Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 5 decembrie 2015

Integrala nedefinită este o mulțime de primitive


În anumite probleme vi se poate cere să calculați integrala nedefinită a unei funcții, iar în alte probleme vi se poate cere să determinați o primitivă a unei funcții. Să vedem aici care poate fi deosebirea dintre ele.

Vă spun din start că mare deosebire nu poate fi între ele. Integrala nedefinită nu diferă fundamental de primitivă. Dacă vi se cere să calculați una din cele două, veți urma același calcul integral pentru ambele.



Singura diferență dintre cele două este dată de o constantă. Mai exact, constanta face să existe o infinitate de primitive acolo unde există o singură integrală nedefinită.

Să vă dau un exemplu. Să presupunem că se cere să se calculeze o primitivă a funcției $f(x)=x^2$. Integrând cu ajutorul formulei $\int{x^n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, obținem că o primitivă a lui $x^2$ este, de exemplu, $\frac{x^3}{3}+5$. O altă primitivă a lui $x^2$ este $\frac{x^3}{3}+6$. Altă primitivă este și $\frac{x^3}{3}-11+\sqrt{3}$.

Ce observați? Toate primitivele conțin aceeași funcție ($\frac{^3}{3}$), numai că fiecare mai are alături încă un număr care nu îl conține pe $x$, deci mai conține o constantă. 

Spunem atunci că două primitive diferite ale unei funcții nu diferă prin mare lucru, ci diferă doar printr-un număr. Mai fain spus, diferența dintre două primitive este un număr

Diferența dintre primitiva $\frac{x^3}{3}-11$ și primitiva $\frac{x^3}{3}+5$ este $$\left(\frac{x^3}{3}-11\right)-\left(\frac{x^3}{3}+5\right)=$$ $$=\frac{x^3}{3}-11-\frac{x^3}{3}-5=-11-5=-16,$$
adică, un număr, o constantă.

Ei bine, acum că ați înțeles că există oricâte primitive vrem noi, doar că ele diferă printr-un număr constant, deci care nu depinde de variabila $x$, acum puteți înțelege și ce este integrala nedefinită. Integrala nedefinită este un nume pe care îl dăm tuturor primitivelor unei funcții. 

Așadar, integrala nedefinită (notată de regulă cu majuscula corespunzătoare unei funcții) este mulțimea tuturor primitivelor acelei funcții.

Sper că am reușit să vă clarific, deci, deosebirea și asemănarea între primitive și integrale nedefinite: când vi se cere primitiva, înseamnă că vi se cere inclusiv numărul exact pe care îl puneți după expresia care îl conține pe $x$, iar când vi se cere integrala nedefinită, atunci vi se cere de fapt doar expresia care îl conține pe $x$, după care să mai puneți voi un $+C$ după acea expresie.