Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 3 decembrie 2014

Relațiile lui Viète de ordinul trei


Am văzut că relațiile lui Viète de ordinul doi reprezintă o legătură minunată între coeficienții unui polinom de gradul doi și rădăcinile acestuia.

Voi arăta în acest articol că o asemenea legătură există nu doar pentru polinoamele de gradul doi, ci și pentru cele de gradul trei. Dar calea prin care voi arăta aceasta nu va mai fi aceeași ca pentru polinomul de gradul doi, ci puțin diferită.

Să ne înțelegem. Dacă vrem să găsim o legătură între rădăcinile unui polinom și coeficienții acelui polinom, va trebui să găsim o egalitate între polinomul scris într-o anumită formă care se folosește de rădăcini și același polinom scris într-o altă formă care se folosește de coeficienți.

Haideți atunci să ne ocupăm întâi de partea din stânga a egalității, deci de partea care se folosește de rădăcini. Un polinom de gradul trei, care, în forma lui cea mai generală este $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ale cărui rădăcini sunt $x_1$, $x_2$ și $x_3$, poate fi scris ca un produs de forma: $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$. Așadar, partea din stânga a egalității pe care o vom scrie este tocmai
$$\color{red}{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}.$$

Dar partea din dreapta este partea care se folosește de coeficienți, adică tocmai forma generală a polinomului dat. Așadar, partea din dreapta va fi
$$\color{blue}{ax^3+bx^2+cx+d}.$$

Așadar, trebuie să avem
$$\color{red}{a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\color{blue}{ax^3+bx^2+cx+d}.$$

În această egalitate se ascunde esența relațiilor lui Viète de ordinul trei. Căci, putem duce mai departe raționamentul și vor reieși ca prin minune aceste relații. Pentru aceasta este suficient să desfacem parantezele care apar în partea stângă, ca să vedem ce va rezulta.

Atunci, desfacem întâi primele două paranteze și vom obține
$$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3).$$

Mai facem apoi un pas și înmulțim treptat paranteza dreaptă $[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]$ cu $(x-x_3)$, după care, dând factorii comuni corespunzători, vom obține următorul șir de egalități
$$\begin{array}a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=\\
=a[x^3-(x_1+x_2)x^2+x_1x_2x-x_3x^2+(x_1+x_2)x_3x-x_1x_2x_3]=\\
=a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3].
\end{array}$$

Așadar, partea din stânga egalității este
$$\color{red}{a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]}.$$

La partea din dreapta egalității ne mai rămâne să scoatem factor forțat pe $a$ ($a$ este, prin definiție, nenul, altfel polinomul nu ar mai fi de gradul trei, ci ar fi de gradul doi). Astfel, vom obține ceva asemănător pentru o comparare mai ușoară a celor două părți ale egalității. Așadar, avem deci în partea dreaptă
$$\color{blue}{a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)}.$$

Cum partea roșie este egală cu partea albastră, înseamnă că avem:
$$\color{red}{a[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]}=\\
=\color{blue}{a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)}.$$

Acum observăm că această egalitate poate fi împărțită cu $a$ și vom obține o formă mai aerisită
$$\color{red}{x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3}=\\
=\color{blue}{x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}}.$$

Ba chiar mai putem scădea din această egalitate și termenul inutil $x^3$ care se află în ambele părți. Prin aceasta vom obține forma remarcabilă:
$$\color{red}{-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3}=\color{blue}{\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}}.$$

Acum aș dori să priviți mai lung rezultatul obținut... Avem în stânga un polinom de gradul doi, iar în dreapta tot un polinom de gradul doi. Iar egalitatea ne obligă să identificăm cele două polinoame. Dar când sunt egale două polinoame?

Păi, din moment ce necunoscuta este aceeași, înseamnă că singurele lucruri care fac deosebirea între două polinoame sunt coeficienții acestora. Prin urmare, în cazul nostru, coeficienții corespunzători ai celor două polinoame de gradul doi trebuie să fie egali între ei. Asta înseamnă că tot ce este în fața lui $x^2$ din stânga este egal cu ceea ce este în fața lui $x^2$ din dreapta. De asemenea, tot ce este în fața lui $x$ în stânga este egal cu ceea ce este în fața lui $x$ în dreapta și, în fine, tot ce este fără $x$ (deci termen liber) în stânga este egal cu ceea ce este fără $x$ în dreapta.

Ei bine, această egalitate a coeficienților reprezintă tocmai relațiile lui Viète de ordinul trei! Așadar, relațiile lui Viète de ordinul trei sunt date de următorul sistem minunat de trei egalități:
$$\large{\begin{array}{r c l}\\
\color{red}{-(x_1+x_2+x_3)}&=&\color{blue}{\frac{b}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{c}{a}}\\
\color{red}{-x_1x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{d}{a}}.
\end{array}}$$

Acestea sunt minunatele relații de ordinul trei ale scumpului Viète. De regulă, ele nu sunt lăsate în forma lor naturală în care au fost găsite, ci se prezintă sub forma în care minusul apare în partea dreaptă, nu în partea stângă. Așadar, ele mai pot fi scrise ca
$$\large{\begin{array}{r c r}\\
\color{red}{x_1+x_2+x_3}&=&\color{blue}{-\frac{b}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}&=&\color{blue}{\frac{c}{a}}\\
\color{red}{x_1x_2x_3}&=&\color{blue}{-\frac{d}{a}}
\end{array}}$$

Acestea sunt relațiile formidabile care fac legătura între rădăcinile unui polinom de gradul trei și coeficienții săi. Veți avea nevoie de ele pentru bac.