Faceți căutări pe acest blog

duminică, 28 decembrie 2014

Numerele imaginare nu pot fi numere reale


Când m-am lovit pentru prima dată de această noțiune șocantă de „număr complex” am gândit ceva de genul: „Altă noțiune, alt număr? Oare nu putem găsi un număr real care să ne scutească de necesitatea numerelor complexe?”

Profesorul meu de matematică de la liceu, dragul domn Bohler, mi-a clarificat repede această dilemă, pe măsură ce lecția se desfășura. Acest profesor ne-a pus în față problema: „cât este radical din minus unu?” și ne-a dat o pauză de meditație pe care tot el a întrerupt-o continuând să răspândească în clasă undele sonore minunate provenite de la dragele lui corzi vocale.

Ei bine, cât credeți că este radical din minus unu?

Știți că radical din 16 este 4 sau că radical din 25 este 5 pentru că $4\cdot 4=4^2=16$ și, respectiv, $5\cdot 5=5^2=25$. Atunci cât o fi radical din minus unu? Să fie oare 1? Păi, facem proba. Dacă radical din -1 ar fi fost 1, atunci ar fi trebuit ca $1\cdot 1$ să fie -1. Dar, desigur, $1\cdot 1$ nu este -1, ci este 1.

Să fie oare atunci -1? Presupunem că da. Facem atunci iar proba. Dacă radical din -1 ar fi -1, atunci ar trebui ca $(-1)\cdot(-1)$ să ne dea $-1$. Dar, nici vorbă, $(-1)\cdot(-1)$ nu ne dă $-1$, ci ne dă $+1$, căci minus ori minus este plus.

Atunci ce ne facem? Abandonăm studiul? Abandonăm lupta? Lupta cu ce? Ce căutăm, de fapt? Căutăm să calculăm cât este $\sqrt{-1}$. Cum ar trebui să arate acest calcul? Ce rezultat am vrea să ne dea el? Un număr real? Ceva de genul lui 1, 3 sau 8,5?

Ei bine, nu. Nu vom reuși niciodată să găsim un număr real care înmulțit cu el însuși să ne dea $-1$! Pentru că pătratul oricărui număr real (chiar dacă acesta este negativ!) este un număr real pozitiv, nu unul negativ. Riguros spus, $a\cdot a=a^2\ge 0$, orice număr real ați pune în locul lui $a$.

Așadar, trebuie să căutăm altă soluție. Ar fi o pierdere de vreme să ne mai chinuim să găsim vreun număr real care ridicat la pătrat să ne dea -1. Soluția găsită s-a conturat începând cu marii matematicieni care se chinuiau să rezolve ecuațiile de grad mai mare sau egal cu 2. Astăzi s-a ajuns să considerăm că radical din minus unu este o literă, litera i, căreia să-i dăm noi semnificația lui radical din minus unu.

Așadar, riguros, avem $\sqrt{-1}=i$, ceea ce mai înseamnă că $i\cdot i=i^2=-1$.

Poate că extratereștrii folosesc alt semn pentru radical din minus unu, dar noi ne-am obișnuit să îl folosim pe acesta. Uneori mai folosim și litera j, atunci când există pericolul să confundăm litera i cu altceva. Important este să ne înțelegem toți între noi să folosim același semn pentru radical din minus unu.

Această înțelegere, această convenție, se transmite din generație în generație, de la profesor la elev și a ajuns așa până la noi.

Bun. Acum, că avem o soluție de a „calcula” cât este radical din -1, putem afla și cât este radical din -16, de exemplu. Avem așa
$$\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot(-1)}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}=4\cdot i=4i.$$

Observați, deci, că dacă cunoaștem cât este radical din minus unu, putem cunoaște ușor cât este radical din orice număr negativ prin simpla alăturare a literei i la radicalul numărului pozitiv.

Numerele de forma 4i, 35i sau -20i sau $\frac{\pi}{2}i$ se numesc „numere imaginare” pentru că ele nu sunt numere reale, din moment ce au în componența lor litera i care este, prin convenție, radical din minus unu.

De la numerele imaginare până la numerele complexe nu mai e decât un pas. Mai exact, numărul complex este suma dintre un număr real și un număr imaginar. Numărul real din această sumă se numește „partea reală” a numărului complex, iar numărul imaginar din această sumă se numește „partea imaginară” a numărului complex dat.

Observați de aici că numărul complex este mai cuprinzător decât un număr real, căci orice număr real poate fi considerat un număr complex a cărui parte imaginară este nulă.


Pe mine m-a liniștit astfel profesorul Bohler. Oare voi sunteți mai liniștiți acum?

duminică, 14 decembrie 2014

O integrală buclucașă


Calculați
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}.$$

În tabelele obișnuite cu integrale (pe care mă gândesc eu că voi v-ați apucat deja să le cam învățați pe de rost) nu veți găsi această integrală, așa că ea va trebui calculată. Apoi, după ce o calculăm, dacă vreți voi s-o introduceți într-un tabel al vostru personal, eu n-am nimic împotrivă.

Bun. Deci, ce avem de făcut pentru a calcula o integrală? Scopul este să ne apropiem cât mai mult de o integrală simplă sau de mai multe integrale simple. Integralele simple sunt cele pe care le găsim în tabelul obișnuit.

Așadar, ce integrale asemănătoare găsim în tabelul obișnuit? Bineînțeles, nu ne vom uita în tabel după integrale de altă formă decât integrala noastră, ci vom căuta integrale care să aibă ceva radical în ele. Noi n-avem treabă, de exemplu, cu $\int e^x dx$.

După ce ne holbăm ceva mai lung la tabel, constatăm că există o integrală ciudată care are radical în ea și care ne spune următoarele
$$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-9}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-9}|}.$$

Mamăăă, da' ce mai seamănă cele două integrale! Dar, ia stați! Nu cumva a greșit autorul? Nu cumva radicalul acela din tabel ar fi trebuit să nu fie la numitor? Nici vorbă! Stați liniștiți, că e bine. Radicalul din tabel e la numitor, iar radicalul din integrala noastră este, din păcate, „la numărător”, căci poate fi scris și el ca o fracție cu numitorul egal cu $1$
$$\frac{\sqrt{x^2-9}}{1}.$$

Și atunci, dată fiind situația, ce-i de făcut? Am putea să calculăm integrala noastră cu ajutorul altei integrale ce are radicalul la numitor? Ce ziceți voi? Hmmm...

Păi, ia să vedem ce putem face. Ne trebuie puțină artă. Trebuie să facem o mică șmecherie prin care să ducem radicalul acela la numitor. Urmăriți-mă cu atenție.

Oare sunteți de acord că
$$\sqrt a=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt a}\,\,?$$

Păi, de ce n-ați fi de acord? Doar putem simplifica unul dintre radicalii de la numărător cu radicalul de la numitor și ne rămâne celălalt radical dintre cei doi aflați la numărător.

Bun. Acum, dacă sunteți de acord cu șmecheria noastră, mergem mai departe. Ia priviți mai bine numărătorul. Dacă avem doi radicali din același lucru, atunci radicalul dispare. Este un fel de ciocnire de radicali, ciocnire ce duce la dispariția lor. Așadar, avem
$$\sqrt a\cdot\sqrt a=a.$$
Prin urmare,
$$\sqrt a=\frac{a}{\sqrt a}.$$
Țineți minte chestia asta! Puteți aduce radicalul la numitor atunci când aveți nevoie de asta. Este, de data aceasta, un fel de raționalizare a numărătorului.

Înseamnă că integrala noastră începe să aibă radical la numitor și ne apropiem de integrala din tabel.
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2-9}}dx.$$
Yuppiiiii!

Hehe, ne bucurăm noi, dar ne bucurăm prea devreme, căci mai avem un drum tare lung de parcurs până la rezolvarea completă. Integrala din tabel cu radical la numitor nu are nimic la numărător. Pardon, are doar $1$ la numărător, dar nicidecum $x^2-9$. Așa că de-acum va trebui să vedem cum ne putem descurca cu numărătorul ca să îl vedem mai simplu.

O altă mare filozofie este să despărțim fracția în două fracții mai simple. Noi știm de la fracțiile care au același numitor că $$\frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}.$$ Așadar, obținem
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2-9}}dx=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}-\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Acum ne vom folosi de $\int(f+g)=\int f+\int g$, proprietate pe care o regăsiți în tabelul cu integrale. Așadar, desfacem integrala noastră complicată în două integrale mai simple. Adică
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Super! Am reușit să desfacem o integrală urâtă în două integrale ce promit să fie mai simple. Ok. Să ne ocupăm atunci de prima integrală, cea roșie. O luăm separat și vedem ce putem face cu ea. Așadar, avem de calculat integrala
$$\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
La această integrală ne enervează puțin numărătorul $x^2$ și ca să ne calmăm puțin vom încerca să-l facem mai simplu, descompunându-l pe $x^2$ în $x\cdot x$.  Atunci integrala va deveni
$$\int\color{red}{\frac{x\cdot x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și cum
$$\frac{a\cdot b}{c}=a\frac{b}{c},$$
integrala devine
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Desigur, n-am rezolvat mare lucru că am scris integrala astfel decât dacă ne gândim să o calculăm prin părți. Integrarea prin părți ne spune că dacă descoperim sub integrală un produs de două funcții, dintre care una este o derivată, atunci suntem boieri, căci avem formula
$$\int f\cdot g^\prime=f\cdot g-\int f^\prime\cdot g.$$

Așadar, pentru a calcula integrala
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx,$$
integrală ce constă deja dintr-un produs de două funcții, $x$ și $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ trebuie să mai descoperim acolo o derivată.

Așadar, oare pe care dintre cele două funcții $x$ și $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ am putea s-o scriem ca fiind derivata altei funcții? Să scriem oare $x=\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime$? Aoleu! Nici vorbă! Pentru că dacă am face prostia asta, atunci a doua integrală ar presupune să derivăm cealaltă funcție $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ și ar ieși un talmeș-balmeș.

Așa că mai bine ne chinuim să mergem pe cealaltă pistă. Adică, să căutăm o funcție a cărei derivată să ne dea tocmai $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Dar oare există așa ceva? Există oare o funcție care derivată să ne dea $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$?

Din fericire, există! Derivând radicalul de la numitor, adică $(\sqrt{x^2-9})^\prime$, obținem tocmai funcția dorită, adică $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Cum așa? Păi n-avem decât să folosim formula
$$(\sqrt u)^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt u}.$$

Și la noi $u=x^2-9$. Atunci $u^\prime=(x^2-9)^\prime=(x^2)^\prime-9^\prime=2x-0=2x$. Așadar,
$$(\sqrt{x^2-9})^\prime=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}.$$

Am obținut ceva remarcabil! Am obținut acea funcție care derivată să ne dea $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$. Acum ne putem reculege puțin, că ne-am cam împrăștiat. Ia să vedem. Avem de calculat integrala
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și am descoperit că $\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ poate fi scrisă ca $(\sqrt{x^2-9})^\prime$. Așadar, integrala devine acum
$$\int\color{red}{x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}dx=\int\color{red}{x\cdot(\sqrt{x^2-9})^\prime}dx.$$
Calculând prin părți, obținem că
$$\int\color{red}{x\cdot(\sqrt{x^2-9})^\prime}dx=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int x^\prime\cdot\sqrt{x^2-9}dx.$$
Dar $x^\prime=1$. Așadar, obținem ceva interesant. Am obținut că integrala roșie, de la care am pornit după desfacerea integralei inițiale, este
$$\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\sqrt{x^2-9}dx.$$



Acum ne întoarcem la integrala noastră inițială (cea verde) și vedem ce am obținut. Țineți minte că am avut
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\int\color{red}{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}}}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Și cum noi am calculat deja integrala roșie, putem scrie
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\sqrt{x^2-9}dx-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Dar, vai, integrala din mijloc este tocmai integrala verde! Adică
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Și atunci, ce ziceți, am putea să ducem integrala verde din dreapta în partea stângă, lângă sora ei geamănă? Absolut. Și ducând-o în stânga trebuie să îi schimbăm semnul, din minus în plus. Adică obținem
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}+\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$
Dar adunând același lucru de două ori, obținem dublul acelui lucru. Mai exact
$$\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}+\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}.$$

Așadar, din toată nebunia asta obținem
$$2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx.$$

Off! Haideți să scăpăm odată și de integrala asta albastră care ne tot încurcă! Au! Dar integrala albastră este tocmai integrala din tabel, cea cu radicalul la numitor, doar că avem sus un $9$ pe care îl putem scoate în fața integrale, $9$ fiind o constantă. Așadar
$$\int\color{blue}{\frac{9}{\sqrt{x^2-9}}}dx=9\ln|x+\sqrt{x^2-9}|.$$
Am scăpat, deci și de integrala albastră. Adică, putem scrie
$$2\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=x\cdot\sqrt{x^2-9}-9\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C.$$

Ce? Cum? Am terminat? Am găsit integrala verde din enunț? Aproape. Ne mai încurcă $2$-ul acela din fața ei. Atunci împărțim toată egalitatea precedentă cu $2$ și obținem în final
$$\large{\color{limegreen}{\int\sqrt{x^2-9}dx}=\frac{x}{2}\cdot\sqrt{x^2-9}-\frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|+C}.$$

Mamma mia! Acuma văd cât v-am chinuit pentru această integrală! Păi, iertați-mă, dar n-am găsit o cale mai ușoară...

vineri, 12 decembrie 2014

Suma puterilor rădăcinilor


Dat fiind un polinom de gradul al doilea $f(X)=aX^2+bX+c$ și rădăcinile sale $x_1$ și $x_2$, am văzut că relațiile lui Viète corespunzătoare sunt
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
și
$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$

Acum, să presupunem că într-o anumită problemă vi se cere să calculați expresia
$$S=x_1^2+x_2^2.$$

Aveți două metode pentru asta. Prima metodă pornește de la expresia $(x_1+x_2)^2$. Haideți să vedem la ce mă refer. Facem următorul calcul, folosindu-ne de formula de calcul prescurtat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\color{red}{x_1^2+x_2^2}+2x_1x_2.$$
Inversăm egalitatea și obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2.$$
Acum aruncăm în dreapta egalității (desigur, cu semn schimbat) termenul $2x_1x_2$ și obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Am putea să ne oprim aici, căci aceasta este formula pe care trebuie să o rețineți. Punând indicii corespunzători, această formulă ar mai putea fi scrisă
$$\large{\color{red}{S_2=S_1^2-2P}},$$
unde am pus $S_2=x_1^2+x_2^2$, $S_1=x_1+x_2$ și $P=x_1x_2$.

Acum, dacă ne trebuie și valorile concrete, ne uităm puțin mai sus la relațiile lui Viète. Folosindu-le, obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}.$$

Dar vreau acum să vă arăt o metodă mai interesantă pentru a obține această relație. Este mai interesantă pentru că este mai simplă și mai elegantă, simplitate și eleganță care vor apărea mult mai evidente în cazul polinomului de gradul trei.

Pornim de la forma generală a ecuației de gradul doi $ax^2+bx+c=0$, o împărțim cu $a$ și o scriem
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$
Acum aruncăm în dreapta toți termenii diferiți de $x^2$ și obținem
$$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}.$$
Această egalitate este valabilă pentru ambele rădăcini $x_1$ și $x_2$. Așadar, putem scrie două relații
$$x_1^2=-\frac{b}{a}x_1-\frac{c}{a}$$
$$x_2^2=-\frac{b}{a}x_2-\frac{c}{a}.$$
Acum nu ne rămâne decât să adunăm cele două egalități, termen cu termen, și vom obține
$$\color{blue}{x_1^2+x_2^2}=-\frac{b}{a}(x_1+x_2)-2\frac{c}{a}.$$
Cum $(x_1+x_2)=-\frac{b}{a}$, obținem
$$\color{blue}{x_1^2+x_2^2}=-\frac{b}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)-2\frac{c}{a},$$
rezultat echivalent, desigur, cu cel precedent. Așa-i că a doua metodă este mai simplă decât prima?





Cum, nu v-am convins încă? Hmmm... Noa, nu-i bai, atunci am să vă arăt cât de utilă e a doua metodă pentru relațiile lui Viète de ordinul trei. Doar că aici vom aborda numai această a doua metodă pentru suma $S_3=x_1^3+x_2^3+x_3^3$, căci prima e urâtă și grea.

Dar, pentru aceasta, înainte trebuie să scriem suma $S_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, căci vom avea nevoie de ea. Nu mai reproducem raționamentul de mai sus pe care l-am construit pentru a calcula suma pătratelor rădăcinilor polinomului de gradul doi, care ar consta aici în ridicarea trinomului la pătrat, și vă asigur că putem scrie în mod analog
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$
Folosind relațiile lui Viète de ordinul trei, înlocuim expresiile corespunzătoare și obținem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a},$$
complet analog cazului cu polinomul de gradul doi.

Acum putem folosi metoda elegantă pentru a calcula suma $x_1^3+x_2^3+x_3^3$. Vă amintiți că această metodă presupune să scriem ecuația (de data aceasta, de gradul trei, nu doi) $ax^3+bx^2+cx+d=0$, s-o împărțim cu $a$ și să aruncăm în dreapta termenii diferiți de $x^3$. Așadar, avem
$$x^3=-\frac{b}{a}x^2-\frac{c}{a}x-\frac{d}{a}.$$
Acum, înlocuim $x$ cu toate cele trei rădăcini și avem trei egalități
$$x_1^3=-\frac{b}{a}x_1^2-\frac{c}{a}x_1-\frac{d}{a},$$
$$x_2^3=-\frac{b}{a}x_2^2-\frac{c}{a}x_2-\frac{d}{a}$$
și
$$x_3^3=-\frac{b}{a}x_3^2-\frac{c}{a}x_3-\frac{d}{a}.$$

Cum nouă ne trebuie suma $x_1^3+x_2^3+x_3^3$, nu trebuie decât să adunăm cele trei egalități precedente termen cu termen. Deci, adunând și dând apoi factor comun, obținem
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b}{a}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-\frac{c}{a}(x_1+x_2+x_3)-3\frac{d}{a}.$$

Înlocuind acum pe $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)$ cu $\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)$ și pe $(x_1+x_2+x_3)$ cu $-\frac{b}{a}$, obținem
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b}{a}\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)+\frac{c}{a}\frac{b}{a}-3\frac{d}{a}.$$

În final, desfacem parantezele și adunăm termenii asemenea. Și obținem bijuteria
$$\large{\color{limegreen}{x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}-\frac{3d}{a}}}.$$

Vă ordon să vă amintiți aceste lucruri la bac!

miercuri, 3 decembrie 2014

Relațiile lui Viète de ordinul trei


Am văzut că relațiile lui Viète de ordinul doi reprezintă o legătură minunată între coeficienții unui polinom de gradul doi și rădăcinile acestuia.

Voi arăta în acest articol că o asemenea legătură există nu doar pentru polinoamele de gradul doi, ci și pentru cele de gradul trei. Dar calea prin care voi arăta aceasta nu va mai fi aceeași ca pentru polinomul de gradul doi, ci puțin diferită.

Să ne înțelegem. Dacă vrem să găsim o legătură între rădăcinile unui polinom și coeficienții acelui polinom, va trebui să găsim o egalitate între polinomul scris într-o anumită formă care se folosește de rădăcini și același polinom scris într-o altă formă care se folosește de coeficienți.

Haideți atunci să ne ocupăm întâi de partea din stânga a egalității, deci de partea care se folosește de rădăcini. Un polinom de gradul trei, care, în forma lui cea mai generală este $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ale cărui rădăcini sunt $x_1$, $x_2$ și $x_3$, poate fi scris ca un produs de forma: $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$. Așadar, partea din stânga a egalității pe care o vom scrie este tocmai
$$\color{red}{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}.$$

Dar partea din dreapta este partea care se folosește de coeficienți, adică tocmai forma generală a polinomului dat. Așadar, partea din dreapta va fi
$$\color{blue}{ax^3+bx^2+cx+d}.$$

Așadar, trebuie să avem
$$\color{red}{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\color{blue}{ax^3+bx^2+cx+d}.$$

În această egalitate se ascunde esența relațiilor lui Viète de ordinul trei. Căci, putem duce mai departe raționamentul și vor reieși ca prin minune aceste relații. Pentru aceasta este suficient să desfacem parantezele care apar în partea stângă, ca să vedem ce va rezulta.

Atunci, desfacem întâi primele două paranteze și vom obține
$$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3).$$

Mai facem apoi un pas și înmulțim treptat paranteza dreaptă $[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]$ cu $(x-x_3)$, după care, dând factorii comuni corespunzători, vom obține următorul șir de egalități
$$\begin{array}a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=\\
=a[x^3-(x_1+x_2)x^2+x_1x_2x-x_3x^2+(x_1+x_2)x_3x-x_1x_2x_3]=\\
=a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3].
\end{array}$$

Așadar, partea din stânga egalității este
$$\color{red}{a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]}.$$

La partea din dreapta egalității ne mai rămâne să scoatem factor forțat pe $a$ ($a$ este, prin definiție, nenul, altfel polinomul nu ar mai fi de gradul trei, ci ar fi de gradul doi). Astfel, vom obține ceva asemănător pentru o comparare mai ușoară a celor două părți ale egalității. Așadar, avem deci în partea dreaptă
$$\color{blue}{a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)}.$$

Cum partea roșie este egală cu partea albastră, înseamnă că avem:
$$\color{red}{a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]}=\\
=\color{blue}{a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)}.$$

Acum observăm că această egalitate poate fi împărțită cu $a$ și vom obține o formă mai aerisită
$$\color{red}{x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3}=\\
=\color{blue}{x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}}.$$

Ba chiar mai putem scădea din această egalitate și termenul inutil $x^3$ care se află în ambele părți. Prin aceasta vom obține forma remarcabilă:
$$\color{red}{-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3}=\color{blue}{\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}}.$$

Acum aș dori să priviți mai lung rezultatul obținut... Avem în stânga un polinom de gradul doi, iar în dreapta tot un polinom de gradul doi. Iar egalitatea ne obligă să identificăm cele două polinoame. Dar când sunt egale două polinoame?

Păi, din moment ce necunoscuta este aceeași, înseamnă că singurele lucruri care fac deosebirea între două polinoame sunt coeficienții acestora. Prin urmare, în cazul nostru, coeficienții corespunzători ai celor două polinoame de gradul doi trebuie să fie egali între ei. Asta înseamnă că tot ce este în fața lui $x^2$ din stânga este egal cu ceea ce este în fața lui $x^2$ din dreapta. De asemenea, tot ce este în fața lui $x$ în stânga este egal cu ceea ce este în fața lui $x$ în dreapta și, în fine, tot ce este fără $x$ (deci termen liber) în stânga este egal cu ceea ce este fără $x$ în dreapta.

Ei bine, această egalitate a coeficienților reprezintă tocmai relațiile lui Viète de ordinul trei! Așadar, relațiile lui Viète de ordinul trei sunt date de următorul sistem minunat de trei egalități:
$$\large{\begin{array}{r c l}\\
\color{red}{-(x_1+x_2+x_3)}&=&\color{blue}{\frac{b}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{c}{a}}\\
\color{red}{-x_1x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{d}{a}}.
\end{array}}$$

Acestea sunt minunatele relații de ordinul trei ale scumpului Viète. De regulă, ele nu sunt lăsate în forma lor naturală în care au fost găsite, ci se prezintă sub forma în care minusul apare în partea dreaptă, nu în partea stângă. Așadar, ele mai pot fi scrise ca
$$\large{\begin{array}{r c r}\\
\color{red}{x_1+x_2+x_3}&=&\color{blue}{-\frac{b}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{c}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2x_3}&=&\color{blue}{-\frac{d}{a}}
\end{array}}$$

Acestea sunt relațiile formidabile care fac legătura între rădăcinile unui polinom de gradul trei și coeficienții săi. Veți avea nevoie de ele pentru bac.