Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 31 octombrie 2015

Numere pitagoreice


Printre triunghiurile dreptunghice cu care vă veți întâlni până la bacalaureat există un tip (triunghiuri dreptunghice pitagoreice, cu laturi date de numere pitagoreice) despre care aș vrea să vă vorbesc în acest articol.

Triunghiul dreptunghic are o singură proprietate fundamentală (din care pot fi deduse celelalte): are un unghi drept (adică, un unghi de 90 de grade). Atât. Dacă întâlniți un triunghi cu un unghi de 90 de grade, atunci puteți spune liniștiți despre acel triunghi că este triunghi dreptunghic




Și va rezulta automat că celelalte două unghiuri rămase ale triunghiului dreptunghic sunt mai mici de 90 de grade (căci suma unghiurilor unui triunghi trebuie să fie 180 de grade).

duminică, 25 octombrie 2015

Cam cum cred eu că trebuie să fie un profesor

O primă cerință este obiectivul fundamental al profesorului. Ce dorești tu ca profesor? Doar salariul? Sau doar banii elevului la meditații? Sau vrei să arăți ce bun profesor ești tu, ce multe știi? Nici vorbă! Un profesor bun are un singur obiectiv: să-l ajute pe elev să înțeleagă cât mai mult, indiferent de consecințe, de metodă, de resursele folosite.


Profesorii care turuie într-una sunt inutili, așa cum și trenurile care merg cu 100 de km pe oră ar fi inutile dacă nu ne-am putea urca în ele. Elevul nu poate urca într-un tren ce merge cu 100 de km pe oră fără să oprească. Așadar, nu preda în viteză, dacă nu vrei să treci ca acceleratul pe lângă mintea elevului. Oprește ușor în stația în care te așteaptă elevul, ajută-l să urce în tren și accelerează frumos împreună cu el, fără să-l lași să mai cadă din tren vreodată. 

Cea mai faină proprietate a trapezului isoscel ortodiagonal

Trapezul este asemănător unui paralelogram, doar că are două laturi „stricate”. În timp ce paralelogramul are toate cele patru laturi paralele (două câte două, desigur), trapezului i-au rămas doar două astfel de laturi paralele. În figura de mai jos, doar laturile AB și CD sunt paralele, celelalte două fiind neparalele („stricate”).



Observați că trapezul nostru are obligatoriu una dintre cele două laturi paralele (laturi pe care le numim „baze”) mai mare decât cealaltă. Căci, dacă bazele ar fi egale, atunci trapezul n-ar mai fi paralelogram stricat, ci ar fi tocmai paralelogram (căci dacă două laturi sunt nu doar paralele, ci chiar și egale (mai riguros spus, „congruente”), atunci ele formează un paralelogram). Prin urmare, putem vorbi despre „baza mare” și „baza mică” ale unui trapez. În figura noastră, baza AB este mai mare decât baza CD.

marți, 13 octombrie 2015

Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler


Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$

duminică, 11 octombrie 2015

Altă metodă pentru calculul sinusului triplului


În articolul precedent am dat exemplul prin care, cu ajutorul formulei lui Moivre, am calculat ușor cosinusul și sinusul triplului unui unghi.

Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.

Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b. $$
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului. 

duminică, 4 octombrie 2015

Din bunătățile formulei lui Moivre



În liceu, după ce învățați numerele complexe (alea de forma $z=a+bi$, cu $i=\sqrt{-1}$), vine și vremea în care primiți cadou această formulă tulburătoare, ce ne spune că 
$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}!!!$$Doamne, dumnezeule, ce formulă! Ea este aproape la fel de tare ca și formula mai generală a lui Euler (din care poate fi dedusă foarte ușor această formulă a lui Moivre). 

Ce geniu trebuie să ai în sânge ca să descoperi o asemenea formulă?! Cât de sus trebuie să fii cu capul în nori ca să poți ajunge la o asemenea formulă?! Cât de ciudat și chiar nebun trebuie să apari în ochii celorlalți oameni banali care-și duc veacul căutând nimicuri?!

Dedic acest articol anonimului care, într-un comentariu recent pe blog, amplasat exact unde trebuia, m-a stârnit să scriu despre formula lui Moivre, întrebându-mă cum ar putea reține mai ușor valorile pentru funcțiile trigonometrice surori, cosinus și sinus.

vineri, 2 octombrie 2015

Funcție impară


Să se arate că funcția $f:(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\ln\frac{2+x^3}{2-x^3}$ este impară.


Primul hop pe care trebuie să-l treacă un elev izbit cu această problemă este dat de efortul de a-și reaminti ce este funcția impară (și, bineînțeles, cu această ocazie își va reaminti și ce este funcția pară).

O funcție $f(x)$ este impară dacă ea are proprietatea că $f(-x)=-f(x)$. Observați că nu e mare filozofie. Totul este să calculați cele două lucruri care apar într-o parte și într-alta a semnului „egal” și să vedeți dacă cele două calcule coincid.

joi, 1 octombrie 2015

Cum să folosiți blogul


Desigur, mulți dintre voi ați remarcat deja că puteți face căutări pe acest blog prin diverse metode. Dar pentru aceia dintre voi care nu au încercat încă, voi prezenta mai jos câteva metode prin care puteți survola mai ușor blogul.


Câmpul de căutare

Puteți observa că în partea de sus a blogului, imediat după antet, apare un câmp de căutare.
Am evidențiat cu roșu acest câmp. Puteți scrie aici un cuvânt sau o expresie după care doriți să faceți căutarea.