Faceți căutări pe acest blog

duminică, 20 decembrie 2015

Să se calculeze $\int x\sqrt{x+2}dx$



Cum ați calcula această integrală? Cum calculați o integrală când găsiți în ea radicalul? Desigur, prima dată ne gândim la tabel, ne gândim dacă nu cumva această integrală este undeva în tabel sau poate fi adusă rapid la forma din tabel. 

Din păcate, survolând tabelul, constatăm că toți radicalii care apar pe-acolo îl conțin sub radical pe $x^2$, nu pe $x$ simplu. Deci, deocamdată nu avem nicio șansă...

Atunci ne vom gândi rapid cum putem prelucra expresia $x\sqrt{x+2}$ de sub integrală astfel încât să obținem rezultatul căutat. Mintea mea va fugi la încercarea de a calcula integrala din radical, în ipoteza că acest radical nu ar mai avea nimic în fața lui care să încurce. Mai exact, îmi pun problema dacă pot calcula mai ușor integrala $$\int\sqrt{x+2}dx.$$


Cum am calcula integrala $$\int\sqrt{x+2}dx\text{ }?$$ Ar fi oare greu de calculat? Dacă aș fi primit de la început doar această integrală, cum aș fi calculat-o? Cât de simplă ar fi trebuit să fie integrala, încât s-o pot calcula fără dificultăți? Trebuia să fie și mai simplă de-atât? Oare încă mă încurcă acel $2$ de sub radical? Fără $2$ o puteam calcula? Cât este integrală numai din radical din $x$?

Bun. Atunci suspendăm puțin calculul integralei noastre și ne concentrăm la calculul integralei $$\int\sqrt{x}dx.$$ Aveți idee cum se calculează fleacul acesta de integrală? Ce șmecherie trebuie făcută pentru a putea folosi tabelul?

Păi, tabelul ne spune de exemplu cum se calculează integrală dintr-un $x$ la o putere. Așa că toată șmecheria va fi să îl transformăm pe $\sqrt{x}$ în $x$ la o putere. Pentru aceasta ne vom aminti legătura dintre puteri și radicali învățată prin clasa a IX-a, legătură dată de formula $$\large{\sqrt[q]{x^p}=x^\frac{p}{q}}.$$

Așadar, $\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$, căci radicalul al cărui ordin nu se scrie este, de fapt, radical de ordinul doi, iar $x$ singur este, de fapt, $x^1$. Prin urmare, acum putem folosi tabelul direct și avem $$\int\sqrt{x}dx=\int x^\frac{1}{2}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=x^\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}.$$ N-am mai pus și constanta...

Deci, integrala din radicalul simplu o putem calcul cu tabelul. Acum să vedem dacă putem calcula o integrală puțin, puțin mai complicată, adică integrala din $\sqrt{x+2}$. Cât de tare ne încurcă $2$-ul acela? Hmmm... Păi, ne cam încurcă, să știți. Căci ne obligă să facem un salt calitativ și să ne gândim la integrale cu $u$, nu cu $x$, deci la integrale cu alte variabile, nu doar cu variabila $x$.

Din fericire, integralele cu $u$ sunt aproape la fel de simple ca și cele cu $x$, atâta doar că mai apare un $u'$ sub integrală. Adică, dacă sub integrală putem face în așa fel încât să punem un $u'$, atunci rezultatul e asemănător cu cel de la $x$.

Astfel, avem $$\int u'\sqrt{u}dx=\frac{2}{3}\sqrt{u^3}.$$ N-am mai pus și constanta...


Revenind atunci la $\sqrt{x+2}$ și notând pe $x+2$ cu $u$ și observând că $u'=(x+2)'=1$, putem scrie atunci că $$\int\sqrt{x+2}dx=\int 1\cdot\sqrt{x+2}dx=\int u'\sqrt u dx=\frac{2}{3}\sqrt{(x+2)^3}+C.$$


Iată, deci, că dacă problema noastră inițială nu l-ar fi avut pe $x$ lângă radical, am fi putut spune că am terminat. Ce să ne facem atunci cu acel $x$? Păi, știți ce facem? Îl transformăm în $x+2$! Cum așa? Păi, da, căci putem scrie $\color{blue}{x=x+2-2}$, deci adunăm și scădem ceea ce ne trebuie nouă. Aceasta este marea esență a rezolvării acestei integrale!

Ok. Dar ce am rezolvat dacă îl transformăm pe $x$ în $x+2$? Haideți să vedem ce iese. Avem $$\int x\sqrt{x+2}dx=\int(x+2-2)\sqrt{x+2}dx.$$ Mai departe $$\int(x+2-2)\sqrt{x+2}dx=\int(x+2)\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+2}dx,$$ unde, observați, am desfăcut paranteza în două părți interesante pentru radicalul nostru.

Dar, o integrală dintr-o sumă de doi termeni se transformă într-o sumă (sau diferență) de două integrale, conform regulii $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Astfel, integrala noastră devine atunci o diferență de două integrale $$\int x\sqrt{x+2}dx=\int(x+2)\sqrt{x+2}dx-\int 2\sqrt{x+2}dx.$$
Cea mai greu de calculat este prima integrală, dar îi venim noi de hac. Haideți s-o luăm separat. Avem de calculat, deci, integrala $$\int(x+2)\sqrt{x+2}dx.$$ Și aceasta se calculează tot cu $u$, pentru că alegem din nou $u=x+2$ și atunci sub integrală vom avea $u\sqrt{u}$ care devine, de fapt $$\large{u\sqrt{u}=u^1\cdot u^\frac{1}{2}=u^{1+\frac{1}{2}}=u^\frac{3}{2}}.$$ Cum $u'=1$ ca mai sus, rezultă că și integrala o putem calcula ca mai sus, doar că acum puterea nu este $\frac{1}{2}$, ci este $\frac{3}{2}$. Așadar, $$\int(x+2)\sqrt{x+2}dx=\int u' u^\frac{3}{2}dx=\frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}.$$

Apoi, cum $\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$ și urmând aceleași reguli prin care scăpăm de fracția supraetajată prin înmulțirea cu răsturnata numitorului și transformarea puterii în radical, obținem 
$$\int(x+2)\sqrt{x+2}dx=\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}+C=\frac{2}{5}\sqrt{(x+2)^5}+C.$$

Dintre cele două integrale, aceasta a fost cea mai grea. Cealaltă nu ne va face probleme pentru că deja am rezolvat ceva foarte asemănător, doar că radicalul nu avea $2$-ul în față. Acel $2$ nu ne va face nicio problemă, deoarece orice constantă de sub integrală poate fi scoasă liniștit în fața integralei, dacă aceasta este un factor de sine stătător sub integrală. Mai exact, dacă $a$ este un număr care nu depinde de $x$ și $f$ este o funcție care depinde de $x$, atunci $\int(af)dx=a\int fdx$. Deci, constanta iese în față.

Să facem, deci, o scurtă recapitulare, înșirând un cârnat lung de expresii: $$\int x\sqrt{x+2}dx=\int(x+2-2)\sqrt{x+2}dx=$$ $$=\int(x+2)\sqrt{x+2}dx-\int 2\sqrt{x+2}dx=$$ $$=\frac{2}{5}\sqrt{(x+2)^5}-2\cdot\frac{2}{3}\sqrt{(x+2)^3}+C.$$

Așadar, putem scrie în final că $$\color{red}{\int x\sqrt{x+2}dx=\frac{2}{5}\sqrt{(x+2)^5}-\frac{4}{3}\sqrt{(x+2)^3}+C}.$$