Orice funcție continuă admite primitive

Să se arate că funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin
$$f(x)=\begin{cases} x^2-4x+9 &\mbox{dacă } x\leq 1 \\
x+5 & \mbox{dacă }  x>1 \end{cases}$$
admite primitive.

Există următoarea succesiune logică pe care e bine s-o rețineți: dacă o funcție este continuă, atunci ea admite primitive, iar dacă admite primitive, atunci ea are proprietatea lui Darboux.

Și, desigur, avem și implicațiile inverse: dacă o funcție nu are proprietatea lui Darboux, atunci ea nu admite primitive, iar dacă nu admite primitive, atunci nu este continuă.

Iar pentru cei de la M1 mai putem adăuga o proprietate bine de reținut: dacă o funcție are doar discontinuități de prima speță, atunci ea nu admite primitive (căci discontinuitățile unei funcții cu proprietatea lui Darboux sunt doar de speța a doua).



Ok. Deci problema noastră trebuie rezolvată arătând că funcția admite primitive. Din prima implicație rezultă că dacă am putea arăta că funcția noastră este continuă, atunci am putea concluziona că funcția noastră mai și admite primitive. Iar rezolvarea ar fi gata.

De regulă, dacă vi se cere să arătați că o asemenea funcție admite primitive, vi se cere de fapt să arătați că funcția este continuă. Dar, atenție, acest lucru este valabil doar pentru începători. Căci pot exista și funcții care, deși nu sunt continue, să admită primitive, dar asemenea excepții complică problema și ele nu se adresează începătorilor.


Să arătăm, deci, că funcția noastră este continuă. Pornim frumos de la următoarea poveste:

• funcția putere, exponențială, logaritmică, sinus, cosinus, tangentă, cotangentă și radical sunt funcții elementare;
• orice combinație liniară (deci, adunări și înmulțiri) de funcții elementare este tot o funcție elementară;
• orice funcție elementară este continuă pe domeniul ei de definiție.

Funcția noastră conține două ramuri polinomiale (combinații liniare cu funcția putere). Ramura de sus este un polinom de gradul doi, iar ramura de jos este un polinom de gradul întâi. Așadar, ambele ramuri sunt funcții elementare, deci continue pe domeniile lor de definiție.

Atunci de ce se mai pune problema continuității? Păi, mai degrabă UNDE, nu DE CE. Pentru că problema continuității se pune de fapt acolo unde se rup cele două ramuri. Deci, problema continuității funcției noastre se pune în $1$. Acolo trebuie să vedem dacă funcția este continuă.

Și cum verificăm continuitatea funcției în $1$? Prin calculul limitelor laterale în $1$. Dacă limitele laterale sunt egale între ele și egale cu $f(1)$, atunci funcția este continuă (și) în $1$.

Limita laterală la stânga în $1$ este limita în care $x$ urcă spre $1$, deci limita când $x$ se apropie de $1$ și este mai mic decât $1$. În domeniul în care $x<1$ funcția este ramura de sus, deci avem
$$l_s(1)=\lim_{x\nearrow 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x^2-4x+9)=1^2-4\cdot 1+9=6.$$

Apoi, limita la dreapta în $1$ este limita în care $x$ coboară spre $1$ deci limita când $x$ se apropie de $1$ și este mai mare decât $1$. În domeniul în care $x>1$ funcția este ramura de jos, deci avem
$$l_d(1)=\lim_{x\searrow 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+5)=1+5=6.$$

Așadar, am obținut ceva foarte important: că cele două limite laterale sunt egale. Mai trebuie să verificăm dacă ele sunt egale și cu $f(1)$. Dar cum ramura de sus este aceeași și pentru $x=1$, rezultă că $f(1)=l_s(1)=6$.

Deci, limitele sunt egale între ele și sunt egale și cu $f(1)$. Aceasta înseamnă că funcția noastră este continuă și în $x=1$, deci este continuă peste tot. Și cum orice funcție continuă admite primitive, problema este rezolvată.