Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 20 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 2


Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.


Când vede această problemă elevul trebuie să își amintească în care caz parabola asociată funcției de gradul doi este tangentă axei $Ox$. Există un singur caz în care funcția de gradul doi poate fi tangentă axei $Ox$. Un singur caz!

A fi tangent înseamnă "a atinge". Deci, căutăm situația în care parabola atinge axa $Ox$. Iar a atinge înseamnă "a tăia într-un singur punct".

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim din prima cazul în care parabola atinge axa? Păi, tatonăm, bâjbâim, încercăm să ne amintim cât mai multe lucruri despre funcția de gradul doi, despre parabola acesteia.


Iar dacă ne-am întâlnit suficient de des cu funcția de gradul doi, atunci ne vom aminti rapid de faptul că parabola se poate afla doar în trei poziții relevante față de axa $Ox$: o taie în două puncte, o atinge într-un singur punct sau nu o atinge deloc. Sunt doar aceste trei posibilități.


Acum se pune problema să ne amintim care este parametrul important care poziționează parabola în cele trei poziții. Care este numărul ce ne spune cum taie parabola axa $Ox$?

Avem două posibilități de raționare. Ori încercăm să găsim o legătură între cele trei poziții, ori observăm că problema are legătură cu coordonatele vârfului parabolei.

Dacă încercăm să găsim o legătură între cele trei poziții, atunci ridicăm sau coborâm parabola cu ochii minții până când ne dăm seama că problema se rezolvă în momentul în care distanța dintre punctele în care parabola taie axa se micșorează până la anularea completă. Apoi ne amintim că punctele de intersecție cu axa $Ox$ sunt tocmai rădăcinile funcției (soluțiile ecuației de gradul doi care se naște dacă egalăm funcția cu zero). Deci noi vrem ca cele două puncte de intersecție cu axa, adică rădăcinile, să se apropie cât mai mult, ba chiar vrem ca ele să coincidă. Ei bine, când coincid rădăcinile? Atunci când ceea ce le discriminează se anulează. Dar ce parametru discriminează rădăcinile? Evident, discriminantul. Adică, delta. Așadar, delta trebuie să fie zero!

Tot la delta egal cu zero am fi ajuns dacă am fi raționat cu ajutorul vârfului. Ne-am fi gândit că tangența parabolei înseamnă ca vârful să se afle tocmai pe axă, iar asta ar fi însemnat ca una dintre coordonatele vârfului să fie zero. Care coordonată? Bineînțeles, coordonata verticală, adică coordonata din dreapta. Și care este coordonata din dreapta corespunzătoare vârfului? Cine știe coordonatele vârfului va răspunde automat "minus delta supra patru a", adică $-\frac{\Delta}{4a}$. Deci, acest "minus delta supra patru a" trebuie să fie nul. Și când se anulează o fracție? Doar atunci când numărătorul se anulează. Și iată că am ajuns din nou la anularea lui delta.

Așadar, problema noastră se rezolvă atunci când delta este zero. Mai exact, ca să îl găsim pe acel $m$ care ne trebuie nouă, trebuie să îl anulăm pe delta. Zis și făcut.

Ca să îl anulăm pe delta, trebuie întâi să-l calculăm. Avem de făcut un calcul banal: $$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot m=4-4m.$$

Egalând cu zero acest rezultat, vom obține o ecuație (de gradul întâi) în $m$ din care va rezulta ușor că singurul $m$ pentru care se anulează delta este $$\color{red}{m=1}.$$

Acum, că ați văzut rezultatul, mai vreau să facem o observație drăguță. Atunci când parabola este tangentă la axa orizontală (la cea verticală nu poate fi tangentă niciodată), cele două rădăcini, după cum ați văzut deja,  coincid. Are vreo semnificație interesantă această situație? Are. Dacă rădăcinile funcției coincid, deci dacă parabola funcției este tangentă axei, atunci funcția este, de fapt, un pătrat perfect! Ei bine, când poate fi un pătrat perfect funcția $f(x)=x^2-2x+m$  ? 

Succes!