Faceți căutări pe acest blog

marți, 10 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.c


Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $\lim_{x\to+\infty} f(-x).$


Când vrem să calculăm o limită, încercăm să înlocuim argumentul cu valoarea. În cazul nostru, încercăm să-l înlocuim pe $x$ din funcția $f(-x)$ cu $+\infty$. Așadar, $$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\frac{-\infty+1}{e^{-\infty}+\infty}=\frac{-\infty}{0+\infty}=-\frac{\infty}{\infty}.$$ Acesta este un caz exceptat, o nedeterminare, deci nu ne ajută cu nimic pentru a găsi limita.

Prin urmare, încercarea noastră de a calcula limita prin simpla înlocuire a argumentului cu valoarea a ajuns într-un impas. Și trebuie să ne întoarcem la stadiul în care încă nu facem înlocuirea, ci ne străduim să mai modificăm ceva pe-acolo înainte de înlocuire.

O modificare fascinantă, pe care o știm de la matematicianul francez l'Hôpital este cea în care o asemenea limită (deci limitele cu nedeterminarea $\color{blue}{\frac{\infty}{\infty}}$ sau $\color{blue}{\frac{0}{0}}$) se calculează prin derivarea separată a numărătorului și separată a numitorului. Mai precis, în cazul acestor două nedeterminări, avem regula lui l'Hôpital
$$\color{blue}{\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f^\prime}{g^\prime}}.$$

Din fericire, această regulă o puteți folosi în foarte multe cazuri și, desigur, și în cazul nostru. Astfel, limita noastră va deveni atunci $$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(-x+1)^\prime}{(e^{-x}+x)^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}.$$

Aici, cea mai grea derivată este $(e^{-x})^\prime$. Restul sunt simple, căci $x^\prime=1$, iar $1^\prime=0$. Bun. Dar cât o fi $(e^{-x})^\prime$? Păi, avem o formulă care spune că $\color{blue}{(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime}$. Cum, la noi $u=-x$, avem că $(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.

Acum avem o formă mai aerisită a limitei:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}.$$

Acum dacă îl înlocuim pe $x$ cu $\infty$ vom obține că $e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0$. Astfel, limita căutată este
$$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{1-0}=\color{red}{-1}.$$