Faceți căutări pe acest blog

vineri, 30 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.c


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Arătați că există o infinitate de matrice $X\in\mathscr{M_{3,1}}(\mathbb{R})$ care verifică relația $A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.



O matrice de forma $X\in\mathscr{M_{\color{magenta}{3},\color{limegreen}{1}}}(\mathbb{R})$ este o matrice care are $\color{magenta}{3}$ linii și $\color{limegreen}{1}$ coloane. Așadar, matricea noastră necunoscută $X$ trebuie să fie de forma
$$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$
adică este o matrice coloană.

Dacă înmulțim o matrice pătratică cu o matrice coloană, obținem ca rezultat o matrice coloană (iar dacă am înmulți o matrice linie cu o matrice pătratică, am obține o matrice linie). În general, dacă înmulțim o matrice (7,4), adică o matrice cu 7 linii și 4 coloane cu o matrice (4,6), vom obține o matrice (7,6). Simbolic, am putea scrie $(7,\color{limegreen}{4})\cdot(\color{limegreen}{4},6)=(7,6)$. Observați că acel $\color{limegreen}{4}$ din mijloc dispare ca prin farmec. Tocmai de aceea putem să înmulțim doar matrice pentru care numărul de coloane din stânga este egal cu numărul de linii din dreapta.



Așadar, dacă vom înmulți matricea pătratică $A(2015)$ cu matricea coloană $X$, vom obține tot o matrice coloană. Această matrice coloană obținută ca rezultat va trebui să o egalăm cu matricea coloană $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

Dar să nu anticipăm prea mult, ci să facem întâi produsul dintre matricea pătratică $A(2015)$ și matricea coloană necunoscută $X$. Când înmulțim două matrice, înmulțim (mai corect ar fi să spunem „combinăm liniar” ) pe rând liniile matricei din stânga cu coloanele matricei din dreapta (această asimetrie face ca produsul matricelor să fie aproape întotdeauna necomutativ).

Așadar
$$A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2015&2016\\2&2017&2018\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z\\0\cdot x+2015\cdot y+2016\cdot z\\2\cdot x+2017\cdot y+2018\cdot z\end{pmatrix}.$$

Această matrice coloană rezultată va trebui egalată cu matricea $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$. Așadar, avem
$$\begin{pmatrix}x+y+z\\2015y+2016z\\2x+2017y+2018z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

Dar două matrice sunt egale atunci când elementele lor corespondente sunt egale. Atunci, egalitatea matriceală va fi echivalentă cu sistemul de trei egalități (ecuații):
$$\begin{cases}x&+&\,\,\,\,y&+&\,\,\,\,z&=0\\&&2015y&+&2016z&=0\\2x&+&2017y&+&2018z&=0\end{cases}.$$


Acum, având acest sistem în față, să ne reamintim ce ne cere problema. Ea zice să demonstrăm că există o infinitate de matrice bla, bla, bla. Deci, ne cere să arătăm de fapt că există o infinitate de soluții ale acestui sistem, deci să arătăm că există o infinitate de posibilități în care putem alege valori pentru $x$, $y$ și $z$. Ei bine, cum arătăm asta?


Pentru orice sistem există următoarele trei posibilități:

  1. Sistemul are zero soluții. Deci nu are nicio soluție. Un asemenea sistem se mai numește „incompatibil”. El conține ecuații care se contrazic, ducând la egalități absurde, precum $1=2$.
  2. Sistemul are o soluție unică. Este cel mai „curat” caz. Numai un asemenea sistem se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Și reciproc, dacă un sistem se poate rezolva cu Cramer, atunci el are soluție unică. Un asemenea sistem se numește „determinat” sau mai ales „compatibil determinat”. El conține ecuații necesare și suficiente, care nu se contrazic. Fiecare dintre ecuații aduce informație suplimentară în sistem, necesară pentru a găsi  toate necunoscutele. Observați cu această ocazie că nu trebuie să confundăm soluția cu necunoscutele. Soluția înseamnă un set de numere care corespund necunoscutelor. De exemplu, soluția unică a unui sistem de trei ecuații cu trei necunoscute $x$, $y$, $z$ ar putea arăta așa $S=(1,2,3)$ care înseamnă că $x=1$, $y=2$ și $z=3$.
  3. Sistemul are o infinitate de soluții. Acest tip de sistem se numește „nedeterminat” sau mai ales „compatibil nedeterminat”. El conține câteva ecuații inutile, care pot fi deduse din celelalte ecuații. Deci, conține ecuații necesare, dar insuficiente.

Nu există alte tipuri de sisteme cu coeficienți reali! Deci, nu există, de exemplu, sisteme cu cinci soluții. Și nici cu patru. Nici cu trei. Și nici cu două. Dacă are soluții, atunci ori are o singură soluție, ori o infinitate. Nu există cale de mijloc. În schimb, există sisteme cu mai multe soluții dacă e vorba de clase de resturi, de exemplu, ceea ce nu e cazul nostru acum.




Vedem acum că sistemul nostru trebuie să fie compatibil nedeterminat. Deci, trebuie să fie întâi compatibil, apoi nedeterminat.

Arătăm întâi că este compatibil. Asta înseamnă că el are soluții. Nu știm câte, dar știm că are. Ia să vedem. Putem arăta ușor că sistemul are soluții? Măcar o soluție? Un sistem care se termină cu zerouri, deci care are după egal numai zerouri sau (mai corect spus) care are termenii liberi nuli se numește sistem omogen. Și orice sistem omogen are soluție. Cea mai simplă soluție. Cea în care toate necunoscutele sunt efectiv nule. Acestei soluții i se mai spune și „soluția banală”. Nu-i așa că orice sistem omogen are această soluție? Căci dacă punem $0$ în locul tuturor necunoscutelor, obținem în total evident $0$. Deci, orice sistem omogen este compatibil, căci are cel puțin soluția banală.

Ei bine, sistemul nostru este tocmai un sistem omogen. Deci este și compatibil. Așadar, am terminat cu compatibilitatea. Mai trebuie să arătăm că este nedeterminat.

Pentru a arăta că sistemul este nedeterminat este suficient să arătăm că el nu se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Metoda lui Cramer ne spune că necunoscutele sunt egale cu niște fracții care au la numitor același număr, bine definit și, evident, nenul. Iar acest număr este tocmai determinantul principal al sistemului, adică determinantul matricei care este formată din coeficienții necunoscutelor. Dacă acest determinant este nul, am încurcat-o, căci atunci sistemul nu se mai poate rezolva cu Cramer. Și tocmai asta-i șmecheria de care avem noi nevoie aici.

Vrem să arătăm că determinantul sistemului este nul și atunci putem trage concluzia că sistemul nostru nu se poate rezolva cu Cramer, deci nu are soluție unică. Este oare nul determinantul principal al sistemului? Păi, care este determinantul principal al sistemului nostru? Tocmai determinantul matricei $A(2015)$! Și noi am calculat deja acest determinant la punctul a). și am arătat că el este nul, indiferent cât ar fi numărul $a$. Deci și determinantul matricei $A(2015)$ este nul.

În concluzie, sistemul nostru este omogen (deci compatibil) și are determinantul nul (deci este nedeterminat). Așadar, are o infinitate de soluții. Și astfel am rezolvat problema.

Mai puteam observa că a treia linie se obține dacă adunăm la a doua linie dublul primei linii. Astfel, puteam deduce din start că a treia ecuație este inutilă, deci sistemul este nedeterminat. Eliminând apoi această ecuație și fixând necunoscuta $z$ ca fiind egală cu $\lambda$, am fi obținut un sistem de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$, a cărui soluție ar fi fost $S=\left(\frac{\lambda}{2015};-\frac{2016\lambda}{2015}\right)$. În consecință, matricea $X$ este dependentă de numărul real $\lambda$ și are forma $X(\lambda)=\begin{pmatrix}\frac{\lambda}{2015}\\-\frac{2016\lambda}{2015}\\\lambda\end{pmatrix}$.

Dar, desigur, acest lucru nu mai e necesar la bac. La bac e suficient să menționați că un sistem omogen este nedeterminat dacă are determinantul nul și să arătați că sistemul nostru are tocmai aceste două proprietăți.

marți, 27 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.b


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul natural $n$ astfel încât $2A(n^2)-A(n)=A(6)$.


Observați că, la prima vedere, problema este foarte ușoară. Căci, cine nu știe să înmulțească cu doi o matrice și apoi să scadă din rezultat o altă matrice după care să analizeze egalitatea dintre matricea rezultată în stânga și matricea $A(6)$?


Interesant este, însă, că problema este chiar mai ușoară de atât! Pentru că elevul perspicace, care este mereu preocupat de eficiență, va observa că ecuația matriceală dată spre rezolvare se reduce de fapt la o ecuație numerică pentru că problema nu ne cere nimic mai mult decât tocmai numărul din mijlocul matricei $A(\color{magenta}{\textbf{n}})=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&\color{magenta}{\textbf{n}}&n+1\\2&n+2&n+3\end{pmatrix}$.

Altfel spus, în toată ecuația matriceală nu ne interesează altceva decât ceea ce se întâmplă cu termenul din mijlocul matricei. Simbolic, am putea spune că „simplificăm toată ecuația $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ cu $A$” și obținem ecuația $\color{magenta}{2n^2-n=6}$.

După ce am observat acest lucru, putem face o verificare mentală rapidă („ochiometrică”) și constatăm ușor că și celelalte elemente ale matricei ne-ar duce de fapt la aceeași ecuație, fără să aducă nicio complicație suplimentară. Așadar, putem fi liniștiți că ecuația matriceală dată $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ este satisfăcută dacă este satisfăcută ecuația numerică $2n^2-n=6$.

În răspunsul nostru pe care îl vom da la bac va fi suficient să menționăm ceva de genul: „Observăm că ecuația matriceală dată se rezumă la ecuația numerică $2n^2-n=6$.”. Căci, examinatorul vă va crede pe cuvânt.



Ok. Să trecem atunci la rezolvarea ecuației banale $2n^2-n=6$. Trebuie să găsim un număr natural $n$ care satisface, după cum vedeți, o ecuație cu coeficienți întregi: $2n^2-n-6=0$.

Am putea rezolva această ecuație după metoda băbească, cu delta, doar că elevul de M1, considerat mult mai eficient, este indicat să știe să rezolve o asemenea ecuație mult mai rapid. Astfel, el își va aminti că rădăcinile întregi ale unei ecuații cu coeficienți întregi se găsesc printre divizorii termenului liber



Paranteză

De altfel, chiar dacă nu este necesar în acest moment, mintea plină de informații fuge și mai departe, iar elevul își poate aminti și ceva foarte util și mult mai general, despre care îmi face mare plăcere să vă vorbesc aici:

Rădăcinile raționale (deci, cele ce se pot scrie sub formă de fracție) ale unei ecuații cu coeficienți întregi au:
  1. numărătorul fracției printre divizorii termenului liber (termenul care nu are $x$);
  2. numitorul fracției printre divizorii termenului dominant (coeficientul care se află în fața lui $x$ de la puterea cea mai mare).
Așadar, rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți fără virgulă sunt fracții de forma:
$$\frac{\text{divizor al termenului liber}}{\text{divizor al termenului dominant}}.$$

Puteți prescurta cu fracția $$\frac{\text{liber}}{\text{dominant}}.$$

Și încă, puteți asocia această fracție cu propoziția „libertatea este deasupra dominației”, cu sensul că libertatea este mai eficientă decât dominația.

Am cam lungit această paranteză (pe care am scris-o cu font italic), dar vreau din tot sufletul să rețineți această proprietate fascinantă a numeroaselor ecuații polinomiale cu coeficienți întregi.



Să revenim atunci, după această paranteză, la rezolvarea ecuației noastre banale $2n^2-n-6=0$, pe care aș fi putut-o rezolva băbește cu delta și să mă scap repede de voi. Dar nu, eu am vrut să o rezolvăm mult mai elegant, mult mai eficient.

Nouă ne trebuie rădăcinile naturale ale ecuației $2n^2-n-6=0$. Că așa cere problema. Așadar, ne trebuie „fracțiile” care au la numitor numărul $1$. Așadar, vom căuta rădăcinile printre divizorii termenului liber, fără să ne mai pese de divizorii termenului dominant. Și, în plus, nu ne vom chinui să luăm în calcul și divizorii negativi ai termenului liber, din moment ce nouă ne trebuie doar rădăcinile naturale (care sunt, din start, pozitive).

Așadar, care sunt divizorii pozitivi ai termenului nostru liber? Termenul liber este $-6$. Divizorii pozitivi ai lui $-6$ sunt $1$, $2$, $3$ și $6$. Avem deci patru posibilități. Și abia acum începe adevărata rezolvare concretă a ecuației noastre.

Toate considerațiile noastre anterioare au fost doar teoretice. De-acum punem în practică șmecheria cu divizorii. Deci, avem cele patru posibilități, $1$, $2$, $3$ și $6$. Toată munca de rezolvare a problemei se reduce la simpla verificare a fiecăreia dintre cele patru posibilități. Verificăm care dintre ele satisfac ecuația $2n^2-n-6=0$.

Se vede că valorile mari nu o satisfac, deci nici $6$ nu satisface ecuația. De asemenea, $2\cdot 3^2-3-6$ nu este $0$. Așa că singurul divizor care satisface ecuația este $\color{red}{2}$. Acesta este numărul natural căutat.





joi, 22 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.a


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. Calculați determinantul acestei matrice.




Determinantul unei matrice este un număr. Și este un număr tare important. Așa că ar cam fi frumos ca elevul să știe să calculeze măcar determinantul de ordinul doi (deci, al unei matrice cu două linii și două coloane) și de ordinul trei.


Există o mulțime de posibilități pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei, iar elevul chiar are de unde să aleagă. Se cunoaște bine de tot regula lui Sarrus, regula triunghiului (valabile pentru ordinul trei), precum și regula dezvoltării după elementele unei linii sau coloane (regulă care este valabilă de data aceasta pentru orice ordin).

Mai exact, la regula lui Sarrus copiem jos primele două linii ale determinantului sub a treia linie (sau copiem în dreapta primele două coloane)

$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{magenta}{1}&1&\color{limegreen}{1}\\0&\color{magenta}{a}&a+1\\\color{limegreen}{2}&a+2&\color{magenta}{a+3}\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
1&1&1\\0&\,\,\,a\text{   }\,\,&\,\,a+1\\
\end{matrix}$$

și calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala principală (diagonala care pornește din stânga-sus și ajunge în dreapta-jos) pe care le adunăm, după care calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala secundară (diagonala care pornește din dreapta-sus și ajunge în stânga-jos) pe care le scădem.

Am obține atunci că $$\det A=a(a+3)+2(a+1)-2a-(a+2)(a+1).$$
Observați, deci, o groază de lucru.

Iar regula triunghiului este aceeași cu regula lui Sarrus, doar că se adresează celor care au imaginație mai bogată și care nu mai sunt nevoiți să scrie din nou efectiv primele două linii sub cea de-a treia, ci își imaginează ei cam ce ar trebui să înmulțească dacă ar avea deja copiate primele două linii. Se observă cu această ocazie că laturile mici ale triunghiurilor formate sunt paralele cu diagonala principală (la produsele ce trebuiesc adunate) și, respectiv, paralele cu diagonala secundară (la produsele care trebuiesc scăzute).

Așadar, nici cu regula triunghiului nu prea scăpăm de lucru.



Atunci, din acest noian de posibilități, elevul trebuie să aleagă una care îl duce cel mai repede la rezultat. Elevul atent va observa din timp că regula lui Sarrus sau cea a triunghiului implică, după cum s-a văzut mai sus, înmulțiri laborioase cu paranteze ce conțin $a+1$, $a+2$ și $a+3$. De aceea, el le va evita din start pentru că va simți din experiență că este o mare pierdere de vreme.



Apoi, elevul care are ceva cunoștințe în spate își va aminti că determinantul unei matrice nu se schimbă dacă „ne jucăm” cu liniile sau coloanele sale. Important este ca jocul nostru să respecte niște reguli simple. Astfel, determinantul nu se schimbă dacă în loc de una dintre liniile (sau coloanele) sale scriem o altă linie (coloană) pe care am obținut-o ca și o combinație liniară formată cu liniile (respectiv, coloanele) determinantului.

Spunem despre elementul $A$ că este o combinație liniară de elementele $\{a,\,b,\,c,\,\dots ,\,y,\,z\}$ dacă acel element poate fi scris în funcție de celelalte elemente ca un fel de polinom (fără puteri!), adică $$A=5a+9b-3c\dots+6y-8z.$$ Bineînțeles, am scris eu niște numere oarecare acolo, dar voi vă puteți gândi că acolo pot apărea orice numere dacă expresia este combinație liniară. Important este ca aceste numere să nu fie toate nule!

În baza acestei cunoștințe, elevul va ști că valoarea determinantului nu se modifică dacă va rescrie determinantul sub o altă formă. Așadar, experiența îi va spune să rescrie determinantul copiind primele două linii, dar în locul celei de-a treia linii scriind o altă linie care a rezultat scăzând din linia a treia dublul primei linii, acțiune pe care am notat-o mai jos simbolic cu $\color{blue}{L_3-2L_1}$.

Astfel, elevul va obține determinantul
$$\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\
\end{vmatrix}\begin{matrix}\color{blue}{L_3-2L_1}\\=\end{matrix}\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2-\color{red}{2\cdot 1}&a+2-\color{red}{2\cdot 1}&a+3-\color{red}{2\cdot 1}\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\0&a&a+1\
\end{vmatrix}.$$



De aici încolo totul este boierie. Pentru că un asemenea determinant nu mai trebuie calculat, ci se vede de la o poștă cât este rezultatul. Mai exact, un determinant care are două linii (sau două coloane) egale este nul! Adică, este egal cu zero.

Așadar, am acum speranța că dacă veți mai întâlni la bac un asemenea determinant, îl veți putea calcula foarte repede cu ajutorul combinației liniare. Dar pentru aceasta, va trebui să nu vă grăbiți să vă aruncați imediat la calcule laborioase cu metoda lui Sarrus sau a triunghiului. Chiar dacă sunteți bucuroși că știți să calculați cumva determinantul, va trebui totuși să vă opriți tentația irezistibilă de a trece imediat la calcule și acordați-vă timp minții să observe dacă nu cumva jucându-vă cu o anumită combinație liniară puteți aduce determinantul la o formă mai simplă. Acest control este cu atât mai necesar, cu cât determinantul pare mai complex, conținând termeni mai lungi.

luni, 19 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 6


Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ știind că $AB=12$ și că unghiul $C$ are $\frac{\pi}{6}$ radiani.


În primul rând, trebuie să ne amintim rapid cam ce cunoștințe am învățat noi în legătură cu raza cercului circumscris. Ce relații matematice cunoașteți în legătură cu $R$ mare ($r$ mic fiind raza cercului mic, adică a cercului înscris în triunghi)?

Ar fi bine să vă amintiți teorema sinusurilor, că nu-i grea. Ea ne spune că pentru triunghiul oarecare albastru din figura de mai jos

și cercul său circumscris desenat cu roșu există următorul set de egalități
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Acest set de egalități se numește „teorema sinusurilor”.

Dacă nu cunoașteți această teoremă la bac, ați încurcat-o! Pentru că nu văd pe unde v-ați mai putea scoate cămașa ca să rezolvați această minunăție de problemă. Dar și invers, dacă știți această teoremă ușor de reținut, atunci sunteți câștigați, căci aveți tot ce vă trebuie pentru a rezolva problema.



Problema noastră ne dă drept cunoscute pe $AB$ (deci pe $c$ mic) și unghiul $C$ mare și ne cere raza $R$ mare. Așadar, din teorema sinusurilor noi vom reține doar ceea ce implică aceste date, adică vom reține egalitatea
$$\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Făcând înlocuirile, avem
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R.$$

Dar cât este $\sin\frac{\pi}{6}$? Cum unghiul de $\pi$ în radiani este echivalent cu unghiul de $180$ de grade, rezultă că unghiul de $\frac{\pi}{6}$ este echivalent cu unghiul de $\frac{180}{6}$, deci cu $30$ de grade. Așadar, ne trebuie sinusul unghiului de $30$ de grade. Dar, din tabelul trigonometric



număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
sinusul=$\frac{\sqrt{\text{număr}}}{2}$
$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$
$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac 1 2$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$

noi știm astfel că $\sin 30=\frac{1}{2}$.

Revenind atunci la formula noastră de calculat,
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R,$$
avem o fracție supra-etajată pe care o transformăm înmulțind cu răsturnata
$$2R=\frac{12}{\frac{1}{2}}=12\cdot \frac{2}{1}=24.$$

De aici rezultă apoi că
$$R=\frac{24}{2}=\color{red}{12}.$$



Adică, raza cercului circumscris triunghiului este tocmai egală cu latura $AB$. Asta mai înseamnă (ca exemplu, deci nu-i musai să mai adăugați asta la bac) că triunghiul $ABO$ este echilateral, $O$ fiind centrul cercului circumscris. Această adăugire are menirea să vă arate cam care ar fi fost metoda de rezolvare bazată pe noțiunea de „unghi la centru” și pe faptul că acest unghi la centru este dublu față de unghiul de pe cerc.

duminică, 18 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 5


În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x+5$ și punctul $A(1,0)$. Găsiți ecuația paralelei duse prin $A$ la dreapta $d$.


Pentru a rezolva această problemă elevului trebuie să-i sară în minte o cunoștință indispensabilă: ecuația dreptei de pantă dată care trece printr-un punct dat. Fără această cunoștință, rezolvarea devine un chin și nu putem insista într-o asemenea direcție greșită. Dacă am continua să ne chinuim, în cel mai bun caz, am putea redescoperi această cunoștință elementară și indispensabilă.

Așadar, haideți să vedem despre ce cunoștință este vorba, mai concret. Deci, care este ecuația dreptei de pantă $m$ care trece prin punctul $A(x_0,y_0)$?

Iat-o: $y-y_0=m(x-x_0)$. Ea mai poate fi regăsită și sub forma echivalentă $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m,$$ iar această ultimă formă ne aduce aminte de legătura cu derivata sau cu tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa $OX$. În ultimă instanță, panta este tocmai acest lucru: tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa absciselor.

De aici încolo nu ne mai trebuie altceva decât să facem înlocuirile. De fapt, pardon. Mai trebuie să știm ceva: că două drepte paralele au aceeași pantă! Evident, nu? Aaaa, și mai trebuie să știm că panta unei drepte dată sub forma $y=mx+n$ este tocmai coeficientul lui $x$. Mamăăăă, câte mai trebuie să știm!

Deci, o mică recapitulare. În problemă ni se dă o dreaptă tocmai sub forma minunată (i se mai spune „forma redusă”) pentru ecuația unei drepte $y=3x+5$. Deci, coeficientul lui $x$ este 3, deci panta acestei drepte este $m=3$. Și cum cunoaștem ecuația dreptei care trece printr-un punct $A(x_0, y_0)$ și are panta $m$, ne rămâne să facem înlocuirile.

Așadar, ecuația dreptei căutate este $y-0=3(x-1)$, adică $\color{red}{y=3x-3}$.

Putem face și o probă. Să vedem dacă punctul $A(1,0)$ aparține acestei drepte. Dacă în ecuația dreptei unde vedem $x$ punem $1$ și unde vedem $y$ punem $0$, trebuie să obținem un adevăr. Ian să vedem. $0=3\cdot 1-3$. Adevărat? Adevărat! Și panta este aceeași cu a dreptei date, căci coeficientul lui $x$ este același în ambele cazuri, deci dreptele sunt paralele.

Observați că ecuația dreptei căutate nu a depins de $5$.



joi, 15 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 4


Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.


Din punctul de vedere al cunoștințelor pe care le-ați acumulat în liceu, probabilitatea este un număr mai mic sau egal cu $1$ (niciodată supraunitar!) dat de o fracție care conține la numărător (sus) un număr mai mic numit „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor numărul maxim, numit „numărul cazurilor posibile”.

Deci, $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$.

Ne mai rămâne să determinăm concret aceste numere care apar în expresia probabilității.

Începem cu „mulțimea numerelor naturale de două cifre”. Câte asemenea numere naturale sunt? Asta-i întrebarea inițială. Procedăm sistematic. Numere naturale de două cifre care să înceapă cu $0$ nu avem. Așadar, avem doar numere naturale care încep cu cifrele $1,\,2,\,3,\dots,\,9$. Deci, în locul primei cifre, care este cifra zecilor, se pot afla doar 9 cifre, căci cifra $0$ nu se poate afla acolo. În schimb, în locul cifrei unităților se poate afla și cifra $0$, în total zece cifre. Deci, pentru fiecare cifră a zecilor, avem câte zece numere posibile corespunzătoare. Și cum sunt în total 9 cifre în locul cifrei zecilor, obținem că există în total $9\cdot 10=\color{red}{90}$ posibilități în care putem construi numere naturale de două cifre. Astfel, numitorul probabilității este determinat.

Să trecem acum la partea care este, de regulă, ceva mai grea, și anume la determinarea numărătorului probabilității. Trebuie să căutăm câte numere de două cifre divizibile cu 13 sunt. Se pare că, decât să ne chinuim cu cine știe ce metode generale pentru a afla multiplii lui 13, este mai ușor să enumerăm aceste numere, căci nu sunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depășesc suta. Așadar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decât 100 sunt $13,\,26,\,39,\,52,\,65,\,78\text{ și }91$. În total, avem $\color{red}{7}$ asemenea multipli.

Atunci, probabilitatea căutată va fi $$\color{red}{P=\frac{7}{90}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 3


Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.


Nu știm să rezolvăm ecuații exponențiale în general, așa că trebuie să facem un artificiu, o șmecherie, prin care să transformăm ecuația exponențială într-una cu care suntem familiarizați. Și care este cea mai uzuală ecuație pe care știm s-o rezolvăm? Desigur, ecuația de gradul doi. Așadar, haideți să vedem dacă nu cumva ecuația noastră exponențială poate deveni o ecuație de gradul doi.

Înainte de toate, ca să scăpăm de exponentul acela care ne încurcă, facem substituția $$t=2^x$$. Așadar, ecuația noastră devine $4^x-3t+2=0$.

Acum ne mai încurcă $4^x$. Pentru aceasta ne mai trebuie un pas în care să ne amintim câteva formule de calcul cu puteri. Avem
$$4^x=(2^2)^x=2^{2\cdot x}.$$

Cum înmulțirea de la exponent este comutativă, obținem
$$4^x=(2^2)^x=2^\color{blue}{2\cdot x}=2^\color{blue}{x\cdot 2}=(2^x)^2=t^2.$$

Așadar, ecuația noastră exponențială devine în totalitate ecuație de gradul doi
$$t^2-3t+2=0.$$

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul doi și sunt convins că îi puteți calcula ușor și repede soluțiile, eventual cu ajutorul relațiilor lui Viète sau, mai primitiv, cu delta. Obținem atunci $t_1=1$ și $t_2=2$.

Dar nouă ne trebuiesc valorile pentru $x$, nu pentru $t$. Unii elevi pur și simplu uită să termine problema, având impresia că după rezolvarea ecuației în $t$ au terminat întreaga rezolvare. Ei bine, mai trebuie să găsim valorile corespunzătoare pentru $x$ din relația $2^x=t$.

Avem atunci și pentru $x$ două valori. Prima valoare a lui $x$ este cea care corespunde primei valori a lui $t$. Deci, $2^{x_1}=t_1=1$. Dar, $2$ la ce putere ne dă $1$? Evident, la puterea $0$. Așadar, $\color{red}{x_1=0}$.

Pe $x_2$ îl găsim din relația $2^{x_2}=t_2=2$. Deci, $2$ la ce putere ne dă tot $2$? Evident, la puterea $1$. Astfel, obținem că $\color{red}{x_2=1}$.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 2


Arătați că $3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+3=0$.


Ar fi inutil și am pierde timp prețios dacă ne-ar fi lene să gândim puțin și ne-am arunca direct în găsirea soluțiilor $x_1$ și $x_2$ cu metoda veche, aceea cu delta. Nu e cazul!

Ori de câte ori avem de calculat o expresie ce conține suma și produsul rădăcinilor, ne va sări mintea la RELAȚIILE LUI VIÈTE. Căci, atât suma, cât și produsul, constituie ambele relații ale lui Viète și le putem înlocui cu valorile coeficienților care apar în ecuație.

Mai exact,
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$
și
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$.

Așadar, $$\color{blue}{3(x_1+x_2)-4x_1x_2}=3\cdot 5-4\cdot 3=15-12=\color{red}{3},$$ așa cum trebuia să arătăm.








Dar, dacă totuși doriți să vedeți cum ar fi arătat soluțiile acestei ecuații, le putem obține cu delta. Astfel, $\Delta=25-12=13$. Acest $13$, nefiind un pătrat perfect, este deja suficient de urât încât să vă pună pe gânduri cum că nu prea sunteți pe drumul bun spre rezolvarea problemei în maniera cea mai bine punctată.

Am avea mai departe $x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$ și $x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$.

Adunând aceste soluții vă va rămâne $5$, iar înmulțindu-le și folosindu-vă eventual de formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, unde $a=\frac{5}{2}$, iar $b=\frac{\sqrt{13}}{2}$, veți obține $\frac{25-13}{4}=3$. Adică aceleași rezultate pe care le-am obținut mai sus mult mai simplu cu relațiile lui Viète.

miercuri, 14 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 1


Fie numărul complex $z=1+i$. Să se calculeze $(z-1)^2$.





Metoda corectă (deci, și rapidă) de rezolvare este simpla înlocuire a lui $z$. Adică,

$(z-1)^2=[(1+i)-1]^2=(1+i-1)^2=i^2=\color{red}{-1}$.




O metodă mult mai laborioasă și nerecomandată ar fi să ridicăm întâi la pătrat binomul $(z-1)$ cu ajutorul formulei de calcul prescurtat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ și abia apoi să facem înlocuirile lui $z$ cu $1+i$. Desigur, am avea mult mai mult de lucru.

$(z-1)^2=z^2-2z+1=(1+i)^2-2(1+i)+1=1^2+2i+i^2-2-2i+1=i^2=\color{red}{-1}$.

duminică, 4 ianuarie 2015

Un canal pe YouTube cu Matematică pentru începători

Am creat și pe YouTube un canal în care voi distribui scurte filmulețe cu noțiuni de matematică pe înțelesul începătorilor.

Primul filmuleț pe care l-am postat acolo este tocmai despre acest blog.
,


iar al doilea este
,
despre cum puteți rezolva o ecuație de gradul doi folosindu-vă doar de relațiile lui Viete.


Vizionare plăcută!