Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 9 martie 2016

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!


Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

  1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
  2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$
Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.




Luăm un prim exemplu. Știm din tabelul cu derivate că derivata lui $x^n$ este $nx^{n-1}$ și vrem să găsim un corespondent în tabelul cu integrale pentru integrala lui $x^n$. Ne folosim, deci, întâi de egalitatea $$\large{\color{green}{\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}}}.$$ Acestei egalități îi aplicăm integrala, conform primei reguli, și obținem $$\int \left(x^n\right)^\prime=\int nx^{n-1}.$$ Cum integrala și derivata dispar în acest caz, mai obținem că $$x^n=\int nx^{n-1}.$$ Apoi, constanta iese în fața integralei (așa cum constanta iese în fața derivatei), deci mai avem că $$x^n=n\int x^{n-1}.$$ Acum, aruncăm constanta $n$ în stânga egalității, ca să lăsăm integrala curată, dar acum $n$ va ajunge la numitor, din moment ce l-am plimbat dintr-o parte într-alta a egalului. Așadar, obținem $$\frac{x^n}{n}=\int x^{n-1}.$$ Rotim apoi egalitatea, căci din $a=b$ putem scrie și $b=a$, deci ajungem la ceva interesant și adevărat: $$\int x^{n-1}=\frac{x^n}{n}.$$
Dar aceasta este tocmai formula din tabelul cu integrale, doar că este scrisă pentru $x^{n-1}$ și nu pentru $x^n$, ceea ce nu-i o tragedie. Înlocuind în această formulă pe $n$ cu $n+1$, ajungem la relația $$\int x^{n+1-1}=\frac{x^{n+1}}{n+1},$$ așadar $$\large{\color{red}{\int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}}}.$$