Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 18 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.c


Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$ și numărul $I_n=\int\limits_0^1 x^n f(x) dx$, cu $n$ număr natural nenul. În aceste condiții, arătați că $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, oricare ar fi numărul natural $n\ge 3$.


Pentru a putea demonstra relația cerută  $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, ni se sugerează ceva. Observați că în relație apare $\sqrt 5$. Înseamnă că acest $\sqrt 5$ ar putea fi obținut din ceva de genul $\sqrt{1+4}$, adică s-ar putea să fie rezultatul a ceva cu $\sqrt{x^2+4}\left.\right|_0^1$. Aha! Deci, ni se sugerează să încercăm să calculăm integrala. Haideți, atunci, să vedem ce putem face pentru a calcula integrala. Desigur, va fi un calcul de recurență, adică nu un calcul complet, ci unul parțial, în care integrala de ordinul mare depinde de integralele de ordin mai mic. Ia să vedem...

duminică, 15 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b



Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”

joi, 12 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.a


Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Calculați $\int\limits_0^2 f^2(x)dx$.


Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$


Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$

Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$

Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.

Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$

marți, 10 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.c


Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $\lim_{x\to+\infty} f(-x).$


Când vrem să calculăm o limită, încercăm să înlocuim argumentul cu valoarea. În cazul nostru, încercăm să-l înlocuim pe $x$ din funcția $f(-x)$ cu $+\infty$. Așadar, $$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\frac{-\infty+1}{e^{-\infty}+\infty}=\frac{-\infty}{0+\infty}=-\frac{\infty}{\infty}.$$ Acesta este un caz exceptat, o nedeterminare, deci nu ne ajută cu nimic pentru a găsi limita.

Prin urmare, încercarea noastră de a calcula limita prin simpla înlocuire a argumentului cu valoarea a ajuns într-un impas. Și trebuie să ne întoarcem la stadiul în care încă nu facem înlocuirea, ci ne străduim să mai modificăm ceva pe-acolo înainte de înlocuire.

O modificare fascinantă, pe care o știm de la matematicianul francez l'Hôpital este cea în care o asemenea limită (deci limitele cu nedeterminarea $\color{blue}{\frac{\infty}{\infty}}$ sau $\color{blue}{\frac{0}{0}}$) se calculează prin derivarea separată a numărătorului și separată a numitorului. Mai precis, în cazul acestor două nedeterminări, avem regula lui l'Hôpital
$$\color{blue}{\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f^\prime}{g^\prime}}.$$

Din fericire, această regulă o puteți folosi în foarte multe cazuri și, desigur, și în cazul nostru. Astfel, limita noastră va deveni atunci $$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(-x+1)^\prime}{(e^{-x}+x)^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}.$$

Aici, cea mai grea derivată este $(e^{-x})^\prime$. Restul sunt simple, căci $x^\prime=1$, iar $1^\prime=0$. Bun. Dar cât o fi $(e^{-x})^\prime$? Păi, avem o formulă care spune că $\color{blue}{(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime}$. Cum, la noi $u=-x$, avem că $(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.

Acum avem o formă mai aerisită a limitei:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}.$$

Acum dacă îl înlocuim pe $x$ cu $\infty$ vom obține că $e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0$. Astfel, limita căutată este
$$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{1-0}=\color{red}{-1}.$$

luni, 9 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.b



Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Determinați ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul de pe grafic a cărui abscisă este $x_0=0$.



Tangenta la grafic într-un anumit punct este o dreaptă care atinge graficul fără să-l taie. Asta înseamnă că tangenta trece doar printr-un singur punct al graficului.

Dar un singur punct înseamnă, de fapt, două puncte infinit apropiate. Deci, dacă am alege două puncte oarecare de pe graficul funcției prin care să treacă o dreaptă și am pune condiția ca cele două puncte să se apropie foarte mult de punctul dorit, atunci am găsi tocmai tangenta.

Haideți să vedem ce iese. Fie $x_0$ abscisa punctului în care vrem să găsim tangenta și fie $x_1$ un punct foarte apropiat de $x_0$. Atunci, ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte este dată de

$$\begin{vmatrix}
  x & y & 1 \\
  x_1 & f(x_1) & 1 \\
  x_0 & f(x_0) & 1
 \end{vmatrix}=0$$

sau, echivalent,
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Acum, dacă vrem ca punctul $x_1$ să fie cât mai apropiat de $x_0$ va trebui să facem limită când $x_1$ tinde la $x_0$ în această relație de mai sus. Vom avea atunci
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Dar limita din dreapta este, prin definiție, tocmai derivata funcției în punctul $x_0$. Așadar, putem scrie că ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)$ în punctul de abscisă $x_0$ (și, implicit, de ordonată $y_0=f(x_0)$) va fi dată de (rețineți formula, că nu-i grea!)
$$\large{\color{blue}{\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=f^\prime(x_0)}}.$$

Această formulă este cel mai important lucru pe care trebuie să-l cunoașteți pentru a rezolva problema cu tangenta. Ea ne mai spune, printre altele, că panta tangentei (fracția din stânga egalității este tocmai panta dreptei) este egală cu derivata funcției în punctul cerut.




Bun. Să presupunem acum că elevul ar fi știut formula tangentei (un elev care a învățat formulele pentru bac o știe în mod sigur). De aici încolo îi trebuie doar înlocuiri și calcule de rutină. Ia să vedem. La noi, $x_0=0$. Ce fain! Iar derivata am calculat-o deja la punctul precedent (sper că nu v-a trecut prin minte s-o calculăm iar!), adică ea este
$$f^\prime(x)=\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}.$$

Atunci să trecem la înlocuiri. $$f^\prime(x_0)=f^\prime(0)=\frac{1-0\cdot e^0}{(e^0-0)^2}=1,$$
iar $$f(x_0)=f(0)=\frac{0+1}{e^0-0}=1.$$

Așadar, putem scrie că ecuația tangentei căutate este
$$\frac{y-1}{x-0}=1.$$

Iar după prelucrări elementare obținem în final că ecuația tangentei căutate, în forma generală, este
$$\large{\color{red}{x-y+1=0}}.$$

sâmbătă, 7 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.a


Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $f^\prime(x)$.


Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.

Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?

Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.

$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$

Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$

Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.

Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$

Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$

Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...

vineri, 6 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.c



Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Arătați că dacă
 $m>0$, atunci polinomul are două rădăcini de același modul.



Știm că orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul 3 are 3 rădăcini, așa cum orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul $n$ are $n$ rădăcini. Este o cunoștință foarte prețioasă și fundamentală, oricât de banală ar părea.

Din păcate, să nu uitați, această cunoștință este valabilă doar pentru polinoamele ai căror coeficienți sunt numere reale. Căci, de exemplu, dacă luăm un polinom cu coeficienți în $\mathbb{Z_4}=\{\hat 0;\,\hat 1;\,\hat 2;\,\hat 3\}$ (mulțimea claselor de resturi modulo 4), polinom dat de $g(X)=\hat 2X+\hat 2$, acesta va avea două rădăcini ($x_1=\hat 1$ și $x_2=\hat 3$), deși gradul polinomului este unu.

Ok. Deci, știm că polinomul nostru are sigur trei rădăcini. De regulă, notăm rădăcinile polinomului ca fiind $x_1$, $x_2$ și, respectiv, $x_3$. Acum noi trebuie să arătăm că două dintre ele au același modul.

Unui elev care știe ceva matematică îi vine în minte o informație foarte prețioasă legată de această problemă: rădăcinile nereale (adică, cele care au și parte imaginară) vin în perechi. Mai exact, elevul își va aminti că dacă un polinom are rădăcina complexă $z=a+bi$, atunci el are musai și rădăcina conjugată $\overline{z}=a-bi$.

Și cum de îi vine lui în minte așa ceva? De ce se gândește elevul bun neapărat la faptul că numerele complexe vin în perechi? De unde vine această intuiție formidabilă a elevului? Răspunsul se află în formularea problemei, pentru că problema amintește despre două rădăcini și pentru că elevul știe că rădăcina complexă $z=a+bi$ are exact același modul cu rădăcina complexă conjugată, adică $|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Așadar, elevul are deja în minte planul rezolvării problemei. El va arăta întâi că în condițiile date (deci cu $m$ strict pozitiv) polinomul nu poate avea toate rădăcinile reale. Astfel, cel puțin una dintre rădăcini va trebui să fie nereală (deci, cu partea imaginară nenulă). Dar dacă una dintre rădăcini este nereală, atunci și a doua va fi nereală (tocmai conjugata ei). Ba, mai mult, și a doua va avea același modul ca și prima. Și gata!

Ia să vedem atunci. Să arătăm împreună cu istețul nostru elev că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Asta-i cel mai greu. Cum am putea arăta că rădăcinile noastre nu pot fi toate reale?

De regulă, pentru a arăta că ceva nu este adevărat, presupunem prin absurd că acel ceva este adevărat și continuăm un raționament corect până când ajungem la o contradicție. Așadar, noi vom presupune prin absurd că toate rădăcinile polinomului nostru sunt reale. Și căutăm să vedem la ce contradicție ajungem.

Și nici măcar nu vom merge la întâmplare, căci știm chiar și ce contradicție căutăm. Căutăm o contradicție între faptul absurd pe care l-am presupus, anume că toate rădăcinile sunt reale, și faptul care ni se dă în problemă și anume că $m$ este strict pozitiv. Pe-aici pe undeva se ascunde contradicția căutată. Așadar, ne vom gândi cum putem crea o contradicție între faptul că trei numere sunt reale și faptul că un alt număr este mereu strict pozitiv. Deci, trebuie să ne gândim la o inegalitate care poate fi creată între trei numere reale și un număr pozitiv.

Aha! Sub influența acestor căutări, ne vine în minte una dintre cele mai importante inegalități din matematică: dacă $x$ este număr real, atunci $x^2\ge 0$. Înseamnă că ar trebui să facem cumva legătura între ceva expresie cu pătratul rădăcinilor și numărul $m$.

Pătratul rădăcinilor! Ia să ne gândim la pătratul rădăcinilor. Cum putem să ne gândim la pătratul tuturor celor trei rădăcini? Cred că numai făcând suma pătratelor acestora. Așadar, ne interesează expresia de forma $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Vrem să cunoaștem semnul acestei expresii, pentru a-l compara cu semnul lui $m$.

Este clar că pentru ceea ce urmează vom avea nevoie de minunatele relații ale lui Viète pentru un polinom de gradul trei, pentru că numai acolo putem să găsim suma rădăcinilor și suma pătratelor acestora. Iar acest lucru îl va simți elevul care cunoaște relațiile dintre coeficienți și rădăcini.

Pentru aceasta, ne amintim că există formula de calcul prescurtat
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc),$$
din care rezultă apoi că
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc).$$

Aplicăm această relație la rădăcinile polinomului nostru. Adică, avem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$

Ne apropiem acum de finalul rezolvării, căci în expresia de mai sus vom folosi relațiile lui Viète. Relațiile lui Viète ne spun, printre altele, că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{\text{coeficientul din fața lui }X^2}{\text{coeficientul dominant}}$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{\text{coeficientul din fața lui }X}{\text{coeficientul dominant}}.$$

Asta înseamnă că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{0}{1}=0$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{m}{1}=m.$$

Atunci,
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0-2m=-2m.$$

Dar $-2m$ este un număr negativ, din moment ce $m$ este strict pozitiv. Adică, am obținut că suma pătratelor rădăcinilor este un număr negativ. Dar acest lucru vine în contradicție cu presupunerea că toate rădăcinile sunt numere reale, căci ar fi trebuit să obținem că suma pătratelor a trei numere reale este un număr pozitiv.

Așadar, am demonstrat riguros, în sfârșit, că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Atunci cum pot fi rădăcinile? Toate sunt rădăcini nereale? Nuuuu! Doar am văzut mai sus că rădăcinile complexe vin în perechi. Așadar, nu putem avea trei rădăcini nereale, ci numai două. Iar acele două sunt conjugate, după cum am văzut mai sus. Și tot mai sus am văzut că rădăcinile complexe conjugate au același modul. Iar acestea fiind spuse, am finalizat rezolvarea.




Desigur, voi la bac nu va trebui să-i explicați examinatorului atâtea detalii, căci el știe bine cu ce se mănâncă matematica. Lui îi veți scrie că din relațiile lui Viète rezultă că avem și rădăcini nereale și îi veți menționa că știți că rădăcinile nereale vin în perechi conjugate care au același modul.

miercuri, 4 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.b


Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Determinați numărul real $m$, în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$.




Pentru a găsi numărul $m$ în așa fel încât polinomul dat să fie divizibil cu $X+1$ aș vrea să ne amintim întâi ce înseamnă faptul că două polinoame se divid.

Pentru aceasta să ne amintim ce știm despre divizibilitate în cazul numerelor. Când sunt divizibile două numere? Atunci când restul împărțirii lor este nul.

La fel, două polinoame sunt divizibile, dacă restul împărțirii lor este nul. Prin urmare, pentru a găsi parametrul căutat $m$ în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$ trebuie să pornim de la nulitatea restului.

Dar mai întâi trebuie să cunoaștem restul și abia apoi îl vom egala cu zero. Cât o fi restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$? Mai exact, cum ar depinde acest rest de numărul $m$?

Ei bine, există cel puțin trei modalități de a găsi restul împărțirii polinomului oarecare $f$ la polinomul $X-a$, unde $a$ este un număr oarecare:

  1. Metoda băbească, împărțirea propriu-zisă a celor două polinoame și aflarea restului la finalul împărțirii. Aceasta este cea mai primitivă metodă de calcul al restului și nu face cinste unui elev de M1. De aceea, elevul de M1 va trebui să se gândească imediat la altă metodă, mult mai eficientă.
  2. Schema lui Horner. Această metodă constă într-un algoritm minunat de recurență pentru împărțirea cu $X-a$, bazat pe un tabelaș drăguț în care apar numai coeficienți. La finalul calculului apare tocmai restul împărțirii.
  3. Cea mai genială metodă este bazată tocmai pe teorema împărțirii cu rest. Această teoremă spune că polinomul $f$ poate fi scris ca $f(X)=\text{Câtul}(X)\cdot(X-a)+\text{Restul}$. Mai departe trebuie să observăm ceva șmecheresc: dacă în această teoremă punem în loc de $X$ tocmai $a$ obținem tocmai restul! Cum așa? Iată cum: $$f(a)=\text{Câtul}(a)\cdot\color{blue}{(a-a)}+\text{Restul}=\color{blue}{0}+\text{Restul}=\text{Restul}.$$ Adică, în cuvinte, restul împărțirii unui polinom $f(X)$ la $X-a$ este tocmai $f(a)$!

Propoziția evidențiată cu verde este magică! Ea ne scutește de o groază de lucru. Și cu o asemenea cunoștință elevul de M1 se poate mândri. Vă dați seama că un elev slăbuț s-ar fi apucat sărăcuțul de împărțirea celor două polinoame și ajungea la restul dorit abia la sfârșitul împărțirii, dacă avea mare grijă să nu greșească vreun semn la împărțire.





Deci, noi vom folosi cea mai modernă modalitate de a rezolva problema, adică:

  •  vom calcula $f(a)$, adică, la noi $a$ fiind $-1$ (căci din $X-a=X+1$ rezultă că $a=-1$),
  •  vom egala rezultatul cu zero (căci restul trebuie să fie nul) și
  •  vom găsi soluțiile ecuației care se va naște astfel.

Zis și făcut. Să vedem cât este $f(a)$. Avem $f(a)=f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)-3=-1-m-3=-m-4$. Acum egalăm acest rezultat cu zero și avem $-m-4=0$, deci $\color{red}{m=-4}$.



În final vreau să fac o mică sinteză pentru a denumi durabil proprietățile pe care le-am folosit. Cele două proprietăți importante pe care le-am folosit au fost:

  1. Pentru ca un polinom $f$ să fie divizibil cu $X-a$ trebuie ca restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ să fie nul.
  2. Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este $f(a)$.
Din cele două proprietăți rezultă că un polinom $f$ se divide cu $X-a$ dacă $f(a)=0$. Acest rezultat se numește teorema lui Bézout. Așadar, pentru rezolvarea problemei, elevul trebuia să cunoască teorema lui Bézout.



luni, 2 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.a


Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real.

Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=0$.



Adică trebuie întâi să rescriem polinomul nostru punând în locul lui $m$ numărul $2$. Obținem o frumusețe de polinom $f=X^3+2X-3$. Apoi trebuie să calculăm $f(1)$, adică trebuie să vedem cât obținem dacă în frumosul nostru polinom punem peste tot unde vedem $X$ numărul $1$.

După toate acestea avem, deci,
$$\color{red}{f(1)}=1^3+2\cdot 1-3=1+2-3=\color{red}{0},$$

calcul care încheie, fără complicații, rezolvarea problemei.