Faceți căutări pe acest blog

joi, 2 octombrie 2014

Fracții zecimale, fracții ordinare


Se poate întâmpla să primiți ca problemă o fracție ordinară, pe care să trebuiască să o transformați în fracție zecimală. De asemenea, se poate și invers, să primiți o fracție zecimală pe care să o transformați în fracție ordinară.

Pentru a înțelege deosebirea dintre fracțiile ordinare și cele zecimale, vom vedea niște exemple. Avem așa drept exemple:

  • Fracții ordinare: $\frac{2}{3}$;     $\frac{-10}{10}$;      $\frac{4}{3}$;
  • Fracții zecimale: $3,12$;    $0,9$;     $45,678(91011)$.

Avem și contraexemple:
  • Contraexemple de fracții ordinare: $\frac{\sqrt{2}}{2}$;     $\frac{9}{\pi}$;    $\frac{5}{0}$;    $1,2$;
  • Contraexemple de fracții zecimale: $\frac{1}{2}$;        $0,101001000100001\dots$.
Din aceste exemple și contraexemple deducem două lucruri fundamentale:
  • Distincția dintre o fracție ordinară și una zecimală nu este neapărat o distincție valorică, ci mai ales o distincție de formă. Adică, forma unei fracții ordinare este diferită de forma unei fracții zecimale, chiar dacă cele două pot avea una și aceeași valoare. De exemplu, fracția ordinară $\frac{1}{2}$ este valoric egală cu fracția zecimală $0,5$, ele diferind doar prin formă.
  • Forma unei fracții ordinare sau zecimale nu este suficientă pentru denumirea ei, ci contează și conținutul. O fracție ordinară trebuie să conțină, atât la numărător, cât și la numitor, doar numere întregi, nu orice fel de numere ($\sqrt{2}$ sau $\pi$ nu sunt numere întregi); de asemenea, numitorul unei fracții ordinare nu poate fi nul, altfel fracția nu are sens (nu știm dacă o asemenea fracție este infinită sau minus infinită, rațională sau irațională, etc.). La fel, și fracțiile zecimale respectă condiția ca partea zecimală să fie periodică (simplă sau mixtă), chiar și cu perioada nulă.
Acestea fiind spuse, să vedem cum putem transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale și invers.






Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale


Cea mai uzuală metodă de transformare a unei fracții ordinare în fracție zecimală este împărțirea numărătorului la numitor. De exemplu, fracția ordinară $\frac{10}{4}$ va deveni prin împărțirea lui $10$ la $4$ fracția zecimală $2,5$ și vom putea scrie
$$\frac{10}{4}=2,5.$$

O altă metodă care ne permite să câștigăm timp este transformarea numitorului într-o putere a lui 10 prin amplificarea fracției ordinare cu un număr convenabil care să permită această transformare. De exemplu, fracția ordinară anterioară $\frac{10}{4}$ putea fi calculată mult mai repede dacă am fi amplificat-o cu $25$ (numărul care face ca numitorul să devină o putere a lui 10). Am fi avut atunci
$$\frac{10}{4}=\frac{10\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{250}{100}=\frac{25}{10}=2,5.$$
Dacă vă obișnuiți să observați așa ceva, atunci veți putea câștiga mult timp în asemenea calcule.

O altă șmecherie care vă poate ajuta să câștigați timp este amplificarea fracției cu un număr care face ca numitorul să devină format numai din 9, caz în care fracția zecimală rezultată va fi periodică. De exemplu, fracția ordinară $\frac{1}{3}$ poate fi transformată în fracție zecimală dacă o amplificăm cu 3, obținând $\frac{3}{9}$, adică $0,(3)$.



Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare


Vom povesti acum despre cum putem transforma, invers, o fracție zecimală în fracție ordinară, deci, din ceva cu virgulă în ceva cu linie de fracție. Pornim de la cea mai complicată posibilitate pe care o putem găsi la o fracție zecimală și arătăm cum poate fi ea transformată în fracție ordinară. Pornim, de fapt, de la un exemplu care să înglobeze cea mai complicată situație. 

Să zicem, deci, că vi se cere să transformați în fracție ordinară următoarea fracție zecimală
$$1,234(56).$$
Va trebui să faceți următorul calcul
$$1,234(56)=\frac{123456-1234}{99000}.$$
Acest exemplu vă spune totul despre transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare, căci el este suficient de explicit încât să conțină întreaga diversitate a fracțiilor zecimale. El ne permite să observăm că la numărător vom scrie numărul format din toate cifrele care apar minus numărul format din cifrele care nu sunt în paranteză, iar la numitor vom pune întâi atâția de 9 câte cifre sunt în paranteză, după care vom pune atâția de 0 câte cifre sunt după virgulă în afara parantezei.

Dar ce ne facem dacă nu avem nicio cifră în paranteză? Deci, ce ne facem dacă trebuie să transformăm în fracție ordinară o fracție zecimală precum $5,67$? În acest caz, la numărător punem toate cifrele fără să mai scădem ceva, iar la numitor punem un 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre avem după virgulă. Așadar, avem $5,67=\frac{567}{100}$.

Sper că am atins o bună parte a acestui subiect. Dacă nu, mai întrebați-mă.