Faceți căutări pe acest blog

duminică, 4 decembrie 2016

Bacalaureat, M2, V39SIP2


Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-2x$. Să se calculeze $f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(6)$.


Problema poate fi rezolvată „băbește” (deci, cam așa cum ar proceda o băbuță care nu prea știe Matematică). Adică, putem lua pe rând fiecare termen al sumei și să ne apucăm să-l determinăm, după care să adunăm termenii obținuți, să ne bucurăm de rezultat și să ne mirăm de ce nu am primit punctajul maxim din moment ce am prezentat rezultatul.

Facem, așadar: $f(0)=3-2\cdot 0=3-0=3$, $f(1)=3-2\cdot 1=3-2=1$, $f(2)=3-2\cdot 2=3-4=-1$ și așa mai departe, până la $f(6)=3-2\cdot 6=3-12=-9$. 

Dar, atenție la expresia „și așa mai departe”! Tocmai asta înseamnă punctele acelea de suspensie „$\dots$”, că trebuie să calculăm și $f(3)$ și $f(4)$ și $f(5)$! Unii elevi le lasă pe astea afară, pentru că nu cunosc încă semnificația punctelor de suspensie (pentru că nici nu s-a deranjat vreun profesor de mate să le spună vreodată un asemenea „fleac”, ci, eventual au fost subînțelese din limbajul natural). Ori, asemenea eșecuri îi determină pe elevi să urască Matematica, lucru extrem de grav pentru el însuși și pentru societate.

Deci, am calculat băbește toți cei șapte termeni (șase plus unu), aceștia fiind $3$, $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ și $-9$. Mai departe ne apucăm să-i adunăm, desigur, tot băbește: $$3+1+(-1)+(-3)+(-5)+(-7)+(-9)=\color{red}{-21}.$$

Deci, rezultatul cerut este $-21$. Metoda de aflare a acestui rezultat îi spune deja examinatorului foarte multe despre lucrarea pe care urmează să o corecteze, despre elevul a cărui lucrare o are în față. Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare mai eficientă, bazată pe niște cunoștințe mai generale. Ce făcea elevul dacă, în loc de $f(6)$, expresia de calculat s-ar fi terminat cu $f(60)$ sau cu $f(600)$? Ar fi calculat până la ieșirea din examen?

Examinatorului i-ar fi plăcut să vadă o rezolvare bazată pe cunoștințele elevului despre PROGRESII ARITMETICE. Aceste cunoștințe i-ar fi permis elevului să folosească REGULA SUMEI pentru progresiile aritmetice, care spune că:

  • suma termenilor unei progresii aritmetice este, de fapt, mai simplu, un produs (o înmulțire) dintre numărul de termeni care trebuie adunați și media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.


Așadar, elevul trebuia să înceapă rezolvarea cu observația că termenii ce trebuie adunați sunt în progresie aritmetică (de rație $-2$ (numărul din fața lui $x$), adică termenii merg din $-2$ în $-2$). Cum numărul de termeni din această progresie este ușor de stabilit (șase plus unu, deci șapte), rezulta că singurul lucru mai greu de calculat era media aritmetică dintre primul și ultimul termen al sumei.

Dar, așa cum media notelor este suma lor împărțită cu numărul lor, tot astfel, media aritmetică dintre primul și ultimul număr al sumei este $$\frac{f(0)+f(6)}{2}=\frac{3+(-9)}{2}=\frac{-6}{2}=\color{lightgreen}{-3}.$$

Așadar, din regula sumei, aflăm că rezultatul este $$S=\color{blue}{7}\cdot(\color{lightgreen}{-3})=\color{red}{-21}.$$

Același rezultat ca mai sus, dar obținut mult mai elegant, mult mai rapid și valabil pentru mult mai multe cazuri. Iar a cunoaște Matematică înseamnă a cunoaște cât mai multe dintre asemenea scurtături.