Faceți căutări pe acest blog

marți, 29 decembrie 2015

Să se calculeze $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}.$$


Pentru a calcula limita $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}$$ vom încerca întâi să înlocuim $x$-ul cu 3, să vedem ce iese. Am avea atunci $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\frac{5^3-125}{3-3}=\frac{125-125}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

Dar, nimeni nu știe cât este $\frac{0}{0}$, pentru că această fracție este unul dintre cazurile de nedeterminare despre care v-am mai vorbit deja. Și am calculat deja o limită cu acest rezultat, doar că acolo aveam un raport de două polinoame, ori aici numărătorul nu este polinom (funcțiile exponențiale nu sunt funcții polinomiale).

duminică, 20 decembrie 2015

Să se calculeze $\int x\sqrt{x+2}dx$



Cum ați calcula această integrală? Cum calculați o integrală când găsiți în ea radicalul? Desigur, prima dată ne gândim la tabel, ne gândim dacă nu cumva această integrală este undeva în tabel sau poate fi adusă rapid la forma din tabel. 

Din păcate, survolând tabelul, constatăm că toți radicalii care apar pe-acolo îl conțin sub radical pe $x^2$, nu pe $x$ simplu. Deci, deocamdată nu avem nicio șansă...

Atunci ne vom gândi rapid cum putem prelucra expresia $x\sqrt{x+2}$ de sub integrală astfel încât să obținem rezultatul căutat. Mintea mea va fugi la încercarea de a calcula integrala din radical, în ipoteza că acest radical nu ar mai avea nimic în fața lui care să încurce. Mai exact, îmi pun problema dacă pot calcula mai ușor integrala $$\int\sqrt{x+2}dx.$$

joi, 17 decembrie 2015

De-acum și pe mobil!


Ce bou am fost! V-am lăsat să vă chinuiți până acum și să nu vedeți de pe mobil formulele din blog. Dar, iertați-mă, abia acum am intrat pe blog de pe mobil ca să văd cum apar formulele, mai ales că abia în articolul precedent am pus formulă chiar în titlu.

Dar, de azi, mi-am reparat greșeala și am făcut o setare prin care puteți vedea formulele și de pe mobil. Mult succes, dragii mei!

Să se calculeze $\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx$


V-am mai spus, când primim integrale, primul gând este TABELUL. Nu cumva integrala noastră este în tabel? Acesta este primul gând. Desigur, integrala noastră nu este în tabel, deci nu este chiar atât de simplă. Examinatorul nu ne-a sfidat inteligența, dându-ne o problemă prea simplă. :)

Dacă nu e în tabel, trecem la următorul gând. Nu cumva integrala noastră POATE FI ADUSĂ LA O FORMĂ în care să putem folosi tabelul? La acest al doilea gând insistăm mai mult. Pentru că, bineînțeles, dacă integrala nu este în tabel, atunci examinatorul ne-a dat o integrală pe care s-o putem transforma în așa fel încât să putem folosi până la urmă tabelul.

duminică, 6 decembrie 2015

Calculați integrala (cu e la puterea u)


Calculați $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Ce variante sunt pentru a rezolva această problemă? Ce gânduri îi trec prin minte elevului când vede problema?

Poate unii s-ar gândi să calculeze această integrală prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții (căci atunci când vedeți un produs de două funcții, e posibil să meargă calculul și cu integrarea prin părți). Alții ar crede greșit că integrala asta s-ar calcula separând-o în două integrale.

sâmbătă, 5 decembrie 2015

Integrala nedefinită este o mulțime de primitive


În anumite probleme vi se poate cere să calculați integrala nedefinită a unei funcții, iar în alte probleme vi se poate cere să determinați o primitivă a unei funcții. Să vedem aici care poate fi deosebirea dintre ele.

Vă spun din start că mare deosebire nu poate fi între ele. Integrala nedefinită nu diferă fundamental de primitivă. Dacă vi se cere să calculați una din cele două, veți urma același calcul integral pentru ambele.

vineri, 27 noiembrie 2015

Compararea puterilor


Dacă vi s-ar cere să comparați numărul $2$ cu numărul $3$, problema ar fi extrem de simplă și ați răspunde automat că $2<3$.

Mai departe, dacă, fiind elevi de gimnaziu (când încă nu ați învățat complicații legate de puteri cu baze fracționare) vi s-ar cere să comparați $2^\color{red}{5}$ cu $3^\color{red}{5}$, din nou, răspunsul nu ar fi greu de dat, din moment ce exponentul puterilor ce trebuie comparate este același.

În fine, dacă bazele puterilor ar fi aceleași, din nou ar fi simplu să comparăm cele două puteri. De exemplu, putem compara ușor $\color{blue}{5}^2$ cu $\color{blue}{5}^3$, prin simpla comparare a lui $2$ și $3$.

sâmbătă, 21 noiembrie 2015

Lege de compoziție


Adunarea numerelor naturale (deci, a numerelor fără minus și fără virgulă) ESTE o lege de compoziție, deoarece dacă adunăm ORICE două numere fără minus și fără virgulă obținem TOT numere fără minus și fără virgulă.

Dar scăderea numerelor naturale NU mai este lege de compoziție, deoarece EXISTĂ cel puțin două numere naturale a căror diferență să nu fie număr natural.

De exemplu, $5-7=-2$. Diferența acestor două numere naturale este un număr întreg (fără virgulă), dar nu este un număr natural (nu este și fără minus). Așadar, scăderea NU ESTE lege de compoziție PENTRU MULȚIMEA numerelor naturale.

miercuri, 11 noiembrie 2015

Triunghiul echilateral


Cel mai frumos triunghi posibil este triunghiul echilateral. El este cel mai simetric triunghi. „Echi” înseamnă că ceva acolo este egal, iar „lateral” înseamnă că e vorba despre laturi. Așadar, triunghiul echilateral are toate cele trei laturi egale una cu cealaltă. 

Bineînțeles, dacă ne strofocăm să discutăm extraordinar de riguros, atunci trebuie să spunem că laturile triunghiului echilateral sunt congruente, nu egale, căci numai numerele sunt egale unul cu celălalt, nu și figurile geometrice. Dar noi n-o să facem acum abuz de atâta rigurozitate și vom spune în continuare că laturile triunghiului echilateral sunt toate egale, pentru că ne adresăm mereu începătorului în ale matematicii, începător pe care nu trebuie să-l sperii cu noianul de complexitate cu care poate fi abordată matematica și căruia trebuie să-i prezinți de fapt o față simplă a matematicii, o față esențială.

sâmbătă, 31 octombrie 2015

Numere pitagoreice


Printre triunghiurile dreptunghice cu care vă veți întâlni până la bacalaureat există un tip (triunghiuri dreptunghice pitagoreice, cu laturi date de numere pitagoreice) despre care aș vrea să vă vorbesc în acest articol.

Triunghiul dreptunghic are o singură proprietate fundamentală (din care pot fi deduse celelalte): are un unghi drept (adică, un unghi de 90 de grade). Atât. Dacă întâlniți un triunghi cu un unghi de 90 de grade, atunci puteți spune liniștiți despre acel triunghi că este triunghi dreptunghic




Și va rezulta automat că celelalte două unghiuri rămase ale triunghiului dreptunghic sunt mai mici de 90 de grade (căci suma unghiurilor unui triunghi trebuie să fie 180 de grade).

duminică, 25 octombrie 2015

Cam cum cred eu că trebuie să fie un profesor

O primă cerință este obiectivul fundamental al profesorului. Ce dorești tu ca profesor? Doar salariul? Sau doar banii elevului la meditații? Sau vrei să arăți ce bun profesor ești tu, ce multe știi? Nici vorbă! Un profesor bun are un singur obiectiv: să-l ajute pe elev să înțeleagă cât mai mult, indiferent de consecințe, de metodă, de resursele folosite.


Profesorii care turuie într-una sunt inutili, așa cum și trenurile care merg cu 100 de km pe oră ar fi inutile dacă nu ne-am putea urca în ele. Elevul nu poate urca într-un tren ce merge cu 100 de km pe oră fără să oprească. Așadar, nu preda în viteză, dacă nu vrei să treci ca acceleratul pe lângă mintea elevului. Oprește ușor în stația în care te așteaptă elevul, ajută-l să urce în tren și accelerează frumos împreună cu el, fără să-l lași să mai cadă din tren vreodată. 

Cea mai faină proprietate a trapezului isoscel ortodiagonal

Trapezul este asemănător unui paralelogram, doar că are două laturi „stricate”. În timp ce paralelogramul are toate cele patru laturi paralele (două câte două, desigur), trapezului i-au rămas doar două astfel de laturi paralele. În figura de mai jos, doar laturile AB și CD sunt paralele, celelalte două fiind neparalele („stricate”).



Observați că trapezul nostru are obligatoriu una dintre cele două laturi paralele (laturi pe care le numim „baze”) mai mare decât cealaltă. Căci, dacă bazele ar fi egale, atunci trapezul n-ar mai fi paralelogram stricat, ci ar fi tocmai paralelogram (căci dacă două laturi sunt nu doar paralele, ci chiar și egale (mai riguros spus, „congruente”), atunci ele formează un paralelogram). Prin urmare, putem vorbi despre „baza mare” și „baza mică” ale unui trapez. În figura noastră, baza AB este mai mare decât baza CD.

marți, 13 octombrie 2015

Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler


Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$

duminică, 11 octombrie 2015

Altă metodă pentru calculul sinusului triplului


În articolul precedent am dat exemplul prin care, cu ajutorul formulei lui Moivre, am calculat ușor cosinusul și sinusul triplului unui unghi.

Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.

Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b. $$
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului. 

duminică, 4 octombrie 2015

Din bunătățile formulei lui Moivre



În liceu, după ce învățați numerele complexe (alea de forma $z=a+bi$, cu $i=\sqrt{-1}$), vine și vremea în care primiți cadou această formulă tulburătoare, ce ne spune că 
$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}!!!$$Doamne, dumnezeule, ce formulă! Ea este aproape la fel de tare ca și formula mai generală a lui Euler (din care poate fi dedusă foarte ușor această formulă a lui Moivre). 

Ce geniu trebuie să ai în sânge ca să descoperi o asemenea formulă?! Cât de sus trebuie să fii cu capul în nori ca să poți ajunge la o asemenea formulă?! Cât de ciudat și chiar nebun trebuie să apari în ochii celorlalți oameni banali care-și duc veacul căutând nimicuri?!

Dedic acest articol anonimului care, într-un comentariu recent pe blog, amplasat exact unde trebuia, m-a stârnit să scriu despre formula lui Moivre, întrebându-mă cum ar putea reține mai ușor valorile pentru funcțiile trigonometrice surori, cosinus și sinus.

vineri, 2 octombrie 2015

Funcție impară


Să se arate că funcția $f:(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\ln\frac{2+x^3}{2-x^3}$ este impară.


Primul hop pe care trebuie să-l treacă un elev izbit cu această problemă este dat de efortul de a-și reaminti ce este funcția impară (și, bineînțeles, cu această ocazie își va reaminti și ce este funcția pară).

O funcție $f(x)$ este impară dacă ea are proprietatea că $f(-x)=-f(x)$. Observați că nu e mare filozofie. Totul este să calculați cele două lucruri care apar într-o parte și într-alta a semnului „egal” și să vedeți dacă cele două calcule coincid.

joi, 1 octombrie 2015

Cum să folosiți blogul


Desigur, mulți dintre voi ați remarcat deja că puteți face căutări pe acest blog prin diverse metode. Dar pentru aceia dintre voi care nu au încercat încă, voi prezenta mai jos câteva metode prin care puteți survola mai ușor blogul.


Câmpul de căutare

Puteți observa că în partea de sus a blogului, imediat după antet, apare un câmp de căutare.
Am evidențiat cu roșu acest câmp. Puteți scrie aici un cuvânt sau o expresie după care doriți să faceți căutarea. 

duminică, 20 septembrie 2015

Numerele complexe nu sunt complexe


Unii dintre voi ați auzit de ciudatele numere complexe. Și poate v-ați speriat de numele lor nedrept. Eu vă voi arăta aici că aceste numere nu sunt nici pe departe atât de complexe pe cât le spune numele, ci chiar există analogii cu celelalte numere.

Facem întâi o mică recapitulare pentru numerele necomplexe. Astfel, cunoaștem numere naturale (numere care nu au nici virgulă și nici minus), apoi numere întregi (numere care nu au virgulă dar pot avea minus), apoi numere raționale (numere care pot fi scrise ca o fracție de numere întregi) și numere iraționale (de regulă, orice radical sau logaritm care nu poate fi extras fără virgulă, numărul $\pi$, numărul $e$ și multe multe altele (sunt „mai multe” numere iraționale decât numere raționale!)).

Mulțimile formate cu numere necomplexe au următoarele notații:

marți, 15 septembrie 2015

Să vă amintiți rapid...


Nu vă amintiți un fleac? Îl găsiți aici.

Voi adăuga aici diverse informații de care aveți nevoie urgent. Sugerați-mi voi ce să mai adaug. Până atunci încep cu:




  1. $\ln 1=0$; $\ln e=1$; $\ln e^2=2$, unde $e$ este numit uneori și „numărul lui Euler”. Acest număr $e$, aflat undeva între numerele 2 și 3 (cam 2,71), este la fel de important în analiza matematică precum este numărul $\pi$ (aflat între 3 și 4, cam 3,14) în geometrie.
  2. $\frac{1}{\infty}=0$; $\frac{2}{\infty}=0$ (dacă împart o pâine la o infinitate de oameni, atunci niciunul dintre ei, bieții, nu va primi absolut nimic din acea pâine, nici măcar o firimitură!).
  3. $e^{-\infty}=0$ și, bineînțeles, nu doar $e$. Adică avem și $7^{-\infty}=0$. Dar acest lucru este valabil numai pentru numere mai mari decât $1$.
  4. $x'=1$, $7'=0$ (am folosit apostroful pentru derivare).

vineri, 11 septembrie 2015

O altă demonstrație pentru proprietatea medianei principale


Într-un articol anterior vă arătam că ipotenuza este dublul medianei duse din unghiul drept, iar demonstrația era bazată pe faptul că ipotenuza este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic.

Vă voi prezenta aici o altă demonstrație pentru această proprietate minunată. Astfel, fie triunghiul dreptunghic ABC, dreptunghic în A. Ducem mediana principală AD (adică, mediana dusă din vârful unghiului drept), D fiind mijlocul ipotenuzei BC. 

sâmbătă, 5 septembrie 2015

Centrul de greutate al unui triunghi


Ca o continuare a unui articol mai vechi, vă readuc în atenție centrul de greutate al unui triunghi, dintr-o perspectivă mai largă.

Centrul de greutate al triunghiului este probabil cel mai important dintre centrele triunghiului (căci există mai multe asemenea centre: ortocentrul, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris). 

joi, 27 august 2015

O șmecherie cu litera dublă la teorema catetei și teorema înălțimii


Într-un triunghi dreptunghic ABC în care am dus înălțimea principală (înălțimea dusă din vârful unghiului drept) AD sunt valabile o mulțime de proprietăți interesante.




Două dintre ele se numesc „Teorema catetei” și, respectiv, „Teorema înălțimii”. Ele rezultă din observația că toate triunghiurile dreptunghice pe care le vedeți în figură sunt triunghiuri asemenea, deoarece fiecare dintre aceste triunghiuri dreptunghice are câte un unghi comun, deci se aplică tocmai cazul de asemănare UUU.




Asemănarea DBA cu ABC


Triunghiul mic DBA este asemenea cu triunghiul mare ABC. Observați că ordinea în care am ales literele nu este întâmplătoare, ci este dată de egalitatea dintre măsurile unghiurilor corespunzătoare. 

marți, 25 august 2015

Procente, scumpiri, ieftiniri


Putem întâlni probleme (ușoare) care ne dau prețul inițial al unui produs și care ne cer apoi prețul final după o scumpire sau o ieftinire.


Apoi, mai putem întâlni probleme ceva mai grele care ne dau, invers, întâi prețul final și ne cer prețul inițial pe care l-a avut anumitul produs înainte de scumpire sau de ieftinire.


În lecția de față vom găsi câteva formule care guvernează asemenea calcule și vom încerca să le facem cât mai ușor de înțeles.





Primul tip: se dă prețul inițial și procentul de scumpire și se cere prețul final

Începem cu cel mai simplu tip de probleme de acest gen: probleme în care se dă prețul inițial, se dă procentul de scumpire sau ieftinire și ni se cere prețul final. 

duminică, 16 august 2015

Ipotenuza este dublul medianei corespunzătoare



Să presupunem că primiți următoarea problemă: 

Într-un triunghi dreptunghic ABC, dreptunghic în A, lungimea medianei duse din vârful A este egală cu 8 centimetri. Se cere lungimea ipotenuzei.

Desigur, din titlu vă puteți da seama că ea va fi dublul lui 8, adică 16 centimetri. Dar să vedem de ce este așa.

Pentru aceasta, vom desena un cerc de centru O, vom trasa un diametru oarecare (verde), adică o coardă oarecare, dar care trece prin cercul centrului, diametru pe care îl vom nota cu BC, după care vom alege un punct (de asemenea) ARBITRAR, deci oarecare, oriunde pe cerc, punct pe care îl vom nota cu A (de la ARBITRAR?).

Atunci, triunghiul ABC este DREPTUNGHIC în A.

Așadar, atât triunghiul ABC din figura 1 este dreptunghic,
Figura 1.

cât și triunghiul ABC din figura 2 este, de asemenea, dreptunghic.

marți, 11 august 2015

Funcția de gradul întâi


În Matematică, „funcție” este numele pe care îl dăm unui obiect extraordinar de important. Și așa cum un obiect are, de regulă, mai multe părți, tot astfel și funcția (de exemplu, $f(x):\mathbb{A}\to\mathbb{B}$, dată prin $f(x)=7x-3$) este un obiect alcătuit din trei componente:


  1. Domeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{A}$)
  2. Codomeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{B}$)
  3. Lege. (În cazul nostru, $f(x)=7x-3$)

Unii elevi cred că doar legea este importantă pentru funcție, uitând că și domeniul și codomeniul sunt necesare pentru a defini complet o funcție.

vineri, 24 iulie 2015

Număr liber de pătrate


Mi-a venit timpul și cheful să scriu din nou aici pentru voi, acum că mi s-au rărit elevii pe care îi meditez. Bine, nu cred că voi mai scrie zilnic, căci mai am și alte obiective, legate de cercetarea Fizicii elicoidale sau de acțiuni pentru societate.

Așa că, putem vorbi azi despre... despre... despre... ce mi-a venit mie în minte acum și anume despre numărul liber de pătrate. Vreau să vă explic aici ce este un număr liber de pătrate și la ce este bună o astfel de mâncare de pește.

Deci. Voi începe cu niște exemple. Exemple de numere libere de pătrate. Și niște contraexemple.

Iată niște numere libere de pătrate:         3          14         15       22        626.

Și iată alte numere care sunt rău stresate de pătrate:    8          12        18        72.

Numerele din prima listă se laudă că sunt „curate” și că nu conțin niciun pătrat perfect în ele. Pe când celelalte umblă cu capul plecat, rușinoase, că poartă în spate, aproape fără rost, ditamai pătratele perfecte.

miercuri, 18 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.c


Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$ și numărul $I_n=\int\limits_0^1 x^n f(x) dx$, cu $n$ număr natural nenul. În aceste condiții, arătați că $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, oricare ar fi numărul natural $n\ge 3$.


Pentru a putea demonstra relația cerută  $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, ni se sugerează ceva. Observați că în relație apare $\sqrt 5$. Înseamnă că acest $\sqrt 5$ ar putea fi obținut din ceva de genul $\sqrt{1+4}$, adică s-ar putea să fie rezultatul a ceva cu $\sqrt{x^2+4}\left.\right|_0^1$. Aha! Deci, ni se sugerează să încercăm să calculăm integrala. Haideți, atunci, să vedem ce putem face pentru a calcula integrala. Desigur, va fi un calcul de recurență, adică nu un calcul complet, ci unul parțial, în care integrala de ordinul mare depinde de integralele de ordin mai mic. Ia să vedem...

duminică, 15 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b



Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”

joi, 12 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.a


Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Calculați $\int\limits_0^2 f^2(x)dx$.


Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$


Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$

Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$

Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.

Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$

marți, 10 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.c


Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $\lim_{x\to+\infty} f(-x).$


Când vrem să calculăm o limită, încercăm să înlocuim argumentul cu valoarea. În cazul nostru, încercăm să-l înlocuim pe $x$ din funcția $f(-x)$ cu $+\infty$. Așadar, $$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\frac{-\infty+1}{e^{-\infty}+\infty}=\frac{-\infty}{0+\infty}=-\frac{\infty}{\infty}.$$ Acesta este un caz exceptat, o nedeterminare, deci nu ne ajută cu nimic pentru a găsi limita.

Prin urmare, încercarea noastră de a calcula limita prin simpla înlocuire a argumentului cu valoarea a ajuns într-un impas. Și trebuie să ne întoarcem la stadiul în care încă nu facem înlocuirea, ci ne străduim să mai modificăm ceva pe-acolo înainte de înlocuire.

O modificare fascinantă, pe care o știm de la matematicianul francez l'Hôpital este cea în care o asemenea limită (deci limitele cu nedeterminarea $\color{blue}{\frac{\infty}{\infty}}$ sau $\color{blue}{\frac{0}{0}}$) se calculează prin derivarea separată a numărătorului și separată a numitorului. Mai precis, în cazul acestor două nedeterminări, avem regula lui l'Hôpital
$$\color{blue}{\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f^\prime}{g^\prime}}.$$

Din fericire, această regulă o puteți folosi în foarte multe cazuri și, desigur, și în cazul nostru. Astfel, limita noastră va deveni atunci $$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(-x+1)^\prime}{(e^{-x}+x)^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}.$$

Aici, cea mai grea derivată este $(e^{-x})^\prime$. Restul sunt simple, căci $x^\prime=1$, iar $1^\prime=0$. Bun. Dar cât o fi $(e^{-x})^\prime$? Păi, avem o formulă care spune că $\color{blue}{(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime}$. Cum, la noi $u=-x$, avem că $(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.

Acum avem o formă mai aerisită a limitei:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}.$$

Acum dacă îl înlocuim pe $x$ cu $\infty$ vom obține că $e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0$. Astfel, limita căutată este
$$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{1-0}=\color{red}{-1}.$$

luni, 9 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.b



Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Determinați ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul de pe grafic a cărui abscisă este $x_0=0$.



Tangenta la grafic într-un anumit punct este o dreaptă care atinge graficul fără să-l taie. Asta înseamnă că tangenta trece doar printr-un singur punct al graficului.

Dar un singur punct înseamnă, de fapt, două puncte infinit apropiate. Deci, dacă am alege două puncte oarecare de pe graficul funcției prin care să treacă o dreaptă și am pune condiția ca cele două puncte să se apropie foarte mult de punctul dorit, atunci am găsi tocmai tangenta.

Haideți să vedem ce iese. Fie $x_0$ abscisa punctului în care vrem să găsim tangenta și fie $x_1$ un punct foarte apropiat de $x_0$. Atunci, ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte este dată de

$$\begin{vmatrix}
  x & y & 1 \\
  x_1 & f(x_1) & 1 \\
  x_0 & f(x_0) & 1
 \end{vmatrix}=0$$

sau, echivalent,
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Acum, dacă vrem ca punctul $x_1$ să fie cât mai apropiat de $x_0$ va trebui să facem limită când $x_1$ tinde la $x_0$ în această relație de mai sus. Vom avea atunci
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Dar limita din dreapta este, prin definiție, tocmai derivata funcției în punctul $x_0$. Așadar, putem scrie că ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)$ în punctul de abscisă $x_0$ (și, implicit, de ordonată $y_0=f(x_0)$) va fi dată de (rețineți formula, că nu-i grea!)
$$\large{\color{blue}{\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=f^\prime(x_0)}}.$$

Această formulă este cel mai important lucru pe care trebuie să-l cunoașteți pentru a rezolva problema cu tangenta. Ea ne mai spune, printre altele, că panta tangentei (fracția din stânga egalității este tocmai panta dreptei) este egală cu derivata funcției în punctul cerut.




Bun. Să presupunem acum că elevul ar fi știut formula tangentei (un elev care a învățat formulele pentru bac o știe în mod sigur). De aici încolo îi trebuie doar înlocuiri și calcule de rutină. Ia să vedem. La noi, $x_0=0$. Ce fain! Iar derivata am calculat-o deja la punctul precedent (sper că nu v-a trecut prin minte s-o calculăm iar!), adică ea este
$$f^\prime(x)=\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}.$$

Atunci să trecem la înlocuiri. $$f^\prime(x_0)=f^\prime(0)=\frac{1-0\cdot e^0}{(e^0-0)^2}=1,$$
iar $$f(x_0)=f(0)=\frac{0+1}{e^0-0}=1.$$

Așadar, putem scrie că ecuația tangentei căutate este
$$\frac{y-1}{x-0}=1.$$

Iar după prelucrări elementare obținem în final că ecuația tangentei căutate, în forma generală, este
$$\large{\color{red}{x-y+1=0}}.$$

sâmbătă, 7 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.a


Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $f^\prime(x)$.


Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.

Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?

Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.

$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$

Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$

Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.

Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$

Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$

Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...

vineri, 6 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.c



Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Arătați că dacă
 $m>0$, atunci polinomul are două rădăcini de același modul.



Știm că orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul 3 are 3 rădăcini, așa cum orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul $n$ are $n$ rădăcini. Este o cunoștință foarte prețioasă și fundamentală, oricât de banală ar părea.

Din păcate, să nu uitați, această cunoștință este valabilă doar pentru polinoamele ai căror coeficienți sunt numere reale. Căci, de exemplu, dacă luăm un polinom cu coeficienți în $\mathbb{Z_4}=\{\hat 0;\,\hat 1;\,\hat 2;\,\hat 3\}$ (mulțimea claselor de resturi modulo 4), polinom dat de $g(X)=\hat 2X+\hat 2$, acesta va avea două rădăcini ($x_1=\hat 1$ și $x_2=\hat 3$), deși gradul polinomului este unu.

Ok. Deci, știm că polinomul nostru are sigur trei rădăcini. De regulă, notăm rădăcinile polinomului ca fiind $x_1$, $x_2$ și, respectiv, $x_3$. Acum noi trebuie să arătăm că două dintre ele au același modul.

Unui elev care știe ceva matematică îi vine în minte o informație foarte prețioasă legată de această problemă: rădăcinile nereale (adică, cele care au și parte imaginară) vin în perechi. Mai exact, elevul își va aminti că dacă un polinom are rădăcina complexă $z=a+bi$, atunci el are musai și rădăcina conjugată $\overline{z}=a-bi$.

Și cum de îi vine lui în minte așa ceva? De ce se gândește elevul bun neapărat la faptul că numerele complexe vin în perechi? De unde vine această intuiție formidabilă a elevului? Răspunsul se află în formularea problemei, pentru că problema amintește despre două rădăcini și pentru că elevul știe că rădăcina complexă $z=a+bi$ are exact același modul cu rădăcina complexă conjugată, adică $|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Așadar, elevul are deja în minte planul rezolvării problemei. El va arăta întâi că în condițiile date (deci cu $m$ strict pozitiv) polinomul nu poate avea toate rădăcinile reale. Astfel, cel puțin una dintre rădăcini va trebui să fie nereală (deci, cu partea imaginară nenulă). Dar dacă una dintre rădăcini este nereală, atunci și a doua va fi nereală (tocmai conjugata ei). Ba, mai mult, și a doua va avea același modul ca și prima. Și gata!

Ia să vedem atunci. Să arătăm împreună cu istețul nostru elev că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Asta-i cel mai greu. Cum am putea arăta că rădăcinile noastre nu pot fi toate reale?

De regulă, pentru a arăta că ceva nu este adevărat, presupunem prin absurd că acel ceva este adevărat și continuăm un raționament corect până când ajungem la o contradicție. Așadar, noi vom presupune prin absurd că toate rădăcinile polinomului nostru sunt reale. Și căutăm să vedem la ce contradicție ajungem.

Și nici măcar nu vom merge la întâmplare, căci știm chiar și ce contradicție căutăm. Căutăm o contradicție între faptul absurd pe care l-am presupus, anume că toate rădăcinile sunt reale, și faptul care ni se dă în problemă și anume că $m$ este strict pozitiv. Pe-aici pe undeva se ascunde contradicția căutată. Așadar, ne vom gândi cum putem crea o contradicție între faptul că trei numere sunt reale și faptul că un alt număr este mereu strict pozitiv. Deci, trebuie să ne gândim la o inegalitate care poate fi creată între trei numere reale și un număr pozitiv.

Aha! Sub influența acestor căutări, ne vine în minte una dintre cele mai importante inegalități din matematică: dacă $x$ este număr real, atunci $x^2\ge 0$. Înseamnă că ar trebui să facem cumva legătura între ceva expresie cu pătratul rădăcinilor și numărul $m$.

Pătratul rădăcinilor! Ia să ne gândim la pătratul rădăcinilor. Cum putem să ne gândim la pătratul tuturor celor trei rădăcini? Cred că numai făcând suma pătratelor acestora. Așadar, ne interesează expresia de forma $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Vrem să cunoaștem semnul acestei expresii, pentru a-l compara cu semnul lui $m$.

Este clar că pentru ceea ce urmează vom avea nevoie de minunatele relații ale lui Viète pentru un polinom de gradul trei, pentru că numai acolo putem să găsim suma rădăcinilor și suma pătratelor acestora. Iar acest lucru îl va simți elevul care cunoaște relațiile dintre coeficienți și rădăcini.

Pentru aceasta, ne amintim că există formula de calcul prescurtat
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc),$$
din care rezultă apoi că
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc).$$

Aplicăm această relație la rădăcinile polinomului nostru. Adică, avem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$

Ne apropiem acum de finalul rezolvării, căci în expresia de mai sus vom folosi relațiile lui Viète. Relațiile lui Viète ne spun, printre altele, că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{\text{coeficientul din fața lui }X^2}{\text{coeficientul dominant}}$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{\text{coeficientul din fața lui }X}{\text{coeficientul dominant}}.$$

Asta înseamnă că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{0}{1}=0$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{m}{1}=m.$$

Atunci,
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0-2m=-2m.$$

Dar $-2m$ este un număr negativ, din moment ce $m$ este strict pozitiv. Adică, am obținut că suma pătratelor rădăcinilor este un număr negativ. Dar acest lucru vine în contradicție cu presupunerea că toate rădăcinile sunt numere reale, căci ar fi trebuit să obținem că suma pătratelor a trei numere reale este un număr pozitiv.

Așadar, am demonstrat riguros, în sfârșit, că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Atunci cum pot fi rădăcinile? Toate sunt rădăcini nereale? Nuuuu! Doar am văzut mai sus că rădăcinile complexe vin în perechi. Așadar, nu putem avea trei rădăcini nereale, ci numai două. Iar acele două sunt conjugate, după cum am văzut mai sus. Și tot mai sus am văzut că rădăcinile complexe conjugate au același modul. Iar acestea fiind spuse, am finalizat rezolvarea.




Desigur, voi la bac nu va trebui să-i explicați examinatorului atâtea detalii, căci el știe bine cu ce se mănâncă matematica. Lui îi veți scrie că din relațiile lui Viète rezultă că avem și rădăcini nereale și îi veți menționa că știți că rădăcinile nereale vin în perechi conjugate care au același modul.

miercuri, 4 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.b


Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Determinați numărul real $m$, în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$.




Pentru a găsi numărul $m$ în așa fel încât polinomul dat să fie divizibil cu $X+1$ aș vrea să ne amintim întâi ce înseamnă faptul că două polinoame se divid.

Pentru aceasta să ne amintim ce știm despre divizibilitate în cazul numerelor. Când sunt divizibile două numere? Atunci când restul împărțirii lor este nul.

La fel, două polinoame sunt divizibile, dacă restul împărțirii lor este nul. Prin urmare, pentru a găsi parametrul căutat $m$ în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$ trebuie să pornim de la nulitatea restului.

Dar mai întâi trebuie să cunoaștem restul și abia apoi îl vom egala cu zero. Cât o fi restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$? Mai exact, cum ar depinde acest rest de numărul $m$?

Ei bine, există cel puțin trei modalități de a găsi restul împărțirii polinomului oarecare $f$ la polinomul $X-a$, unde $a$ este un număr oarecare:

  1. Metoda băbească, împărțirea propriu-zisă a celor două polinoame și aflarea restului la finalul împărțirii. Aceasta este cea mai primitivă metodă de calcul al restului și nu face cinste unui elev de M1. De aceea, elevul de M1 va trebui să se gândească imediat la altă metodă, mult mai eficientă.
  2. Schema lui Horner. Această metodă constă într-un algoritm minunat de recurență pentru împărțirea cu $X-a$, bazat pe un tabelaș drăguț în care apar numai coeficienți. La finalul calculului apare tocmai restul împărțirii.
  3. Cea mai genială metodă este bazată tocmai pe teorema împărțirii cu rest. Această teoremă spune că polinomul $f$ poate fi scris ca $f(X)=\text{Câtul}(X)\cdot(X-a)+\text{Restul}$. Mai departe trebuie să observăm ceva șmecheresc: dacă în această teoremă punem în loc de $X$ tocmai $a$ obținem tocmai restul! Cum așa? Iată cum: $$f(a)=\text{Câtul}(a)\cdot\color{blue}{(a-a)}+\text{Restul}=\color{blue}{0}+\text{Restul}=\text{Restul}.$$ Adică, în cuvinte, restul împărțirii unui polinom $f(X)$ la $X-a$ este tocmai $f(a)$!

Propoziția evidențiată cu verde este magică! Ea ne scutește de o groază de lucru. Și cu o asemenea cunoștință elevul de M1 se poate mândri. Vă dați seama că un elev slăbuț s-ar fi apucat sărăcuțul de împărțirea celor două polinoame și ajungea la restul dorit abia la sfârșitul împărțirii, dacă avea mare grijă să nu greșească vreun semn la împărțire.





Deci, noi vom folosi cea mai modernă modalitate de a rezolva problema, adică:

  •  vom calcula $f(a)$, adică, la noi $a$ fiind $-1$ (căci din $X-a=X+1$ rezultă că $a=-1$),
  •  vom egala rezultatul cu zero (căci restul trebuie să fie nul) și
  •  vom găsi soluțiile ecuației care se va naște astfel.

Zis și făcut. Să vedem cât este $f(a)$. Avem $f(a)=f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)-3=-1-m-3=-m-4$. Acum egalăm acest rezultat cu zero și avem $-m-4=0$, deci $\color{red}{m=-4}$.



În final vreau să fac o mică sinteză pentru a denumi durabil proprietățile pe care le-am folosit. Cele două proprietăți importante pe care le-am folosit au fost:

  1. Pentru ca un polinom $f$ să fie divizibil cu $X-a$ trebuie ca restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ să fie nul.
  2. Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este $f(a)$.
Din cele două proprietăți rezultă că un polinom $f$ se divide cu $X-a$ dacă $f(a)=0$. Acest rezultat se numește teorema lui Bézout. Așadar, pentru rezolvarea problemei, elevul trebuia să cunoască teorema lui Bézout.



luni, 2 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.a


Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real.

Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=0$.



Adică trebuie întâi să rescriem polinomul nostru punând în locul lui $m$ numărul $2$. Obținem o frumusețe de polinom $f=X^3+2X-3$. Apoi trebuie să calculăm $f(1)$, adică trebuie să vedem cât obținem dacă în frumosul nostru polinom punem peste tot unde vedem $X$ numărul $1$.

După toate acestea avem, deci,
$$\color{red}{f(1)}=1^3+2\cdot 1-3=1+2-3=\color{red}{0},$$

calcul care încheie, fără complicații, rezolvarea problemei.

vineri, 30 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.c


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Arătați că există o infinitate de matrice $X\in\mathscr{M_{3,1}}(\mathbb{R})$ care verifică relația $A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.



O matrice de forma $X\in\mathscr{M_{\color{magenta}{3},\color{limegreen}{1}}}(\mathbb{R})$ este o matrice care are $\color{magenta}{3}$ linii și $\color{limegreen}{1}$ coloane. Așadar, matricea noastră necunoscută $X$ trebuie să fie de forma
$$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$
adică este o matrice coloană.

Dacă înmulțim o matrice pătratică cu o matrice coloană, obținem ca rezultat o matrice coloană (iar dacă am înmulți o matrice linie cu o matrice pătratică, am obține o matrice linie). În general, dacă înmulțim o matrice (7,4), adică o matrice cu 7 linii și 4 coloane cu o matrice (4,6), vom obține o matrice (7,6). Simbolic, am putea scrie $(7,\color{limegreen}{4})\cdot(\color{limegreen}{4},6)=(7,6)$. Observați că acel $\color{limegreen}{4}$ din mijloc dispare ca prin farmec. Tocmai de aceea putem să înmulțim doar matrice pentru care numărul de coloane din stânga este egal cu numărul de linii din dreapta.



Așadar, dacă vom înmulți matricea pătratică $A(2015)$ cu matricea coloană $X$, vom obține tot o matrice coloană. Această matrice coloană obținută ca rezultat va trebui să o egalăm cu matricea coloană $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

Dar să nu anticipăm prea mult, ci să facem întâi produsul dintre matricea pătratică $A(2015)$ și matricea coloană necunoscută $X$. Când înmulțim două matrice, înmulțim (mai corect ar fi să spunem „combinăm liniar” ) pe rând liniile matricei din stânga cu coloanele matricei din dreapta (această asimetrie face ca produsul matricelor să fie aproape întotdeauna necomutativ).

Așadar
$$A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2015&2016\\2&2017&2018\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z\\0\cdot x+2015\cdot y+2016\cdot z\\2\cdot x+2017\cdot y+2018\cdot z\end{pmatrix}.$$

Această matrice coloană rezultată va trebui egalată cu matricea $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$. Așadar, avem
$$\begin{pmatrix}x+y+z\\2015y+2016z\\2x+2017y+2018z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

Dar două matrice sunt egale atunci când elementele lor corespondente sunt egale. Atunci, egalitatea matriceală va fi echivalentă cu sistemul de trei egalități (ecuații):
$$\begin{cases}x&+&\,\,\,\,y&+&\,\,\,\,z&=0\\&&2015y&+&2016z&=0\\2x&+&2017y&+&2018z&=0\end{cases}.$$


Acum, având acest sistem în față, să ne reamintim ce ne cere problema. Ea zice să demonstrăm că există o infinitate de matrice bla, bla, bla. Deci, ne cere să arătăm de fapt că există o infinitate de soluții ale acestui sistem, deci să arătăm că există o infinitate de posibilități în care putem alege valori pentru $x$, $y$ și $z$. Ei bine, cum arătăm asta?


Pentru orice sistem există următoarele trei posibilități:

  1. Sistemul are zero soluții. Deci nu are nicio soluție. Un asemenea sistem se mai numește „incompatibil”. El conține ecuații care se contrazic, ducând la egalități absurde, precum $1=2$.
  2. Sistemul are o soluție unică. Este cel mai „curat” caz. Numai un asemenea sistem se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Și reciproc, dacă un sistem se poate rezolva cu Cramer, atunci el are soluție unică. Un asemenea sistem se numește „determinat” sau mai ales „compatibil determinat”. El conține ecuații necesare și suficiente, care nu se contrazic. Fiecare dintre ecuații aduce informație suplimentară în sistem, necesară pentru a găsi  toate necunoscutele. Observați cu această ocazie că nu trebuie să confundăm soluția cu necunoscutele. Soluția înseamnă un set de numere care corespund necunoscutelor. De exemplu, soluția unică a unui sistem de trei ecuații cu trei necunoscute $x$, $y$, $z$ ar putea arăta așa $S=(1,2,3)$ care înseamnă că $x=1$, $y=2$ și $z=3$.
  3. Sistemul are o infinitate de soluții. Acest tip de sistem se numește „nedeterminat” sau mai ales „compatibil nedeterminat”. El conține câteva ecuații inutile, care pot fi deduse din celelalte ecuații. Deci, conține ecuații necesare, dar insuficiente.

Nu există alte tipuri de sisteme cu coeficienți reali! Deci, nu există, de exemplu, sisteme cu cinci soluții. Și nici cu patru. Nici cu trei. Și nici cu două. Dacă are soluții, atunci ori are o singură soluție, ori o infinitate. Nu există cale de mijloc. În schimb, există sisteme cu mai multe soluții dacă e vorba de clase de resturi, de exemplu, ceea ce nu e cazul nostru acum.




Vedem acum că sistemul nostru trebuie să fie compatibil nedeterminat. Deci, trebuie să fie întâi compatibil, apoi nedeterminat.

Arătăm întâi că este compatibil. Asta înseamnă că el are soluții. Nu știm câte, dar știm că are. Ia să vedem. Putem arăta ușor că sistemul are soluții? Măcar o soluție? Un sistem care se termină cu zerouri, deci care are după egal numai zerouri sau (mai corect spus) care are termenii liberi nuli se numește sistem omogen. Și orice sistem omogen are soluție. Cea mai simplă soluție. Cea în care toate necunoscutele sunt efectiv nule. Acestei soluții i se mai spune și „soluția banală”. Nu-i așa că orice sistem omogen are această soluție? Căci dacă punem $0$ în locul tuturor necunoscutelor, obținem în total evident $0$. Deci, orice sistem omogen este compatibil, căci are cel puțin soluția banală.

Ei bine, sistemul nostru este tocmai un sistem omogen. Deci este și compatibil. Așadar, am terminat cu compatibilitatea. Mai trebuie să arătăm că este nedeterminat.

Pentru a arăta că sistemul este nedeterminat este suficient să arătăm că el nu se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Metoda lui Cramer ne spune că necunoscutele sunt egale cu niște fracții care au la numitor același număr, bine definit și, evident, nenul. Iar acest număr este tocmai determinantul principal al sistemului, adică determinantul matricei care este formată din coeficienții necunoscutelor. Dacă acest determinant este nul, am încurcat-o, căci atunci sistemul nu se mai poate rezolva cu Cramer. Și tocmai asta-i șmecheria de care avem noi nevoie aici.

Vrem să arătăm că determinantul sistemului este nul și atunci putem trage concluzia că sistemul nostru nu se poate rezolva cu Cramer, deci nu are soluție unică. Este oare nul determinantul principal al sistemului? Păi, care este determinantul principal al sistemului nostru? Tocmai determinantul matricei $A(2015)$! Și noi am calculat deja acest determinant la punctul a). și am arătat că el este nul, indiferent cât ar fi numărul $a$. Deci și determinantul matricei $A(2015)$ este nul.

În concluzie, sistemul nostru este omogen (deci compatibil) și are determinantul nul (deci este nedeterminat). Așadar, are o infinitate de soluții. Și astfel am rezolvat problema.

Mai puteam observa că a treia linie se obține dacă adunăm la a doua linie dublul primei linii. Astfel, puteam deduce din start că a treia ecuație este inutilă, deci sistemul este nedeterminat. Eliminând apoi această ecuație și fixând necunoscuta $z$ ca fiind egală cu $\lambda$, am fi obținut un sistem de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$, a cărui soluție ar fi fost $S=\left(\frac{\lambda}{2015};-\frac{2016\lambda}{2015}\right)$. În consecință, matricea $X$ este dependentă de numărul real $\lambda$ și are forma $X(\lambda)=\begin{pmatrix}\frac{\lambda}{2015}\\-\frac{2016\lambda}{2015}\\\lambda\end{pmatrix}$.

Dar, desigur, acest lucru nu mai e necesar la bac. La bac e suficient să menționați că un sistem omogen este nedeterminat dacă are determinantul nul și să arătați că sistemul nostru are tocmai aceste două proprietăți.

marți, 27 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.b


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul natural $n$ astfel încât $2A(n^2)-A(n)=A(6)$.


Observați că, la prima vedere, problema este foarte ușoară. Căci, cine nu știe să înmulțească cu doi o matrice și apoi să scadă din rezultat o altă matrice după care să analizeze egalitatea dintre matricea rezultată în stânga și matricea $A(6)$?


Interesant este, însă, că problema este chiar mai ușoară de atât! Pentru că elevul perspicace, care este mereu preocupat de eficiență, va observa că ecuația matriceală dată spre rezolvare se reduce de fapt la o ecuație numerică pentru că problema nu ne cere nimic mai mult decât tocmai numărul din mijlocul matricei $A(\color{magenta}{\textbf{n}})=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&\color{magenta}{\textbf{n}}&n+1\\2&n+2&n+3\end{pmatrix}$.

Altfel spus, în toată ecuația matriceală nu ne interesează altceva decât ceea ce se întâmplă cu termenul din mijlocul matricei. Simbolic, am putea spune că „simplificăm toată ecuația $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ cu $A$” și obținem ecuația $\color{magenta}{2n^2-n=6}$.

După ce am observat acest lucru, putem face o verificare mentală rapidă („ochiometrică”) și constatăm ușor că și celelalte elemente ale matricei ne-ar duce de fapt la aceeași ecuație, fără să aducă nicio complicație suplimentară. Așadar, putem fi liniștiți că ecuația matriceală dată $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ este satisfăcută dacă este satisfăcută ecuația numerică $2n^2-n=6$.

În răspunsul nostru pe care îl vom da la bac va fi suficient să menționăm ceva de genul: „Observăm că ecuația matriceală dată se rezumă la ecuația numerică $2n^2-n=6$.”. Căci, examinatorul vă va crede pe cuvânt.



Ok. Să trecem atunci la rezolvarea ecuației banale $2n^2-n=6$. Trebuie să găsim un număr natural $n$ care satisface, după cum vedeți, o ecuație cu coeficienți întregi: $2n^2-n-6=0$.

Am putea rezolva această ecuație după metoda băbească, cu delta, doar că elevul de M1, considerat mult mai eficient, este indicat să știe să rezolve o asemenea ecuație mult mai rapid. Astfel, el își va aminti că rădăcinile întregi ale unei ecuații cu coeficienți întregi se găsesc printre divizorii termenului liber



Paranteză

De altfel, chiar dacă nu este necesar în acest moment, mintea plină de informații fuge și mai departe, iar elevul își poate aminti și ceva foarte util și mult mai general, despre care îmi face mare plăcere să vă vorbesc aici:

Rădăcinile raționale (deci, cele ce se pot scrie sub formă de fracție) ale unei ecuații cu coeficienți întregi au:
  1. numărătorul fracției printre divizorii termenului liber (termenul care nu are $x$);
  2. numitorul fracției printre divizorii termenului dominant (coeficientul care se află în fața lui $x$ de la puterea cea mai mare).
Așadar, rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți fără virgulă sunt fracții de forma:
$$\frac{\text{divizor al termenului liber}}{\text{divizor al termenului dominant}}.$$

Puteți prescurta cu fracția $$\frac{\text{liber}}{\text{dominant}}.$$

Și încă, puteți asocia această fracție cu propoziția „libertatea este deasupra dominației”, cu sensul că libertatea este mai eficientă decât dominația.

Am cam lungit această paranteză (pe care am scris-o cu font italic), dar vreau din tot sufletul să rețineți această proprietate fascinantă a numeroaselor ecuații polinomiale cu coeficienți întregi.



Să revenim atunci, după această paranteză, la rezolvarea ecuației noastre banale $2n^2-n-6=0$, pe care aș fi putut-o rezolva băbește cu delta și să mă scap repede de voi. Dar nu, eu am vrut să o rezolvăm mult mai elegant, mult mai eficient.

Nouă ne trebuie rădăcinile naturale ale ecuației $2n^2-n-6=0$. Că așa cere problema. Așadar, ne trebuie „fracțiile” care au la numitor numărul $1$. Așadar, vom căuta rădăcinile printre divizorii termenului liber, fără să ne mai pese de divizorii termenului dominant. Și, în plus, nu ne vom chinui să luăm în calcul și divizorii negativi ai termenului liber, din moment ce nouă ne trebuie doar rădăcinile naturale (care sunt, din start, pozitive).

Așadar, care sunt divizorii pozitivi ai termenului nostru liber? Termenul liber este $-6$. Divizorii pozitivi ai lui $-6$ sunt $1$, $2$, $3$ și $6$. Avem deci patru posibilități. Și abia acum începe adevărata rezolvare concretă a ecuației noastre.

Toate considerațiile noastre anterioare au fost doar teoretice. De-acum punem în practică șmecheria cu divizorii. Deci, avem cele patru posibilități, $1$, $2$, $3$ și $6$. Toată munca de rezolvare a problemei se reduce la simpla verificare a fiecăreia dintre cele patru posibilități. Verificăm care dintre ele satisfac ecuația $2n^2-n-6=0$.

Se vede că valorile mari nu o satisfac, deci nici $6$ nu satisface ecuația. De asemenea, $2\cdot 3^2-3-6$ nu este $0$. Așa că singurul divizor care satisface ecuația este $\color{red}{2}$. Acesta este numărul natural căutat.





joi, 22 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.a


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. Calculați determinantul acestei matrice.




Determinantul unei matrice este un număr. Și este un număr tare important. Așa că ar cam fi frumos ca elevul să știe să calculeze măcar determinantul de ordinul doi (deci, al unei matrice cu două linii și două coloane) și de ordinul trei.


Există o mulțime de posibilități pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei, iar elevul chiar are de unde să aleagă. Se cunoaște bine de tot regula lui Sarrus, regula triunghiului (valabile pentru ordinul trei), precum și regula dezvoltării după elementele unei linii sau coloane (regulă care este valabilă de data aceasta pentru orice ordin).

Mai exact, la regula lui Sarrus copiem jos primele două linii ale determinantului sub a treia linie (sau copiem în dreapta primele două coloane)

$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{magenta}{1}&1&\color{limegreen}{1}\\0&\color{magenta}{a}&a+1\\\color{limegreen}{2}&a+2&\color{magenta}{a+3}\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
1&1&1\\0&\,\,\,a\text{   }\,\,&\,\,a+1\\
\end{matrix}$$

și calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala principală (diagonala care pornește din stânga-sus și ajunge în dreapta-jos) pe care le adunăm, după care calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala secundară (diagonala care pornește din dreapta-sus și ajunge în stânga-jos) pe care le scădem.

Am obține atunci că $$\det A=a(a+3)+2(a+1)-2a-(a+2)(a+1).$$
Observați, deci, o groază de lucru.

Iar regula triunghiului este aceeași cu regula lui Sarrus, doar că se adresează celor care au imaginație mai bogată și care nu mai sunt nevoiți să scrie din nou efectiv primele două linii sub cea de-a treia, ci își imaginează ei cam ce ar trebui să înmulțească dacă ar avea deja copiate primele două linii. Se observă cu această ocazie că laturile mici ale triunghiurilor formate sunt paralele cu diagonala principală (la produsele ce trebuiesc adunate) și, respectiv, paralele cu diagonala secundară (la produsele care trebuiesc scăzute).

Așadar, nici cu regula triunghiului nu prea scăpăm de lucru.



Atunci, din acest noian de posibilități, elevul trebuie să aleagă una care îl duce cel mai repede la rezultat. Elevul atent va observa din timp că regula lui Sarrus sau cea a triunghiului implică, după cum s-a văzut mai sus, înmulțiri laborioase cu paranteze ce conțin $a+1$, $a+2$ și $a+3$. De aceea, el le va evita din start pentru că va simți din experiență că este o mare pierdere de vreme.



Apoi, elevul care are ceva cunoștințe în spate își va aminti că determinantul unei matrice nu se schimbă dacă „ne jucăm” cu liniile sau coloanele sale. Important este ca jocul nostru să respecte niște reguli simple. Astfel, determinantul nu se schimbă dacă în loc de una dintre liniile (sau coloanele) sale scriem o altă linie (coloană) pe care am obținut-o ca și o combinație liniară formată cu liniile (respectiv, coloanele) determinantului.

Spunem despre elementul $A$ că este o combinație liniară de elementele $\{a,\,b,\,c,\,\dots ,\,y,\,z\}$ dacă acel element poate fi scris în funcție de celelalte elemente ca un fel de polinom (fără puteri!), adică $$A=5a+9b-3c\dots+6y-8z.$$ Bineînțeles, am scris eu niște numere oarecare acolo, dar voi vă puteți gândi că acolo pot apărea orice numere dacă expresia este combinație liniară. Important este ca aceste numere să nu fie toate nule!

În baza acestei cunoștințe, elevul va ști că valoarea determinantului nu se modifică dacă va rescrie determinantul sub o altă formă. Așadar, experiența îi va spune să rescrie determinantul copiind primele două linii, dar în locul celei de-a treia linii scriind o altă linie care a rezultat scăzând din linia a treia dublul primei linii, acțiune pe care am notat-o mai jos simbolic cu $\color{blue}{L_3-2L_1}$.

Astfel, elevul va obține determinantul
$$\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\
\end{vmatrix}\begin{matrix}\color{blue}{L_3-2L_1}\\=\end{matrix}\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2-\color{red}{2\cdot 1}&a+2-\color{red}{2\cdot 1}&a+3-\color{red}{2\cdot 1}\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\0&a&a+1\
\end{vmatrix}.$$



De aici încolo totul este boierie. Pentru că un asemenea determinant nu mai trebuie calculat, ci se vede de la o poștă cât este rezultatul. Mai exact, un determinant care are două linii (sau două coloane) egale este nul! Adică, este egal cu zero.

Așadar, am acum speranța că dacă veți mai întâlni la bac un asemenea determinant, îl veți putea calcula foarte repede cu ajutorul combinației liniare. Dar pentru aceasta, va trebui să nu vă grăbiți să vă aruncați imediat la calcule laborioase cu metoda lui Sarrus sau a triunghiului. Chiar dacă sunteți bucuroși că știți să calculați cumva determinantul, va trebui totuși să vă opriți tentația irezistibilă de a trece imediat la calcule și acordați-vă timp minții să observe dacă nu cumva jucându-vă cu o anumită combinație liniară puteți aduce determinantul la o formă mai simplă. Acest control este cu atât mai necesar, cu cât determinantul pare mai complex, conținând termeni mai lungi.

luni, 19 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 6


Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ știind că $AB=12$ și că unghiul $C$ are $\frac{\pi}{6}$ radiani.


În primul rând, trebuie să ne amintim rapid cam ce cunoștințe am învățat noi în legătură cu raza cercului circumscris. Ce relații matematice cunoașteți în legătură cu $R$ mare ($r$ mic fiind raza cercului mic, adică a cercului înscris în triunghi)?

Ar fi bine să vă amintiți teorema sinusurilor, că nu-i grea. Ea ne spune că pentru triunghiul oarecare albastru din figura de mai jos

și cercul său circumscris desenat cu roșu există următorul set de egalități
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Acest set de egalități se numește „teorema sinusurilor”.

Dacă nu cunoașteți această teoremă la bac, ați încurcat-o! Pentru că nu văd pe unde v-ați mai putea scoate cămașa ca să rezolvați această minunăție de problemă. Dar și invers, dacă știți această teoremă ușor de reținut, atunci sunteți câștigați, căci aveți tot ce vă trebuie pentru a rezolva problema.



Problema noastră ne dă drept cunoscute pe $AB$ (deci pe $c$ mic) și unghiul $C$ mare și ne cere raza $R$ mare. Așadar, din teorema sinusurilor noi vom reține doar ceea ce implică aceste date, adică vom reține egalitatea
$$\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Făcând înlocuirile, avem
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R.$$

Dar cât este $\sin\frac{\pi}{6}$? Cum unghiul de $\pi$ în radiani este echivalent cu unghiul de $180$ de grade, rezultă că unghiul de $\frac{\pi}{6}$ este echivalent cu unghiul de $\frac{180}{6}$, deci cu $30$ de grade. Așadar, ne trebuie sinusul unghiului de $30$ de grade. Dar, din tabelul trigonometric



număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
sinusul=$\frac{\sqrt{\text{număr}}}{2}$
$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$
$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac 1 2$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$

noi știm astfel că $\sin 30=\frac{1}{2}$.

Revenind atunci la formula noastră de calculat,
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R,$$
avem o fracție supra-etajată pe care o transformăm înmulțind cu răsturnata
$$2R=\frac{12}{\frac{1}{2}}=12\cdot \frac{2}{1}=24.$$

De aici rezultă apoi că
$$R=\frac{24}{2}=\color{red}{12}.$$



Adică, raza cercului circumscris triunghiului este tocmai egală cu latura $AB$. Asta mai înseamnă (ca exemplu, deci nu-i musai să mai adăugați asta la bac) că triunghiul $ABO$ este echilateral, $O$ fiind centrul cercului circumscris. Această adăugire are menirea să vă arate cam care ar fi fost metoda de rezolvare bazată pe noțiunea de „unghi la centru” și pe faptul că acest unghi la centru este dublu față de unghiul de pe cerc.

duminică, 18 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 5


În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x+5$ și punctul $A(1,0)$. Găsiți ecuația paralelei duse prin $A$ la dreapta $d$.


Pentru a rezolva această problemă elevului trebuie să-i sară în minte o cunoștință indispensabilă: ecuația dreptei de pantă dată care trece printr-un punct dat. Fără această cunoștință, rezolvarea devine un chin și nu putem insista într-o asemenea direcție greșită. Dacă am continua să ne chinuim, în cel mai bun caz, am putea redescoperi această cunoștință elementară și indispensabilă.

Așadar, haideți să vedem despre ce cunoștință este vorba, mai concret. Deci, care este ecuația dreptei de pantă $m$ care trece prin punctul $A(x_0,y_0)$?

Iat-o: $y-y_0=m(x-x_0)$. Ea mai poate fi regăsită și sub forma echivalentă $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m,$$ iar această ultimă formă ne aduce aminte de legătura cu derivata sau cu tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa $OX$. În ultimă instanță, panta este tocmai acest lucru: tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa absciselor.

De aici încolo nu ne mai trebuie altceva decât să facem înlocuirile. De fapt, pardon. Mai trebuie să știm ceva: că două drepte paralele au aceeași pantă! Evident, nu? Aaaa, și mai trebuie să știm că panta unei drepte dată sub forma $y=mx+n$ este tocmai coeficientul lui $x$. Mamăăăă, câte mai trebuie să știm!

Deci, o mică recapitulare. În problemă ni se dă o dreaptă tocmai sub forma minunată (i se mai spune „forma redusă”) pentru ecuația unei drepte $y=3x+5$. Deci, coeficientul lui $x$ este 3, deci panta acestei drepte este $m=3$. Și cum cunoaștem ecuația dreptei care trece printr-un punct $A(x_0, y_0)$ și are panta $m$, ne rămâne să facem înlocuirile.

Așadar, ecuația dreptei căutate este $y-0=3(x-1)$, adică $\color{red}{y=3x-3}$.

Putem face și o probă. Să vedem dacă punctul $A(1,0)$ aparține acestei drepte. Dacă în ecuația dreptei unde vedem $x$ punem $1$ și unde vedem $y$ punem $0$, trebuie să obținem un adevăr. Ian să vedem. $0=3\cdot 1-3$. Adevărat? Adevărat! Și panta este aceeași cu a dreptei date, căci coeficientul lui $x$ este același în ambele cazuri, deci dreptele sunt paralele.

Observați că ecuația dreptei căutate nu a depins de $5$.



joi, 15 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 4


Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.


Din punctul de vedere al cunoștințelor pe care le-ați acumulat în liceu, probabilitatea este un număr mai mic sau egal cu $1$ (niciodată supraunitar!) dat de o fracție care conține la numărător (sus) un număr mai mic numit „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor numărul maxim, numit „numărul cazurilor posibile”.

Deci, $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$.

Ne mai rămâne să determinăm concret aceste numere care apar în expresia probabilității.

Începem cu „mulțimea numerelor naturale de două cifre”. Câte asemenea numere naturale sunt? Asta-i întrebarea inițială. Procedăm sistematic. Numere naturale de două cifre care să înceapă cu $0$ nu avem. Așadar, avem doar numere naturale care încep cu cifrele $1,\,2,\,3,\dots,\,9$. Deci, în locul primei cifre, care este cifra zecilor, se pot afla doar 9 cifre, căci cifra $0$ nu se poate afla acolo. În schimb, în locul cifrei unităților se poate afla și cifra $0$, în total zece cifre. Deci, pentru fiecare cifră a zecilor, avem câte zece numere posibile corespunzătoare. Și cum sunt în total 9 cifre în locul cifrei zecilor, obținem că există în total $9\cdot 10=\color{red}{90}$ posibilități în care putem construi numere naturale de două cifre. Astfel, numitorul probabilității este determinat.

Să trecem acum la partea care este, de regulă, ceva mai grea, și anume la determinarea numărătorului probabilității. Trebuie să căutăm câte numere de două cifre divizibile cu 13 sunt. Se pare că, decât să ne chinuim cu cine știe ce metode generale pentru a afla multiplii lui 13, este mai ușor să enumerăm aceste numere, căci nu sunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depășesc suta. Așadar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decât 100 sunt $13,\,26,\,39,\,52,\,65,\,78\text{ și }91$. În total, avem $\color{red}{7}$ asemenea multipli.

Atunci, probabilitatea căutată va fi $$\color{red}{P=\frac{7}{90}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 3


Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.


Nu știm să rezolvăm ecuații exponențiale în general, așa că trebuie să facem un artificiu, o șmecherie, prin care să transformăm ecuația exponențială într-una cu care suntem familiarizați. Și care este cea mai uzuală ecuație pe care știm s-o rezolvăm? Desigur, ecuația de gradul doi. Așadar, haideți să vedem dacă nu cumva ecuația noastră exponențială poate deveni o ecuație de gradul doi.

Înainte de toate, ca să scăpăm de exponentul acela care ne încurcă, facem substituția $$t=2^x$$. Așadar, ecuația noastră devine $4^x-3t+2=0$.

Acum ne mai încurcă $4^x$. Pentru aceasta ne mai trebuie un pas în care să ne amintim câteva formule de calcul cu puteri. Avem
$$4^x=(2^2)^x=2^{2\cdot x}.$$

Cum înmulțirea de la exponent este comutativă, obținem
$$4^x=(2^2)^x=2^\color{blue}{2\cdot x}=2^\color{blue}{x\cdot 2}=(2^x)^2=t^2.$$

Așadar, ecuația noastră exponențială devine în totalitate ecuație de gradul doi
$$t^2-3t+2=0.$$

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul doi și sunt convins că îi puteți calcula ușor și repede soluțiile, eventual cu ajutorul relațiilor lui Viète sau, mai primitiv, cu delta. Obținem atunci $t_1=1$ și $t_2=2$.

Dar nouă ne trebuiesc valorile pentru $x$, nu pentru $t$. Unii elevi pur și simplu uită să termine problema, având impresia că după rezolvarea ecuației în $t$ au terminat întreaga rezolvare. Ei bine, mai trebuie să găsim valorile corespunzătoare pentru $x$ din relația $2^x=t$.

Avem atunci și pentru $x$ două valori. Prima valoare a lui $x$ este cea care corespunde primei valori a lui $t$. Deci, $2^{x_1}=t_1=1$. Dar, $2$ la ce putere ne dă $1$? Evident, la puterea $0$. Așadar, $\color{red}{x_1=0}$.

Pe $x_2$ îl găsim din relația $2^{x_2}=t_2=2$. Deci, $2$ la ce putere ne dă tot $2$? Evident, la puterea $1$. Astfel, obținem că $\color{red}{x_2=1}$.