Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 28 decembrie 2016

Bacalaureat, V39SIP5 (lungimea medianei)


În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$, $B(1,1)$, $C(3,-1)$. Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful $A$ al triunghiului $ABC$.


Când auziți de „reper cartezian” și de niște puncte cărora li se dau coordonatele, apăi înseamnă că musai este vorba de geometrie analitică, adică de un cârnaț de formule de care e bine să vă amintiți instantaneu.

Ni se cere „lungimea medianei”. Bun. Înseamnă că ni se cere, în primul rând, o lungime. În geometria analitică, o lungime. Cum calculăm o lungime în geometria analitică? Hmmm... Lungimea (unui segment, căci numai segmentele au lungimi) este un număr care ne arată câți metri sunt de la un punct până la altul (de la un capăt al segmentului la celălalt). Deci lungimea (unui segment) este tot una cu distanța (dintre capetele segmentului).

Ca să putem calcula o lungime, deci o distanță, în geometria analitică, va trebui să calculăm un „radical”. Asociați cuvintele „lungime” sau „distanță” cu cuvântul „radical”. Radicalul acela se naște din teorema lui Pitagora aplicată ipotenuzei triunghiului dreptunghic determinat de capetele segmentului. Acest triunghi dreptunghic are catetele paralele cu axele, iar ipotenuza este tocmai segmentul determinat de cele două puncte.

Așadar, dacă ne trebuie distanța dintre punctele $P(x_P;y_P)$ și $Q(x_Q;y_Q)$, atunci trebuie să calculăm radicalul dat de O SUMĂ de două paranteze la pătrat. În spațiu avem trei paranteze, dar în plan avem doar două paranteze sub radical, o paranteză în care punem DIFERENȚA $x$-ilor și o paranteză în care pune diferența $y$-ilor. Deci 
$$d_{PQ}=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2}.$$
Exact cum vă arătam într-un articol de prin 2014.

Deci, am stabilit că va trebui să calculăm un radical. De-acum se pune problema ce vom pune sub radical. Mai exact, care sunt punctele pentru care calculăm lungimea? Noi am primit acolo sus în problemă trei puncte. Dar oare între care dintre puncte trebuie să calculăm lungimea? Acum va trebui să ne gândim la „mediană”. Ce este mediana?

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medi=mijloc. Deci, noi trebuie să calculăm lungimea medianei duse din vârful $A$ pe mijlocul laturii $BC$. Așadar, avem sub radical un singur punct. Ne mai trebuie celălalt. Ne mai trebuie mijlocul laturii $BC$.

Mijlocul unei figuri este dat de media aritmetică a capetelor sale. Mai riguros spus, coordonatele mijlocului sunt medii aritmetice ale coordonatelor vârfurilor (capetelor). Deci, coordonatele mijlocului nostru pe care îl notăm cu $M_{BC}$ vor fi $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}\text{, iar   }\,\,\,y_M=\frac{y_B+y_C}{2}.$$

Și cum noi cunoaștem toate coordonatele de care avem nevoie, vom obține că $x_M=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$ și $y_M=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0$. Așadar, mijlocul căutat va fi $M_{BC}(2;0)$.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a calcula radicalul, adică lungimea medianei din vârful $A$, adică lungimea segmentului $AM$. Aplicăm formula și avem $$d_{AM}=\sqrt{(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2},$$ adică $$d_{AM}=\sqrt{(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=\color{red}{4}.$$

Rezultatul parcă vă sugerează că dacă ați ajuns cu bine până aici la bac, aveți șansa să luați deja un $4$.

marți, 13 decembrie 2016

Bacalaureat V39SIP4


Câte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4\}$?

Un exemplu de număr bun este 123 pentru că el trebuie să fie din trei cifre. Un contraexemplu (număr ne-bun) este 111 pentru că cifrele acestui număr nu sunt distincte. Alt număr ne-bun este 567 pentru că cifrele sale nu se află în mulțimea indicată. 

Alt număr bun este 321. Deci, iată că la noi contează ordinea cifrelor, căci modificând ordinea cifrelor putem adăuga alte numere în lista pe care trebuie s-o numărăm.

Câte posibilități sunt? Observați că dacă nu am folosi cifra 4 problema noastră s-ar reduce la una mai simplă: câte numere de trei cifre distincte (deci, diferite) puteți forma cu (primele) trei cifre? 

Dar câte numere de trei cifre diferite puteți forma cu trei cifre diferite? Contează ordinea cifrelor. Și fiecare trebuie să ajungă în toate pozițiile. Asta înseamnă că trebuie să le permutăm pe toate. Deci, răspunsul acesta mic ar fi „permutări de trei”. Permutări de trei înseamnă „trei factorial”, adică $3\cdot 2\cdot 1$, adică șase.

Deci, sunt șase posibilități de a scrie un număr de trei cifre diferite cu trei cifre, indiferent care ar fi acele cifre. Iată, deci, că dacă lipsește cifra 4 din listă, putem forma șase numere bune pentru noi.

Dar tot șase numere bune vom putea forma și dacă lipsește cifra 3. Căci nu contează care lipsește. Căci și cu cifrele 1, 2, 4 putem forma tot „permutări de trei”, căci tot trei cifre sunt acolo, indiferent care sunt ele.

Observați, deci, că în total putem forma de patru ori combinații de câte șase. Șase numere când lipsește cifra 4, șase numere când lipsește cifra 3, șase numere când lipsește cifra 2 și șase numere când lipsește cifra 1. Acest joc de combinații se numește „aranjamente”. Deci, putem aranja patru cifre în grupuri de câte trei în $4\cdot 6=\color{red}{24}$ de feluri. 



Atunci când elementele folosite trebuie să fie distincte și când contează ordinea lor folosim aranjamente. Dacă nu contează ordinea lor, folosim combinări. 

Dacă ni s-ar fi dat mulțimea $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și ni s-ar fi cerut să aflăm câte numere cu câte 2 cifre distincte (în loc de 3 cum ni s-a cerut în problema dată) putem face cu cifre din această mulțime, am fi raționat astfel: 

  • distincte, deci vom folosi aranjamente sau combinări
  • contează ordinea, căci trebuie să formăm numere, deci folosim aranjamente. Dacă ni s-ar fi cerut să formăm submulțimi, atunci nu ar fi contat ordinea (căci nu contează ordinea elementelor într-o mulțime) și am fi folosit combinări.
  • așadar, rezultatul ar fi fost $A_6^2=6\cdot 5=30$, căci sunt șase cifre în mulțimea pe care o putem folosi și trebuie să formăm numere de câte două cifre.

miercuri, 7 decembrie 2016

Bacalaureat, M2, V39SIP3


Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $$\sqrt{169-x^2}=12.$$

În mulțimea numerelor reale? Hmmm... Bun. Atunci, înseamnă că expresia de sub radical nu are voie să fie negativă. Adică, trebuie să punem întâi CONDIȚII DE EXISTENȚĂ pentru necunoscuta $x$.

Radicalul (de ordin par) din CEVA dă soluții reale numai dacă CEVA-ul nu este negativ. Căci radical (de ordin par) din ceva negativ ne dă cu numere complexe (adică numere care îl conțin pe $i=\sqrt{-1}$).

Deci, vom pune și noi condiția ca expresia de sub radicalul nostru să nu fie negativă, adică $$169-x^2\geq 0.$$ Din această condiție noi vrem să ajungem la ceva de genul $x\leq ceva$ sau $x\geq ceva$.

Inecuația $$169-x^2\geq 0$$ se poate rezolva atât cu metoda generală (formă canonică, delta, rădăcini, tabel), cât mai ales printr-o metodă mai rapidă ce ține de forma concretă pe care o are deja această ecuație particulară drăguță și mică. Uitați cum voi face. Îl voi arunca întâi pe $x^2$ în dreapta (ca să scap de semnul său negativ). Voi obține, așadar, $$169\geq x^2.$$ 
Și cum din $a<b$ rezultă că $b>a$ (valabil pentru orice semn de inegalitate aș pune între literele $a$ și $b$), avem că inecuația noastră impusă de condiția de existență a radicalului a devenit $$x^2\leq 169.$$ Mai departe, inecuația cu necunoscuta la pătrat implică o inecuație cu modul (căci radical din $x^2$ este modul de $x$).

Așadar, inecuația noastră a devenit acum mai simplă: $$|x|\leq 13,$$ căci radical din 169 este 13. Și, după cum mai puteți găsi pe undeva pe blogul meu (din câte îmi amintesc acum), o inecuație cu modul ne dă drept soluții niște intervale.  Dacă semnul este cu „mai mic”, atunci intervalul nu îl conține pe infinit (și nu are nici reuniune), ci este un interval simplu, închis dacă avem și egalitate și deschis dacă nu avem egalitate. Inecuația noastră va avea, deci, ca soluție intervalul închis $$[-13;13]$$ deoarece noi avem și egalul în inecuație. Acest interval ne spune unde trebuie să se afle soluțiile ecuației iraționale (cu radical) pe care am primit-o în problemă.


După ce am terminat cu munca laborioasă și parcă inutilă a condițiilor de existență, restul e floare la ureche. Ridicăm la pătrat ecuația dată, ca să scăpăm de radical. Obținem că $$\left(\sqrt{169-x^2}\right)^2=12^2,$$ adică $$169-x^2=144.$$ Arunc apoi termenii cu $x$ într-o parte și numerele în partea cealaltă și obțin $$169-144=x^2,$$ adică $$25=x^2$$ deci $$x^2=25.$$ Iar această ecuație are două soluții (fiind de gradul doi). Aceste soluții sunt $x_1=\color{red}{5}$ și $x_2=\color{red}{-5}$. Și ambele aceste soluții se află în intervalul pe care l-am găsit la studiul condițiilor de existență $[-13;13]$.

În general, cam așa rezolvăm ecuațiile iraționale: stabilim întâi condițiile de existență, apoi, dacă aceste condiții de existență sunt compatibile (se poate întâmpla ca din studiul condițiilor de existență să ajungem la concluzia că nu pot exista soluții, deci că mulțimea soluțiilor posibile este vidă, caz în care nu are rost să mai continuăm calculele de la pasul următor), atunci ridicăm la puterea corespunzătoare prin care să scăpăm de radicalii ce apar în ecuație, desfacem eventualele paranteze, restrângem termenii asemenea și rezolvăm ecuația obținută fără radicali (ecuația rămasă fiind de regulă (sau putând fi redusă la) o ecuație polinomială de gradul întâi sau de gradul al doilea).

duminică, 4 decembrie 2016

Bacalaureat, M2, V39SIP2


Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-2x$. Să se calculeze $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(6)$.


Problema poate fi rezolvată „băbește” (deci, cam așa cum ar proceda o băbuță care nu prea știe Matematică). Adică, putem lua pe rând fiecare termen al sumei și să ne apucăm să-l determinăm, după care să adunăm termenii obținuți, să ne bucurăm de rezultat și să ne mirăm de ce nu am primit punctajul maxim din moment ce am prezentat rezultatul.

Facem, așadar: $f(0)=3-2\cdot 0=3-0=3$, $f(1)=3-2\cdot 1=3-2=1$, $f(2)=3-2\cdot 2=3-4=-1$ și așa mai departe, până la $f(6)=3-2\cdot 6=3-12=-9$. 

Dar, atenție la expresia „și așa mai departe”! Tocmai asta înseamnă punctele acelea de suspensie „$\dots$”, că trebuie să calculăm și $f(3)$ și $f(4)$ și $f(5)$! Unii elevi le lasă pe astea afară, pentru că nu cunosc încă semnificația punctelor de suspensie (pentru că nici nu s-a deranjat vreun profesor de mate să le spună vreodată un asemenea „fleac”, ci, eventual au fost subînțelese din limbajul natural). Ori, asemenea eșecuri îi determină pe elevi să urască Matematica, lucru extrem de grav pentru el însuși și pentru societate.

Deci, am calculat băbește toți cei șapte termeni (șase plus unu), aceștia fiind $3$, $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ și $-9$. Mai departe ne apucăm să-i adunăm, desigur, tot băbește: $$3+1+(-1)+(-3)+(-5)+(-7)+(-9)=\color{red}{-21}.$$

Deci, rezultatul cerut este $-21$. Metoda de aflare a acestui rezultat îi spune deja examinatorului foarte multe despre lucrarea pe care urmează să o corecteze, despre elevul a cărui lucrare o are în față. Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare mai eficientă, bazată pe niște cunoștințe mai generale. Ce făcea elevul dacă, în loc de $f(6)$, expresia de calculat s-ar fi terminat cu $f(60)$ sau cu $f(600)$? Ar fi calculat până la ieșirea din examen?

Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare bazată pe cunoștințele elevului despre PROGRESII ARITMETICE. Aceste cunoștințe i-ar fi permis elevului să folosească REGULA SUMEI pentru progresiile aritmetice, care spune că:

  • suma termenilor unei progresii aritmetice este, de fapt, mai simplu, un produs (o înmulțire) dintre numărul de termeni care trebuie adunați și media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.


Așadar, elevul trebuia să înceapă rezolvarea cu observația că termenii ce trebuie adunați sunt în progresie aritmetică (de rație $-2$ (numărul din fața lui $x$), adică termenii merg din $-2$ în $-2$). Cum numărul de termeni din această progresie este ușor de stabilit (șase plus unu, deci șapte), rezulta că singurul lucru mai greu de calculat era media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Dar, așa cum media notelor este suma lor împărțită cu numărul lor, tot astfel, media aritmetică dintre primul și ultimul număr al sumei este $$\frac{f(0)+f(6)}{2}=\frac{3+(-9)}{2}=\frac{-6}{2}=\color{lightgreen}{-3}.$$

Așadar, din regula sumei, aflăm că rezultatul este $$S=\color{blue}{7}\cdot(\color{lightgreen}{-3})=\color{red}{-21}.$$

Același rezultat ca mai sus, dar obținut mult mai elegant, mult mai rapid și valabil pentru mult mai multe cazuri. Iar a cunoaște Matematică înseamnă a cunoaște cât mai multe dintre asemenea scurtături.