Faceți căutări pe acest blog

joi, 4 august 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b


Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 



Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.



Ei bine, integralele se comportă întocmai precum funcțiile crescătoare: nu modifică semnul inegalității. Simbolic putem scrie acest lucru astfel: "dacă $f\leq g$ atunci și $\int f\leq \int g$". Bineînțeles, avem și "dacă $f\geq g$ atunci și $\int f\geq \int g$". Deci, integrarea nu schimbă semnul inegalității.

Cunoscând acum acest lucru, ar fi suficient să arătăm că funcția de sub prima integrală este mai mică sau egală cu funcția de sub cea de-a doua integrală. Haideți să vedem dacă putem arăta că funcția de sub prima integrală este mai mică sau egală cu funcția de sub cea de-a doua integrală.

Mai bine zis, să vedem întâi ce funcții avem sub cele două integrale. Prima integrală (cea din stânga)  este $$I_{n+1}=\int_0^1 (1-x^2)^{n+1}dx,$$ așadar, funcția de sub prima integrală este $$(1-x^2)^{n+1}, $$ iar cealaltă funcție este, bineînțeles, $$(1-x^2)^n.$$

Așadar, bine ar fi să putem arăta că $$(1-x^2)^{n+1}\leq (1-x^2)^{n}.$$ Dar nu uităm că această inegalitate nu trebuie să fie valabilă decât cel puțin în intervalul dat de limitele de integrale. Mai mult nu ne interesează. Dacă e valabilă măcar în intervalul $[0,1] $, atunci suntem boieri.

Bineînțeles, dacă în inegalitatea $$(1-x^2)^{n+1}\leq (1-x^2)^{n}$$ în locul lui $x$ punem zero  sau unu, obținem cu siguranţă o egalitate (faceți calculele ca să vă convingeți) . Dar dacă $x$ se află între zero și unu, atunci putem face o simplificare magică cu $(1-x^2)^{n}$.

Ce credeți că rămâne din inegalitate dacă simplificăm cu $(1-x^2)^{n}$? Exponentul acela $n+1$ ne spune că acolo sunt $n+1$ paranteze ce conțin $1-x^2$. Deci, dacă tăiem de acolo $n$ paranteze, va rămâne una singură (în partea stângă), respectiv, niciuna (în partea dreaptă).

Mai rămâne să stabilim dacă simplificarea cu $(1-x^2)^{n}$ schimbă sau nu schimbă semnul inegalității (știm că simplificarea cu un număr negativ schimbă semnul). Deci, rămâne să vedem dacă $(1-x^2)^{n}$ este un număr negativ sau pozitiv.

Păi, dacă $x$ se află între zero și unu, atunci și pătratul lui $x$ este între zero și unu (nu-i așa că-i tare această informație?). Deci dacă scădem din unu un număr mai mic decât unu, evident că obținem un număr pozitiv. Deci $1-x^2 $ este sigur pozitiv (desigur, dacă $x$ se află,  așa cum ne trebuie nouă, în intervalul $[0,1]$). Iar dacă $1-x^2 $ este pozitiv, atunci el rămâne pozitiv la orice putere. Așadar, și $(1-x^2)^n$ este un număr pozitiv.

Abia acum putem fi liniștiți că simplificând inegalitatea $(1-x^2)^{n+1}\leq (1-x^2)^{n}$  cu $(1-x^2)^n$, semnul ei va rămâne intact. Deci, după simplificare obținem $$(1-x^2)^{1}\leq (1-x^2)^{0},$$ adică $$1-x^2\leq 1,$$ inegalitate clară pentru numere cuprinse între zero și unu.

De-aici încolo, e floare la ureche. Citim raționamentul de mai sus în ordine inversă și, pornind de la inegalitatea simplă și clară $$1-x^2 \leq 1,$$ ajungem progresiv să obținem inegalitatea integralelor din enunțul problemei.

Bineînțeles, voi pe ciornă tatonați până ajungeți la esențialul $1-x^2 \leq 1$ de la care construiți raționamentul în curat.