Faceți căutări pe acest blog

vineri, 21 octombrie 2016

Calculați $\int\ln(x+3)dx$ (desigur, pe domeniul de definiție subînțeles, adică pe $(-3,\infty)$).


Când primim de calculat o integrală, ne gândim desigur cam ce metode cunoaștem pentru a calcula integrale. Oare această integrală se calculează „prin părți” sau cu „u” sau cu alte artificii? Habar n-avem. Pentru început, habar n-avem. Un lucru e sigur: integrala dată nu este deja în tabel, așa că va trebui să-i venim cumva de hac.

Ne apucăm să încercăm „prin părți”. La prima vedere, nici vorbă! Această integrală nu poate fi calculată prin părți! Căci, pentru a o putea calcula prin părți, ar trebui să avem sub integrală un produs de două funcții, dintre care una să fie o derivată, deci ori $\int f\cdot g'$, ori $\int f'\cdot g$.

Desigur, noi avem sub integrală o singură funcție, $\ln(x+3)$, nu două. Înseamnă că încercarea noastră de a o calcula prin părți a eșuat? Nicidecum! Din fericire, în loc de $ceva$ putem scrie întotdeauna $1\cdot ceva$. A apărut $1$ acolo, ca din senin, ca să ne ajute pe noi să putem scrie funcția noastră ca un produs de două funcții.

Ok. Deci integrala noastră devine acum $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx.$$ Parcă sună altfel acum.

Hmmm... Mai trebuie să aducem conținutul integralei la o formă care să conțină ceva derivat. O fi greu oare asta? Nu, nici asta nu e greu. Căci în loc de $1$ putem să scriem $x'$ sau $(x+1)'$ sau chiar $(x+3)'$. Și iată că am obținut și derivata necesară.

Dar, vai! Totuși! Oare ce vom alege să punem în locul lui $1$, atunci? Vom pune $x'$ sau $(x+1)'$ sau $(x+3)'$? Pe ce criteriu alegem constanta pe care o vom pune lângă $x$? Pe criteriul experienței... Aveți libertatea să încercați să puneți întâi doar $x'$ în locul lui $1$, dar veți vedea că, la momentul oportun, veți ajunge într-o fundătură (nu veți mai putea simplifica), așa după cum veți înțelege mai jos.

Experiența ne spune că în locul lui $1$ trebuie să punem $(x+3)'$. Astfel, integrala noastră devine $$\int\ln(x+3)dx=\int 1\cdot\ln(x+3)dx=\int(x+3)'\ln(x+3)dx.$$ Această formă este numai bună de abordat prin părți, căci cunoaștem formula hiperutilizată $$\int f'g=fg-\int fg'.$$

Conform acestei formule, avem $$\int(x+3)'\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx.$$ Mai rămâne să scăpăm și de a doua integrală, care, musai, trebuie să fie mai simplă (sau cel mult la fel de complicată) ca integrala de la care am pornit, altfel suntem pe un drum greșit, căci demersul de a o calcula prin părți este sortit eșecului.

Din fericire, integrala rezultată în urma aplicării formulei prin părți a devenit mai simplă decât integrala inițială, căci prin derivarea logaritmului după formula $$(\ln u)'=\frac{u'}{u},$$ acesta dispare și avem
$$\left[\ln(x+3)\right]'=\frac{(x+3)'}{x+3}=\frac{1}{x+3},$$ deci integrala a doua devine
$$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx.$$

Dar $$(x+3)\frac{1}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1.$$ Așadar $$\int(x+3)\left[\ln(x+3)\right]'dx=\int(x+3)\frac{1}{x+3}dx=\int 1 dx=x,$$ plus constanta, desigur.

Culegând acest rezultat, îl punem în locul integralei din formula rezultată prin părți și obținem, în sfârșit,
$$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)\ln(x+3)-x+C}.$$

Ce credeți că s-ar fi întâmplat dacă în locul lui $3$ aveam $4$ sau $1$ sau orice alt număr ați vrea voi? De asemenea, acum observați de ce am ales să punem în locul lui $1$ tocmai pe $(x+3)'$ și nu altceva?

Mai observați că, având în vedere că în locul constantei putem pune orice număr, mai puteam scrie și $$\int\ln(x+3)dx=(x+3)\ln(x+3)-(x+3)+C.$$ Sau puteam da factor comun pe $(x+3)$ și obțineam $$\int\ln(x+3)dx=\color{red}{(x+3)[\ln(x+3)-1]+C}.$$.