Faceți căutări pe acest blog

duminică, 6 martie 2016

Mediana este una, mediatoarea este alta.


Mediana și mediatoarea sunt ușor, tare ușor de confundat. Prin ce diferă ele, oare?

Avem așa: mediana unește vârful cu mijlocul figurii opuse vârfului (care poate fi un segment, un triunghi etc.), pe când mediatoarea nu unește nimic, ci doar trece prin mijloc, dar nu trece oricum, ci perpendicular.

Iată o mediană ce coboară din vârful de sus al unui triunghi (și ajunge pe mijlocul laturii opuse):



Iar aici vedeți o mediatoare, deci o perpendiculară ridicată pe mijlocul bazei (mijlocul laturii pe care stă triunghiul):


Se vede clar că ele nu sunt unul și același lucru.

Dar există un caz interesant în care mediana și mediatoarea sunt unul și același lucru: cazul triunghiului isoscel. Altfel spus, dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei coincide cu mediatoarea bazei. Așadar, în acest caz, mediana este nu doar mediană, ci este chiar și înălțime și taie triunghiul mare în două triunghiuri dreptunghice congruente.

Și reciproc este valabil: adică, dacă mediana coincide cu mediatoarea, atunci triunghiul este isoscel, adică cele două laturi diferite de bază sunt congruente, iar unghiurile de la bază sunt congruente. Habar n-aveți cât de utilă vă poate fi în probleme această reciprocă! Sau poate aveți...

De fapt, cele trei lucruri (mediana, mediatoarea și triunghiul isoscel) coexistă simultan. Mai precis, dacă două lucruri din cele trei sunt valabile, atunci este valabil și al treilea:

  1. Dacă un segment AD este mediană și mediatoare în același timp pe un segment BC, atunci triunghiul ABC este isoscel cu baza BC dată de segmentul respectiv.
  2. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei este totodată și mediatoare.
  3. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea bazei este totodată și mediană.