Faceți căutări pe acest blog

duminică, 25 octombrie 2015

Cea mai faină proprietate a trapezului isoscel ortodiagonal

Trapezul este asemănător unui paralelogram, doar că are două laturi „stricate”. În timp ce paralelogramul are toate cele patru laturi paralele (două câte două, desigur), trapezului i-au rămas doar două astfel de laturi paralele. În figura de mai jos, doar laturile AB și CD sunt paralele, celelalte două fiind neparalele („stricate”).



Observați că trapezul nostru are obligatoriu una dintre cele două laturi paralele (laturi pe care le numim „baze”) mai mare decât cealaltă. Căci, dacă bazele ar fi egale, atunci trapezul n-ar mai fi paralelogram stricat, ci ar fi tocmai paralelogram (căci dacă două laturi sunt nu doar paralele, ci chiar și egale (mai riguros spus, „congruente”), atunci ele formează un paralelogram). Prin urmare, putem vorbi despre „baza mare” și „baza mică” ale unui trapez. În figura noastră, baza AB este mai mare decât baza CD.





Trapezul isoscel este un trapez mai special. El are cele două laturi neparalele (adică, AD și BC) tocmai egale. Amintiți-vă cu această ocazie ce este triunghiul isoscel.









Diagonalele trapezului sunt liniile care o iau pe scurtătură de la un colț al trapezului la colțul opus. În figura noastră, diagonalele sunt AC și BD.



Diagonalele trapezului formează un unghi. În general, acest unghi este diferit de 90 de grade. 



Dar cel mai interesant caz este cazul în care aceste diagonale formează tocmai un unghi de 90 de grade, adică un unghi „drept”. Adică, diagonalele acestui trapez sunt perpendiculare. Un asemenea trapez se numește trapez ortodiagonal („orto-” înseamnă „drept”).



Atunci, trapezul care este nu numai isoscel, ci și ortodiagonal, merită toată atenția noastră. Iată-l!










Orice trapez are o linie mijlocie, adică o linie care unește mijloacele laturilor neparalele. În desenul nostru de mai jos, linia mijlocie este segmentul MN. Linia mijlocie, notată uneori cu $l_m$, este media aritmetică a bazelor, adică, semisuma (jumătate din suma) bazelor.




Trapezul, indiferent că este isoscel sau nu, are și o înălțime, nu doar linie mijlocie. Înălțimea unui trapez, notată de regulă cu $h$, este segmentul cel mai scurt care poate fi dus între cele două baze și ne arată cât de „înalt” este trapezul. Acest segment este perpendicular pe cele două baze. De aceea, el formează triunghiuri dreptunghice cu bazele.



Desigur, înălțimea QP poate fi dusă oriunde în trapez, dar cele mai interesante poziții ale acesteia sunt prezentate în figura următoare





În cazul nostru, cea mai interesantă înălțime este cea dusă prin mijloc, adică prin mijloacele bazelor. 





Aceasta este figura de bază din acest articol. Ea ne permite să observăm că înălțimea trapezului isoscel ortodiagonal este tocmai egală cu linia mijlocie! 


Demonstrația ar trebui să fie simplă. Este suficient să observați întâi că triunghiul dreptunghic COD este isoscel și el, deci unghiul DCO are 45 de grade (căci un triunghi dreptunghic isoscel are unghiurile de lângă ipotenuză egale, iar suma unghiurilor unui triunghi este 180 de grade).

Dar unghiul DCO este tot atât cât unghiul QCO. Și cum triunghiul QCO este și el dreptunghic (căci înălțimea este perpendiculară pe baze), rezultă că acest triunghi dreptunghic QCO este și el isoscel, din moment ce are un unghi de 45 de grade. Așadar, segmentul QO are aceeași lungime ca și segmentul QC. Dar segmentul QC este tocmai jumătate din baza de sus, din baza mică. 

Adică, putem scrie $$QO=QC=\frac{DC}{2}.$$

Apoi, printr-un raționament similar pe care îl facem în partea de jos, vom avea $$PO=PB=\frac{AB}{2}.$$

Adunând apoi cele două segmente, obținem tocmai înălțimea. Adică
$$h=PO+OQ=\frac{AB}{2}+\frac{CD}{2}=\frac{AB+CD}{2}.$$

Dar $\frac{AB+CD}{2}$ este tocmai cât linia mijlocie, pentru că asta înseamnă linie mijlocie, semisuma bazelor! Prin urmare, obținem că înălțimea trapezului isoscel ortodiagonal este la fel de lungă precum este linia mijlocie a trapezului.

Aveți, deci, aici cea mai faină proprietate a acestui trapez: $\color{red}{h=l_m}$.