Faceți căutări pe acest blog

luni, 28 noiembrie 2016

Bacalaureat, varianta 39, M2, subiectul I, problema 1


Încep aici prin a vă prezenta rezolvarea unei variante alese la întâmplare (varianta 39) din lista variantelor de M2 date pentru anii trecuți.

Să se calculeze $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}.$$

Fiind vorba despre subiectul I, elevul se poate baza pe faptul că rezolvările ar fi bine să decurgă mai repejor, căci nivelul de dificultate nu este foarte mare. Altfel spus, nu vă gândiți că e cine știe ce mare filozofie la acest subiect. Dimpotrivă, gândiți-vă că ar trebui să fie ceva simplu, fără calcule foarte laborioase.

Așadar, să începem. Ca să putem găsi suma celor trei termeni (așa se numește rezultatul ce trebuie obținut), vom calcula fiecare termen pe rând.

Întâi calculăm $\log_2 4$. Când vă loviți de logaritmi, amintiți-vă măcar următorul lucru: $\log_2 8=3$ pentru că $2^3=8$. Deci, logaritmul este exponentul la care trebuie să ridicăm baza logaritmului (numărul de mai jos) pentru a obține argumentul logaritmului (numărul de mai sus). Atunci, $\log_2 4=\color{red}{2}$, deoarece $2^\color{red}{2}=4$.

Cât o fi $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$? Întotdeauna când vedeți o fracție la un exponent negativ puteți răsturna fracția, iar exponentul își va schimba semnul. Așadar, avem $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\left(\frac{2}{1}\right)^{1}=\color{red}{2}$. Deci, din nou $\color{red}{2}$.

În fine, cât o fi $\sqrt[3]{8}$? În cazul logaritmului se cerea exponentul la care trebuie să ridicăm baza pentru a obține argumentul. În cazul radicalului se cere, de fapt, baza pe care trebuie s-o ridicăm la puterea a treia pentru a obține opt. Deci, cât la puterea a treia ne-ar da opt? Desigur, doi. Așadar, din nou, $\sqrt[3]{8}=\color{red}{2}$, căci $\color{red}{2}^3=8$.

Prin urmare $$\log_2 4+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-\sqrt[3]{8}=2+2-2=\color{red}{2}.$$

Rezultatul aproape că sugerează că aveți deja nota doi asigurată la Bac dacă rezolvați problema asta (deși ea vă aduce doar o jumătate de punct).

luni, 7 noiembrie 2016

Integrale importante cu $e^x$


Haideți să clarificăm o dată pentru totdeauna cum e cu niște integrale importante, de genul $$\int(x+7)e^xdx,$$ care apar foarte des în probleme.

Voi începe chiar cu răspunsul, ca să mă puteți urmări mai bine, ca să știți la ce să vă uitați mai atenți în decursul raționamentelor.

Avem următoarea șmecherie faină: $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$

Observați că la rezultat scădem o unitate în paranteză.

Dacă am calcula derivata, atunci ar trebui să adunăm o unitate, căci am avea $$\left[(x+\color{blue}{7})e^x\right]^\prime=(x+\color{red}{8})e^x.$$ Integrala este antiderivata.

Și să vă arăt cum puteți redescoperi prin calcul această regulă, în ipoteza în care ați uitat-o exact în mijlocul unui examen. Integrala se calculează prin părți. Avem așa: $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx,$$ căci în loc de $e^x$ putem pune oricând $(e^x)'$, aceasta fiind funcția remarcabilă care nu se schimbă nici prin derivare și nici prin integrare (bine, abstracție făcând de acea constantă pe care o putem aduna la integrare).

Așadar, $$\int(x+7)e^xdx=\int(x+7)(e^x)'dx.$$

Acum aplicăm integrarea prin părți, despre care știm că are forma $$\int fg'=fg-\int f'g.$$ Deci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int(x+7)' e^xdx.$$ Dar $(x+7)'=1$, iar $1\cdot e^x=e^x$. Astfel, avem atunci $$\int(x+7)(e^x)'dx=(x+7)e^x-\int e^xdx=(x+7)e^x-e^x+constanta.$$ Aici nu ne rămâne decât să mai dăm un factor comun pe $e^x$ ca să nu-l scriem de două ori și avem $$(x+7)e^x-e^x=(x+7)e^x-1\cdot e^x=(x+7-1)e^x=(x+6)e^x.$$ Acum înțelegeți, deci, de ce $$\int(x+\color{red}{7})e^xdx=(x+\color{blue}{6})e^x+constanta.$$


De-acum înainte, dacă veți întâlni integrale de genul $$\large{\color{red}{\int(x+n)e^xdx}},$$ voi veți ști că rezultatul este $$\large{\color{red}{(x+n-1)e^x+C}}.$$

De exemplu, dacă primiți integrala faină de tot și foarte frecventă $$\int xe^xdx,$$ voi îi puteți afla foarte repede rezultatul deoarece o puteți scrie rapid sub forma $$\int xe^xdx=\int(x+0)e^xdx$$ și, conform regulii de mai sus, obținem $$(x+0-1)e^x=(x-1)e^x,$$ plus constanta.