Faceți căutări pe acest blog

marți, 15 martie 2016

O șmecherie cu elementul neutru


Probabil ați întâlnit deja probleme în care vi se cere să găsiți elementul neutru al unei legi de compoziție. Elementul neutru al unei legi de compoziție este acel ceva care nu modifică valoarea termenului cu care este compus.

De exemplu, elementul neutru al adunării este $0$ pentru că zero nu-l modifică pe $5$ sau pe $8$ atunci când acestea se adună cu zero. Mai exact, zero este element neutru al adunării pentru că $5+0=5$ sau $8+0=8$.

De asemenea, elementul neutru al înmulțirii este $1$ pentru că $5\cdot 1=5$ sau $17\cdot 1=17$.



Bun. Atunci să vedem cât este elementul neutru al operației $$x\circ y=xy-6x-6y+42.$$ Vă voi arăta o metodă băbească de a găsi elementul neutru al acestei operații, metodă care nu poate fi considerată o demonstrație riguroasă pentru existența și unicitatea elementului neutru. Metoda riguroasă nu implică numere concrete, ci litere. Dar, în ciuda faptului că metoda este primitivă, ea este totuși utilă pentru un începător care dorește să-și facă repede o idee despre elementul neutru al unei operații. Așadar, să vedem cum facem.

Noi știm că elementul neutru al unei operații nu schimbă valoarea termenilor cu care se compun. Înseamnă că elementul neutru al operației noastre nu-l va schimba nici pe $5$.

Mai precis, dacă îl voi compune pe $5$ cu elementul neutru, va trebui să-mi iasă ca rezultat tot $5$. Atunci haideți să vedem cam cât ar trebui să iasă elementul neutru al operației noastre dacă îl vom compune pe $5$ cu acest element neutru, pe care îl vom nota cu $e$.

Așadar, trebuie să avem $$5\circ e=5.$$ Adică $$5\cdot e-6\cdot 5-6\cdot e+42=5.$$ De-acum rezolvăm această ecuație în $e$. Lăsăm termenii cu $e$ în partea stângă și aruncăm termenii fără $e$ în partea dreaptă a semnului „egal” (cu semn schimbat, desigur). Obținem astfel $$5\cdot e-6\cdot e=5+6\cdot 5-42.$$ Așadar, $$-e=5+30-42=-7,$$ de unde $$\large{\color{red}{e=7}}.$$

Iată, deci, elementul neutru al operației $$x\circ y=xy-6x-6y+42.$$ Altfel spus, dacă veți compune ceva cu $7$ ar trebui să vă dea tot ceva-ul acela. 

Ce ziceți, facem o probă? Haideți să-l compunem pe $10$ cu $7$ și să vedem dacă ne dă tot $10$. Avem așa $$10\circ 7=10\cdot 7-6\cdot 10-6\cdot 7+42=70-60-42+42=10.$$ Iată, deci, o metodă rapidă de a găsi elementul neutru al unei operații (despre care operație știm sigur că are element neutru (care, dacă există, atunci este și unic)).

Desigur, nu aceasta este metoda riguroasă de calcul al elementului neutru, ci este metoda aceea cu litere, adică metoda aceea care începe cu $$x\circ e=e\circ x=x.$$ Doar că metoda asta băbească vă ajută să găsiți cam cât ar trebui să vă dea elementul neutru, atunci când nu aveți nevoie de o demonstrație riguroasă pentru asta.