Faceți căutări pe acest blog

duminică, 20 septembrie 2015

Numerele complexe nu sunt complexe


Unii dintre voi ați auzit de ciudatele numere complexe. Și poate v-ați speriat de numele lor nedrept. Eu vă voi arăta aici că aceste numere nu sunt nici pe departe atât de complexe pe cât le spune numele, ci chiar există analogii cu celelalte numere.

Facem întâi o mică recapitulare pentru numerele necomplexe. Astfel, cunoaștem numere naturale (numere care nu au nici virgulă și nici minus), apoi numere întregi (numere care nu au virgulă dar pot avea minus), apoi numere raționale (numere care pot fi scrise ca o fracție de numere întregi) și numere iraționale (de regulă, orice radical sau logaritm care nu poate fi extras fără virgulă, numărul $\pi$, numărul $e$ și multe multe altele (sunt „mai multe” numere iraționale decât numere raționale!)).

Mulțimile formate cu numere necomplexe au următoarele notații:



  1. $\mathbb{N}$= numere naturale.
  2. $\mathbb{Z}$= numere întregi.
  3. $\mathbb{Q}$= numere raționale.
  4. $\mathbb{I}$= numere iraționale.


Numerele raționale împreună cu numerele iraționale formează așa-numitele „numere reale”, deși aceste numere nu sunt cu nimic mai reale decât numerele naturale, de exemplu. Numerele reale se notează cu $\mathbb{R}$.

Orice număr natural este și număr întreg. Prescurtat, scriem acest lucru drept $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$. Desigur, invers nu este valabil, pentru că există numere întregi (toate cele cu minus) care nu sunt numere naturale. 

Apoi, orice număr întreg este și număr rațional, căci orice număr întreg poate fi scris sub formă de fracție cu întregi. De exemplu, $5=\frac{5}{1}=\frac{10}{2}$. Așadar, putem scrie $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$. Tot așa, relația inversă nu este valabilă, căci numerele cu virgulă nu sunt întregi, deși sunt raționale.

În fine, orice număr rațional sau irațional este număr real, adică $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ și $\mathbb{I}\subset\mathbb{R}$ . Cum mulțimea numerelor reale nu mai conține altceva decât numere raționale și iraționale, ultimele două relații pot fi scrise mai condensat astfel: $\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}=\mathbb{R}$.




Apoi, pentru a înțelege ceva mai bine numerele complexe, aș vrea să observați întâi că numerele întregi n-au diferit foarte mult de numerele naturale. Singura diferență dintre numerele întregi și numerele naturale a fost aceea că unele numere întregi sunt, de fapt, tocmai numere naturale, dar înmulțite cu minus unu. Mai exact, toate numerele întregi sunt o combinație (o sumă) de două tipuri de numere: numere naturale fără minus (care se numesc „pozitive”) și numere naturale înmulțite cu minus unu (care se numesc „negative”).

De asemenea, singura diferență între numerele raționale și numerele întregi a fost aceea că unele numere raționale sunt, de fapt, tocmai numere întregi, dar ridicate la puterea minus unu. Analog atunci, toate numerele raționale sunt și ele o combinație (o sumă) de două tipuri de numere: numere întregi neridicate la puterea minus unu (care se numesc „supraunitare”) și numere întregi ridicate la puterea minus unu (care se numesc „subunitare”).



Acestea fiind spuse, veți vedea de ce numerele complexe nu sunt mai greu de înțeles decât numerele precedente. Observați că mai sus ne-am folosit de minus unu. Numerele negative au diferit de cele pozitive prin acest minus unu. La fel, numerele subunitare au diferit de numerele supraunitare tot prin acest minus unu. 

Ei bine, ce credeți? Nu cumva și numerele complexe îl implică pe acest minus unu? Bineînțeles că da! Singura diferență dintre numerele complexe și numerele reale este aceea că unele numere complexe sunt, de fapt, tocmai numere reale înmulțite cu radical din minus unu. Astfel, toate numerele complexe sunt o combinație (o sumă) de două tipuri de numere: numere reale neînmulțite cu radical din minus unu (care se numesc tot „reale”) și numere reale înmulțite cu radical din minus unu (care se numesc „imaginare”).



Dar analogia numerelor complexe cu celelalte numere nu se termină aici, ci o vom redescoperi în studiul ce urmează, cu privire la ceva operații. Fiți atenți! Două numere naturale adunate vor da mereu tot un număr natural. În schimb, scăderea a două numere naturale nu va da mereu un număr natural. De exemplu, numărul 5-3 este număr natural, dar numărul 3-5 nu mai este număr natural, ci este număr întreg (negativ). Omul a inventat numerele întregi pentru că a vrut să poată face scăderea oricăror două numere naturale.

De asemenea, două numere întregi înmulțite vor da mereu un număr întreg. În schimb, împărțirea a două numere întregi nu este întotdeauna tot un număr întreg. De exemplu, 4:2 este număr întreg, dar 2:4 nu mai este întreg, ci este număr rațional (subunitar). Astfel, omul a inventat numerele raționale ca să poată face împărțirea oricăror numere întregi.

Prin analogie cu ceea ce s-a întâmplat cu celelalte numere, omul a inventat numerele complexe ca să poată extrage radical din orice număr real, chiar și din cele negative.

Și așa cum numerele negative nu se pot așeza printre numerele naturale și așa cum numerele subunitare nu se pot așeza printre numerele întregi, tot așa numerele imaginare nu se pot așeza printre numerele reale.



Cel mai simplu număr imaginar este numărul $\sqrt{-1}$. El se notează tocmai cu litera „$i$” de la numere „imaginare”. Orice număr complex poate fi scris ca o combinație care îl conține pe acest $i$. De exemplu, puteți primi numere complexe precum $5-2i$ sau $i-7$ sau $\frac{1-i}{1+i}$.

În general, dacă știți cât este radical dintr-un număr real pozitiv $a$, atunci știți și cât este radical din numărul $-a$, căci rezultatul va cere doar să-i adăugați un $i$. Astfel, dacă știm că $\sqrt{16}=4$, atunci vom ști că $\sqrt{-16}=4i$. Observați că doar am adăugat un $i$ la $\sqrt{16}$.

Mulțimea numerelor complexe se notează cu $\mathbb{C}$ și avem relația $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, căci orice număr real este și număr complex (putem scrie, de exemplu, $4=4+0\cdot i$). Relația inversă nu este valabilă, căci nu orice număr complex este real.

Am ajuns acum la finalul unui articol în care sper că am reușit să vă îndepărtez definitiv prejudecata că numerele complexe ar fi niște numere mai greu de înțeles decât celelalte numere.