Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 3 februarie 2016

ProblemaV1SIP5: În sistemul cartezian xOy se dau punctele M(1,-4) și N(-2,5). Să se determine dreapta care trece prin originea sistemului și este perpendiculară pe dreapta MN.


Dacă ni se cere o dreaptă, înseamnă că răspunsul nostru trebuie să fie ceva de genul: $ax+by+c=0$ sau ceva și mai simplu, de genul $y=mx+n$. Acest „ceva” se numește „ecuația dreptei”. Primul ceva se numește „ecuația generală a dreptei”, iar al doilea ceva se numește „ecuația redusă a dreptei”. Putem trece ușor de la o formă la alta, prin operații permise asupra unei egalități, pe care le cunoașteți, precum trecerea unui termen dintr-o parte într-alta (cu semn schimbat) sau înmulțirea (împărțirea) întregii egalități cu un număr oarecare diferit de zero.

Ecuația generală este ceva mai complicată decât ecuația redusă, dar este mai elegantă și ne permite să scăpăm de fracțiile care ar putea apărea printre coeficienți. Pe când, ecuația redusă, chiar dacă nu este atât de elegantă, ne prezintă direct înclinația (panta) dreptei, adică $m$, precum și punctul de pe axa verticală (axa ordonatelor) prin care trece dreapta, adică $n$.


Așadar, în această problemă elevul va produce niște fulgere în creierul său prin care își va aminti într-o miime de secundă cam tot ceea ce trebuie să știe despre dreptele în plan, făcând un inventar al geometriei analitice, după care, încetul cu încetul, pe măsură ce i se va clarifica problema, se va limita concret doar la acele cunoștințe care îi trebuie cu adevărat. 

Problema ne cere să dăm ecuația unei drepte care satisface două condiții:
    1. Este perpendiculară pe dreapta MN (deci panta ei va fi și inversă și opusă celeilalte pante);
    2. Și trece prin origine (deci ordonata dreptei va fi nulă).
Așadar, întâi ar trebui să găsim panta dreptei MN (pantă care este un număr), după care să opunem și să inversăm acest număr. Ne amintim vreo formulă pentru pantă? Dacă nu v-o amintiți, v-o spun eu: panta este diferența $y$-ilor supra diferența $x$-ilor. Deci panta dreptei care trece prin punctele M și N este o fracție dată astfel: $$\color{blue}{m_{MN}=\frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}}.$$ Bineînțeles,  nu trebuie să vă stresați prea tare cu ordinea în care să luați punctele, deoarece panta unei drepte nu se schimbă dacă schimbați punctele între ele, căci dreapta rămâne tot aceeași, dar e important să schimbați la fel $y$-ii ca și $x$-ii, altfel pierdeți semnul corect al pantei.

Haideți, atunci, să calculăm panta dreptei care trece prin punctele M(1,-4) și N(-2,5). Avem $$m_{MN}=\frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\frac{-4-5}{1-(-2)}=\frac{-9}{3}=-3.$$

Așadar, panta dreptei MN este $-3$. Înseamnă că panta dreptei perpendiculare va fi, așa cum spuneam mai sus la punctul 1, și inversă și opusă. Opus înseamnă „înmulțit cu minus unu”, iar invers înseamnă „ridicat la puterea minus unu” sau, dacă vreți, „răsturnat”, mai ales când vorbim despre inversul unei fracții. Așadar, nouă ne trebuie opusul lui $-3$ și răsturnatul său. Nu contează dacă întâi găsim opusul și apoi răsturnatul sau mai întâi răsturnăm, după care opunem. Rezultatul va fi același.

Adică, numărul opus lui $-3$ va fi $3$, iar inversul lui $3$ va fi $\frac{1}{3}$. Adică, $\frac{1}{3}$ este tocmai panta dreptei care este perpendiculară pe orice dreaptă de pantă $-3$. Cunoaștem, deci, panta dreptei care ni se cere. Ea este $\frac{1}{3}$. Înseamnă că ne apropiem cu pași repezi de ecuația căutată. Punctul 1 este rezolvat. Mai trebuie să vedem cum facem cu punctul 2.

Pentru punctul 2, elevul își amintește acum cu bucurie ecuația dreptei care trece printr-un punct dat $A(x_A,y_A)$ și care are pantă dată $m$. O va scrie cu febrilitate ca fiind $$\color{blue}{\frac{y-y_A}{x-x_A}=m}.$$ Observați câtă simetrie! Observați cum $y$-ii apar din nou la numărător, iar $x$-ii la numitor.



Iar acum nu putem trece mai departe până nu combinăm cele două cunoștințe albastre și inventăm astfel o altă cunoștință verde care să ne dea direct ecuația dreptei perpendiculare pe dreapta $MN$ și care trece prin punctul $A$. Pentru a obține direct această cunoștință, vom pune în partea stângă membrul din stânga egalității albastre de mai sus, iar în partea dreaptă a egalității vom pune opusul și răsturnatul membrului drept din prima egalitate albastră pe care am scris-o. Așadar, $$\color{lightgreen}{\frac{y-y_A}{x-x_A}=-\frac{x_M-x_N}{y_M-y_N}}.$$ Dacă vă este greu s-o rețineți, nu vă strofocați cu ea, dar atunci rețineți măcar metoda prin care o puteți obține.



Revenind la problema noastră și făcând înlocuirile necesare, vom avea ecuația dreptei care ni se cere, sub forma $$\frac{y-0}{x-0}=\frac{1}{3}.$$ Adică, din moment ce într-o proporție (deci, într-o egalitate de fracții), produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, mai avem și $3y=x$. 

Acum vom scrie această ecuație a dreptei în forma generală, deci forma elegantă, după care o vom scrie și în forma redusă. Avem astfel $$\large{\color{red}{x-3y=0}},$$ respectiv, $$\large{\color{red}{y=\frac{1}{3}x}}.$$ Indiferent sub care formă prezentați răspunsul, acesta este luat în considerare. Am terminat.