Faceți căutări pe acest blog

vineri, 29 aprilie 2016

Calculați derivata funcției $f(x)=\frac{1}{x}$.


Această derivată apare extraordinar de des în calcule, așa că merită să-i acordăm o atenție separată. Și chiar o voi pune în tabelul comun al derivatelor și integralelor, alături de integrala corespunzătoare, după ce termin de scris acest articol. 

Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!

Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?

Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$



Haideți, deci, să aplicăm această formulă pentru a calcula derivata noastră. În fracția noastră noi avem la numărător funcția $f=1$, iar la numitor avem funcția $g=x$. Avem atunci că 
$$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\frac{1'\cdot x-1\cdot x'}{x^2}.$$
Și cum $1'=0$ ca și orice constantă derivată și cum $x'=1$, rezultă atunci că $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}=\frac{-1}{x^2}=\color{red}{-\frac{1}{x^2}}.$$

Dar v-am promis două metode de calcul. Ei bine, a doua metodă este mai elegantă, căci este mai rapidă și se bazează pe o formulă mai simplă. Formula mai simplă pe care o vom folosi acum este $$\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}.$$ Această formulă ne-ar permite să găsim ușor derivata fracției $\frac{1}{x}$ dacă am putea să transformăm această fracție într-o putere a lui $x$. 

Putem face o asemenea transformare? Putem, desigur. Pentru că știm, printre altele, din clase mai mici, că avem o proprietate importantă a puterilor și anume: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$ Și invers, desigur, adică $$\frac{1}{a^n}=a^{-n}.$$

Cu aceste formule în minte, revenim la fracția noastră și constatăm că ea poate fi scrisă ca o putere a lui $x$, așa cum ne-am dorit: $$\frac{1}{x}=\frac{1}{x^1}=x^{-1}.$$ Prin urmare, $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\left(x^{-1}\right)^\prime.$$

Aplicăm formula $$\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}$$ în care $n=-1$ și obținem $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\left(x^{-1}\right)^\prime=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=\color{red}{-\frac{1}{x^2}}.$$ Adică, am obținut același rezultat ca în cazul primei metode. De-acum depinde numai de voi dacă rețineți măcar una dintre aceste metode pentru a vă reaminti această derivată ce apare des.