Faceți căutări pe acest blog

duminică, 31 ianuarie 2016

V1S1P4: Calculați probabilitatea ca, pentru un număr $a$ din mulțimea $\{1,3,5,\dots, 21\}$, expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$ să fie cub perfect


Din ceea ce se învață în liceu, știm că probabilitatea este o fracție care are la numărător (deci sus) „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor „numărul cazurilor posibile”. Întotdeauna, numărul de jos (deci cel de la numitor) este mai mare sau cel puțin egal cu numărul de la numărător. De parcă numărul mare este mai greu și se scufundă, lăsându-l pe cel mai ușor deasupra. Astfel, probabilitatea este întotdeauna un număr mai mic decât unu sau cel mult egal cu unu, ceea ce mai înseamnă că probabilitatea este mereu un număr subunitar sau eventual echiunitar, niciodată supraunitar.


Așadar, pentru a calcula probabilitatea cerută, trebuie să calculăm două numere, unul fiind „numărul cazurilor favorabile”, iar celălalt fiind „numărul cazurilor posibile”. Așa cum spuneam mai sus, cazurile posibile sunt mai multe decât cele favorabile. Ba, mai mult, numărul cazurilor posibile este chiar mai ușor de găsit decât numărul cazurilor favorabile. Așa că eu vă recomand să determinați întâi acest număr și să vă concentrați abia mai apoi asupra numărului de cazuri favorabile. Pentru că așa vă veți putea obișnui cu problema și veți avea mai multe idei pentru a găsi numărul mai greu al cazurilor favorabile.

Haideți atunci să căutăm numărul cazurilor posibile. Câte numere pot fi luate în considerare pentru calculul probabilității cerute? Desigur, numai cele din mulțimea care ni s-a dat, adică numai cele din mulțimea $\{1,3,5,\dots, 21\}$. Prin urmare, haideți să numărăm câte numere pot fi în această mulțime, adică haideți să determinăm „cardinalul” acestei mulțimi.

Observăm că mulțimea dată conține numai numere impare între 1 și 21. Așadar, oare câte numere impare sunt de la 1 până la 21? Am putea să căutăm băbește pe degete, pentru că nu sunt prea multe. Dacă vă ascundeți mâinile pe sub masă și numărați pe degete câte numere impare sunt de la 1 la 21 (așa cum am făcut și eu), veți constata că nu vă ajung degetele de la cele două mâini, dar dacă mai puneți degetul mare de la piciorul stâng, atunci ați reușit.

Dacă, totuși, nu vreți să vă ascundeți cu degetele pe sub masă, atunci puteți să aflați altfel cardinalul mulțimii {1,3,5,\dots, 21\}$. Numerele merg din doi în doi. Înseamnă că pentru a găsi al câtelea număr este un element din listă, va trebui să împărțim ceva cu doi. Ca să găsim că 1 se află în poziția unu din listă, trebuie să-l împărțim pe 1+1 la 2. Ca să găsim că 3 se află în poziția doi din listă, trebuie să împărțim pe 3+1 la 2. Ca să găsim că 5 se află în poziția trei din listă, trebuie să împărțim pe 5+1 la 2. Și tot așa. Prin urmare, ca să găsim în ce poziție se află 21 în listă, îl împărțim pe 21+1 la 2. Deci, obținem $\frac{21+1}{2}=\color{red}{11}$.

Avem, așadar, „numărul cazurilor posibile”. Avem 11 cazuri posibile. Deci, numitorul probabilității căutate este 11. Acum vom căuta numărătorul, adică „numărul cazurilor favorabile”. Va trebui să vedem care dintre cele 11 numere găsite în listă ne vor da un cub perfect dacă îl punem în locul lui $a$ în expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$.

O idee ar fi să ne aruncăm cu capul înainte și să începem să luăm pe rând fiecare dintre numerele impare din listă și să-l înlocuim în $a$. Cred că ar fi o groază de lucru și nu am chef să fac așa ceva. Mai bine să ne gândim la altceva. Mai bine să ne gândim dacă nu cumva putem să mai piscălim la expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$ pentru a o aduce la o formă mai omenească. Și tare mi se pare că putem.

Ia uitați-vă aici. Noi știm că $15=3\cdot 5$. Asta mai înseamnă și că $15$ la o putere va fi $3$ la acea putere înmulțit cu $5$ la acea putere. Așadar, $15^{a+2}=3^{a+2}\cdot 5^{a+2}$. Apoi trebuie să ne mai amintim că $3^x\cdot 3^y=3^{x+y}$.

După care, grupând laolaltă toate aceste cunoștințe, iată ce vom obține din expresia noastră inițială: $$3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}=3^{2a+1}\cdot 3^{a+2}\cdot 5^{a+2}=3^{2a+1+a+2}\cdot 5^{a+2}.$$

Dar la puterea lui $3$ apare ceva interesant. Căci, $2a+1+a+2=3a+3=3(a+1)$. Așadar, $3^{2a+1+a+2}=3^{3(a+1)}.$ Și noi mai știm că $3^{xy}=\left(3^x\right)^y$. Asta înseamnă că din $3^{3(a+1)}$ putem face $3^{(a+1)\cdot 3}$, deci putem face de fapt $$3^{3(a+1)}=\left(3^{a+1}\right)^3.$$

Un număr natural la puterea a treia este sigur cub perfect. Și noi ne dorim să avem cuburi perfecte în expresia noastră. Și cum $3^{a+1}$ este număr natural, oricât ar fi numărul $a$ ales din mulțimea dată, înseamnă că toată partea care îl are ca bază pe $3$ din expresia dată este deja un cub perfect și nu ne mai batem capul cu ea. Așa că ne rămâne să mai vedem ce facem cu partea din expresie care îl are la bază pe $5$.

Am reușit să despărțim mai sus expresia dată într-o putere a lui $3$ (care, după cum am văzut, este deja cub perfect și nu ne mai face probleme) și într-o putere a lui $5$. Partea rămasă, cu baza $5$, este $$5^{a+2}.$$
Astfel, ne rămâne să analizăm când este această putere un cub perfect. Mai exact, trebuie să vedem ce numere (din lista dată) puse în locul lui $a$ ne vor da un cub perfect pentru o putere a lui $5$.

Dar o putere a lui $5$ este cub perfect dacă exponentul lui $5$ este multiplu de $3$. Așadar, exponentul $a+2$ trebuie să aparțină multiplilor lui $3$. Frumos, asta se scrie astfel: $$a+2\in\{3,6,9,\dots\}.$$ Asta înseamnă că $a$ va aparține unei mulțimi asemănătoare, care merg tot din $3$ în $3$, dar din ale cărei elemente vom tot scădea respectiv câte un $2$. Frumos, scriem $$a\in\{1,4,7,10,13,16,19,22\}.$$

M-am oprit la $22$ pentru că deja este prea mare pentru problema pe care dorim noi s-o rezolvăm. Noi nu avem în mulțimea inițială decât numere impare de la $1$ la $21$, așa că nu are rost să mergem mai departe de $22$.

Dar, mai departe, observăm că în mulțimea $a\in\{1,4,7,10,13,16,19,22\}$ apar și numere pare. Și cum nouă ni se dau doar numere impare, evident, le vom exclude pe cele care nu ne trebuiesc. Așadar, obținem atunci că $$a\in\{1,7,13,19\},$$ adică numere care merg din $6$ în $6$. 

Ca o recapitulare, putem spune că puterea cu baza $3$ va fi oricum un cub perfect în cazul expresiei noastre, iar puterea cu baza $5$ va fi cub perfect numai în cazul în care $a$ aparține mulțimii $\{1,7,13,19\}$.

Avem atunci mulțimea care ne arată exact cazurile favorabile care ne trebuie nouă. Deci, nu ne mai rămâne decât să numărăm această mulțime (deci, să stabilim cardinalul ei) și suntem atunci în posesia numărătorului pentru fracția ce ne va da probabilitatea. 

Astfel, cum mulțimea $\{1,7,13,19\}$ are cardinalul egal cu $\color{red}{4}$, și cum numitorul a fost deja găsit ($11$), obținem, în sfârșit, expresia probabilității căutate: $$\large{\color{red}{P=\frac{4}{11}}}.$$