Faceți căutări pe acest blog

vineri, 24 iulie 2015

Număr liber de pătrate


Mi-a venit timpul și cheful să scriu din nou aici pentru voi, acum că mi s-au rărit elevii pe care îi meditez. Bine, nu cred că voi mai scrie zilnic, căci mai am și alte obiective, legate de cercetarea Fizicii elicoidale sau de acțiuni pentru societate.

Așa că, putem vorbi azi despre... despre... despre... ce mi-a venit mie în minte acum și anume despre numărul liber de pătrate. Vreau să vă explic aici ce este un număr liber de pătrate și la ce este bună o astfel de mâncare de pește.

Deci. Voi începe cu niște exemple. Exemple de numere libere de pătrate. Și niște contraexemple.

Iată niște numere libere de pătrate:         3          14         15       22        626.

Și iată alte numere care sunt rău stresate de pătrate:    8          12        18        72.

Numerele din prima listă se laudă că sunt „curate” și că nu conțin niciun pătrat perfect în ele. Pe când celelalte umblă cu capul plecat, rușinoase, că poartă în spate, aproape fără rost, ditamai pătratele perfecte.


Ca să nu fie supărate aceste numere din cea de-a doua listă, elevii buni la suflet le mai curăță din când în când, eliberându-le de pătrate. Am întâlnit, nu demult, astfel de elevi, care eliberau frumos niște numere de pătrate atunci când era necesar.

Dar oare când este necesar să eliberăm un număr de pătratele sale? Păi, cel puțin atunci când îl vedem sub radical. De exemplu, dacă vedem ceva de genul $\sqrt{12}$, automat ne sare mintea cu poftă la transformarea acestui radical în ceva mai elegant și mai util în calcule, adică, vom scrie imediat $\sqrt{12}=2\sqrt 3$. Sau dacă vedem $\sqrt{45}$, vom sări repede și îl vom înlocui cu $3\sqrt{5}$.

Este util să facem asemenea înlocuiri de exemplu atunci când avem o supărătoare fracție de genul $\frac{\sqrt{45}}{3}$ în care putem scăpa de numitor prin simplificare după ce îl eliberăm pe 45 de pătratul perfect 9.

Pătratele-astea perfecte care sălășuiesc în alte numere parazitându-le se văd uneori cu ochiul liber, așa de vizibile sunt. Iar alteori, în cazuri mai dificile sau când nu avem prea mult chef să le observăm cu ochiul liber, le putem descoperi după ce punem pe ele microscopul descompunerii.

Astfel, se vede de la o poștă că numărul $45$ poate fi scris imediat ca $45=9\cdot 5$. Prin urmare, dacă vom avea de folosit $\sqrt{45}$, atunci vom putea scrie $$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$$

Iar dacă vrem să-l scăpăm pe $45$ de pătrate cu ajutorul microscopului descompunerii, procedăm la descompunerea lui $45$ în factori primi după metoda învățată în gimnaziu:

$$\begin{array}{r| l }
45&3 \\
15&3\\
5&5\\
1&.\\
\end{array}$$

Cu această metodă, numerele prime care apar în perechi (în cazul nostru apar doi de 3) vor ieși o dată în fața radicalului (deci va ieși un 3), iar restul rămân cuminți sub radical.


Alt exemplu cu metoda descompunerii în care veți găsi două perechi de numere prime ce apar în descompunere și pe care le vom scoate înmulțite în fața radicalului.

Calculați, eliberând de pătrate: $\sqrt{3388}$. Trecem la descompunerea lui 3388.
$$\begin{array}{r| r}
3388&2 \\
1694&2\\
847&7\\
121&11\\
11&11\\
1&.\\
\end{array}$$

Au apărut doi de 2 și doi de 11. Înseamnă că vom avea $\sqrt{3388}=2\cdot 11\cdot\sqrt{7}=22\sqrt{7}$. Astfel, l-am eliberat pe 3388 de două pătrate, unul dintre ele fiind 4, iar celălalt fiind 121. Iar dacă am fi văzut cu ochiul liber că $3388=4\cdot 121\cdot 7$, atunci nu ne mai trebuia microscopul descompunerii. Sau încă, dacă l-am fi observat cu ochiul liber măcar pe 4 (conform criteriului de divizibilitate cu patru) privind la ultimele două cifre ale lui 3388 (cifre care formează un număr divizibil cu 4), atunci ne mai rămânea să-l descompunem doar pe 847.

Așadar, dacă observați vreun pătrat perfect ce-și face cuibul într-un număr mare aflat sub radical, nu ezitați să scoateți acel pătrat perfect în fața radicalului (bineînțeles, după ce ați extras radical din el).

Dar, desigur, există și cazuri în care este necesar să facem demersul invers, adică să introducem numărul din față sub radical. De exemplu, dacă vrem să comparăm numerele $2\sqrt{3}$ și $3\sqrt{2}$, vom introduce pătratele sub radical și vom avea de comparat atunci $\sqrt{4\cdot 3}$ cu $\sqrt{9\cdot 2}$, adică $\sqrt{12}$ cu $\sqrt{18}$, care sunt mult mai ușor de comparat și a căror relație este echivalentă cu relația dintre $2\sqrt{3}$ și $3\sqrt{2}$.