Faceți căutări pe acest blog

vineri, 21 octombrie 2016

Calculați $\int\ln(x+3)dx$ (desigur, pe domeniul de definiție subînțeles, adică pe $(-3,\infty)$).


Când primim de calculat o integrală, ne gândim desigur cam ce metode cunoaștem pentru a calcula integrale. Oare această integrală se calculează „prin părți” sau cu „u” sau cu alte artificii? Habar n-avem. Pentru început, habar n-avem. Un lucru e sigur: integrala dată nu este deja în tabel, așa că va trebui să-i venim cumva de hac.

Ne apucăm să încercăm „prin părți”. La prima vedere, nici vorbă! Această integrală nu poate fi calculată prin părți! Căci, pentru a o putea calcula prin părți, ar trebui să avem sub integrală un produs de două funcții, dintre care una să fie o derivată, deci ori $\int f\cdot g'$, ori $\int f'\cdot g$.

Desigur, noi avem sub integrală o singură funcție, $\ln(x+3)$, nu două. Înseamnă că încercarea noastră de a o calcula prin părți a eșuat? Nicidecum! Din fericire, în loc de $ceva$ putem scrie întotdeauna $1\cdot ceva$. A apărut $1$ acolo, ca din senin, ca să ne ajute pe noi să putem scrie funcția noastră ca un produs de două funcții.

Ok. Deci integrala noastră devine acum $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx.$$ Parcă sună altfel acum.

Hmmm... Mai trebuie să aducem conținutul integralei la o formă care să conțină ceva derivat. O fi greu oare asta? Nu, nici asta nu e greu. Căci în loc de $1$ putem să scriem $x'$ sau $(x+1)'$ sau chiar $(x+3)'$. Și iată că am obținut și derivata necesară.

Dar, vai! Totuși! Oare ce vom alege să punem în locul lui $1$, atunci? Vom pune $x'$ sau $(x+1)'$ sau $(x+3)'$? Pe ce criteriu alegem constanta pe care o vom pune lângă $x$? Pe criteriul experienței... Aveți libertatea să încercați să puneți întâi doar $x'$ în locul lui $1$, dar veți vedea că, la momentul oportun, veți ajunge într-o fundătură (nu veți mai putea simplifica), așa după cum veți înțelege mai jos.

Experiența ne spune că în locul lui $1$ trebuie să punem $(x+3)'$. Astfel, integrala noastră devine $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx=\int(x+3)'\ln(x+3)dx.$$ Această formă este numai bună de abordat prin părți, căci cunoaștem formula hiperutilizată $$\int f'g=fg-\int fg'.$$

Conform acestei formule, avem $$\int(x+3)'\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx.$$ Mai rămâne să scăpăm și de a doua integrală, care, musai, trebuie să fie mai simplă (sau cel mult la fel de complicată) ca integrala de la care am pornit, altfel suntem pe un drum greșit, căci demersul de a o calcula prin părți este sortit eșecului.

Din fericire, integrala rezultată în urma aplicării formulei prin părți a devenit mai simplă decât integrala inițială, căci prin derivarea logaritmului după formula $$(\ln u)'=\frac{u'}{u},$$ acesta dispare și avem
$$\left[\ln(x+3)\right]'=\frac{(x+3)'}{x+3}=\frac{1}{x+3},$$ deci integrala a doua devine
$$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx.$$

Dar $$(x+3)\frac{1}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1.$$ Așadar $$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx=\int 1 dx=x,$$ plus constanta, desigur.

Culegând acest rezultat, îl punem în locul integralei din formula rezultată prin părți și obținem, în sfârșit,
$$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)\ln(x+3)-x+C}.$$

Ce credeți că s-ar fi întâmplat dacă în locul lui $3$ aveam $4$ sau $1$ sau orice alt număr ați vrea voi? De asemenea, acum observați de ce am ales să punem în locul lui $1$ tocmai pe $(x+3)'$ și nu altceva?

Mai observați că, având în vedere că în locul constantei putem pune orice număr, mai puteam scrie și $$\int\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-(x+3)+C.$$ Sau puteam da factor comun pe $(x+3)$ și obțineam $$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)[\ln(x+3)-1]+C}.$$.

vineri, 14 octombrie 2016

Calculați $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$


Integrala $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$ poate fi calculată „cu $u$” sau „prin părți”.


Cu $u$

Pentru a o calcula „cu $u$” (deci, cu cea mai elegantă și eficientă metodă în cazul acestei integrale) găsim, bâjbâind, o funcție de $x$ aflată sub integrală, funcție pe care să o notăm prescurtat cu „$u$”.

Dacă suntem norocoși sau experimentați, notăm din prima $$u=\ln x.$$ Automat, calculăm și $$u'=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}.$$ Toate acestea ne vor permite acum să constatăm că integrala noastră poate fi scrisă mai condensat, cu litera $u$, astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u'\cdot u^2 dx=\int u^2\cdot u' dx.$$

Apoi, ca să scăpăm chiar și de ultimul $x$ de sub integrală, ne folosim de legea de schimbare a diferențialei care ne spune că $u'dx$ poate fi înlocuit simplu cu $du$. Atunci, integrala noastră devine și mai elegantă $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du.$$ De aici încolo, calculul e floare la ureche. Ne amintim cât este $\int x^2 dx$ și punem același rezultat pentru orice altă literă pe care am dori s-o folosim în locul lui $x$, de data asta litera $u$.

Și cum $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,$$ înseamnă că și $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C.$$

Acum, ne amintim că $u$-ul nostru este, de fapt, $\ln x$. Deci, avem un lanț frumos de egalități $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C=\color{red}{\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$


Prin părți

Dar să vedem „prin părți” ce se poate face. Ca să o putem calcula prin părți, trebuie să aducem integrala noastră la ceva de genul $\int f\cdot g'$ sau  $\int f'\cdot g$. Desigur, elevul care știe că $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$, va înlocui fracția cu derivata logaritmului, deci va scrie integrala astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx.$$

De-acum, integrala are o formă cerută de formula de integrare prin părți, adică este de forma $\int f'g$. Iar noi știm că avem $$\int f'g=fg-\int fg'.$$ Pe această linie, integrala noastră devine $$I=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx=\ln x\cdot\ln^2 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx,$$ adică, $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx.$$

Mai trebuie să vedem cât este $$\left(\ln^2 x\right)',$$ deci cât este $$\left(ceva^2\right)'.$$ Pentru asta trebuie să vă amintiți dintr-a XI-a când ați învățat despre derivata funcției compuse , că avem $$\left(ceva^2\right)'=2\cdot ceva\cdot ceva'.$$

Și cum $ceva$-ul nostru este $\ln x$, înseamnă că $$\left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\left(\ln x\right)'=2\ln x\frac{1}{x}.$$

Punând rezultatele laolaltă, avem că $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx=ln^3 x-\int\ln x\cdot 2\ln x\frac{1}{x}dx.$$ Haideți să scoatem constanta în fața integralei și să aranjăm puțin factorii încât să observăm ceva: $$I=ln^3 x-2\int\ln x\cdot\ln x\frac{1}{x}dx=ln^3 x-2\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx.$$

Dar acum observați?! După $2$ se află, din nou, tocmai integrala pe care trebuia s-o calculăm! Adică, am obținut $$I=\ln^3 x-2I.$$ De-acum, pentru a-l găsi pe $I$ procedăm ca și pentru a rezolva o ecuație cu $I$, deci ducem termenul $-2I$ din dreapta în stânga egalității (cu semn schimbat) și vom avea $$I+2I=\ln^3 x,$$ adică $$3I=\ln^3 x,$$ de unde rezultă din nou că $$\color{red}{I=\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$

Așadar, mai sus aveți două metode pentru a calcula integrala din enunț.

marți, 11 octombrie 2016

Calculați $\int(3x-7)^2 dx$.


Un elev care nu știe să folosească funcții compuse, va face eventual efortul de a desface paranteza de sub integrală și de a calcula mai apoi integrala fiecărui termen rezultat. Mai exact, folosindu-se de formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, el va face ceva de genul $$\int(3x-7)^2dx=\int (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7 +7^2 dx.$$ Așadar, $$\int(3x-7)^2dx=\int9x^2-42x+49dx.$$

Apoi, va desface integrala în trei integrale, conform proprietății $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Va obține atunci, sărăcuțul, după o groază de lucru, ceva de genul $$\int(3x-7)^2=\int 9x^2 dx-\int 42x dx+\int 49 dx.$$ Și încă tot nu a terminat, desigur. Gândiți-vă că de-acum trebuie să ia în parte fiecare dintre cele trei integrale, pentru a le calcula.

Să calculăm întâi integrala $\int 9x^2 dx$. Dacă ne amintim ușor, ne vom folosi de proprietatea că, atât la derivate, cât și la integrale constanta iese în față. Așadar, $$\int 9x^2 dx=9\int x^2 dx.$$ De-acum, fără acel $9$, integrala este una pe care o regăsim în tabel. Căci știm că $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}$. Astfel, $$\int 9x^2 dx=9\frac{x^3}{3}=3x^3.$$

Apoi, vom avea că $$\int 42 x dx=42\int x dx=42\frac{x^2}{2}=21x^2.$$

În fine, $$\int 49 dx=49\int 1 dx=49x.$$

Punem acum rezultatele împreună și punem și constanta aceea plictisitoare, deci avem calculul integralei inițiale $$\int(3x-7)^2 dx=3x^3-21x^2+49x+c.$$

După o groază de lucru, elevul nostru a reușit să obțină rezultatul, pentru că a cunoscut formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și pentru că a mai cunoscut că o constantă iese în față și a mai cunoscut cum se calculează o integrală dintr-o putere a lui $x$.



Dar, haideți să vedem cum ar fi procedat un alt elev, mai sârguincios, care știe să calculeze integrala unei funcții compuse. Privind mai lung la integrală, s-ar fi gândit dacă nu cumva ar putea s-o aducă la forma $$\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}.$$ Observați că aici șmecheria este acel $ceva'$. Dacă sub integrală avem o funcție de $ceva$ și, pe lângă, îl mai avem și pe $ceva'$, atunci suntem cei mai fericiți, căci putem aplica formule de integrare pe care le știm deja din tabelul cu $x$.

Așadar, elevul nostru trebuie să stabilească întâi cine este acel $ceva$, după care să-l calculeze pe $ceva'$. Desigur, $ceva$-ul acestei integrale este, evident, $$ceva=3x-7.$$ Apoi, $$ceva'=(3x-7)'=(3x)'-7'=3x'-7'=3-0=3.$$

Dar, vai! Noi nu-l avem pe $3$ sub integrală și ne trebuie, căci numai atunci putem aplica formula aia frumoasă cu $\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}$! Cum facem atunci? Păi, ne amintim că $$orice=1\cdot orice=\frac{3}{3}\cdot orice=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot orice.$$ Iată, deci, cum am reușit să îl aducem pe $3$ lângă orice vrem noi. În baza acestei șmecherii, vom avea $$\int(3x-7)^2 dx=\int\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$ Și cum constanta pe care vrem noi o putem scoate în față, mai obținem $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\int 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$

Dar acum, ceea ce a rămas sub integrală este tocmai de forma $$\int ceva'\cdot ceva^2 dx,$$ deci îl putem înlocui cu $$\frac{ceva^3}{3}.$$ Astfel, avem în final, $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{(3x-7)^3}{9}+C,$$ care este o formă mult mai compactă decât cea pe care a găsit-o elevul precedent. Mai mult, această metodă este mult mai ușoară și mult mai generală, pentru că ea este aplicabilă și pentru exponenți mai ciudați. Cum ar fi procedat primul elev dacă în loc de exponentul $2$ al puterii de sub integrală i s-ar fi dat exponentul $30$? Ar fi desfăcut și acea paranteză? Desigur, nu, căci i-ar fi luat toată ora dedicată examenului.

Dar, oare, sunt egale cele două rezultate pe care le-au obținut cei doi elevi? Oare $$\color{blue}{\frac{(3x-7)^3}{9}+C=3x^3-21x^2+49x+c}?$$  Observați că în partea stângă a egalității constanta este $C$ mare, pe când în partea dreaptă avem $c$ mic, căci cele două constante nu sunt obligatoriu egale.

Vrem să verificăm, deci, dacă cele două rezultate sunt egale, ținând seama că în partea dreaptă constanta poate fi alta decât în partea stângă. Pentru asta, trebuie să știm cum ridicăm la puterea a treia un binom. Deci, ne folosim de formula $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Astfel, $$(3x-7)^3=(3x)^3-3\cdot(3x)^2\cdot 7+3\cdot (3x)\cdot 7^2-7^3,$$ mai exact $$(3x-7)^3=27x^3-189 x^2+441x-343.$$ Atunci $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3-189x^2+441x-343}{9}+C.$$ Dar, o fracție de mai mulți termeni poate fi transformată în mai mulți termeni cu fracții, dacă desfacem numărătorul după metoda $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ Atunci, $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3}{9}-\frac{189x^2}{9}+\frac{441x}{9}-\frac{343}{9}+C.$$ Împărțind cu $9$ ceea ce se poate împărți, obținem $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=3x^3-21x^2+49x-\frac{343}{9}+C.$$

Hmmm... Dar primul elev a obținut parcă altceva: $$3x^3-21x^2+49x+c.$$ Așa este. Deci, coincide doar partea care îl conține pe $x$ și nu coincide constanta.

Dar, cum spuneam, constanta aceea poate fi oricât! Deci, dacă numai constantele diferă, înseamnă că integrala este bine calculată. Căci două primitive distincte ale aceleiași funcții diferă numai printr-o constantă.

sâmbătă, 8 octombrie 2016

Inecuații cu modul


Dacă în postarea precedentă vorbeam de ecuații cu un modul, azi putem vorbi de inecuații cu un modul. Acestea sunt inegalități cu un modul, inegalități care conțin necunoscute.

Există două tipuri fundamentale de inecuații cu modul: tipul care conține semnul „mai mic” și tipul care conține semnul „mai mare”. 

Inecuațiile de primul tip sunt ceva de genul: $$|ceva|<8,$$ iar soluțiile unei asemenea inecuații sunt în intervalul deschis $$(-8,8).$$ Dacă semnul „mai mic” este însoțit și de semnul „egal”, atunci intervalul trebuie închis, deci soluțiile vor fi în intervalul $$[-8,8],$$ care înseamnă că soluțiile pot fi inclusiv $-8$ și $8$.





Inecuațiile de al doilea tip sunt ceva de genul: $$|ceva|>8,$$ iar soluțiile unei asemenea inecuații sunt într-o reuniune de intervale deschise $$(-\infty,-8)\cup(8,\infty).$$ Dacă semnul „mai mare” este însoțit și de semnul „egal”, atunci intervalul trebuie închis acolo unde nu există infinit, deci soluțiile vor fi într-o reuniune de intervale de forma $$(-\infty,-8]\cup[8,\infty),$$ care înseamnă că soluțiile pot fi inclusiv $-8$ și $8$.

În concluzie, la semnul „mai mic” nu apare infinitul.

marți, 4 octombrie 2016

Ecuații cu modul


Modulul este o ciudățenie care îi supără pe mulți elevi. Ce rost au barele acelea verticale ce apar în dreptul modulului? Sunt introduse doar pentru a ne complica viața?

Să presupunem că primiți o problemă de genul:

Să se rezolve ecuatia $$|2x-3|=5$$.

De ce au mai pus barele modulului? Nu puteau să ne dea aceeași ecuație fără barele-acelea verticale? Ecuația fără bare era mult mai simplu de rezolvat. Ce modificări aduc în plus barele? Cu ce se complică problema la apariția barelor? 

Ecuațiile cu modul sunt de două ori mai complicate decât ecuațiile fără modul. Atât. Doar de două ori. Altfel spus, o ecuație cu modul devine cât două ecuații fără modul. Așadar, dacă primiți spre rezolvare o ecuație cu modul, primiți de fapt spre rezolvare două ecuații fără modul. Și astfel, totul devine mai simplu.

Să concretizăm. Să vedem cum facem din ecuația cu modul de mai sus tocmai două ecuații fără modul.

Prima ecuație fără modul este cea mai simplă. Pur și simplu, copiați ecuația, dar fără barele modulului. Așadar, rezolvăm ecuația $$2x-3=5.$$ Îl aruncăm pe $-3$ în dreapta egalității și obținem $$2x=5+3=8.$$ Apoi, scăpăm cumva și de $2$-ul acela din fața lui $x$, aruncându-l și pe el în dreapta „cu semn schimbat”, dar de data asta „cu operație schimbată”, adică, înmulțirea dintre $2$ și $x$ care există în termenul $2x$ va deveni împărțire. Așadar, $$x=8:2$$ sau, mai elegant, $$x=\frac{8}{2}=4.$$ Iată, deci, rezolvarea primei ecuații fără modul. Această primă ecuație ne-a dus la prima soluție, $x_1=4$.

Dar, ecuațiile cu un modul au, de regulă, două soluții. A doua soluție va fi dată de a doua ecuație fără modul. Recunosc, această a doua ecuație este un pic, dar numai un pic, mai ciudată decât prima, mai nenaturală. Ea ne obligă să punem undeva (sau să ne gândim la) semnul minus

Unii elevi sar greșit la concluzia că, dacă prima soluție a fost $x_1=4$, atunci, știind că undeva trebuie să apară semnul minus, ar însemna că automat cea de-a doua soluție ar fi $x_2=-4$. Dar, din păcate, nu este așa de simplu. Nu putem conclude că dacă prima soluție are o anumită valoare, atunci cea de-a doua soluție ar avea aceeași valoare dar cu semn schimbat. Nu! Minusul apare altundeva!

Iată cum arată cea de-a doua ecuație fără modul, cea în care trebuie să ținem seama de semnul minus: $$2x-3={\large{\color{red}{-}}}5.$$ Desigur, nici această ecuație simplă de gradul întâi nu ne face probleme de rezolvare acu, dar rezolvarea ei ne va arăta că cea de-a doua soluție obținută nu are neapărat semnul opus primei soluții.

Avem, deci, după aruncarea lui $-3$ în dreapta egalității, $$2x=-5+3=-2.$$ Iar după aruncarea lui $2$ în dreapta (cu împărțire, nu cu scădere!), vom avea $$x=\frac{-2}{2}=-1.$$ Iată că a doua soluție este $x_2=-1$ și nicidecum $-4$!

Facem o probă? Haideți să facem și o probă. În locul lui $x$ din ecuația cu modul pe care am primit-o spre rezolvare vom pune pe rând cele două soluții ca să vedem dacă obținem, într-adevăr, rezultatul $5$, cât se află în partea dreaptă a egalității. Deci $$|2\cdot 4-3|=|8-3|=|5|=5.$$ Așadar, prima soluție este verificată. Să vedem și a doua. În locul lui $x$ punem acum $-1$. Obținem $$|2\cdot(-1)-3|=|-2-3|=|-5|=5.$$ Deci, din nou, obținem verificarea ecuației.

Așadar, nu uitați, o ecuație cu un modul nu diferă foarte mult de ecuațiile fără modul, ci este echivalentă cu două ecuații fără modul, iar într-una dintre ele apare implicat semnul minus. Aceasta se întâmplă deoarece valoarea unui modul nu se schimbă dacă schimbăm semnul conținutului pe care îl are acel modul.