranteză? Deci, ce ne facem dacă trebuie să transformăm în fracție ordinară o fracție zecimală precum $5,67$? În acest caz, la numărător punem toate cifrele fără să mai scădem ceva, iar la numitor punem un 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre avem după virgulă. Așadar, avem $5,67=\frac{567}{100}$.

Sper că am atins o bună parte a acestui subiect. Dacă nu, mai întrebați-mă.

18 comentarii:

  1. MULTUMESC FOARTE MULT!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    RăspundețiȘtergere
  2. Dar de exemplu, daca am 1,(4) si vreau sa transform in fractie ordinara, cum fac??

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Devine 1 intreg si 4 pe 9 oricare numar in plus in paranteza esete inca un 9

      Ștergere
  3. După cum spuneam în ultima parte a articolului, $1,(4)=\frac{14-1}{9}=\frac{13}{9}$.

    RăspundețiȘtergere
  4. Răspunsuri
    1. Noroc, iar dacă ai 0,1(3) atunci, așa cum am arătat la regula de transformare, faci o fracție care are la numărător tot numărul, adică 013=13 din care vei scădea ceea ce ai în stânga parantezei, adică 01=1,iar la numitor unul de 9 și unul de 0.

      Așadar $$0,1(3)=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}.$$

      Ștergere
  5. Dar de ce la transformare se pune 9 si 0 si nu se pune alta cifra ?Ca de exemplu 5,7,2,1 etc.

    RăspundețiȘtergere
  6. Dar de ce la transformarea fractiilor zecimale in fractii ordinare la numitor se pune 0 si 9 si nu se pun alte cifre ?De exemplu 2 si 1 sau 4 si 8 ?

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Andreea, cifra 9, respectiv, 0 apare în sistemul de numerație zecimal. Dacă facem conversii în alte sisteme de numerație, atunci la numitor apar alte cifre. De exemplu, în sistemul de numerație cu baza 6, fracția zecimală $0,4_(10)=\frac{2}{5}_(10)$ devine o fracție periodică $0,2222..._(6)$. Așadar, în baza 6, putem scrie $0,22222..._(6)=\frac{2}{5}_(6)$.

      Găsești amănunte în paginile lui sorinpopa sau sorinv.

      Ștergere
  7. Mai salvat,eu am teza peste trei zile.Mersi mult!

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Succes la teză, Dimitri! Îți ordon să-ți amintești acolo cel puțin o sută de cuvinte importante din acest articol! :D

      Ștergere
  8. Ce fac daca dau test la mate sa învăț capitolul fracții zecimale clasa a v a cat mai ușor?

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Încearcă să faci multe adunări corecte, scăderi, înmulțiri și împărțiri. Dar cu grija de a confrunta rezultatele obținute de tine cu rezultatele corecte. În acest sens, poți folosi de exemplu Wolfram Alpha.

      Ștergere

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare