Faceți căutări pe acest blog

vineri, 7 noiembrie 2014

Matematica și optimizarea motoarelor termice


Aoleu! Păi, ce? Ăsta e sait de termodinamică? Pe bună dreptate, vă puteți pune această întrebare, din moment ce am început cu un titlu atât de tâmpit. Ei bine, veți înțelege imediat la ce mă refer. Mă gândesc să rezolvăm împreună o problemă de matematică pe care o putem aplica motoarelor termice.

Știți cu toții, mai ales cei cărora vă plac motoarele, că automobilele au, în marea lor majoritate, un motor cu cilindri și pistoane. Și mai știți că ele produc căldură. Iată ce vreau eu, în acest context. Să găsim dimensiunea optimă pentru un cilindru, astfel încât motorul să fie suficient de puternic, dar în plus să nu se încălzească prea tare.

Puterea motorului depinde și de volumul cilindrului. Iar gradul de încălzire depinde de porțiunea prin care iese afară căldura din cilindru, deci depinde de aria totală a cilindrului. Deci, noi vrem un motor cât mai puternic și cât mai rece.

Haideți atunci să rezolvăm o problemă de matematică prin care să obținem un cilindru cu volum cât mai mare, dar cu arie totală cât mai mică.

Să vedem întâi formulele pentru volumul cilindrului și aria totală a acestuia. Cum cilindrul este o prismă rotundă cu baza un cerc (să zicem, de rază $r$) și cu înălțimea $h$, volumul acestuia este aria bazei ori înălțimea, adică
$$V=\pi r^2 h.$$

Iar aria totală este aria laterală (care este perimetrul bazei ori înălțimea) plus de două ori aria bazei (deci de două ori $\pi r^2$), adică
$$A_t=2\pi r h+2\pi r^2=2\pi r(h+r).$$

Acum, să fixăm volumul (deci să considerăm că volumul este o constantă) și să vedem care ar fi raza optimă pentru un anumit volum dat (deci presupunem că raza este o variabilă).

Eliminăm înălțimea din cele două ecuații ca să rămânem numai cu rază și cu volum. Pentru aceasta, îl scoatem pe $h$ din formula volumului și obținem
$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Atunci, aria totală va fi numai funcție de raza $r$ pe care o vom nota acum cu $x$ ca să facem din aria totală o funcție pe care vrem să o minimizăm (deci vrem să vedem care ar fi minimul acestei funcții).

Așadar, avem
$$A_t=2\pi r\frac{V}{\pi r^2}+2\pi r^2=\frac{2V}{r}+2\pi r^2=\frac{2V}{x}+2\pi x^2.$$

Acum vrem să vedem cum se comportă funcția $$f(x)=\frac{2V}{x}+2\pi x^2$$ și când devine ea minimă. Din analiza matematică știți că pentru a găsi extremele unei funcții e bine să o derivăm și să vedem unde se anulează derivata. Acolo unde se anulează derivata sunt mari șanse să găsim un extrem al funcției. Atunci haideți să derivăm funcția noastră.

Avem $$f^\prime(x)=-\frac{2V}{x^2}+4\pi x.$$

Acum căutăm soluțiile ecuației $f^\prime(x)=0$, adică rezolvăm ecuația
$$-\frac{2V}{x^2}+4\pi x=0.$$
Ca să scăpăm de numitor, înmulțim toată ecuația cu $x^2$ (căci raza nu poate fi nulă) și obținem ecuația
$$-2V+4\pi x^3=0.$$
Îl scoatem pe $x$ de aici și obținem
$$x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$


Acum construim tabelul binecunoscut pentru a vedea și semnul derivatei:
$$\begin{array}{r|lcr}
x&0&\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}&\infty\\
\hline
f^\prime&-\infty\text{   }-\,-&0&+\,+\,+\infty\\
\hline
f&+\infty\,\searrow\,\searrow&f\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)&\nearrow\,\nearrow\,+\infty
\end{array}.$$

Tabelul ne arată că funcția are un minim în punctul $x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$. Toate acestea ne spun că dacă vrem un cilindru cât mai rece de volum $V$, atunci trebuie ca raza acestui cilindru să aibă valoarea $r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ și înălțimea dată de $h=\frac{V}{\pi r^2}$.



Aveți aici, așadar, un exemplu de câtă forță are analiza de liceu pe care ați învățat-o în clasa a XI-a. Bine, acuma să nu vă supărați pe mine dacă n-am lăbărțat suficient de mult acest subiect. Dar, dacă n-ați înțeles mai mult de 50% din el, atunci să știți că toată vina este numai și numai a mea, nicidecum a voastră. Și nici nu știu dacă inginerii se folosesc de aceste calcule în proiectarea motoarelor, dar presupun că lucrurile sunt chiar mai complicate de-atât.