Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 22 octombrie 2014

O primitivă convexă


Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $f:(0;\infty)\to\mathbb{R}$, dată prin $f(x)=3x-\frac{2}{x}$ este convexă pe $(0;\infty)$.


Pentru a demonstra că o funcție este convexă (respectiv, concavă), este suficient să demonstrăm că a doua derivată a funcției respective este pozitivă (respectiv, negativă).

Vă povesteam alaltăieri prin ce „chinuri” trebuie să trecem ca să arătăm că primitiva unei funcții este crescătoare. Vă arătam acolo că acel cuvânt „primitiva” este pus oarecum la derută, căci pentru a arăta că o funcție (sau primitiva ei) este crescătoare a fost suficient să arătăm că derivata funcției (respectiv, derivata primitivei (care este tocmai funcția dată, fără nicio integrare și fără nicio derivare)) este pozitivă.

De data aceasta, trebuie să arătăm că a doua derivată a primitivei este pozitivă. Dar, dacă prima derivată a primitivei este tocmai funcția, înseamnă că a doua derivată a primitivei va fi de fapt prima derivată a funcției date.

Prin urmare, nu trebuie să calculăm nici primitiva și nici a doua derivată a vreunei funcții, ci trebuie să calculăm pur și simplu prima derivată a funcției date $f(x)=3x-\frac{2}{x}$ și să stabilim semnul ei. Aceasta este esența rezolvării problemei noastre!

Dar $$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^\prime=(3x)^\prime-\left(\frac{2}{x}\right)^\prime=3+\frac{2}{x^2}.$$

Pardon. Am uitat să vă arăt amănunțit de ce
$$-\left(\frac{2}{x}\right)^\prime=+\frac{2}{x^2}.$$
Avem așa: constanta $2$ din paranteză iese în față și nu ne încurcă. Rămâne atunci să derivăm
$$-\left(\frac{1}{x}\right)^\prime.$$
Dar $\frac{1}{x}=x^{-1}$, deci noi avem de derivat de fapt pe $x^{-1}$. Avem atunci
$$-\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=-(x^{-1})^\prime.$$
Din formula de derivare
$$(x^n)^\prime=nx^{n-1},$$
avem că
$$-(x^{-1})^\prime=-(-1)\cdot x^{-2}.$$
Cum minus minus ceva e cu plus și cum $x^{-2}=\frac{1}{x^2}$, rezultă ceea ce trebuia arătat, adică
$$-(x^{-1})^\prime=-(-1)\cdot x^{-2}=+\frac{1}{x^2}.$$



Ok, deci revenim și acuma știți de ce
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^\prime=(3x)^\prime-\left(\frac{2}{x}\right)^\prime=3+\frac{2}{x^2}.$$

Mai trebuie să verificăm acum dacă acest rezultat este pozitiv. Este pozitivă expresia $3+\frac{2}{x^2}$? Absolut. Din moment ce este o sumă de termeni pozitivi (3 este pozitiv, iar $x^2$ este și el pozitiv mereu), atunci toată expresia este pozitivă.


Așadar, prima derivată a funcției este pozitivă. Așadar, a doua derivată a primitivei funcției este pozitivă. Așadar primitiva funcției este convexă, așa cum trebuia arătat.