Faceți căutări pe acest blog

duminică, 24 ianuarie 2016

V1S1P3: Să se rezolve ecuația $\sin x-\cos x=1$


Ecuația $\sin x-\cos x=1$ din enunț este o ecuație trigonometrică. De regulă, ecuațiile trigonometrice au o infinitate de soluții, dar cele mai interesante se află în intervalul $[0, 2\pi)$. Dacă găsim soluțiile interesante (deci, soluțiile care se află pe cercul trigonometric, căci intervalul $[0, 2\pi)$ reprezintă toate cele patru cadrane la un loc, patru sferturi în care este împărțit cercul), atunci restul soluțiilor se repetă prin adunare cu $360^\circ$ (sau cu $2\pi$, dacă vorbim în radiani, nu în grade).

Așadar, ne vom concentra întâi pe găsirea soluțiilor interesante, aflate în intervalul $[0,2\pi)$. Pentru aceasta, vă invit să aruncăm întâi o privire asupra ecuației, de data aceasta cu intenția de a ghici măcar câteva soluții. Obișnuiți-vă mintea să lupte și cu astfel de încercări, să ghicească soluțiile unor probleme chiar dacă încă nu are metoda riguroasă de a le obține.



Ian să vedem... $\sin x-\cos x=1$. Ceva minus altceva să fie unu. Cât minus cât poate fi unu? Desigur, sunt o grămadă de soluții. De exemplu, $8-7$ sau $(-3)-(-4)$. Ok. De acord. Dar să eliminăm câteva soluții posibile. De exemplu, $8-7$ nu prea poate fi, deoarece sinus nu poate fi niciodată $8$, iar cosinus nu poate fi niciodată $7$. Dimpotrivă, știm că atât sinus, cât și cosinus nu pot fi mai mici de minus unu și mai mari de unu, oricât ar fi unghiul pentru care am calcula sinus sau cosinus.

Așadar, trebuie să ne gândim la două numere care se află între minus unu și unu și care scăzute să ne dea unu. Bineînțeles, și dintr-astea există o infinitate de posibilități, căci de exemplu $0,8-(-0,2)=1$ sau $0,81-(-0,19)=1$. Și acum intervine partea mai grea, aceea de a elimina soluțiile imposibile și din această diversitate ținând seama de data aceasta de ultima informație relevantă și anume de informația că atât sinus cât și cosinus trebuie calculate din același unghi, din același $x$. Asta mai înseamnă că sinus și cosinus trebuie să fie catetele aceluiași triunghi dreptunghic trigonometric (triunghi dreptunghic ce poate fi desenat în cercul trigonometric și care are, din acest motiv, ceva special: ipotenuza sa este egală cu unu).

Deci, ia să vedem dacă există vreun unghi pentru care diferența dintre sinus și cosinus să fie tocmai unu. O primă posibilitate ce-mi trece mie prin minte este una banală rău de tot: sinus să fie unu, iar cosinus să fie zero. Atunci sinus minus cosinus ar fi unu. Există oare vreun unghi pentru care sinusul să fie unu, iar cosinusul să fie zero? Da, există: unghiul drept, deci unghiul de nouăzeci de grade. Sau, în radiani, unghiul de $\frac{\pi}{2}$. Așadar, această soluție ar trebui să apară printre rezultatele calculelor ce vor urma.

Dar, după atâta chin cu ghicitul, mai bine să trecem la treabă și să ne apucăm de calcule. Cea mai eficientă cale pentru a lucra cu funcțiile trigonometrice sinus și cosinus pare a fi ridicarea lor la pătrat. Pentru că prin ridicare la pătrat avem șanse să întâlnim suma remarcabilă $\sin^2+\cos^2$ despre care știm din teorema fundamentală a trigonometriei că, minune, este egală exact cu unu! 

Bun. Deci, preferăm ridicarea la pătrat. Singura problemă cu ridicarea asta la pătrat este că obținem soluții în plus și pentru ecuația $\sin x-\cos x=-1$, nu doar pentru ecuația pe care vrem noi s-o rezolvăm. Și atunci cum facem? Păi, simplu, avem grijă să eliminăm soluțiile care nu ne trebuie nouă.

Zis și făcut. Ridicăm la pătrat ecuația noastră. Adică, ridicăm la puterea a doua ambii termeni ai egalității $\sin x-\cos x=1$ și obținem $$(\sin x-\cos x)^2=1^2,$$ adică, folosindu-ne de formula de calcul prescurtat necesară, avem $$\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1.$$

Dar aici observăm că a apărut minunea care ne place nouă, adică suma $\sin^2+\cos^2$. Atunci înlocuim această minune cu unu. Și ecuația noastră ridicată la pătrat devine atunci $$1-2\sin x\cos x=1.$$ Acum $1$-ul acela este superfluu și putem scăpa de el. Obținem astfel doar $$-2\sin x\cos x=0.$$ Aceasta este una dintre cele mai clare forme ale ecuației. Mă rog, am mai putea s-o facem și mai clară dacă am scăpa de $-2$. Haideți să scăpăm și de $-2$, prin împărțirea întregii ecuații cu $-2$, ca să nu ne mai încurce. Obținem $$\sin x\cos x=0,$$ o formă clară, minunată a ecuației.

De-acum nu ne mai trebuie altceva decât să ne gândim când poate fi zero produsul celor două funcții. Și, bineînțeles, un produs este nul atunci când măcar unul dintre factori este nul. Și cum avem doi factori, înseamnă că avem două posibilități de anulare a produsului, o posibilitate apărută în cazul în care $\sin x=0$ și altă posibilitate apărută în cazul în care $\cos x=0$.

Astfel, ecuația noastră inițială s-a transformat în două ecuații mult mai simple. Deci, revine din nou principiul că am descompus o problemă grea în mai multe probleme ușoare.

Acum ne vom gândi întâi la soluțiile ecuației $\sin x=0$. Când poate fi sinusul zero? Pentru ce unghi sinusul este zero? Dacă nu vă amintiți cam cum stă treaba cu sinușii (despre care spuneam că sunt valorile date de catetele verticale ale triunghiurilor trigonometrice care se nasc în cercul trigonometric atunci când plimbăm un punct pe acest cerc), atunci vă spun eu că singurele valori interesante unde sinusul poate fi nul sunt $x=0$ și $x=\pi$. În rest, sinusul este diferit de zero pe cerc.

Apoi ne vom gândi la soluțiile ecuației $\cos x=0$. Singurele valori în care cosinusul se anulează sunt ceva mai urâte decât în cazul sinusului: $x=\frac{\pi}{2}$ și $x=\frac{3\pi}{2}$. Deci, cosinusul se anulează la un sfert din cerc și la trei sferturi din cerc (adică la $90$ de grade și la $270$ de grade).

Bun. Acum, suntem în posesia celor patru soluții care satisfac ecuația noastră ridicată la pătrat, două de la sinusul nul și două de la cosinusul nul, adică, puse în ordine crescătoare ele sunt $x_1=0$, $x_2=\frac{\pi}{2}$, $x_3=\pi$ și $x_4=\frac{3\pi}{2}$. Observăm că aceste soluții se află la începutul fiecărui sfert de cerc. 

Dar n-am uitat că aceste soluții nu sunt toate bune și pentru ecuația inițială. Așadar, din astea patru soluții le vom elimina pe cele care nu satisfac ecuația inițială.

Să începem cu $x_1=0$. Oare această soluție satisface ecuația noastră inițială, adică ecuația $\sin x-\cos x=1$? Punem în locul lui $x$ pe $0$ și calculăm. Ne dă $\sin 0-\cos 0=0-1=-1$. E bai! Această soluție nu ne dă $1$, ci ne dă $-1$. Deci, o eliminăm și nu ne mai gândim la ea. Trecem la următoarea, la $x_2=\frac{\pi}{2}$.

Avem $\sin\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{2}=1-0=1$. Yuppppiiii! Prima soluție bună! Yes! Haideți s-o evidențiem, deci. $$x=\frac{\pi}{2}.$$

Mai avem de verificat $x_3$ și $x_4$. Pentru $x_3=\pi$ avem $$\sin\pi-\cos\pi=0-(-1)=1.$$ Deci și asta este o soluție bună. Super.

În fine, pentru $x_4=\frac{3\pi}{2}$, avem $$\sin\frac{3\pi}{2}-\cos\frac{3\pi}{2}=-1-0=-1,$$ deci nu e bună.

Atunci, singurele soluții interesante și bune pentru ecuația noastră rămân $$\color{red}{x=\frac{\pi}{2}}$$ și $$\color{red}{x=\pi}.$$ Interesante pentru că se află în cercul trigonometric și bune pentru că ele satisfac ecuația. 

Restul soluțiilor bune sunt neinteresante, dar trebuie totuși menționate. Ele se obțin prin repetare. Mai exact, din prima soluție interesantă $x=\frac{\pi}{2}$ obținem și soluția $\frac{\pi}{2}+2\pi$. Dar și soluția $\frac{\pi}{2}+4\pi$. Dar și soluția $\frac{\pi}{2}+6\pi$. Și tot așa, căci dacă adunăm la un unghi $360$ de grade (echivalent cu $2\pi$), obținem aceleași valori pentru funcțiile trigonometrice, căci punctul de pe cercul trigonometric ajunge în același loc în care s-a aflat ca și pentru soluția interesantă.

Ok. Și cum facem să unificăm povestea asta? Cum facem să nu repetăm la nesfârșit cu adunarea a câte unui $2\pi$? Păi, iată cum. Observăm că lângă soluția interesantă am tot adăugat un număr par de $\pi$-uri. Ca să nu folosim cuvinte pentru un „număr par”, scriem $2k$ și spunem că acest $k$ poate fi orice număr întreg (deci, număr fără virgulă, dar care poate fi și cu minus).

Deci, acum putem spune că soluțiile ecuației noastre sunt $$\large{\color{red}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}}\text{ și }\large{\color{red}{\pi+2k\pi}},$$ unde în locul lui $k$ puteți pune ce număr întreg vreți voi.

Iar dacă facem pe șmecherii și mai mult, aceste soluții se mai pot scrie și mai fain, doar în funcție de $\frac{\pi}{2}$ pentru că $\pi=\frac{2\pi}{2}$: $$\large{\color{red}{(4k+1)\frac{\pi}{2}}}\text{ și }\large{\color{red}{(4k+2)\frac{\pi}{2}}}.$$

Și cu asta am gătat. Și sper că a fost cea mai explicită rezolvare a unei asemenea ecuații trigonometrice pe care ați întâlnit-o vreodată. :)