Faceți căutări pe acest blog

duminică, 22 mai 2016

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.


Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 


Din păcate sau din fericire (cum vreți voi), la bac se cam subînțeleg aceste funcții pentru că inegalitățile ce trebuie demonstrate apar foarte des ca un subpunct la problema 1 de la subiectul III, unde este definită și funcția ce trebuie studiată cu ajutorul derivatelor. Așa că funcția necesară este sugerată deja de problemă. 

Pentru noi, însă, funcția nu este cunoscută încă, așa că o putem considera ca pe o provocare. Prin urmare, pasul important pe care trebuie să-l facem acum este găsirea funcției relevante pentru inegalitatea ce trebuie demonstrată. 

Aici ne așteaptă o surpriză plăcută, deoarece funcția care ne poate ajuta nu este unică. Mai exact, în cazul nostru, nu e greșit dacă analizăm monotonia funcției $f(x)=e^x-x-1$ și arătăm că ea este mai mare sau egală cu zero sau analizăm monotonia funcției $g(x)=e^x-x$ și arătăm că ea este mai mare sau egală cu unu. Rezultatele spun același lucru. Ce alegem atunci? 

Haideți s-o alegem pe ultima, căci pare a fi o funcție mai simplă. Deci, haideți să analizăm monotonia funcției $g(x)=e^x-x$. Avem de parcurs de regulă următorii pași: derivăm funcția (pentru că știm că semnul derivatei ne dă monotonia), găsim rădăcinile derivatei (pentru că știm că zero este locul în care derivata își poate schimba semnul), găsim semnul derivatei într-o valoare ușor de calculat, după care construim tabelul de monotonie (pentru că interpretarea acestui tabel ne va da demonstrația inegalității).

Derivata funcției $g(x)=e^x-x$ este funcția $$g'(x)=\left(e^x-x\right)'=e^x-1.$$ N-am insistat pe derivare, căci știu că pentru voi este un fleac să derivați funcții simple, adică funcții care se regăsesc în tabel

Așadar, avem derivata. Acum trebuie să-i găsim rădăcinile, ca să putem construi partea cea mai grea din tabelul de monotonie, aceea cu semnele derivatei. Rădăcinile derivatei sunt numerele $x$ care satisfac ecuația $$e^x-1=0, $$ ecuație echivalentă cu ecuația mai relevantă $$e^x=1.$$ Așadar, trebuie să găsim răspunsul la întrebarea: „$e$ la ce putere ne dă unu?”. Dar asta e ușor, căci știm că orice număr (nu doar numărul $e$) la puterea zero este unu. Așadar, $x$-ul nostru este tocmai zero. 

Important este să cunoaștem și ordinul de multiplicitate al rădăcinilor, adică numărul de apariții ale uneia și aceleiași rădăcini. Pentru că în cazul în care rădăcina este unică sau, mai general, în cazul în care ordinul ei de multiplicitate este impar, știm că acolo se schimbă semnul derivatei (iar dacă ordinul de multiplicitate este par, atunci acolo nu se schimbă semnul derivatei).

Rădăcina noastră are ordinul de multiplicitate impar, căci apare o singură dată. Așadar, în dreptul ei derivata își va schimba sigur semnul. Drept urmare, este suficient să determinăm semnul într-o porțiune, căci vom deduce imediat semnul pentru cealaltă porțiune. 

Haideți să alegem porțiunea din dreapta lui zero și să determinăm semnul derivatei în această porțiune. Pentru aceasta vom determina semnul derivatei într-o valoare simplă din această porțiune. Calculăm $g'(1)$, că doar n-om calcula $g'(2735489)$. Dar $g'(1)=e^1-1=e-1$. Ce semn are numărul $e-1$? Este el pozitiv, ori negativ? Bineînțeles, este pozitiv, căci numărul $e=2,7182818\dots$ este mai mare decât numărul $1$, deci diferența lor va fi pozitivă.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a construi tabelul de monotonie. El trebuie să conțină trei linii. O linie pentru valorile relevante ale lui $x$ (mai ales acelea în care se anulează derivata, deci rădăcinile derivatei), o linie cu semnele derivatei și o linie cu săgețile de monotonie ale funcției (stabilite ușor în funcție de semnul derivatei). 

Acestea fiind spuse, tabelul de monotonie al funcției noastre va arăta așa:

$$\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty&&0&&\infty\\
\hline
g^\prime &  &-&0&+& \\
\hline
g&&\searrow&g(0)=1&\nearrow&
\end{array}$$

Și, doamne, cât de bine se vede din tabel că funcția este mai mare decât $1$!!! 

Și, apropo! Dacă rotiți tabelul (cu imaginația, desigur) în sens trigonometric (invers mersului acelor de ceasornic) cu 90 de grade (un sfert de cerc), atunci săgețile din tabel vă vor da efectiv semnul inegalității (săgețile constituie tocmai laturile semnului inegalității!). În cazul nostru, dacă rotim tabelul în sens trigonometric un sfert de cerc, săgețile ne vor spune că funcția $g(x)$ este mai mare (sau egală) ca unu. Iar acest lucru demonstrează inegalitatea propusă.

Așadar, orice expresie (cu rezultat număr real) ați pune în locul lui $x$, inegalitatea $$e^x\geqslant x+1$$ rămâne mereu adevărată. De exemplu, sunt adevărate, deci, și inegalitățile $e^{x^2}\geqslant x^2+1$ sau $e^{\ln x}\geqslant \ln x+1$ (pentru orice $x$ pozitiv și nenul, ca să aibă logaritmul valoare reală). Și cum $e^{\ln x}=x$, mai deducem și inegalitatea $$x\geqslant \ln x+1,$$ pe care o mai putem aduce și sub forma mai drăguță $$\ln x\leqslant x-1.$$

Vă mulțumesc pentru atenție!