Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 28 decembrie 2016

Bacalaureat, V39SIP5 (lungimea medianei)


În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$, $B(1,1)$, $C(3,-1)$. Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful $A$ al triunghiului $ABC$.


Când auziți de „reper cartezian” și de niște puncte cărora li se dau coordonatele, apăi înseamnă că musai este vorba de geometrie analitică, adică de un cârnaț de formule de care e bine să vă amintiți instantaneu.

Ni se cere „lungimea medianei”. Bun. Înseamnă că ni se cere, în primul rând, o lungime. În geometria analitică, o lungime. Cum calculăm o lungime în geometria analitică? Hmmm... Lungimea (unui segment, căci numai segmentele au lungimi) este un număr care ne arată câți metri sunt de la un punct până la altul (de la un capăt al segmentului la celălalt). Deci lungimea (unui segment) este tot una cu distanța (dintre capetele segmentului).

Ca să putem calcula o lungime, deci o distanță, în geometria analitică, va trebui să calculăm un „radical”. Asociați cuvintele „lungime” sau „distanță” cu cuvântul „radical”. Radicalul acela se naște din teorema lui Pitagora aplicată ipotenuzei triunghiului dreptunghic determinat de capetele segmentului. Acest triunghi dreptunghic are catetele paralele cu axele, iar ipotenuza este tocmai segmentul determinat de cele două puncte.

Așadar, dacă ne trebuie distanța dintre punctele $P(x_P;y_P)$ și $Q(x_Q;y_Q)$, atunci trebuie să calculăm radicalul dat de O SUMĂ de două paranteze la pătrat. În spațiu avem trei paranteze, dar în plan avem doar două paranteze sub radical, o paranteză în care punem DIFERENȚA $x$-ilor și o paranteză în care pune diferența $y$-ilor. Deci 
$$d_{PQ}=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}.$$
Exact cum vă arătam într-un articol de prin 2014.

Deci, am stabilit că va trebui să calculăm un radical. De-acum se pune problema ce vom pune sub radical. Mai exact, care sunt punctele pentru care calculăm lungimea? Noi am primit acolo sus în problemă trei puncte. Dar oare între care dintre puncte trebuie să calculăm lungimea? Acum va trebui să ne gândim la „mediană”. Ce este mediana?

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medi=mijloc. Deci, noi trebuie să calculăm lungimea medianei duse din vârful $A$ pe mijlocul laturii $BC$. Așadar, avem sub radical un singur punct. Ne mai trebuie celălalt. Ne mai trebuie mijlocul laturii $BC$.

Mijlocul unei figuri este dat de media aritmetică a capetelor sale. Mai riguros spus, coordonatele mijlocului sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor (capetelor). Deci, coordonatele mijlocului nostru pe care îl notăm cu $M_{BC}$ vor fi $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\text{, iar   }\,\,\,y_M=\frac{y_B+y_C}{2}.$$

Și cum noi cunoaștem toate coordonatele de care avem nevoie, vom obține că $x_M=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$ și $y_M=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0$. Așadar, mijlocul căutat va fi $M_{BC}(2;0)$.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a calcula radicalul, adică lungimea medianei din vârful $A$, adică lungimea segmentului $AM$. Aplicăm formula și avem $$d_{AM}=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2},$$ adică $$d_{AM}=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=\color{red}{4}.$$

Rezultatul parcă vă sugerează că dacă ați ajuns cu bine până aici la bac, aveți șansa să luați deja un $4$.

marți, 13 decembrie 2016

Bacalaureat V39SIP4


Câte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4\}$?

Un exemplu de număr bun este 123 pentru că el trebuie să fie din trei cifre. Un contraexemplu (număr ne-bun) este 111 pentru că cifrele acestui număr nu sunt distincte. Alt număr ne-bun este 567 pentru că cifrele sale nu se află în mulțimea indicată. 

Alt număr bun este 321. Deci, iată că la noi contează ordinea cifrelor, căci modificând ordinea cifrelor putem adăuga alte numere în lista pe care trebuie s-o numărăm.

Câte posibilități sunt? Observați că dacă nu am folosi cifra 4 problema noastră s-ar reduce la una mai simplă: câte numere de trei cifre distincte (deci, diferite) puteți forma cu (primele) trei cifre? 

Dar câte numere de trei cifre diferite puteți forma cu trei cifre diferite? Contează ordinea cifrelor. Și fiecare trebuie să ajungă în toate pozițiile. Asta înseamnă că trebuie să le permutăm pe toate. Deci, răspunsul acesta mic ar fi „permutări de trei”. Permutări de trei înseamnă „trei factorial”, adică $3\cdot 2\cdot 1$, adică șase.

Deci, sunt șase posibilități de a scrie un număr de trei cifre diferite cu trei cifre, indiferent care ar fi acele cifre. Iată, deci, că dacă lipsește cifra 4 din listă, putem forma șase numere bune pentru noi.

Dar tot șase numere bune vom putea forma și dacă lipsește cifra 3. Căci nu contează care lipsește. Căci și cu cifrele 1, 2, 4 putem forma tot „permutări de trei”, căci tot trei cifre sunt acolo, indiferent care sunt ele.

Observați, deci, că în total putem forma de patru ori combinații de câte șase. Șase numere când lipsește cifra 4, șase numere când lipsește cifra 3, șase numere când lipsește cifra 2 și șase numere când lipsește cifra 1. Acest joc de combinații se numește „aranjamente”. Deci, putem aranja patru cifre în grupuri de câte trei în $4\cdot 6=\color{red}{24}$ de feluri. 



Atunci când elementele folosite trebuie să fie distincte și când contează ordinea lor folosim aranjamente. Dacă nu contează ordinea lor, folosim combinări. 

Dacă ni s-ar fi dat mulțimea $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și ni s-ar fi cerut să aflăm câte numere cu câte 2 cifre distincte (în loc de 3 cum ni s-a cerut în problema dată) putem face cu cifre din această mulțime, am fi raționat astfel: 

  • distincte, deci vom folosi aranjamente sau combinări
  • contează ordinea, căci trebuie să formăm numere, deci folosim aranjamente. Dacă ni s-ar fi cerut să formăm submulțimi, atunci nu ar fi contat ordinea (căci nu contează ordinea elementelor într-o mulțime) și am fi folosit combinări.
  • așadar, rezultatul ar fi fost $A_6^2=6\cdot 5=30$, căci sunt șase cifre în mulțimea pe care o putem folosi și trebuie să formăm numere de câte două cifre.

miercuri, 7 decembrie 2016

Bacalaureat, M2, V39SIP3


Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $$\sqrt{169-x^2}=12.$$

În mulțimea numerelor reale? Hmmm... Bun. Atunci, înseamnă că expresia de sub radical nu are voie să fie negativă. Adică, trebuie să punem întâi CONDIȚII DE EXISTENȚĂ pentru necunoscuta $x$.

Radicalul (de ordin par) din CEVA dă soluții reale numai dacă CEVA-ul nu este negativ. Căci radical (de ordin par) din ceva negativ ne dă cu numere complexe (adică numere care îl conțin pe $i=\sqrt{-1}$).

Deci, vom pune și noi condiția ca expresia de sub radicalul nostru să nu fie negativă, adică $$169-x^2\geq 0.$$ Din această condiție noi vrem să ajungem la ceva de genul $x\leq ceva$ sau $x\geq ceva$.

Inecuația $$169-x^2\geq 0$$ se poate rezolva atât cu metoda generală (formă canonică, delta, rădăcini, tabel), cât mai ales printr-o metodă mai rapidă ce ține de forma concretă pe care o are deja această ecuație particulară drăguță și mică. Uitați cum voi face. Îl voi arunca întâi pe $x^2$ în dreapta (ca să scap de semnul său negativ). Voi obține, așadar, $$169\geq x^2.$$ 
Și cum din $a<b$ rezultă că $b>a$ (valabil pentru orice semn de inegalitate aș pune între literele $a$ și $b$), avem că inecuația noastră impusă de condiția de existență a radicalului a devenit $$x^2\leq 169.$$ Mai departe, inecuația cu necunoscuta la pătrat implică o inecuație cu modul (căci radical din $x^2$ este modul de $x$).

Așadar, inecuația noastră a devenit acum mai simplă: $$|x|\leq 13,$$ căci radical din 169 este 13. Și, după cum mai puteți găsi pe undeva pe blogul meu (din câte îmi amintesc acum), o inecuație cu modul ne dă drept soluții niște intervale.  Dacă semnul este cu „mai mic”, atunci intervalul nu îl conține pe infinit (și nu are nici reuniune), ci este un interval simplu, închis dacă avem și egalitate și deschis dacă nu avem egalitate. Inecuația noastră va avea, deci, ca soluție intervalul închis $$[-13;13]$$ deoarece noi avem și egalul în inecuație. Acest interval ne spune unde trebuie să se afle soluțiile ecuației iraționale (cu radical) pe care am primit-o în problemă.


După ce am terminat cu munca laborioasă și parcă inutilă a condițiilor de existență, restul e floare la ureche. Ridicăm la pătrat ecuația dată, ca să scăpăm de radical. Obținem că $$\left(\sqrt{169-x^2}\right)^2=12^2,$$ adică $$169-x^2=144.$$ Arunc apoi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în partea cealaltă și obțin $$169-144=x^2,$$ adică $$25=x^2$$ deci $$x^2=25.$$ Iar această ecuație are două soluții (fiind de gradul doi). Aceste soluții sunt $x_1=\color{red}{5}$ și $x_2=\color{red}{-5}$. Și ambele aceste soluții se află în intervalul pe care l-am găsit la studiul condițiilor de existență $[-13;13]$.

În general, cam așa rezolvăm ecuațiile iraționale: stabilim întâi condițiile de existență, apoi, dacă aceste condiții de existență sunt compatibile (se poate întâmpla ca din studiul condițiilor de existență să ajungem la concluzia că nu pot exista soluții, deci că mulțimea soluțiilor posibile este vidă, caz în care nu are rost să mai continuăm calculele de la pasul următor), atunci ridicăm la puterea corespunzătoare prin care să scăpăm de radicalii ce apar în ecuație, desfacem eventualele paranteze, restrângem termenii asemenea și rezolvăm ecuația obținută fără radicali (ecuația rămasă fiind de regulă (sau putând fi redusă la) o ecuație polinomială de gradul întâi sau de gradul al doilea).

duminică, 4 decembrie 2016

Bacalaureat, M2, V39SIP2


Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-2x$. Să se calculeze $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(6)$.


Problema poate fi rezolvată „băbește” (deci, cam așa cum ar proceda o băbuță care nu prea știe Matematică). Adică, putem lua pe rând fiecare termen al sumei și să ne apucăm să-l determinăm, după care să adunăm termenii obținuți, să ne bucurăm de rezultat și să ne mirăm de ce nu am primit punctajul maxim din moment ce am prezentat rezultatul.

Facem, așadar: $f(0)=3-2\cdot 0=3-0=3$, $f(1)=3-2\cdot 1=3-2=1$, $f(2)=3-2\cdot 2=3-4=-1$ și așa mai departe, până la $f(6)=3-2\cdot 6=3-12=-9$. 

Dar, atenție la expresia „și așa mai departe”! Tocmai asta înseamnă punctele acelea de suspensie „$\dots$”, că trebuie să calculăm și $f(3)$ și $f(4)$ și $f(5)$! Unii elevi le lasă pe astea afară, pentru că nu cunosc încă semnificația punctelor de suspensie (pentru că nici nu s-a deranjat vreun profesor de mate să le spună vreodată un asemenea „fleac”, ci, eventual au fost subînțelese din limbajul natural). Ori, asemenea eșecuri îi determină pe elevi să urască Matematica, lucru extrem de grav pentru el însuși și pentru societate.

Deci, am calculat băbește toți cei șapte termeni (șase plus unu), aceștia fiind $3$, $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ și $-9$. Mai departe ne apucăm să-i adunăm, desigur, tot băbește: $$3+1+(-1)+(-3)+(-5)+(-7)+(-9)=\color{red}{-21}.$$

Deci, rezultatul cerut este $-21$. Metoda de aflare a acestui rezultat îi spune deja examinatorului foarte multe despre lucrarea pe care urmează să o corecteze, despre elevul a cărui lucrare o are în față. Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare mai eficientă, bazată pe niște cunoștințe mai generale. Ce făcea elevul dacă, în loc de $f(6)$, expresia de calculat s-ar fi terminat cu $f(60)$ sau cu $f(600)$? Ar fi calculat până la ieșirea din examen?

Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare bazată pe cunoștințele elevului despre PROGRESII ARITMETICE. Aceste cunoștințe i-ar fi permis elevului să folosească REGULA SUMEI pentru progresiile aritmetice, care spune că:

  • suma termenilor unei progresii aritmetice este, de fapt, mai simplu, un produs (o înmulțire) dintre numărul de termeni care trebuie adunați și media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.


Așadar, elevul trebuia să înceapă rezolvarea cu observația că termenii ce trebuie adunați sunt în progresie aritmetică (de rație $-2$ (numărul din fața lui $x$), adică termenii merg din $-2$ în $-2$). Cum numărul de termeni din această progresie este ușor de stabilit (șase plus unu, deci șapte), rezulta că singurul lucru mai greu de calculat era media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Dar, așa cum media notelor este suma lor împărțită cu numărul lor, tot astfel, media aritmetică dintre primul și ultimul număr al sumei este $$\frac{f(0)+f(6)}{2}=\frac{3+(-9)}{2}=\frac{-6}{2}=\color{lightgreen}{-3}.$$

Așadar, din regula sumei, aflăm că rezultatul este $$S=\color{blue}{7}\cdot(\color{lightgreen}{-3})=\color{red}{-21}.$$

Același rezultat ca mai sus, dar obținut mult mai elegant, mult mai rapid și valabil pentru mult mai multe cazuri. Iar a cunoaște Matematică înseamnă a cunoaște cât mai multe dintre asemenea scurtături.

luni, 28 noiembrie 2016

Bacalaureat, varianta 39, M2, subiectul I, problema 1


Încep aici prin a vă prezenta rezolvarea unei variante alese la întâmplare (varianta 39) din lista variantelor de M2 date pentru anii trecuți.

Să se calculeze $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}.$$

Fiind vorba despre subiectul I, elevul se poate baza pe faptul că rezolvările ar fi bine să decurgă mai repejor, căci nivelul de dificultate nu este foarte mare. Altfel spus, nu vă gândiți că e cine știe ce mare filozofie la acest subiect. Dimpotrivă, gândiți-vă că ar trebui să fie ceva simplu, fără calcule foarte laborioase.

Așadar, să începem. Ca să putem găsi suma celor trei termeni (așa se numește rezultatul ce trebuie obținut), vom calcula fiecare termen pe rând.

Întâi calculăm $\log_2 4$. Când vă loviți de logaritmi, amintiți-vă măcar următorul lucru: $\log_2 8=3$ pentru că $2^3=8$. Deci, logaritmul este exponentul la care trebuie să ridicăm baza logaritmului (numărul de mai jos) pentru a obține argumentul logaritmului (numărul de mai sus). Atunci, $\log_2 4=\color{red}{2}$, deoarece $2^\color{red}{2}=4$.

Cât o fi $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$? Întotdeauna când vedeți o fracție la un exponent negativ puteți răsturna fracția, iar exponentul își va schimba semnul. Așadar, avem $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\left(\frac{2}{1}\right)^{1}=\color{red}{2}$. Deci, din nou $\color{red}{2}$.

În fine, cât o fi $\sqrt[3]{8}$? În cazul logaritmului se cerea exponentul la care trebuie să ridicăm baza pentru a obține argumentul. În cazul radicalului se cere, de fapt, baza pe care trebuie s-o ridicăm la puterea a treia pentru a obține opt. Deci, cât la puterea a treia ne-ar da opt? Desigur, doi. Așadar, din nou, $\sqrt[3]{8}=\color{red}{2}$, căci $\color{red}{2}^3=8$.

Prin urmare $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}=2+2-2=\color{red}{2}.$$

Rezultatul aproape că sugerează că aveți deja nota doi asigurată la Bac dacă rezolvați problema asta (deși ea vă aduce doar o jumătate de punct).

luni, 7 noiembrie 2016

Integrale importante cu $e^x$


Haideți să clarificăm o dată pentru totdeauna cum e cu niște integrale importante, de genul $$\int(x+7)e^xdx,$$ care apar foarte des în probleme.

Voi începe chiar cu răspunsul, ca să mă puteți urmări mai bine, ca să știți la ce să vă uitați mai atenți în decursul raționamentelor.

Avem următoarea șmecherie faină: $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$

Observați că la rezultat scădem o unitate în paranteză.

Dacă am calcula derivata, atunci ar trebui să adunăm o unitate, căci am avea $$\left[(x+\color{blue}{7})e^x\right]^\prime=(x+\color{red}{8})e^x.$$ Integrala este antiderivata.

Și să vă arăt cum puteți redescoperi prin calcul această regulă, în ipoteza în care ați uitat-o exact în mijlocul unui examen. Integrala se calculează prin părți. Avem așa: $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx,$$ căci în loc de $e^x$ putem pune oricând $(e^x)'$, aceasta fiind funcția remarcabilă care nu se schimbă nici prin derivare și nici prin integrare (bine, abstracție făcând de acea constantă pe care o putem aduna la integrare).

Așadar, $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx.$$

Acum aplicăm integrarea prin părți, despre care știm că are forma $$\int fg'=fg-\int f'g.$$ Deci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int(x+7)' e^xdx.$$ Dar $(x+7)'=1$, iar $1\cdot e^x=e^x$. Astfel, avem atunci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int e^xdx=(x+7)e^x-e^x+constanta.$$ Aici nu ne rămâne decât să mai dăm un factor comun pe $e^x$ ca să nu-l scriem de două ori și avem $$(x+7)e^x-e^x=(x+7)e^x-1\cdot e^x=(x+7-1)e^x=(x+6)e^x.$$ Acum înțelegeți, deci, de ce $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$


De-acum înainte, dacă veți întâlni integrale de genul $$\large{\color{red}{\int(x+n)e^xdx}},$$ voi veți ști că rezultatul este $$\large{\color{red}{(x+n-1)e^x+C}}.$$

De exemplu, dacă primiți integrala faină de tot și foarte frecventă $$\int xe^xdx,$$ voi îi puteți afla foarte repede rezultatul deoarece o puteți scrie rapid sub forma $$\int xe^xdx=\int(x+0)e^xdx$$ și, conform regulii de mai sus, obținem $$(x+0-1)e^x=(x-1)e^x,$$ plus constanta.

vineri, 21 octombrie 2016

Calculați $\int\ln(x+3)dx$ (desigur, pe domeniul de definiție subînțeles, adică pe $(-3,\infty)$).


Când primim de calculat o integrală, ne gândim desigur cam ce metode cunoaștem pentru a calcula integrale. Oare această integrală se calculează „prin părți” sau cu „u” sau cu alte artificii? Habar n-avem. Pentru început, habar n-avem. Un lucru e sigur: integrala dată nu este deja în tabel, așa că va trebui să-i venim cumva de hac.

Ne apucăm să încercăm „prin părți”. La prima vedere, nici vorbă! Această integrală nu poate fi calculată prin părți! Căci, pentru a o putea calcula prin părți, ar trebui să avem sub integrală un produs de două funcții, dintre care una să fie o derivată, deci ori $\int f\cdot g'$, ori $\int f'\cdot g$.

Desigur, noi avem sub integrală o singură funcție, $\ln(x+3)$, nu două. Înseamnă că încercarea noastră de a o calcula prin părți a eșuat? Nicidecum! Din fericire, în loc de $ceva$ putem scrie întotdeauna $1\cdot ceva$. A apărut $1$ acolo, ca din senin, ca să ne ajute pe noi să putem scrie funcția noastră ca un produs de două funcții.

Ok. Deci integrala noastră devine acum $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx.$$ Parcă sună altfel acum.

Hmmm... Mai trebuie să aducem conținutul integralei la o formă care să conțină ceva derivat. O fi greu oare asta? Nu, nici asta nu e greu. Căci în loc de $1$ putem să scriem $x'$ sau $(x+1)'$ sau chiar $(x+3)'$. Și iată că am obținut și derivata necesară.

Dar, vai! Totuși! Oare ce vom alege să punem în locul lui $1$, atunci? Vom pune $x'$ sau $(x+1)'$ sau $(x+3)'$? Pe ce criteriu alegem constanta pe care o vom pune lângă $x$? Pe criteriul experienței... Aveți libertatea să încercați să puneți întâi doar $x'$ în locul lui $1$, dar veți vedea că, la momentul oportun, veți ajunge într-o fundătură (nu veți mai putea simplifica), așa după cum veți înțelege mai jos.

Experiența ne spune că în locul lui $1$ trebuie să punem $(x+3)'$. Astfel, integrala noastră devine $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx=\int(x+3)'\ln(x+3)dx.$$ Această formă este numai bună de abordat prin părți, căci cunoaștem formula hiperutilizată $$\int f'g=fg-\int fg'.$$

Conform acestei formule, avem $$\int(x+3)'\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx.$$ Mai rămâne să scăpăm și de a doua integrală, care, musai, trebuie să fie mai simplă (sau cel mult la fel de complicată) ca integrala de la care am pornit, altfel suntem pe un drum greșit, căci demersul de a o calcula prin părți este sortit eșecului.

Din fericire, integrala rezultată în urma aplicării formulei prin părți a devenit mai simplă decât integrala inițială, căci prin derivarea logaritmului după formula $$(\ln u)'=\frac{u'}{u},$$ acesta dispare și avem
$$\left[\ln(x+3)\right]'=\frac{(x+3)'}{x+3}=\frac{1}{x+3},$$ deci integrala a doua devine
$$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx.$$

Dar $$(x+3)\frac{1}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1.$$ Așadar $$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx=\int 1 dx=x,$$ plus constanta, desigur.

Culegând acest rezultat, îl punem în locul integralei din formula rezultată prin părți și obținem, în sfârșit,
$$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)\ln(x+3)-x+C}.$$

Ce credeți că s-ar fi întâmplat dacă în locul lui $3$ aveam $4$ sau $1$ sau orice alt număr ați vrea voi? De asemenea, acum observați de ce am ales să punem în locul lui $1$ tocmai pe $(x+3)'$ și nu altceva?

Mai observați că, având în vedere că în locul constantei putem pune orice număr, mai puteam scrie și $$\int\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-(x+3)+C.$$ Sau puteam da factor comun pe $(x+3)$ și obțineam $$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)[\ln(x+3)-1]+C}.$$.

vineri, 14 octombrie 2016

Calculați $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$


Integrala $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$ poate fi calculată „cu $u$” sau „prin părți”.


Cu $u$

Pentru a o calcula „cu $u$” (deci, cu cea mai elegantă și eficientă metodă în cazul acestei integrale) găsim, bâjbâind, o funcție de $x$ aflată sub integrală, funcție pe care să o notăm prescurtat cu „$u$”.

Dacă suntem norocoși sau experimentați, notăm din prima $$u=\ln x.$$ Automat, calculăm și $$u'=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}.$$ Toate acestea ne vor permite acum să constatăm că integrala noastră poate fi scrisă mai condensat, cu litera $u$, astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u'\cdot u^2 dx=\int u^2\cdot u' dx.$$

Apoi, ca să scăpăm chiar și de ultimul $x$ de sub integrală, ne folosim de legea de schimbare a diferențialei care ne spune că $u'dx$ poate fi înlocuit simplu cu $du$. Atunci, integrala noastră devine și mai elegantă $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du.$$ De aici încolo, calculul e floare la ureche. Ne amintim cât este $\int x^2 dx$ și punem același rezultat pentru orice altă literă pe care am dori s-o folosim în locul lui $x$, de data asta litera $u$.

Și cum $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,$$ înseamnă că și $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C.$$

Acum, ne amintim că $u$-ul nostru este, de fapt, $\ln x$. Deci, avem un lanț frumos de egalități $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C=\color{red}{\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$


Prin părți

Dar să vedem „prin părți” ce se poate face. Ca să o putem calcula prin părți, trebuie să aducem integrala noastră la ceva de genul $\int f\cdot g'$ sau  $\int f'\cdot g$. Desigur, elevul care știe că $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$, va înlocui fracția cu derivata logaritmului, deci va scrie integrala astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx.$$

De-acum, integrala are o formă cerută de formula de integrare prin părți, adică este de forma $\int f'g$. Iar noi știm că avem $$\int f'g=fg-\int fg'.$$ Pe această linie, integrala noastră devine $$I=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx=\ln x\cdot\ln^2 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx,$$ adică, $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx.$$

Mai trebuie să vedem cât este $$\left(\ln^2 x\right)',$$ deci cât este $$\left(ceva^2\right)'.$$ Pentru asta trebuie să vă amintiți dintr-a XI-a când ați învățat despre derivata funcției compuse , că avem $$\left(ceva^2\right)'=2\cdot ceva\cdot ceva'.$$

Și cum $ceva$-ul nostru este $\ln x$, înseamnă că $$\left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\left(\ln x\right)'=2\ln x\frac{1}{x}.$$

Punând rezultatele laolaltă, avem că $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx=ln^3 x-\int\ln x\cdot 2\ln x\frac{1}{x}dx.$$ Haideți să scoatem constanta în fața integralei și să aranjăm puțin factorii încât să observăm ceva: $$I=ln^3 x-2\int\ln x\cdot\ln x\frac{1}{x}dx=ln^3 x-2\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx.$$

Dar acum observați?! După $2$ se află, din nou, tocmai integrala pe care trebuia s-o calculăm! Adică, am obținut $$I=\ln^3 x-2I.$$ De-acum, pentru a-l găsi pe $I$ procedăm ca și pentru a rezolva o ecuație cu $I$, deci ducem termenul $-2I$ din dreapta în stânga egalității (cu semn schimbat) și vom avea $$I+2I=\ln^3 x,$$ adică $$3I=\ln^3 x,$$ de unde rezultă din nou că $$\color{red}{I=\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$

Așadar, mai sus aveți două metode pentru a calcula integrala din enunț.

marți, 11 octombrie 2016

Calculați $\int(3x-7)^2 dx$.


Un elev care nu știe să folosească funcții compuse, va face eventual efortul de a desface paranteza de sub integrală și de a calcula mai apoi integrala fiecărui termen rezultat. Mai exact, folosindu-se de formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, el va face ceva de genul $$\int(3x-7)^2dx=\int (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7 +7^2 dx.$$ Așadar, $$\int(3x-7)^2dx=\int9x^2-42x+49dx.$$

Apoi, va desface integrala în trei integrale, conform proprietății $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Va obține atunci, sărăcuțul, după o groază de lucru, ceva de genul $$\int(3x-7)^2=\int 9x^2 dx-\int 42x dx+\int 49 dx.$$ Și încă tot nu a terminat, desigur. Gândiți-vă că de-acum trebuie să ia în parte fiecare dintre cele trei integrale, pentru a le calcula.

Să calculăm întâi integrala $\int 9x^2 dx$. Dacă ne amintim ușor, ne vom folosi de proprietatea că, atât la derivate, cât și la integrale constanta iese în față. Așadar, $$\int 9x^2 dx=9\int x^2 dx.$$ De-acum, fără acel $9$, integrala este una pe care o regăsim în tabel. Căci știm că $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}$. Astfel, $$\int 9x^2 dx=9\frac{x^3}{3}=3x^3.$$

Apoi, vom avea că $$\int 42 x dx=42\int x dx=42\frac{x^2}{2}=21x^2.$$

În fine, $$\int 49 dx=49\int 1 dx=49x.$$

Punem acum rezultatele împreună și punem și constanta aceea plictisitoare, deci avem calculul integralei inițiale $$\int(3x-7)^2 dx=3x^3-21x^2+49x+c.$$

După o groază de lucru, elevul nostru a reușit să obțină rezultatul, pentru că a cunoscut formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și pentru că a mai cunoscut că o constantă iese în față și a mai cunoscut cum se calculează o integrală dintr-o putere a lui $x$.



Dar, haideți să vedem cum ar fi procedat un alt elev, mai sârguincios, care știe să calculeze integrala unei funcții compuse. Privind mai lung la integrală, s-ar fi gândit dacă nu cumva ar putea s-o aducă la forma $$\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}.$$ Observați că aici șmecheria este acel $ceva'$. Dacă sub integrală avem o funcție de $ceva$ și, pe lângă, îl mai avem și pe $ceva'$, atunci suntem cei mai fericiți, căci putem aplica formule de integrare pe care le știm deja din tabelul cu $x$.

Așadar, elevul nostru trebuie să stabilească întâi cine este acel $ceva$, după care să-l calculeze pe $ceva'$. Desigur, $ceva$-ul acestei integrale este, evident, $$ceva=3x-7.$$ Apoi, $$ceva'=(3x-7)'=(3x)'-7'=3x'-7'=3-0=3.$$

Dar, vai! Noi nu-l avem pe $3$ sub integrală și ne trebuie, căci numai atunci putem aplica formula aia frumoasă cu $\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}$! Cum facem atunci? Păi, ne amintim că $$orice=1\cdot orice=\frac{3}{3}\cdot orice=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot orice.$$ Iată, deci, cum am reușit să îl aducem pe $3$ lângă orice vrem noi. În baza acestei șmecherii, vom avea $$\int(3x-7)^2 dx=\int\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$ Și cum constanta pe care vrem noi o putem scoate în față, mai obținem $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\int 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$

Dar acum, ceea ce a rămas sub integrală este tocmai de forma $$\int ceva'\cdot ceva^2 dx,$$ deci îl putem înlocui cu $$\frac{ceva^3}{3}.$$ Astfel, avem în final, $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{(3x-7)^3}{9}+C,$$ care este o formă mult mai compactă decât cea pe care a găsit-o elevul precedent. Mai mult, această metodă este mult mai ușoară și mult mai generală, pentru că ea este aplicabilă și pentru exponenți mai ciudați. Cum ar fi procedat primul elev dacă în loc de exponentul $2$ al puterii de sub integrală i s-ar fi dat exponentul $30$? Ar fi desfăcut și acea paranteză? Desigur, nu, căci i-ar fi luat toată ora dedicată examenului.

Dar, oare, sunt egale cele două rezultate pe care le-au obținut cei doi elevi? Oare $$\color{blue}{\frac{(3x-7)^3}{9}+C=3x^3-21x^2+49x+c}?$$  Observați că în partea stângă a egalității constanta este $C$ mare, pe când în partea dreaptă avem $c$ mic, căci cele două constante nu sunt obligatoriu egale.

Vrem să verificăm, deci, dacă cele două rezultate sunt egale, ținând seama că în partea dreaptă constanta poate fi alta decât în partea stângă. Pentru asta, trebuie să știm cum ridicăm la puterea a treia un binom. Deci, ne folosim de formula $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Astfel, $$(3x-7)^3=(3x)^3-3\cdot(3x)^2\cdot 7+3\cdot (3x)\cdot 7^2-7^3,$$ mai exact $$(3x-7)^3=27x^3-189 x^2+441x-343.$$ Atunci $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3-189x^2+441x-343}{9}+C.$$ Dar, o fracție de mai mulți termeni poate fi transformată în mai mulți termeni cu fracții, dacă desfacem numărătorul după metoda $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ Atunci, $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3}{9}-\frac{189x^2}{9}+\frac{441x}{9}-\frac{343}{9}+C.$$ Împărțind cu $9$ ceea ce se poate împărți, obținem $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=3x^3-21x^2+49x-\frac{343}{9}+C.$$

Hmmm... Dar primul elev a obținut parcă altceva: $$3x^3-21x^2+49x+c.$$ Așa este. Deci, coincide doar partea care îl conține pe $x$ și nu coincide constanta.

Dar, cum spuneam, constanta aceea poate fi oricât! Deci, dacă numai constantele diferă, înseamnă că integrala este bine calculată. Căci două primitive distincte ale aceleiași funcții diferă numai printr-o constantă.

sâmbătă, 8 octombrie 2016

Inecuații cu modul


Dacă în postarea precedentă vorbeam de ecuații cu un modul, azi putem vorbi de inecuații cu un modul. Acestea sunt inegalități cu un modul, inegalități care conțin necunoscute.

Există două tipuri fundamentale de inecuații cu modul: tipul care conține semnul „mai mic” și tipul care conține semnul „mai mare”. 

Inecuațiile de primul tip sunt ceva de genul: $$|ceva|<8,$$ iar soluțiile unei asemenea inecuații sunt în intervalul deschis $$(-8,8).$$ Dacă semnul „mai mic” este însoțit și de semnul „egal”, atunci intervalul trebuie închis, deci soluțiile vor fi în intervalul $$[-8,8],$$ care înseamnă că soluțiile pot fi inclusiv $-8$ și $8$.





Inecuațiile de al doilea tip sunt ceva de genul: $$|ceva|>8,$$ iar soluțiile unei asemenea inecuații sunt într-o reuniune de intervale deschise $$(-\infty,-8)\cup(8,\infty).$$ Dacă semnul „mai mare” este însoțit și de semnul „egal”, atunci intervalul trebuie închis acolo unde nu există infinit, deci soluțiile vor fi într-o reuniune de intervale de forma $$(-\infty,-8]\cup[8,\infty),$$ care înseamnă că soluțiile pot fi inclusiv $-8$ și $8$.

În concluzie, la semnul „mai mic” nu apare infinitul.

marți, 4 octombrie 2016

Ecuații cu modul


Modulul este o ciudățenie care îi supără pe mulți elevi. Ce rost au barele acelea verticale ce apar în dreptul modulului? Sunt introduse doar pentru a ne complica viața?

Să presupunem că primiți o problemă de genul:

Să se rezolve ecuatia $$|2x-3|=5$$.

De ce au mai pus barele modulului? Nu puteau să ne dea aceeași ecuație fără barele-acelea verticale? Ecuația fără bare era mult mai simplu de rezolvat. Ce modificări aduc în plus barele? Cu ce se complică problema la apariția barelor? 

Ecuațiile cu modul sunt de două ori mai complicate decât ecuațiile fără modul. Atât. Doar de două ori. Altfel spus, o ecuație cu modul devine cât două ecuații fără modul. Așadar, dacă primiți spre rezolvare o ecuație cu modul, primiți de fapt spre rezolvare două ecuații fără modul. Și astfel, totul devine mai simplu.

Să concretizăm. Să vedem cum facem din ecuația cu modul de mai sus tocmai două ecuații fără modul.

Prima ecuație fără modul este cea mai simplă. Pur și simplu, copiați ecuația, dar fără barele modulului. Așadar, rezolvăm ecuația $$2x-3=5.$$ Îl aruncăm pe $-3$ în dreapta egalității și obținem $$2x=5+3=8.$$ Apoi, scăpăm cumva și de $2$-ul acela din fața lui $x$, aruncându-l și pe el în dreapta „cu semn schimbat”, dar de data asta „cu operație schimbată”, adică, înmulțirea dintre $2$ și $x$ care există în termenul $2x$ va deveni împărțire. Așadar, $$x=8:2$$ sau, mai elegant, $$x=\frac{8}{2}=4.$$ Iată, deci, rezolvarea primei ecuații fără modul. Această primă ecuație ne-a dus la prima soluție, $x_1=4$.

Dar, ecuațiile cu un modul au, de regulă, două soluții. A doua soluție va fi dată de a doua ecuație fără modul. Recunosc, această a doua ecuație este un pic, dar numai un pic, mai ciudată decât prima, mai nenaturală. Ea ne obligă să punem undeva (sau să ne gândim la) semnul minus

Unii elevi sar greșit la concluzia că, dacă prima soluție a fost $x_1=4$, atunci, știind că undeva trebuie să apară semnul minus, ar însemna că automat cea de-a doua soluție ar fi $x_2=-4$. Dar, din păcate, nu este așa de simplu. Nu putem conclude că dacă prima soluție are o anumită valoare, atunci cea de-a doua soluție ar avea aceeași valoare dar cu semn schimbat. Nu! Minusul apare altundeva!

Iată cum arată cea de-a doua ecuație fără modul, cea în care trebuie să ținem seama de semnul minus: $$2x-3={\large{\color{red}{-}}}5.$$ Desigur, nici această ecuație simplă de gradul întâi nu ne face probleme de rezolvare acu, dar rezolvarea ei ne va arăta că cea de-a doua soluție obținută nu are neapărat semnul opus primei soluții.

Avem, deci, după aruncarea lui $-3$ în dreapta egalității, $$2x=-5+3=-2.$$ Iar după aruncarea lui $2$ în dreapta (cu împărțire, nu cu scădere!), vom avea $$x=\frac{-2}{2}=-1.$$ Iată că a doua soluție este $x_2=-1$ și nicidecum $-4$!

Facem o probă? Haideți să facem și o probă. În locul lui $x$ din ecuația cu modul pe care am primit-o spre rezolvare vom pune pe rând cele două soluții ca să vedem dacă obținem, într-adevăr, rezultatul $5$, cât se află în partea dreaptă a egalității. Deci $$|2\cdot 4-3|=|8-3|=|5|=5.$$ Așadar, prima soluție este verificată. Să vedem și a doua. În locul lui $x$ punem acum $-1$. Obținem $$|2\cdot(-1)-3|=|-2-3|=|-5|=5.$$ Deci, din nou, obținem verificarea ecuației.

Așadar, nu uitați, o ecuație cu un modul nu diferă foarte mult de ecuațiile fără modul, ci este echivalentă cu două ecuații fără modul, iar într-una dintre ele apare implicat semnul minus. Aceasta se întâmplă deoarece valoarea unui modul nu se schimbă dacă schimbăm semnul conținutului pe care îl are acel modul.

luni, 19 septembrie 2016

Ecuația redusă a dreptei


Appletul pe care vi-l prezint astăzi aduce lumină în legătură cu ceea ce se întâmplă cu o dreaptă în plan atunci când modificăm unul dintre punctele care definesc dreapta.

Modificați-l cu mausul pe $a$ sau pe $b$ și veți vedea cum se modifică parametrii dreptei. $a$ este abscisa punctului $A(a,2)$, $b$ este ordonata punctului $B(2,b)$, $d$ este ecuația redusă a dreptei, $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și axa OX dat în radiani, iar $\beta$ este același unghi dat în grade.

Panta dreptei este tocmai numărul din fața lui $x$ care apare în ecuația redusă a dreptei și ne arată cât de înclinată este dreapta. Chiar dacă cele două nu sunt unul și același lucru, există totuși o legătură directă între unghiul de înclinare $\alpha$ și pantă, legătură dată de formula $$panta=\tan\alpha.$$

Observați că dacă panta se anulează (caz în care dreapta devine paralelă cu axa $OX$), atunci ecuația redusă a dreptei este de forma $y=număr$, iar dacă panta devine infinit de mare (dreapta devine perpendiculară pe $OX$), atunci ecuația dreptei este de forma $x=număr$.

Mai observați că dacă panta dreptei este pozitivă, atunci dreapta „urcă”, pe când dacă panta dreptei este negativă, atunci dreapta „coboară”.

duminică, 18 septembrie 2016

Jucați-vă cu funcția de gradul al doilea (sau de gradul întâi)



Am găsit oarece timp și am creat un applet în aplicația fascinantă oferită de Geogebra, care vă prezintă evoluția graficului funcției de gradul al doilea (sau chiar al funcției de gradul întâi, pe care o obțineți dacă îl anulați pe $a$).

Aveți posibilitatea să mutați cu mausul (sau cu degețelul, pe telefon sau tabletă) valorile fiecăruia dintre cei trei parametri, $a$, $b$ și $c$, ca să vedeți ce se întâmplă cu graficul atunci când modificați unul dintre parametri. De asemenea, aveți posibilitatea să declanșați animația produsă de un anumit parametru.



Sper că v-am făcut o  surpriză plăcută!

joi, 25 august 2016

Cât este 8-7 sau despre complexitatea creierașului de elev


Desigur, un școlar din clasele primare va da un răspuns aproape instantaneu dacă îi vom cere să ne spună care este rezultatul scăderii din titlu.

Însă se poate întâmpla ca un elev din clasele mai mari să stea mai mult pe gânduri.

În clasele primare, școlăreii încă n-au apucat să învețe despre numerele întregi negative, așa că pentru ei un asemenea calcul este floare la ureche. Însă nu la fel stau lucrurile cu un elev din clase mai mari.

Elevul dintr-o clasă gimnazială sau chiar și un licean va fi mai tulburat puțin de o asemenea întrebare, căci bagajul său de cunoștințe este mai bogat. S-ar putea ca el să creadă că problema este dificilă și va aplica regula complicată (dar firească) de operare a numerelor întregi, aceea cu "dacă două numere întregi au semne diferite, atunci rezultatul adunării lor va avea semnul celui mai mare dintre ele (în valoare absolută) și valoarea dată de diferența dintre cel mai mare și cel mai mic". Vă dați seama, o groază de muncă pentru un creier foarte concentrat și adâncit în rezolvarea problemei.

Așadar, este o crimă să criticăm un elev că stă pe gânduri la întrebarea din titlu! Este o gravă eroare pedagogică deoarece descurajează un suflet inocent în formare. Oamenii sunt foarte complecși și merită să avem răbdare cu ei, merită să nu tragem concluzii privind capacitatea lor din asemenea ezitări vremelnice. 

vineri, 5 august 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c


Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 



Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 

joi, 4 august 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b


Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 



Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

miercuri, 3 august 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a


Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx. $$

marți, 2 august 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c


Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.



Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.


Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.


luni, 1 august 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1b


Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Calculați $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {f^\prime(x)} { f(x)}}. $$



Pe $f ^\prime (x) $ am găsit-o deja la subpunctul precedent, așa că limita care se cere este de fapt $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {e^x-x-1} {e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1}}. $$



Prima metodă (riguroasă și rapidă): 

Cum calculăm această limită, cât mai rapid? Vă povesteam cândva cum se poate calcula rapid limita unei fracții de polinoame atunci când $x$ tinde la infinit. La ceea ce am discutat acolo voi mai adăuga aici o observație importantă: funcția $e^x$ poate fi considerată ca fiind un polinom de gradul infinit.

duminică, 31 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 


De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$

sâmbătă, 30 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2c


Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.


Ei? Asta da, asta deja este o problemă ce dă oarece bătăi de cap. Cum dumnezeu să demonstrăm că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă, că în liceu nu se învață nimic asemănător, nicio regulă care să ne ducă pe o cale regală către o asemenea demonstrație? Atunci ce trebuie să facă elevul?

vineri, 29 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2b


Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2 $ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.


Ce sunt rădăcinile unui polinom? Sunt acele numere care anulează funcția polinomială asociată polinomului dat. Așadar, dacă înlocuim pe $x$ cu o rădăcină (să zicem, cu $x_1$), obţinem rezultatul zero. Adică, $$f(x_1) =0.$$

joi, 28 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2a


Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Arătați că $f(0)=a$.

Vai, dar ce grea este problema asta! Vedeți câtă grijă are examinatorul? Are grijă să ne mai și odihnim între timp. Problema asta este pentru odihnă și pentru recuperarea timpului.

Oricărui polinom i se asociază o funcție polinomială. Polinomului nostru i se asociază funcția $f(x) =x^3 - 5x+a$. Sper că ați observat deosebirea dintre polinom și funcția polinomială, deosebirea dintre majuscula $X$ și minuscula $x$. Iată că în matematică trebuie să fim atenți chiar și la asemenea chestii.

Așadar, pentru a calcula $f(0)$, va trebui ca în funcția polinomială atașată polinomului nostru să-l înlocuim pe $x$ cu $0$. Obținem, deci, $$\color {red} {f(0)} =0^3 - 5\cdot 0+a=0-0+a=\color{red} {a}, $$ ceea ce trebuia demonstrat. 

miercuri, 27 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1c


Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Știind că $A(n)=A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016) $, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.



Elevul concentrat și eliberat deja de emoția începutului de examen, se va gândi că ar trebui să fie o legătură între numărul $2016$ și $2017$. Apoi, gândind că aceste numere sunt alese la întâmplare, în funcție de anul curent, va conștientiza că trebuie să caute o metodă generală pentru a găsi soluția, o metodă independentă de aceste numere.

marți, 26 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right). $$


luni, 25 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1a


Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Arătați că $\det(A(10))=1024$.



Dacă ați citit cu atenție articolul în care vă arătam cum un determinant de ordinul trei se poate scrie ca trei determinanți de ordinul doi, atunci problema este ca și rezolvată, căci acolo veți afla că putem dezvolta determinantul după prima coloană și obținem: $$\det (A(10))=\left|\begin{array}{ll} 1&10&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{10}\\ \end{array} \right|=\left|\begin{array}{ll} 1&0\\ 0&2^{10}\\ \end{array} \right|=2^{10}=\color{red}{1024}.$$

Dar dacă n-ați apucat încă să citiţi cu atenție articolul spre care v-am îndrumat, din cine știe ce motive omenești și firești,  atunci poate veți găsi ceva chef să citiți cu atenție articolul în care v-am descris regula lui Sarrus

Mult succes! 

duminică, 24 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6


Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4} $ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:  $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}. $$

sâmbătă, 23 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5


În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?

vineri, 22 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 

joi, 21 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x$.

Atunci când necunoscuta $x$ a unei ecuații apare la exponent, se spune despre acea ecuație că este ecuație exponențială. Deci, ecuația dată este o ecuație exponențială.

Ecuațiile exponențiale sunt mai blânde decât alte ecuații pentru că ele nu necesită condiții de existență. Altfel spus, la exponentul unui număr real putem pune orice alt număr real, căci tot număr real vom obține la rezultat, dacă baza puterii este deja fixată (baza trebuie să fie un număr real pozitiv și diferit de unitate).

miercuri, 20 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 2


Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.


Când vede această problemă elevul trebuie să își amintească în care caz parabola asociată funcției de gradul doi este tangentă axei $Ox$. Există un singur caz în care funcția de gradul doi poate fi tangentă axei $Ox$. Un singur caz!

A fi tangent înseamnă "a atinge". Deci, căutăm situația în care parabola atinge axa $Ox$. Iar a atinge înseamnă "a tăia într-un singur punct".

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim din prima cazul în care parabola atinge axa? Păi, tatonăm, bâjbâim, încercăm să ne amintim cât mai multe lucruri despre funcția de gradul doi, despre parabola acesteia.

marți, 19 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 1

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Așa cum v-am povestit într-un articol precedent în care am scris despre progresii aritmetice, când este vorba despre "termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice" înseamnă că este vorba de regulă de TREI termeni ai unei progresii aritmetice, termeni care vin frumos, ordonat, unul după celălalt. Iar atunci când este vorba despre trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie să vă amintiți automat de faptul că termenul din mijlocul celor trei este tocmai media aritmetică a vecinilor săi.


luni, 18 iulie 2016

Pentru viitor

Dat fiind faptul că, din câte am înțeles eu, elevii se sfiesc să interacționeze live cu mine sau sunt mulțumiți de ceea ce scriu deja, pe viitor mă gândesc să scriu mai des și mai puțin și să încep să rezolv în stilul meu (adică, cu acel lux de amănunte nebunesc pe care îmi place mie să vi-l pun la dispoziție) toate variantele de matematică ce s-au dat vreodată la bacalaureat.

De exemplu, aș putea începe prin a rezolva ultima variantă de bacalaureat care s-a dat anul acesta. După care aș putea începe să prezint rezolvarea tuturor variantelor pe care le găsesc pe net.

joi, 14 iulie 2016

Chat prin IRC cu elevii


Am găsit o modalitate superbă de a dialoga cu voi. Pe saitul oamenilor harnici de la KiwiIRC am găsit un element de chat drăguț, încorporabil în sait și l-am atașat în coloana din dreapta pe blog.

Sâmbătă, 16 iulie, de la ora 22 la ora 23 mă voi loga în acest chat și vă invit și pe voi să dialogăm despre probleme de matematică pentru începători.

Am oarece emoții, dar vă aștept cu drag întrebările. Eu mă voi loga cu numele „abel_cavasi”.



Editare ulterioară (destul de târzie...):
Cei care doresc să se conecteze de pe clienţi IRC dedicaţi (ex. mIRC, X-Chat) parametrii de conectare sunt /server irc.freenode.net 6667 şi /join #matematica_pentru_incepatori



Editare în 17 iulie 2016, ora 2007:
Din păcate, din cine știe ce motive (probabil vacanța), elevii nu s-au conectat la chat. Așa că rămâne pe altă dată.

miercuri, 13 iulie 2016

Progresii aritmetice


Progresia aritmetică este un $\textit{șir}$ de numere. Dar nu orice șir de numere, ci unul foarte special. Și anume, un șir de numere care „merg din câtva în câtva”, prin adunare. (Cele care merg prin înmulțire se numesc „progresii $\textit{geometrice}$”.)

De exemplu, șirul de numere $3,5,7,9,\dots$ este o progresie aritmetică de numere care merg din doi în doi. Acest „doi” se numește $\textit{rația}$ progresiei aritmetice. Dacă știm rația unei progresii aritmetice, atunci știm aproape totul despre ea.

Am spus „aproape totul” pentru că există de exemplu și alte progresii aritmetice care merg din doi în doi, dar care sunt, totuși, diferite de această progresie dată ca exemplu mai sus. Un asemenea exemplu diferit de progresie aritmetică din doi în doi este $2,4,6,8,\dots$. Vedeți că și această progresie aritmetică merge din doi în doi, doar că ea $\textit{nu începe}$ la fel ca progresia precedentă.


joi, 7 iulie 2016

Prima sesiune de probleme


În articolele de acest gen voi prezenta rezolvarea problemelor pe care le propuneți voi înșivă prin comentariile voastre din subsolul articolelor. 

Așadar, comentați voi la acest articol, adăugând lincuri spre o problemă de bacalaureat sau de evaluare națională pe care doriți să o găsiți aici rezolvată.

Problema trebuie să fie bine formulată, ca să fie pe înțelesul meu (considerați că nu sunt atât de deștept încât să vă pot citi gândurile, deși nu este exclus asta întotdeauna :)  ). 

vineri, 1 iulie 2016

Felicitări pentru diagramă!


Vreau să-l felicit cu această ocazie pe autorul diagramei buclucașe care a dus la scandalul recent în legătură cu problema 6.




Dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, ar fi însemnat că în acea clasă sunt în total 3+4+5+6+7+8+9+10 elevi. Unde ați văzut voi clase atât de mari? În schimb, dacă numărul elevilor este pe verticală, atunci clasa are 1+2+3+6+7+5+3+3 elevi; mult mai plauzibil.

De asemenea, ar fi însemnat că 3 elevi au luat nota 1 și nici un elev n-a luat notă mai mare de 7. Absurd și asta.

Sau încă, și mai absurd: dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, atunci cum s-ar fi putut stabili câți elevi au luat nota 3? Nicicum.

În fine, dacă notele ar fi fost pe verticală, ar fi însemnat că există și nota zero, ceea ce contravine regulamentelor (pe care elevii ar trebui să le cunoască).

Iată, deci, patru modalități prin care ar fi putut raționa fără dubii un elev care ar fi vrut să dea un răspuns corect.

miercuri, 15 iunie 2016

Combinări de n luate câte k


Definiția

Am să vă povestesc azi despre combinări. Combinările sunt niște numere, numere naturale (adică, fără minus și fără virgulă). Ele ne arată câte submulțimi putem forma cu niște elemente.

De exemplu, dacă cineva o să vă întrebe câte submulțimi de câte două elemente se pot forma cu elemente furate dintr-o mulțime care are patru elemente, atunci voi le veți putea răspunde că numărul căutat este „combinări de patru luate câte doi” și veți scrie . El este egal cu șase. Și vom vedea mai jos de ce.



Numărare

Dar oare cât o fi acest număr? Cât este combinări de patru luate câte doi? Păi, haideți să numărăm mulțimile. Începem cu o mulțime care are patru elemente. Fie aceasta . Să vedem câte submulțimi de câte două elemente putem forma cu elemente furate din această mulțime.

Vom avea următoarele mulțimi posibile: ,,,,și . Deci, combinări de patru luate câte doi este egal cu șase. Căci avem șase submulțimi posibile. Scriem condensat
.



vineri, 10 iunie 2016

Să se calculeze integrală din logaritm natural


Se cere, deci, să calculăm $$\int \ln x dx.$$ După ce vom termina integrala, o vom pune rapid în tabelul nostru, dar cu mențiunea că pentru aceste integrale ceva mai complexe nu este suficient să memorați rezultatul, ci trebuie să memorați și metoda.

Integrala cerută este un bun exemplu de integrală ce trebuie calculată PRIN PĂRȚI. Mai exact, trebuie să folosim una dintre formulele de integrare prin părți:

  • $\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$
  • $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$
Dar, vai, sub integrala noastră există o singură funcție, nu două. Atunci cum putem aplica integrarea prin părți? Nicio problemă. Facem un artificiu. Scriem că $\ln x=1\cdot \ln x$, căci orice funcție poate fi considerată ca fiind unu ori funcția respectivă. Așadar, integrala noastră devine $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx.$$

marți, 31 mai 2016

Radical din doi este un număr irațional


În clasele foarte mici elevii învață numerele naturale, adică numerele pozitive și fără virgulă. Numerele $0$,     $1$,     $2$,     $3$ și așa mai departe sunt numere naturale.

În clasele mici elevii învață mai apoi și numerele întregi, adică numere care pot avea și minus, dar care rămân în continuare fără virgulă. Numerele $5$,      $-5$,      $0$,      $-3$ sunt numere întregi (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere naturale).

Apoi încep să învețe și despre numerele raționale, adică numere care au și virgulă, dar o asemenea virgulă încât după virgulă trebuie să se repete ceva (un grup de cifre) mereu la fel. Numerele $-1$,     $0,7$,     $-\frac{2}{3}$,     $18^2$,     $0,1001001001001\dots$ sunt numere raționale (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere întregi).

duminică, 22 mai 2016

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.


Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 

luni, 16 mai 2016

Puncte de discontinuitate

Puncte de discontinuitate


Funcțiile pot fi continue sau discontinue (într-unul sau mai multe (chiar într-o infinitate de) puncte). Putem desena funcțiile continue fără a fi nevoiți să ridicăm creionul de pe hârtie. În schimb, funcțiile discontinue ne obligă să întrerupem undeva desenul lor, ne obligă să ridicăm creionul de pe hârtie și să începem desenul din altă parte, mai sus sau ceva mai jos de unde l-am lăsat.

Bineînțeles, desenul unei funcții este graficul ei, adică mulțimea punctelor din plan (căci discutăm despre funcțiile (de o singură variabilă) pe care le-ați învățat deja) care, prin intermediul funcției date, asociază punctelor de pe axa orizontală (axa absciselor) cel mult (și cel puțin, desigur) câte un punct de pe axa verticală.


Riguros vorbind, într-un punct de continuitate $x_0$ sunt satisfăcute următoarele două egalități de numere reale (deci și finite!): $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0), $$ unde cu $l_s(x_0)$ am notat limita la stânga a funcției în punctul $x_0$.


Iată graficul unei funcții continue oarecare:

Orice punct am alege pe axa OX (dacă funcția este definită pe toată axa OX), deasupra lui (sau dedesubt) se află cel mult un punct albastru de pe graficul funcției. 

Așadar, în timp ce funcțiile continue nu ne fac probleme cu desenul lor, funcțiile discontinue își cam fac de cap, „sărind” din loc în loc peste anumite valori de pe axa verticală a graficului. Altfel spus, într-un punct de discontinuitate găsim două sau mai multe puncte de pe axa verticală corespunzătoare punctului dat. Și cum o funcție nu mai este funcție dacă asociază unei abscise mai mult de un punct, rezultă că acolo funcția trebuie numită, oarecum impropriu, „funcție discontinuă”. Impropriu, căci acolo funcția efectiv nu mai este funcție.


Iată acum graficul unei funcții discontinue (cu punct de discontinuitate de prima speță) în punctul $x_0$:





În legătură cu aceste discontinuități, se nasc (doar) două cazuri posibile:




marți, 10 mai 2016

Calculați $i^i$.


Cum adică, să calculăm $i^i$? Ce trebuie să mai obținem din $i^i$? Nu este suficientă această formă? Doar știm că $i$ este o literă folosită pentru a-l scrie mai compact pe $\sqrt{-1}$. Atunci, se poate duce „mai departe” prin calcul expresia $i^i$, o literă la literă? Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $3125^{625}$, ce rezultat ar fi trebuit să prezentăm? Oare ni s-ar fi cerut să arătăm numărul acela lung, lung de tot dat prin $191101259794547752\dots 1680908203125$? Sau dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ce ni s-ar fi cerut de fapt, ni s-ar fi cerut numărul acela urât, $1,414213562373095\dots$?

Iată o mulțime de probleme pe care le putem pune în legătură cu ideea de a calcula ceva. Desigur, pentru un elev cu ceva intuiție matematică, a calcula va însemna a prezenta o ALTĂ formă a numărului dat, o formă ceva mai relevantă, mai compactă, mai condensată, mai elegantă, o formă la care se referă examinatorul cel cu ochi de vultur.

vineri, 6 mai 2016

Derivata unei funcții este viteza ei


Așa cum vă spune și titlul, derivata unei funcții este viteza acestei funcții, adică, este viteza cu care se ridică graficul funcției, în timp ce el se deplasează și spre dreapta. Dacă graficul funcției coboară atunci când se deplasează spre dreapta, atunci derivata funcției este negativă, căci coborârea este de fapt ridicare negativă.

Dacă, graficul unei funcții se ridică mai mult decât graficul altei funcții (desenate în același sistem de referință XOY), atunci derivata primei funcții este mai mare decât derivata celei de-a doua funcții.

În figura de mai jos dreapta roșie este graficul funcției $f(x)=3x-1$, iar dreapta albastră este graficul funcției $g(x)=2x-1$.



Observați că dreapta roșie urcă mai repede decât dreapta albastră. Acest lucru se datorează faptului că derivata funcției $f(x)$ este mai mare decât derivata funcției $g(x)$. Derivata lui $3x-1$ este $3$, iar derivata lui $2x-1$ este $2$.


Tot astfel, parabola roșie coboară și urcă mai rapid decât parabola albastră, deoarece derivata funcției $f(x)=3x^2-1$ (în modul, deci, dacă facem abstracție de semn) este mai mare decât derivata funcției $g(x)=2x^2-1$.



Derivata lui $3x^2-1$ este $6x$, pe când derivata funcției $2x^2-1$ este $4x$.

Mai observați că viteza dreptelor de mai sus nu se schimbă nicăieri, indiferent în care loc măsurăm această viteză. În schimb, viteza unei parabole (a oricăreia dintre ele) depinde de locul (de $x$-ul) în care vrem să o determinăm. Astfel, în partea negativă a $x$-ilor, derivata parabolei este și ea negativă, iar parabola coboară, apoi urmează o porțiune în care parabola își încetinește mult coborârea, această coborâre anulându-se chiar când $x=0$, după care urmează urcarea nestăvilită cu o viteză din ce în ce mai mare. 

Putem spune că, spre deosebire de drepte, parabolele au și o „accelerație” nenulă, nu doar o „viteză”.

Aveți, așadar, o interpretare cinematică a derivatei, identică cu cea pe care s-a bazat Newton când a creat un aparat matematic cu derivate pe care să-l poată folosi în Fizică.