Faceți căutări pe acest blog

marți, 11 august 2015

Funcția de gradul întâi


În Matematică, „funcție” este numele pe care îl dăm unui obiect extraordinar de important. Și așa cum un obiect are, de regulă, mai multe părți, tot astfel și funcția (de exemplu, $f(x):\mathbb{A}\to\mathbb{B}$, dată prin $f(x)=7x-3$) este un obiect alcătuit din trei componente:


  1. Domeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{A}$)
  2. Codomeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{B}$)
  3. Lege. (În cazul nostru, $f(x)=7x-3$)

Unii elevi cred că doar legea este importantă pentru funcție, uitând că și domeniul și codomeniul sunt necesare pentru a defini complet o funcție.


Funcția de gradul întâi este poate cea mai simplă funcție pe care o învață un elev. Ea este de gradul întâi pentru că necunoscuta $x$ din legea funcției apare la puterea întâi. În funcția de gradul doi, de exemplu, necunoscuta apare la puterea a doua. 

Mai exact, funcția de gradul întâi este dată în general de legea $$\large{\color{red}{f(x)=ax+b}},$$
unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

Funcția de gradul întâi se mai numește și funcție „liniară”, deoarece graficul unei asemenea funcții, adică desenul funcției realizat într-un sistem de axe de coordonate XOY, este o linie dreaptă. 

Iată ce reprezentare grafică obținem dacă unim cu o linie câteva puncte corespunzătoare mai multor funcții liniare:

-funcția dată prin legea $f(x)=2x+3$




-funcția dată prin legea $f(x)=2x-3$




-funcția dată prin legea $f(x)=7x-3$


-funcția dată prin legea $f(x)=-7x-3$


-funcția dată prin legea $f(x)=x-3$


-funcția dată prin legea $f(x)=-x-3$


-funcția dată prin legea $f(x)=-x+3$



Observați acum că numărul din fața lui $x$ ne spune cât de înclinat este graficul funcției, iar celălalt număr ne spune cât de deplasat este graficul funcției în sus. 

Astfel, dacă numărul din fața lui $x$ (număr care se numește „pantă”) este pozitiv, atunci graficul este înclinat spre dreapta, adică funcția urcă (valorile ei cresc) atunci când mergem spre dreapta pe axa OX. Dacă acest număr este negativ, atunci graficul este înclinat spre stânga, iar funcția coboară când valorile lui $x$ cresc. Riguros spus, coeficientul lui $x$, deci panta, este  tocmai tangenta unghiului pe care îl face graficul funcției cu axa OX.

Iar termenul liber, dacă este pozitiv, ne spune cât de deplasat este graficul deasupra axei OX. Dacă este nul, ne spune că graficul trece prin origine, iar dacă este negativ, ne spune că graficul este deplasat mai jos, sub axă. 


Mai putem remarca faptul că, din moment ce știm că graficul funcției liniare este o dreaptă, este suficient să alegem două puncte mai drăguțe care să aparțină graficului funcției, pe care mai apoi să le unim cu o linie dreaptă ce ne va da graficul căutat.

Aceste puncte „drăguțe” le alegem în așa fel încât să ne facem viața cât mai frumoasă, adică în așa fel încât să nu fim nevoiți să calculăm cu numere mari, de genul unui milion. 

Așadar, pentru a trasa graficul funcției dată prin legea $f(x)=2x+3$ n-o să fim atât de naivi încât să alegem pentru $x$ valoarea $3.650.034$, ci vom lua o valoare rezonabilă, precum $x=1$. Atenție, cu condiția ca valoarea aleasă să se afle în domeniul de definiției al funcției! Iar după ce am ales valoarea coordonatei $x$ a primului punct al graficului, nu ne rămâne decât să calculăm și valoarea coordonatei $y$ a punctului respectiv. Apoi, mai alegem o abscisă corespunzătoare pentru cel de-al doilea punct ce aparține graficului, după care calculăm și ordonata acestuia. 

În final, reprezentarea grafică va consta în trasarea dreptei, semidreptei, ori a segmentului ce trece prin cele două puncte aflate. Hopa! Ce-am zis, „semidreaptă”, ori „segment”? Cum așa? Păi nu era vorba doar de o dreaptă? Acuma aducem în discuție alte bălării?

Ei bine, aici, acum, trebuie să vă reamintiți ce spuneam la început, că o funcție este dată și de domeniul de definiție. În acest context, dacă domeniul de definiție al funcției este un interval finit (închis sau deschis), atunci graficul funcției va fi un segment de dreaptă (închis, respectiv, deschis), iar dacă domeniul de definiție este un interval infinit într-o parte, atunci graficul va fi o semidreaptă. Abia dacă funcția liniară este definită pe toată mulțimea numerelor reale, abia atunci graficul ei va fi o dreaptă, dreaptă, infinită în ambele „capete”.