Faceți căutări pe acest blog

marți, 21 octombrie 2014

O integrală uzuală calculată prin părți (și prin schimbare de variabilă)


Să se calculeze primitiva funcției $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.


Veți întâlni destul de des această integrală. Așa că haideți să o calculăm. Știm că, de regulă, o integrală poate fi simplă sau o combinație de integrale simple. Integralele simple sunt găsite în tabele, așa că integralele mai complicate trebuie reduse la integrale simple.

Dacă nu putem reduce direct integrala la o combinație de integrale mai simple, atunci măcar să o reducem la o integrală ce poate fi calculată prin părți. Din fericire, integrala noastră, deși nu poate fi redusă la o sumă sau diferență de integrale mai simple, ea poate fi în schimb calculată prin părți.

De regulă, dacă vedeți că o integrală nu poate fi scrisă ca o sumă de integrale mai simple, atunci încercați să o calculați prin părți. Cum integrala noastră nu este o sumă, înseamnă că vom încerca să o calculăm prin părți. Pentru a o calcula prin părți, trebuie să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții.

Știm că $\frac 2 3$ poate fi scris ca și $\frac 1 2\cdot 3$. Tot astfel, $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{x}\cdot\ln x$.

Atunci
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx.$$
Astfel, am reușit să scriem funcția de sub integrală ca un produs de două funcții. Mai departe, pentru a putea aplica formula integrării prin părți, va trebui să privim îndelung produsul nostru și să ne chinuim să observăm în acest produs o funcție derivată ca fiind unul dintre factori.

Factorii noștri sunt $\frac{1}{x}$ și $\ln x$. Care dintre ei o fi o funcție derivată? Deci, care dintre ei poate fi scris oare ca și ceva derivat? Să fie oare  $\frac{1}{x}$, ori $\ln x$? Care funcție derivată ne dă unul dintre acești factori? Hmmmm...

Păi, dacă ați întâlnit suficient de des expresia $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$, nu se poate să nu observați că factorul anterior $\frac{1}{x}$ poate fi scris ca și $(\ln x)^\prime$. În concluzie, integrala noastră devine
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int\frac{1}{x}\cdot\ln x dx=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx.$$

Ajunși în acest stadiu, nu ne mai rămâne decât să aplicăm formula integrării prin părți, adică formula
$$\large{\color{red}{\int f^\prime\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g^\prime}}.$$

Atunci, în baza acestei formule, vom avea
$$\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx=\ln x\cdot\ln x-\int\ln x\cdot(\ln x)^\prime.$$

Dar ce observăm aici? Că integrala din membrul drept este tocmai integrala ce trebuia calculată! Mai exact, dacă notăm
$$I=\int(\ln x)^\prime\cdot\ln x dx,$$
atunci am obținut că
$$I=\ln^2 x-I.$$

De aici, pentru a calcula integrala $I$, mai avem de făcut doar un pas banal. Și anume, acela de a muta $I$-ul din dreapta în stânga (cum semn schimbat, desigur). Așadar, obținem
$$I+I=\ln^2 x.$$
Deci
$$2I=\ln^2 x,$$
de unde
$$\color{blue}{I=\frac{\ln^2 x}{2}}+constanta.$$

Observați că această integrală putea fi calculată și cu schimbare de variabilă, dacă puneam
$$u=\ln x.$$
Atunci, ea devenea
$$\int\frac{\ln x}{x}dx=\int u^\prime\cdot u dx=\int u du=\frac{u^2}{2}+C.$$
Avantajul schimbării de variabilă era că puteam calcula ușor și integrale de forma
$$\int\frac{\ln^n x}{x}dx.$$