Faceți căutări pe acest blog

marți, 29 august 2017

Echerul special


Există în comerț o trusă de instrumente pentru geometrie care,  printre o mulțime de alte bunătăți, conține și o piesă extrem de drăguță despre care doresc să vă vorbesc aici și anume „echerul special”. Mai exact, există acolo un echer, care mie îmi este tare drag, ce are un unghi de 30°, un unghi de 60° și un unghi drept, adică de 90°. Acest echer, mai bine zis, acest triunghi dreptunghic, are o importanță supremă în geometrie, deoarece apare foarte, foarte des în problemele pe care le veți întâlni vreodată.




El ne amintește de o proprietate fundamentală în geometrie pe care o are triunghiul acesta dreptunghic cu un unghi de 30°: cateta mică este jumătate din ipotenuză.  În aceste șase cuvinte magice este cuprinsă o proprietate geometrică pe care o veți întâlni în sute de probleme de acum încolo. Ea ne spune că în acest triunghi dreptunghic special, cateta mică (adică latura aceea care formează unghiul drept și care este departe de unghiul de 30°),  este tocmai jumătate din ipotenuză, deci este tocmai jumătate din cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic special.

Concret, dacă veți avea curiozitatea să măsurați cu liniarul lungimea ipotenuzei echerului special, după care să măsurați lungimea catetei mici a acestui echer, veți constata că, așa ca printr-o minune, cateta mică este jumătate din ipotenuză.  Așadar, mai putem spune și că ipotenuza este de două ori mai mare decât cateta mică.  

Bineînțeles, această proprietate este valabilă pentru orice triunghi dreptunghic special (deci, triunghi cu unghiurile de 30°, 60°, 90°) și ea este echivalentă cu faptul că sinus de 30° este unu supra doi ($\frac 1 2$), sinusul unui unghi fiind, prin definiție, cateta opusă acelui unghi supra ipotenuză.

sâmbătă, 26 august 2017

Ce este lungimea?


Unul și același segment de dreaptă are o lungime unică ce nu poate fi confundată.

Prin definiție, lungimea unui segment este o mărime care arată de câte ori se cuprinde un segment etalon, numit „unitate de măsură pentru lungime” în segmentul respectiv.

De exemplu, pe latura unei camere putem așeza de cinci ori bucata aceea de lemn numită „metrul tâmplarului”. Asta înseamnă că latura camerei are lungimea de cinci metri. Dar tot pe aceeași latură putem așeza de cinci sute de ori degetul mic de la mâna dreaptă în ipoteza că grosimea degetului ar fi de un centimetru. Asta mai înseamnă atunci că latura camerei nu are doar lungimea de cinci metri, ci are și lungimea de cinci sute de centimetri. Bineînțeles, în tot acest timp, camera este aceeași și considerăm că latura ei nu s-a dilatat prea mult din cauza căldurii de afară.

Așadar, lungimea este un ansamblu de DOI factori, unul fiind un număr real pozitiv, iar celălalt fiind o unitate de măsură.

Doar numărul real pozitiv singur nu este suficient pentru a exprima lungimea unui segment, ci el trebuie întotdeauna asociat cu unitatea de măsură care îl generează.

Cum am văzut mai sus, lungimea unui segment poate fi 5 metri, dar aceeași lungime poate fi scrisă și ca fiind 500 de centimetri, fără să modificăm segmentul respectiv. În primul caz numărul real pozitiv este 5, unitatea de măsură fiind metrul, iar în al doilea caz numărul real pozitiv este 500, iar unitatea de măsură este centimetrul.

Observați că dacă am luat o unitate de măsură mai mică de 100 de ori decât metrul, atunci numărul real pozitiv ce exprimă lungimea a crescut de 100 de ori. Așadar, doar numărul acela real nu semnifică mare lucru când vorbim despre lungimea unui segment, ci întotdeauna trebuie să știm și despre ce unitate de măsură este vorba.

Am dorit să scot în evidență acest fapt, deoarece unii elevi se mulțumesc să creadă că lungimea unui segment este dată doar de acel număr real pozitiv, neglijând unitatea de măsură care determină acel număr. 

E-adevărat, odată ce fixăm unitatea de măsură și ne asigurăm că nu o vom mai schimba niciodată în contextul unei anumite probleme, atunci singurul care mai contează este acel număr real pozitiv, căci în asemenea condiții când știm ce unitate de măsură folosim pentru lungime și n-o mai modificăm, deci în asemenea condiții nu mai contează decât acel număr real pozitiv pentru a vorbi despre lungimea unui segment.

Deci, în rezumat, nu uitați, lungimea este UN ANSAMBLU de două elemente, număr și unitate de măsură, nu doar număr.

Desigur, același lucru îl putem spune și despre arie sau volum, nu doar despre lungime.

duminică, 13 august 2017

Citește ce-ți place, ca să-ți placă ce citești


Mulți dintre noi ne plictisim repede după ce am început să citim ceva ce pare obligatoriu. Mi se întâmplă și mie. Dar când descopăr asta, mă opresc din lectură și-mi spun că mintea mea nu este deocamdată pregătită pentru lectura respectivă. Apoi fac altceva o vreme, după care revin. Și dacă tot nu sunt dispus să citesc în continuare acel material, atunci am o carte de rezervă pe care abia aștept s-o citesc, pe care o citesc cu poftă cu orice ocazie, pe care o înțeleg bine și mă captivează.

Este foarte important să citiți. Toată cunoașterea umanității se află în cărți. Și cred că adevăratul progres al omenirii a început în momentul în care cineva s-a gândit să lase cumva moștenire urmașilor săi ceea ce a aflat el pe parcursul vieții, pentru ca ei să nu mai fie nevoiți să înceapă de la zero cunoașterea. Animalele nu știu să-și transmită cunoștințele mai departe urmașilor, motiv pentru care nu pot zbura în cosmos. Nu poți acumula într-o viață de unul singur toate cunoștințele de care ai nevoie pentru a zbura în  cosmos. Oamenii au început prin a scrijeli pe pietre cunoștințele lor fundamentale, apoi au descoperit tiparul, apoi internetul. De aceea, oamenii diferă foarte mult de animale.

Așadar, acesta este motivul pentru care citim. Ca să nu mai fim nevoiți să pornim de la zero, ci să ne bazăm pe cunoștințele obținute deja de către înaintașii noștri dragi. 

Dar asta nu înseamnă că trebuie să citim tot ce ne pică în mână, haotic. Trebuie să citim doar ceea ce ne definește, doar ceea ce este în legătură cu ceea ce ne place mult, mult de tot. Și nu e ușor să descoperim ceea ce ne place. De regulă, ne place numai ceea ce ne captivează, ce ne face să uităm de ceas, de foame, ce ne mărește pulsul, ce ne emoționează până la lacrimi. Citiți despre asemenea lucruri.

Nu putem fi enciclopediști. Cu toate că sunt foarte multe domenii de cunoaștere extrem de interesante, nu avem o viață nesfârșită încât să ne putem dedica oricărui ideal. Trebuie să fim selectivi. Și trebuie să ne consolăm cu ideea că nu vom putea citi toate cărțile care au fost scrise vreodată. Nici măcar pe cele bune, bune de tot.

Așadar, descoperiți cu mare atenție ceea ce vă place cu adevărat, mai mult decât orice, și dedicați-vă complet, dar complet!, acelui ideal. Citiți mult despre ceea ce se știe în acel domeniu. Și astfel nu va fi un timp pierdut. 

N-am regretat nicio clipă că am citit mult, ci am regretat că nu am citit mai mult.

vineri, 11 august 2017

Dumnezeule, ce muncă!


Cu o mare întârziere pentru voi, am descoperit recent saitul domnului profesor Jitaru Ionel (și l-am pus imediat în lista de mai jos) care a muncit pentru voi ca să rezolve toate variantele de mate propuse pentru Bacalaureatul din 2009 la M2. Am considerat că este o muncă prețioasă care vă poate ajuta enorm în învățarea matematicii, așa că i-am dedicat acest articol separat pentru a-l semnala cum se cuvine.

joi, 10 august 2017

Cel mai mare divizor comun este, de fapt, mititel


Există un paradox al celui mai mare divizor comun, pe care mulți elevi de gimnaziu îl urăsc. Păi, dacă e CEL MAI MARE, atunci de ce este mic? Ce se întâmplă, de fapt?

Să studiem, de exemplu, numerele 18 și 24. Să le găsim cel mai mare divizor comun, ca să ne lămurim cum e cu paradoxul acesta supărător.

Întâi facem o listă cu divizorii lui 18, apoi cu cei ai lui 24, după care vom găsi cel mai mare divizor comun. Zis și făcut.

Divizorii lui 18. Cum îi găsim? Hmmm... Păi, începem cu 1, căci 1 este divizor al oricărui alt număr natural. Dar, dacă l-am găsit pe 1, atunci automat am găsit și perechea lui 1, care este 18. (Am numit „pereche” acel cuplu de divizori care prin înmulțirea lor ne dau exact 18.) Apoi, un alt divizor al lui 18 ar fi 2, căci 18 se împarte exact cu 2. Observați că nu am sărit de la 1 la 3, ci m-am străduit să găsesc divizorii într-o oarecare ordine crescătoare. Așadar, până în prezent i-am găsit pe 1, 18 și 2. Mai departe, mă gândesc la perechea lui 2, adică la 9, căci 2 înmulțit cu 9 ne dă 18. Următorul divizor va fi 3 și perechea lui, 6. Și cam atât, căci nu mai găsim numere cu care 18 să se poată împărți exact. Deci, putem construi o listă frumoasă cu divizorii lui 18: $$D_{18}=\lbrace 1,2,3,6,9,18\rbrace.$$

Divizorii lui 24. Procedând ca și pentru 18, vom găsi $$D_{24}=\lbrace 1,2,3,4,6,8,12,24\rbrace.$$ Am avut grijă să pun și la 24 toate perechile posibile.

Așadar, până aici am găsit divizorii lui 18 și ai lui 24. Să vedem mai departe care sunt divizorii comuni, adică divizorii care se găsesc atât în lista lui 18, cât și în lista lui 24. Desigur, primul divizor comun este 1, căci el se află și în $D_{18}$ și în $D_{24}$. Altul este 2, apoi 3 și apoi 6. Și cam atât. Putem construi o listă cu ei ca să îi vedem mai bine: $$DC_{18,24}=\lbrace1,2,3,6\rbrace.$$

Ei bine, care este cel mai mare dintre acești divizori? Desigur, 6. Cum este acest 6 față de 18 și 24? Desigur, mai mititel. Cu toate că vorbim despre cel mai mare divizor comun, asta nu înseamnă că el este mai mare decât 18 și 24. 

Și să mai clarificăm un aspect. De ce nu este interesant și n-am auzit niciodată despre „cel mai mic divizor comun”? Pentru că cel mai mic divizor comun pentru două numere naturale va fi întotdeauna 1 și nu trebuie să depunem niciun efort deosebit pentru a-l găsi. Tocmai de aceea nu este relevant cel mai mic divizor comun, ci doar cel mai mare.



Dar lucrurile stau similar și pentru cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24. Deși titulatura îi spune că este mic, el este de fapt mai mare decât 18 și decât 24. Dacă veți face o listă cu multiplii lui 18 și cu cei ai lui 24, veți constata că cel mai mic multiplu comun al lor este 72. Acest număr este multiplu și de 18 (căci 72 se împarte exact cu 18), dar și de 24. Și este cel mai mic dintre toți multiplii comuni ai celor două numere.

Ei bine, care o fi cel mai mare multiplu comun și de ce nu este interesant de găsit? De ce nu căutăm niciodată cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic? Păi, așa cum cel mai mic divizor comun este neinteresant, fiind 1, tot astfel, cel mai mare multiplu comun este neinteresant, căci el este tocmai infinit de mare. Infinitul este un multiplu comun atât pentru 18, cât și pentru 24, dar este multiplu comun pentru orice alte două numere naturale nenule. Așa că el nu aduce nicio informație interesantă în studiul multiplilor. Bineînțeles, problema cu infinitul ăsta este un pic mai complicată, dar măcar v-ați făcut o idee de ce nu căutăm cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic.



În concluzie, cel mai mare divizor comun al lui 18 și 24 este mai mic decât 18 și decât 24, iar cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24 este mai mare decât 18 și decât 24. Și sper că acest articol v-a adus mai multă lumină în ceea ce privește aceste două noțiuni importante.

sâmbătă, 5 august 2017

O regulă mnemotehnică pentru semnele divizibilității


Am întâlnit foarte mulți elevi cu dilema semnelor $|$ și $\vdots$, așa că în acest articol a venit vremea lor.

Avem următoarea convenție de semn:

$3\color{red}{|}15$ înseamnă „3 îl divide pe 15”.

Observați că bara verticală a relației „îl divide pe” am colorat-o cu roșu și tot cu roșu am colorat și litera „l” din cuvântul „îl”. Cele două semne seamănă izbitor, așa că nu mai puteți uita ce înseamnă bara verticală.





Și, bineînțeles, pentru cele trei puncte verticale ne rămâne cealaltă semnificație și anume:

$15\color{blue}{\vdots} 3$, care înseamnă „15 se divide cu 3”.


joi, 3 august 2017

Despre un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute


Un sistem de două ecuații este un ansamblu de două ecuații care trebuie satisfăcute simultan (acolada care apare ne arată că cele două ecuații trebuie să fie satisfăcute simultan, adică trebuie să fie „adevărate” simultan). A rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă a găsi o pereche de numere în așa fel, încât, puse în locul lui x și y (în această ordine), în cele două ecuații, egalitatea să fie adevărată, atât în prima ecuație, cât și în cea de-a doua.

Doamna Vladimira Palașca a realizat un applet valoros în Geogebra, cu ajutorul căruia elevii de clasa a VIII-a pot înțelege mai ușor comportamentul unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. 




Mai exact, în appletul ei puteți observa un sistem de două ecuații, una roșie, iar cealaltă albastră. Fiecare dintre cele două ecuații au coeficienți ce pot fi modificați cu ajutorul cursoarelor care au aceeași culoare ca și a ecuației respective.

De asemenea, puteți vizualiza pe desen graficul corespunzător fiecărei ecuații. Graficul corespunzător unei ecuații liniare cu două necunoscute este o dreaptă.

Dacă cele două drepte se intersectează într-un singur punct, înseamnă că sistemul dat este și compatibil și determinat (adică are o soluție, care este și unică).

Dacă cele două drepte se intersectează în mai multe puncte (iar dacă se intersectează în două sau mai multe puncte, atunci se intersectează într-o infinitate de puncte, adică dreptele sunt una și aceeași, deci coincid), atunci sistemul celor două ecuații este din nou compatibil, dar este nedeterminat. Asta mai înseamnă că cea de-a doua ecuație nu aduce nicio informație în plus față de prima. Se pot întâmpla asemenea cazuri atunci când cea de-a doua ecuație este tocmai prima ecuație, înmulțită eventual cu vreun număr oarecare, nenul.

În fine, dacă cele două drepte sunt paralele, atunci ele nu se intersectează, ceea ce înseamnă că sistemul dat nu are nicio soluție, caz în care sistemul se numește incompatibil sau imposibil (este imposibil ca cele două ecuații să fie satisfăcute simultan de vreo pereche de numere puse în locul lui x și y).


Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute este cel mai simplu sistem posibil. El vă poate iniția excelent în studiul sistemelor și orice profesor bun va începe cu (sau va reaminti) acest sistem înainte de a studia cazurile mai generale.

miercuri, 26 iulie 2017

Sume telescopice


Există ceva interesant în legătură cu sumele, despre care vă voi povesti acum. Să observăm întâi că
$$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac 1 2-\frac 1 3,$$
căci $$\frac 1 2-\frac 1 3=\frac 3 6-\frac 2 6=\frac{3-2}{6}=\frac 1 6=\frac{1}{2\cdot 3}.$$
Tot astfel, mai avem și
$$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac 1 3-\frac 1 4,$$
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 4-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am putea spune că în asemenea cazuri înmulțirea fracțiilor are același efect ca și scăderea lor.

Și-acum să vedeți minunea. Dacă adunăm cele trei exemple, obținem
$$\color{red}{\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{4\cdot 5}}=\color{red}{\frac 1 2-\frac 1 3}+\color{blue}{\frac 1 3-\frac 1 4}+\color{green}{\frac 1 4-\frac 1 5}.$$
Și cum fracțiile care apar în mijlocul expresiei se reduc, căci unele sunt cu minus, iar altele cu plus, rămân doar cele două fracții, una de la început și cealaltă de la sfârșit. Adică
$$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}=\frac 1 2-\frac 1 3+\frac 1 3-\frac 1 4+\frac 1 4-\frac 1 5=\frac 1 2-\frac 1 5.$$
Deci, este ca și cum am închide un tub telescopic de pescuit, motiv pentru care aceste sume se numesc „sume telescopice”. Așadar, pe viitor, veți ști să calculați sume de genul
$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{2017\cdot 2018},$$
adică sume de fracții cu numitori de numere consecutive.


Și lucrurile interesante nu se opresc aici. Numerele de la numitor nici nu trebuie să fie imediat consecutive, ci pot „merge și din doi în doi” ca să avem sumă telescopică. Haideți să vedem ce se întâmplă în acest caz. Avem, de exemplu,
$$\frac 1 1-\frac 1 3=\frac 3 3-\frac 1 3=\frac{2}{1\cdot 3}.$$
Apoi
$$\frac 1 3-\frac 1 5=\frac 5 {3\cdot 5}-\frac 3 {3\cdot 5}=\frac{2}{3\cdot 5}$$
și încă un exemplu
$$\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 7 {5\cdot 7}-\frac 5 {5\cdot 7}=\frac{2}{5\cdot 7}.$$

Ce putem observa din aceste ultime trei exemple? Că dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 2{1\cdot 3}+\frac 2{3\cdot 5}+\frac 2{5\cdot 7},$$ am putea scrie că $$S=\frac 1 1-\frac 1 3 +\frac 1 3-\frac 1 5+\frac 1 5-\frac 1 7=\frac 1 1-\frac 1 7=\frac 6 7.$$ Observați că și aici am redus fracțiile asemenea, iar suma s-a închis din nou precum un telescop, dispărându-i termenii din mijloc și rămânându-i doar capetele. Desigur, sper că ați fost atenți de data aceasta la $2$-ul acela de la numărător din suma inițială.

Așadar, acum vi se va părea mai ușor să înțelegeți cum am calculat suma în care numitorii „merg din trei în trei”, dată de $$S=\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}=\frac 1 1-\frac 1 {13}=\frac{12}{13}.$$

Aaa, dar ce ne facem dacă ni se cere o sumă de acest gen fără $3$-ul la numărător? Adică, ce ne-am face dacă ni s-ar cere să calculăm suma $$S=\frac 1{1\cdot 4}+\frac 1{4\cdot 7}+\frac 1{7\cdot 10}+\frac 1{10\cdot 13}?$$ Bineînțeles, am scrie această sumă sub forma $$S=\frac{1}{3}\left(\frac 3{1\cdot 4}+\frac 3{4\cdot 7}+\frac 3{7\cdot 10}+\frac 3{10\cdot 13}\right)$$ și am putea conclude atunci că $$S=\frac 1 3\left(\frac 1 1-\frac 1 {13}\right)=\frac 1 3\cdot\frac{12}{13}=\frac{4}{13}.$$


Dar nu pot să vă las din mână până nu vă mai spun că, de exemplu, suma $$S=\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}}$$ este și ea o sumă telescopică, chiar dacă are câte trei factori la numitor!
Căci ea se poate scrie ca $$S=\frac{1}{2}\left(\color{red}{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}}+\color{blue}{\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}}+\color{green}{\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}}\right).$$
Și cu asta sper că v-am deschis un drum pe care să puteți merge și singuri atunci când veți avea de calculat asemenea sume interesante.

luni, 24 iulie 2017

Arătați că rădăcina dublă a unui polinom este rădăcină și pentru derivata polinomului


Să notăm cu $P$ un polinom oarecare și cu $P'$ derivata acestuia. Apoi, să ne amintim că un polinom căruia îi cunoaștem rădăcinile (adică, numerele care îl anulează) poate fi scris ca un produs de paranteze cu acele rădăcini (căci un produs de paranteze se anulează doar atunci când cel puțin una dintre paranteze se anulează). De exemplu, polinomul $X^2-5X+6$, ale cărui rădăcini sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, poate fi scris ca un produs de paranteze cu aceste rădăcini, adică avem $$X^2-5X+6=(X-2)(X-3).$$

Așadar, în general, un polinom de gradul $n$ poate fi scris ca un produs de $n$ paranteze cu cele $n$ rădăcini $x_1,\,x_2,\dots,\,x_n$, astfel: $$\color{blue}{aX^n+bX^{n-1}+\dots+c=a(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_n)}.$$

Dar ce înseamnă „rădăcină dublă”? Înseamnă că acea rădăcină apare de două ori, deci apare în două paranteze. Mai înseamnă atunci că paranteza care o conține apare la puterea a doua. De exemplu, polinomul de gradul trei $X^3-X^2-8X+12$ are rădăcina dublă $x_1=x_2=2$, motiv pentru care el poate fi scris astfel: $$X^3-X^2-8X+12=ceva\cdot(X-2)^2.$$ Pentru acest polinom de gradul trei, $ceva=X+3$.

Prin urmare, în general, un polinom $P$ care are rădăcina dublă $x_1=x_2=d$ va putea fi scris astfel: $$P=ceva\cdot(X-d)^2.$$ Dacă rădăcina ar fi triplă, atunci paranteza ar apărea la puterea a treia. Și așa mai departe.

Sper că ați înțeles până aici cam care este legătura dintre multiplicitatea unei rădăcini și exponentul parantezei în care apare acea rădăcină.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă derivăm polinomul $P$ care are rădăcina dublă $d$. Cum $P=ceva\cdot(X-d)^2$, înseamnă că derivata acestui polinom va fi derivata unui produs, deci vom aplica formula pentru derivata produsului, despre care știm că este $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$$

Concret, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot[(X-d)^2]'.$$

Pe $[(X-d)^2]'$ îl putem calcula în două moduri: ori desfacem paranteza și derivăm termen cu termen, ori folosim mai bine și mai elegant proprietatea că $$(u^2)'=2u\cdot u'.$$ Astfel, $$[(X-d)^2]'=2(X-d)\cdot(X-d)'=2(X-d),$$ căci $(X-d)'=1$.

Prin urmare, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot 2(X-d).$$

Acest rezultat ne permite să observăm că dacă în locul necunoscutei $X$ din polinomul $P'$ punem rădăcina $d$, obținem anularea lui $P'$. Așadar, rădăcina dublă a lui $P$ este rădăcină și pentru $P'$. Adică exact ceea ce am dorit să arătăm.

De aici, mai departe, un elev isteț va trage concluzia că rădăcina triplă a unui polinom este de asemenea rădăcină atât pentru prima derivată a polinomului, cât și pentru cea de-a doua derivată a acestuia. Adică, în general, o rădăcină cu multiplicitatea $n$ a unui polinom este rădăcină de asemenea și pentru toate derivatele polinomului până la ordinul $n-1$ inclusiv. Dar, atenție!, ea nu mai este rădăcină pentru derivata de ordinul $n$ a polinomului, căci atunci multiplicitatea ei ar fi $n+1$, nu $n$.

Această proprietate este utilă atunci când vi se cere să determinați un polinom cu câțiva coeficienți necunoscuți în condițiile în care știți că un anumit număr este rădăcină multiplă a polinomului respectiv. 

Dacă, de exemplu, polinomul $P$ are trei coeficienți necunoscuți, atunci vi se va da o rădăcină cu multiplicitatea doi, pe care o veți înlocui în necunoscuta $X$ a lui $P$, a lui $P'$ și a lui $P''$ și veți obține un sistem de trei ecuații cu cei trei coeficienți necunoscuți ai polinomului, din care sistem va rezulta soluția problemei.

duminică, 16 iulie 2017

Teorema generalizată a restului


Având în minte problema pe care am primit-o acum trei zile la titularizare, vreau să vă vorbesc puțin despre polinoame și teorema restului.

Să presupunem că avem de rezolvat următoarea problemă:
Să se determine restul împărțirii polinomului $f=(X-1)^{10}+(X-2)^{12}$ la polinomul $g=X^2-5X+6$.

Dacă împărțim un polinom de gradul 100 la un polinom de gradul 73, restul împărțirii va avea gradul 72. Observați, deci, că gradul restului este mai mic cu o unitate decât gradul împărțitorului. Așadar, în cazul nostru, cum împărțitorul are gradul doi, înseamnă că restul va avea gradul unu. Dacă împărțitorul avea gradul trei, restul nostru avea gradul doi și problema era mai complicată puțin decât aceasta.

Dar ce grad ar fi avut restul dacă împărțitorul însuși ar fi avut gradul unu? Desigur, cu o unitate mai mică decât unu, deci gradul restului ar fi fost zero. Dar polinom de gradul zero înseamnă, de fapt, un număr, așadar, în acest caz foarte special și simplu, restul este un număr.

Să revenim deocamdată la problema noastră. Deci, restul problemei noastre are gradul unu. Este o informație prețioasă despre restul pe care trebuie să-l găsim. Altceva nu știm deocamdată despre acest rest, decât că este de gradul unu, o informație foarte prețioasă, de altfel, căci ne scutește de alte speculații privind complexitatea problemei. 

Dar cum arată un polinom de gradul unu pe care nu îl cunoaștem? Bineînțeles, un polinom de gradul unu are necunoscuta la puterea unu și atunci el nu poate arăta decât așa: $R=aX+b$  cu numerele $a$ și $b$ necunoscute. De aici încolo, problema rămâne doar să determinăm aceste două numere necunoscute.

Și cum putem determina, de regulă, două numere necunoscute? Cu un sistem de două ecuații și două necunoscute. Dar cum vom obține acel sistem? Ce informație matematică ne poate construi sistemul respectiv? Teorema împărțirii cu rest. Fără această teoremă am fi stat mult și am fi privit în zadar problema.

Această teoremă a împărțirii cu rest ne spune foarte clar că deîmpărțitul $D$ este egal cu câtul $C$ înmulțit cu împărțitorul $Î$ și adunat cu restul $R$. Mai exact, teorema împărțirii cu rest ne spune, deci, că 
$$D=C\cdot Î+R.$$ 

La noi $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, $C$ fiind un polinom necunoscut pe care l-am putea găsi dacă am face efectiv împărțirea lui $f$ la $g$. Și cum nu ni se cere acest polinom ciudat $C$ („C” vine de la „cât”, nu de la „ciudat” :D  ), noi nu are rost să-l luăm în calcul, ci, dimpotrivă, trebuie să facem ceva ca să scăpăm de polinomul acesta enervant $C$, care ne stă în coaste.

Ok, bine, bine, vedem noi teorema împărțirii cu rest, dar cum ne ajută aceasta să găsim sistemul necesar care să ne dea numerele $a$ și $b$, în așa fel încât să scăpăm și de pacostea reprezentată de polinomul $C$? Răspunsul la această întrebare este unul eliberator. Și tare m-aș bucura să vi-l amintiți la examene.

Nu uităm, deci, că vrem să scăpăm cumva de polinomul $C$. Dar observăm că polinomul $C$ este lipit de polinomul $Î$ prin înmulțire. Și cum despre polinomul $Î=g$ știm totul, pentru că ni s-a dat că $g=X^2-5X+6$, înseamnă că știm și cum să-l anulăm. Căci dacă-l anulăm pe $Î$, atunci facem să dispară orice este lipit de el prin înmulțire, căci zero înmulțit cu un alt polinom va fi tot zero. 

Iată, deci, care a fost șmecheria: să ne folosim de rădăcinile lui $Î$, despre care știm că îl anulează pe $Î$ (căci aia înseamnă „rădăcină”, numărul care face ca polinomul să se anuleze, deci numărul care pus în locul  lui $X$ ne dă zero).

Dar voi știți să găsiți rădăcinile lui $g=X^2-5X+6$, cu delta sau cu Viète, așa că nu voi insista aici, căci în mod sigur am vorbit despre așa ceva undeva, pe blogul meu, deja sau au vorbit alții, mai pe înțelesul vostru, poate, în altă parte. Deci, veți găsi că rădăcinile lui $g$ sunt $x_1=3$ și $x_2=2$ (produsul lor trebuie să ne dea 6, iar suma lor 5).

Cu aceste informații în minte, ne reamintim că teorema împărțirii cu rest ne spune că $D=C\cdot Î+R$, lucru care se poate scrie și mai amănunțit, folosindu-ne de necunoscuta $X$, $$D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X).$$

Orice am pune în locul lui $X$ (deci chiar și rădăcinile lui $g$), relația dată de teorema împărțirii cu rest rămâne valabilă. Așadar, este valabil și faptul că  $$D(x_1)=C(x_1)\cdot Î(x_1)+R(x_1).$$

V-ați prins de idee? Observați acum cât de utile sunt rădăcinile lui $g$? Haideți să facem calculul de mai sus, ca să obținem ceva și mai curat. Cum $x_1=3$, cum $D=f$, $Î=g$ și $R=aX+b$, avem, deci, că $$f(3)=C(3)\cdot g(3)+a\cdot 3+b.$$

Și cum $g(3)=0$, căci $3$ este una dintre rădăcinile lui $g$, va rezulta că și $C(3)\cdot g(3)=C(3)\cdot 0=0$. Iată, deci, de ce nu ne-a păsat cum arată polinomul $C$, pentru că știam că vom găsi o metodă să scăpăm de el. Așadar, obținem atunci ceva și mai frumos și anume: $$f(3)=0+3a+b.$$

Dar pe $f(3)$ știm să-l calculăm. Căci $$f(3)=(3-1)^{10}+(3-2)^{12}=2^{10}+1=1025.$$ 

Așadar, am obținut că $$1025=3a+b,$$ ceea ce reprezintă tocmai prima ecuație a sistemului căutat de două ecuații cu două necunoscute.

Similar, pentru a doua ecuație ne vom folosi de a doua rădăcină a lui $g$ și vom obține
$$D(x_2)=C(x_2)\cdot Î(x_2)+R(x_2),$$ adică
$$f(2)=C(2)\cdot g(2)+a\cdot 2+b.$$ Cum $$f(2)=(2-1)^{10}+(2-2)^{12}=1,$$ obținem cea de-a doua ecuație drăguță a sistemului, adică $$1=2a+b.$$ Această ecuație, pusă lângă ecuația precedentă $1025=3a+b$, va constitui un sistem de două ecuații cu două necunoscute 
$$\begin{cases}3a+b=1025\\2a+b=\,\,\,\,\,\,\,1\end{cases},$$

pe care îl puteți rezolva ușor cu una dintre metodele pe care le știți deja, adică cu metoda substituției, reducerii sau Cramer (recomand, desigur, metoda reducerii aici). Rezolvând sistemul (scăzând, de exemplu, din prima linie pe cea de-a doua), obținem că $a=1024$ și $b=-2047$. 

Așadar, restul căutat va fi $$\color{red}{R=aX+b=1024X-2047}.$$

Ce ziceți, facem o mică recapitulare? Ca să vedem de ce este vorba despre teorema generalizată a restului. 

Așadar, dacă împărțitorul are gradul $n$, atunci restul are gradul $n-1$. În acest caz, pentru a determina restul, ne trebuie un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute, necunoscute ce reprezintă tocmai coeficienții restului. Cele $n$ ecuații ale sistemului se obțin cu ajutorul celor $n$ rădăcini ale împărțitorului, rădăcini ce vin înlocuite în relația dată de teorema împărțirii cu rest.

Cel mai simplu caz este acela în care împărțitorul are gradul unu, caz în care el are o singură rădăcină (să o notăm cu $a$), restul este de gradul zero, deci este un simplu număr, notat cu $r$, iar „sistemul” de $n$ ecuații devine, de fapt, o singură ecuație care spune că $$f(a)=r,$$ deci ne spune că restul împărțirii este tocmai f(a). Aceasta este teorema simplă a restului, negeneralizată. Cea generalizată este pentru împărțitor de grad mai mare decât unu.

Așadar, în general putem spune atunci că restul $R$ al împărțirii unui polinom $D$ de grad mai mare decât $n$ la un polinom $Î$ de grad $n$ este dat de un sistem de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute (aceste necunoscute sunt tocmai coeficienții restului căutat) care sistem se obține prin folosirea relației $D(X)=C(X)\cdot Î(X)+R(X)$ pentru fiecare dintre cele $n$ rădăcini (deci, prin înlocuirea necunoscutei $X$ cu rădăcinile lui $Î(X)$).

duminică, 11 iunie 2017

Despre cum puteți deduce în joacă două proprietăți importante ale logaritmului


Știu că logaritmul este tare încuietor pentru mulți elevi. Și aș dori să le arăt acestora cum ar putea să se descurce în situații limită.

Rețineți întâi un LOGARITM DE REFERINȚĂ: $$\large{\color{red}{\log_2 8=3}}.$$ Deci, logaritm în baza doi din opt este trei. Da, trei. De ce trei? Pentru că doi la puterea A TREIA este opt. 

Observați, deci, că logaritmul este „puterea” la care trebuie să ridicăm baza (2-ul este baza) ca să obținem argumentul (8-ul este argumentul).

Relația de mai sus, din LOGARITMUL DE REFERINȚĂ se poate citi și invers, de la dreapta la stânga. Așadar, putem scrie și $$3=\log_2{8}.$$ Această egalitate ne spune că „peste tot, în loc de numărul 3 putem să punem expresia $\log_2 8$”.

Haideți să ne jucăm cu această informație și vom obține o proprietate faină a logaritmului. Noi știm că $$2^3=8.$$ Dacă în locul acelui 3 de la exponent noi vom pune expresia $\log_2 8$, vom obține ceva drăguț: $$2^{\log_2{8}}=8.$$ Am obținut ceva care ne sugerează că 2 cu 2 se „simplifică”. Dar aceasta ne duce la o formulă importantă cu logaritmii, dacă înlocuim numerele cu litere. Mai exact, avem că: $$\large{\color{red}{a^{\log_a b}=b}}.$$


Ne mai jucăm o dată cu logaritmul de referință, deci cu $\log_2 8=3$, doar că, de data aceasta, în loc de 8 noi vom pune $2^3$. Obținem $$\log_2 2^3=3.$$ Așadar, din nou, parcă s-a simplificat 2 și a rămas 3. Prin urmare, avem o altă formulă importantă, de bază, a logaritmilor: $$\large{\color{red}{\log_a{a^b}=b}}.$$

Iată ce minuni puteți face cu acest logaritm de referință. Dar, poate mai găsiți și voi altele...

duminică, 21 mai 2017

Demonstrați formula lui Heron


Cineva numit Heron, undeva în Alexandria, cândva demult, pe la începuturile erei noastre, și-a pus problema ariei triunghiului la modul cel mai general posibil. Altfel spus, Heron a dorit să știe cum poate determina aria unui triunghi dacă știe cât de lungi sunt laturile sale, fără să se mai chinuie să afle vreun unghi sau o înălțime. E mai ușor să măsori lungimi, decât unghiuri, așa că inginerul Heron a dorit să ușureze cumva munca celui care dorește să găsească aria unui teren triunghiular. Iar din frământările sale s-a născut o formulă minunată care îi poartă numele și care ne permite nouă, urmașilor săi, să găsim câtă gresie ar trebui să cumpărăm pentru a acoperi o podea de orice formă triunghiulară.

Formula lui Heron are o formă simetrică și profundă. Ea nu necesită altceva decât lungimile laturilor triunghiului. Dacă reușiți să aflați prin măsurare sau prin calcul lungimile celor trei laturi ale unui triunghi (să le zicem a, b și c), atunci puteți găsi aria triunghiului respectiv (deci, câtă gresie v-ar trebui pentru suprafața triunghiului), cu ajutorul formulei lui Heron:
$$\large{\color{red}{A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}.$$

Știu, formula pare urâtă, pentru că ne sperie acel radical luuuung cât o zi de post. Și poate ne mai sperie și acel p care apare în formulă. Ce o fi p-ul acesta? Păi, nu era vorba că nu ne trebuie altceva decât laturile? Acum ne mai trebuie și p? Stați liniștiți că și p-ul se obține simplu cu ajutorul laturilor. Acest p mic este de fapt tocmai „semiperimetrul”, adică jumătate din suma celor trei laturi. Ca și convenție de notare se știe că P mare este tot perimetrul, iar p mic este jumătate din P mare.



Aș dori acum să vă prezint o demonstrație a acestei formule, folosindu-ne de una dintre înălțimile (deocamdată, necunoscute ale) triunghiului. Pentru că noi știm deja (se învață înaintea formulei lui Heron) că aria unui triunghi este dată de frumoasa poezie: „baza ori înălțimea supra doi”. Și, folosindu-ne de această poezie, vom găsi poezia lui Heron, care conține radicalul.


Vedeți mai jos un triunghi oarecare, pregătit pentru operație, pentru disecție, pe care îl vom obliga să ne spună cum putem găsi formula lui Heron atunci când noi știm alte formule mai simple învățate anterior. Cele trei laturi ale triunghiului au lungimile notate cu metoda consacrată (litere mici opuse vârfurilor). De asemenea, am mai notat și una dintre înălțimi cu h (știți că există trei înălțimi într-un triunghi, în funcție de cum avem noi chef să-l orientăm, mai bine zis, în funcție de alegerea pe care o facem privind baza triunghiului, caz în care înălțimea este perpendiculară pe bază). În fine, am rupt în două baza aleasă pentru triunghi, iar cele două bucăți din bază, determinate de punctul în care cade înălțimea, le-am notat cu x și cu y, pentru că sunt necunoscute (noi nu cunoaștem altceva decât a, b și c) și le vom folosi doar trecător, pentru a-l găsi pe h.
Priviți acest triunghi așezat pe masa de operație și gândiți-vă cum i-ați putea determina aria. Ei bine, aria întregului triunghi este dată de poezia amintită: „baza ori înălțimea supra doi”. Deci, aria triunghiului nostru va fi $A=\frac{ah}{2}$.

Desigur, pe $a$ îl știm, din moment ce cunoaștem toate cele trei lungimi ale laturilor triunghiului. Așa că mai rămâne să-l găsim pe $h$. Cu această ocazie, vom putea obține o formulă intermediară (pe care o vom evidenția) cu ajutorul căreia putem găsi rapid o înălțime a triunghiului din simpla cunoaștere a laturilor sale.

Dacă am cunoaște cât de mare este $x$, atunci cu teorema lui Pitagora ar fi un fleac să-l găsim pe $h$. Dar noi nu-l cunoaștem pe $x$, ci doar pe $x$ adunat cu $y$ (suma lor este tocmai $a$).

Noa, haideți să începem de undeva. Haideți să ne imaginăm că îl cunoaștem pe $x$ și că îl găsim pe $h$ cu teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic ABD. Cum $h$ este catetă în acest triunghi, obținem că $$h^2=c^2-x^2.$$

Bineînțeles, mare lucru n-am obținut încă, pentru că ne stă în coaste necunoscuta $x$, care vrem să dispară la un moment dat. Dar nu ne cramponăm aici, căci cine știe ce ne rezervă viitorul dacă ne vom folosi și de necunoscuta $y$. Așadar, depunem aceeași muncă și în triunghiul dreptunghic ACD, în care domnește necunoscuta $y$. Mai precis, din aceleași considerente ca și în triunghiul ABD (catetă și teorema lui Pitagora), în triunghiul ACD obținem că $$h^2=b^2-y^2.$$

L-am obținut, așadar, pe $h$ în două moduri distincte. Și cum $h$ din primul triunghi este egal cu $h$ din al doilea triunghi, avem că $$c^2-x^2=b^2-y^2.$$
Și, n-ați uitat, noi vrem să scăpăm de literele astea nerușinate $x$ și $y$ care ne încurcă ițele și nu ne lasă încă să obținem formula lui Heron fără ele. Vom scăpa întâi de $y$, pe care nu vrem să-l mai vedem. Pentru asta ne vom folosi de faptul că $$y=a-x.$$ Prin urmare, în loc de $$c^2-x^2=b^2-y^2,$$ putem scrie acum $$c^2-x^2=b^2-(a-x)^2.$$

Yuppiii! Am scăpat de $y$!!! Acum ne vom uita urât la $x$, pentru că și de el vrem să scăpăm. Banditul ăsta nu vrea să se lase așa ușor, dar tot o să-i venim de hac și lui. În relația precedentă, vom desface paranteza cu grijă, după formula binecunoscută $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, și vom ține seama de faptul că minusul acela enervant din fața parantezei trebuie să schimbe semnul tuturor termenilor din paranteza pe care o precede. Găsim atunci că $$c^2-x^2=b^2-a^2+2ax-x^2.$$

Aici îl putem reduce pe $-x^2$ din partea stângă a egalității, cu $-x^2$ din partea dreaptă a egalității și obținem ceva foarte drăguț care nu-l mai conține pe $x^2$: $$c^2=b^2-a^2+2ax.$$ Iată că am reușit să-l izolăm pe $x$ și bătălia noastră este aproape câștigată. Pentru a-l scoate pe $x$  din această egalitate, o scriem întâi rotită (pentru că suntem obișnuiți ca necunoscutele să fie în stânga). Mai exact, dacă $ceva=altceva$, atunci și $altceva=ceva$, așadar, putem scrie relația de mai sus mai convenabil: $$b^2-a^2+2ax=c^2.$$

Acum vom arunca numerele cunoscute în partea dreaptă a egalității și vom obține $$2ax=c^2-b^2+a^2.$$ Iar de aici va rezulta, în sfârșit, o formulă ce ne ajută să scăpăm de-acum încolo și de $x$. Astfel, avem că $$\color{blue}{x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}}.$$

Observați că aici $a$ este șeful (apare șmecher la numitor), căci pe el l-am rupt în două când am disecat triunghiul. Iar adjunctul este $c$, căci $x$ se află în dreptul lui $c$. Ultimul rămâne amărâtul de $b$, căci el apare cu minus, săracul.

Ok. Bine, bine, dar ce putem face cu acest $x$ până la urmă? Aaaa, păi, ce, nu vă amintiți la ce ne trebuia $x$? Ne trebuia $x$ ca să îl putem găsi pe $h$! Undeva mai sus am scris că $h^2=c^2-x^2$. Ori, odată ce am reușit să-l scriem pe $x$ în funcție de laturile triunghiului, înseamnă că îl vom putea scrie și pe $h$ în funcție de aceste laturi.

Să fim deci atenți la formula faină pe care o vom obține pentru înălțimea unui triunghi atunci când cunoaștem toate laturile triunghiului. Sunt curios cine va fi și acolo șeful.

Așadar, dacă $h^2=c^2-x^2$, după înlocuirea lui $x$ cu ceea ce am găsit mai sus, vom avea $$\large{\color{blue}{h^2=c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2}}.$$

Mammma mia, ce expresie complicată! Ditamai paranteza la pătrat! Dacă vreți, o rețineți. Aveți aici o formulă (destul de urâtă) cu ajutorul căreia puteți găsi înălțimea unui triunghi atunci când îi cunoașteți laturile. 

Hmmm... Urât! Destul de urât! Trebuie să facem ceva ca să reparăm nedreptatea asta! Ce putem face? Eu văd acolo o diferență de pătrate. Când văd o diferență de pătrate, mă gândesc la formula $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Această formulă ne ajută să scăpăm de pătrate. Și ne mai ajută ea în multe cazuri. Haideți s-o folosim, să vedem ce iese în acest caz. Eu am o diferență de pătrate, între $c^2$ și paranteza la pătrat. Înseamnă că, din formula descompunerii sumei de pătrate în produs de două paranteze, voi obține
$$h^2=\left(c-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(c+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right).$$

Am scăpat de pătratul parantezei, dar parcă, parcă se mai poate face ceva în fiecare paranteză. Hai să aducem la același numitor, să vedem ce obținem. $$h^2=\left(\frac{2ac}{2a}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(\frac{2ac}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right).$$

Acum facem câte un singur numitor în paranteză, avem grijă la semne (semnul minus din fața fracției va schimba semnele de la numărător) și scăpăm de paranteze. Obținem atunci $$h^2=\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a}\cdot\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a}.$$

Așadar, cu prețul unei munci îndelungate, am scăpat de paranteze. Și parcă tot mai vrem ceva. Mai vrem simplitate. Simplitatea apare atunci când aceiași termeni apar de cât mai puține ori. Astfel, eu când văd $2ac-a^2-c^2$ mă gândesc la un pătrat perfect, căci îmi amintesc formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Așadar, când văd $2ac-a^2-c^2$, mă gândesc la $-(a^2-2ac+c^2)$, adică la $-(a-c)^2$. 

Veți înțelege acum de ce formula $$h^2=\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a}\cdot\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a}$$ va deveni $$h^2=\frac{-(a-c)^2+b^2}{2a}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.$$

Dar la numărătorul fracțiilor vedem din nou o diferență de pătrate! Căci formula poate fi rescrisă și astfel $$h^2=\frac{b^2-(a-c)^2}{2a}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.$$

Așadar, cum diferența de pătrate este un produs de paranteze, conform lui $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, rezultă că vom avea:
$$h^2=\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2a}\cdot\frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2a}.$$

Și iată că suntem aproape de final. Căci știm că perimetrul $P=a+b+c$, iar semiperimetrul este $p=\frac{P}{2}$. Asta înseamnă că fiecare dintre parantezele care apar la numărătorul fracției lui $h^2$ poate fi scrisă în funcție de perimetru astfel: $b-a+c=P-2a$, apoi $b+a-c=P-2c$ și, în fine, $a+c-b=P-2b$.

Ce obținem acum? Ceva superb! Iată: $$h^2=\frac{(P-2a)(P-2c)}{2a}\cdot\frac{(P-2b)\cdot P}{2a}.$$ Iar dacă facem aici un pic de ordine, făcând o singură fracție din cele două și ordonând factorii de la numărător, avem ceva și mai simetric: $$h^2=\frac{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}{4a^2}.$$

Deci, după cum v-am promis, dacă extragem radicalul din $h^2$, avem o scumpete de formulă pentru înălțimea unui triunghi când îi cunoaștem laturile:
$$\large{\color{red}{h=\frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{2a}}}.$$

Vedeți că tot $a$ este șeful, deoarece înălțimea triunghiului a fost aleasă ca fiind perpendiculară pe latura de lungime $a$. Dar dacă ne-ar fi trebuit înălțimea dusă pe latura de lungime $b$, șeful ar fi fost $b$-ul, căci roteam triunghiul un pic în sensul de mers al acelor de ceasornic până când jos la bază ajungea latura de lungime $b$.

Ei, ce ziceți? Putem face pasul final, pentru găsirea formulei lui Heron? Acum că știm înălțimea, ne amintim că aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Deci, cum $$A=\frac{ah}{2}=\frac{a}{2}\cdot h,$$ rezultă că $$A=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{2a}.$$

Simplificăm acum cu $a$ și obținem $$A=\frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{4}.$$

Îl introducem acum pe $4$ sub radical și vom avea $$A=\sqrt{\frac{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}{16}}.$$

Pe $16$-le ăsta de sub radical îl putem scrie ca fiind $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, deci ca fiind patru factori de doi. Obținem astfel că $$A=\sqrt{\frac{P}{2}\cdot\frac{P-2a}{2}\cdot\frac{P-2b}{2}\cdot\frac{P-2c}{2}}.$$ Și cum P mare supra doi este tocmai p mic, și cum $$\frac{P-2a}{2}=\frac{P}{2}-\frac{2a}{2}=p-a,$$ obținem, în sfârșit, interesanta formulă a lui Heron: $$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

luni, 15 mai 2017

Scăderea și împărțirea nu sunt asociative


Spre deosebire de adunare și înmulțire, care sunt operații cuminți, adică asociative, la scădere și la împărțire trebuie să avem grijă la paranteze. Altfel spus, în timp ce la adunare nu contează parantezele, căci $$8+4+2=(8+4)+2=8+(4+2)$$ și nici la înmulțire, căci $$8\cdot 4\cdot 2=(8\cdot 4)\cdot 2=8\cdot(4\cdot 2),$$ la scădere (și la împărțire) lucrurile se schimbă dramatic, pentru că scăderea dă rezultate diferite după cum grupăm termenii scăderii. 

Astfel, $$(8-4)-2=4-2=2,$$ pe când $$8-(4-2)=8-2=6.$$ Așadar, la scădere contează unde punem parantezele

Și împărțirea ne face astfel de probleme, obligându-ne să fim mai grijulii, căci $$(8:4):2=2:2=1,$$ în timp ce $$8:(4:2)=8:2=4.$$

Totuși, oamenii au găsit o soluție pentru a evita parantezele astea greoaie. Pentru aceasta, ei au făcut o convenție, adică s-au pus toți la o masă rotundă și au spus așa: „haideți să facem cumva să nu mai folosim paranteze și să ne înțelegem între noi ca atunci când vedem scăderi sau împărțiri fără paranteze, să facem operațiile ÎN ORDINEA ÎN CARE SUNT SCRISE”.

Așadar, ei s-au înțeles ca un calcul de genul $$8-4-2$$ să fie echivalent cu un calcul de genul $$(8-4)-2,$$ iar la împărțire, un calcul de genul $$8:4:2$$ să însemne de fapt calculul $$(8:4):2.$$

Problema este că unii elevi au lipsit de la acea masă rotundă la care s-a convenit regula, așa că unii elevi nu știu cum să facă asemenea calcule. Acesta este motivul pentru care m-am gândit să scriu acest articol, în care dau în vileag ceea ce s-a discutat la acea masă rotundă cândva.

Dar ce putem face cu elevii care lipsesc și de pe acest blog? :)

duminică, 30 aprilie 2017

Simplificarea nu este posibilă în adunare sau scădere!


Dacă aveți fracția $\frac{8}{2}$ sau fracția $\frac{2}{8}$, atunci puteți face simplificarea cu $2$. Dacă aveți fracția $\frac{6\cdot 2}{2}$, atunci din nou puteți face simplificarea cu $2$. 

Dar dacă aveți fracția $\frac{6+2}{2}$, aici NU PUTEȚI face simplificarea brută, pentru că obțineți un rezultat greșit! De asemenea, nici în fracția $\frac{6-2}{2}$ nu puteți face simplificarea brută, din același motiv ca la adunare.

Ca să vă convingeți, haideți să facem calculele în cazul simplificărilor greșite. Dacă am calcula fracția $\frac{6+2}{2}$ fără simplificare, am obține rezultatul corect $$\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Dar dacă am face simplificarea greșită, am obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{6+1}{1}=7.\text{ FALS!!!}$$  
De asemenea, tot un rezultat greșit am obține și în cazul scăderii $$\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2\neq\frac{6-1}{1}=5.$$

Dacă, totuși, vreți să faceți simplificarea cu orice preț și la adunare sau scădere, atunci va trebui să dați FACTOR COMUN, ca să iasă până la urmă tot înmulțire. Mai exact, în fracția $\frac{6+2}{2}$, pot da un factor comun la numărător (acolo unde este adunare sau scădere) și voi obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{2\cdot 3+2\cdot 1}{2}=\frac{2\cdot(3+1)}{2}=\frac{3+1}{1}=4.$$

Observați că am făcut simplificarea cu $2$ fără să greșesc, căci am simplificat FACTORUL $2$, nu TERMENUL $2$. Factorii sunt expresii între care se face înmulțire (sau împărțire), iar termenii sunt expresii între care se face adunare (sau scădere). Așadar, pe viitor fiți atenți la simplificări.

marți, 25 aprilie 2017

Planșele conțin esențialul


Dacă vreodată aveți chef de răsfoit netul după puțină matematică, vă sfătuiesc să vă orientați și după PLANȘE. Planșele conțin foarte multă informație condensată pe suprafață mică. Doar că ele sunt utile în special celui care le înțelege, adică celui care s-a lovit deja de câteva elemente prezentate pe planșa respectivă. Însă, oricât de greu de înțeles ar fi ele datorită densității (de regulă, informația foarte densă este mai greu de înțeles), merită să aruncați o privire și spre asemenea planșe. Studiindu-le, veți constata ce multă informație conțin ele și ce efort de abstractizare a depus profesorul care le-a întocmit străduindu-se să înghesuie cât mai multe cunoștințe importante în cât mai puțin spațiu.

duminică, 16 aprilie 2017

Să se deducă formula volumului pentru trunchiul de piramidă


Să presupunem că la un examen ați primi această problemă, aceea de a deduce că volumul trunchiului de piramidă este dat de formula
$$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right).$$

Sau poate că nu vă amintiți formula cu precizie și doriți să o deduceți din alte cunoștințe precedente pe care le aveți. Cum ați proceda? Ce cunoștințe precedente (învățate deja) ați folosi pentru a o deduce?

Păi, pornim întâi de la faptul că un trunchi de piramidă este o piramidă fără vârf. Ceva asemănător cu faptul că un trapez este un triunghi fără vârf. Adică, dacă la o piramidă pregătită de tăiere




cineva (un bun spadasin) îi retează în viteză cu o sabie ascuțită rău de tot partea de sus (paralel cu planul de jos), va rezulta un trunchi de piramidă foarte drăguț și cuminte:




Important este acum să observăm că „partea de sus”, cea retezată după planul roșu (sper că nu e de la sânge!), este tot o piramidă. Și, culmea, că această piramidă este sora mai mică a piramidei mari, în sensul că seamănă foarte mult prin ceva cu piramida mai mare din care a provenit trunchiul de piramidă.

Oare prin ce seamănă piramida mică cu piramida mare? Este important să stabilim asta, ca să putem duce mai departe raționamentul. Ei bine, vorbeam mai sus de „cunoștințe precedente”. Una dintre cunoștințele precedente de care avem nevoie pentru a putea deduce volumul trunchiului de piramidă este teorema lui Thales, adică teorema care ne va spune că fețele laterale ale piramidei mici (fețe care sunt întotdeauna triunghiuri) sunt asemenea cu fețele laterale ale piramidei mari.

Asta înseamnă că raportul (deci, împărțirea) dintre o latură a triunghiului mic (triunghi care este față laterală a piramidei mici) și o latură corespunzătoare din triunghiul mare (triunghiul mare este o față laterală a piramidei mari) este la fel (este egal) ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și latura corespunzătoare din triunghiul mare. Acest raport este un număr care poartă un nume clar: raportul de asemănare. El este numărul care arată prin ce se aseamănă sora mai mică cu sora cea mare, deci arată prin ce se aseamănă cele două piramide. Haideți să notăm acest raport cu $k$ și să vedem ce relații cantitative determină acesta.

Bineînțeles, nu doar fețele laterale sunt asemenea, ci chiar și bazele celor două piramide, adică podelele lor, precum și triunghiurile corespunzătoare care conțin înălțimile celor două piramide surori. Așadar, atât laturile bazelor sunt proporționale, cât și înălțimile piramidelor sunt proporționale în același raport de asemănare. Mai exact, dacă notăm cu minuscule laturile corespunzătoare ale piramidei mici și cu majuscule laturile piramidei mari, avem că $$\frac{l}{L}=\frac{h}{H}=k.$$

Acum e momentul să ne amintim de o altă cunoștință precedentă necesară pentru calculele noastre: dacă două triunghiuri (și, în consecință, două figuri plane oarecare) sunt asemenea și au raportul de asemănare egal cu $k$, atunci și ariile lor sunt proporționale, iar raportul lor este $k^2$. Acest fapt ne va permite să deducem că raportul de asemănare este tocmai radicalul raportului dintre ariile podelelor și ne vom apropia astfel de formula volumului trunchiului de piramidă. 

Pentru aceasta, vom nota cu $a$ aria podelei mici (podeaua roșie) și cu $A$ aria podelei mari (podeaua albastră). Cu aceste notații, putem scrie $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Desigur, $h$ este aici înălțimea piramidei mici, adică este numărul care ne arată cât de înaltă este piramida mică, deci ne arată câți centimetri sunt pe verticală de la podeaua piramidei mici până la vârful acesteia, iar $H$ este înălțimea piramidei mari. Din aceste două înălțimi putem afla ușor cât este înălțimea trunchiului de piramidă, pe care o notăm cu $d$ (de la distanța dintre cele două podele): $$d=H-h.$$

Așadar, cât este volumul trunchiului de piramidă (notat cu $V_t$)? Este volumul piramidei mari (notat cu $V$) minus volumul piramidei mici, notat cu $v$. Deci, $$V_t=V-v.$$ 

De aici încolo ne mai amintim cât este volumul unei piramide, iar restul este calcul algebric. Dar volumul unei piramide este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și înălțime, adică volumul piramidei mari este $$V=\frac{A\cdot H}{3},$$ iar al piramidei mici este $$v=\frac{a\cdot h}{3}.$$

Drept urmare, volumul trunchiului de piramidă va fi $$V_t=V-v=\frac{AH}{3}-\frac{ah}{3}=\frac{AH-ah}{3}.$$ Acum, în această formulă am dori să dispară înălțimea piramidei mari și a celei mici și am dori să apară înălțimea trunchiului de piramidă pentru că înălțimile piramidelor nu sunt parametri importanți, ci secundari, care nu prea ni se dau în probleme atunci când ni se cere volumul trunchiului. Mult mai importantă și mai relevantă este înălțimea trunchiului în asemenea probleme, așa că dorim ca formula noastră să conțină doar înălțimea trunchiului (și ariile podelelor), nu înălțimile piramidelor. Cum să procedăm ca să dispară $H$ și $h$ din formulă?

Ne folosim de cunoștințele precedente, materializate prin relațiile de mai sus: $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}$$ și $$d=H-h.$$ Cum, într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obținem că $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Astfel, scăpăm pentru început de $h$, căci peste tot unde vom găsi $h$ îl vom putea înlocui cu $H\sqrt{\frac{a}{A}}$. Mai exact, avem că $$d=H-H\sqrt{\frac{a}{A}}=H\left(1-\sqrt{\frac{a}{A}}\right).$$ Dar de aici îl putem scoate pe $H$ în funcție de $d$ și astfel vom scăpa și de $H$. Mai exact, după amplificarea cu $\sqrt{A}$, avem că $$H=\frac{d}{1-\sqrt{\frac{a}{A}}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Atunci, $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Se observă deja o oarecare simetrie. Numitorii celor două înălțimi sunt aceiași, iar numărătorii depind de radicalul ariei mari sau mici, după cum este și înălțimea mare sau mică. Cu această realizare, am scris înălțimile piramidelor în funcție de parametrii importanți ai trunchiului de piramidă.

Deci de-acum suntem boieri, căci acum avem cu ce să-l înlocuim atât pe $h$, cât și pe $H$. Atunci, formula volumului trunchiului de piramidă va deveni $$V_t=\frac{AH-ah}{3}=\frac{A\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-a\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}}{3}.$$

Aici putem scoate factorul comun $\frac{d}{3}$. Atunci, formula devine parcă mai compactă: $$V_t=\frac{d}{3}\left(\frac{A\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\right).$$

Și cum numitorii sunt aceiași, mai putem scrie $$V_t=\frac{d}{3}\frac{A\sqrt{A}-a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Aoleu! Ce formulă-i asta?! Păi, nu trebuia să obținem formula de la început, adică $$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)?$$

Stați așa, nu vă grăbiți! Ajungem și la formula de început dacă vom observa că $A\sqrt{A}=\sqrt{A^3}=\left(\sqrt{A}\right)^3$ și, respectiv, $a\sqrt{a}=\sqrt{a^3}=\left(\sqrt{a}\right)^3$. Haideți să notăm pe $\sqrt{A}$ cu $x$, iar pe $\sqrt{a}$ cu $y$, ca să ne fie mai ușor să observăm ceva. Cu aceste notații, am obținut că formula volumului trunchiului de piramidă este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}.$$

Ei bine, iar acum ne trebuie ultima „cunoștință precedentă” ce constă în formula de calcul prescurtat $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$ valabilă pentru $x\neq y$. Cu această formulă, putem scrie că volumul trunchiului este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}=V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}.$$

Dar acum putem simplifica cu $x-y$, căci podeaua de sus nu este la fel de mare ca podeaua de jos, ci au arii diferite, deci $x-y$ nu este zero (cu zero nu putem face simplificări, căci $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare). Așadar, formula volumului trunchiului devine $$V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2).$$

Iar dacă ținem seama că am notat cu $x$ pe $\sqrt{A}$ și cu $y$ pe $\sqrt{a}$ și cum $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$, obținem că $$V_t=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2)=\frac{d}{3}\left(A+\sqrt{A}\sqrt{a}+a\right),$$ adică tocmai formula de la început: $$\color{red}{V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)}.$$

În sfârșit!

Ei, nu-i așa că mai bine faceți un mic efort să o însușiți, decât să vă apucați de asemenea calcule pentru a v-o reaminti când aveți nevoie?

Observați că această formulă finală (deci, fără numitor) este valabilă și pentru cazul când cele două „podele” devin egale, adică $a=A$, caz în care trunchiul de piramidă devine o prismă. E suficient ca, în loc de $a$ să puneți $A$ și veți obține volumul prismei dat de $V_p=dA$. Totodată, această formulă este valabilă și pentru cazul când podeaua de sus devine mică, mică de tot, chiar zero, caz în care trunchiul se transformă în piramidă. Altfel spus, dacă știți volumul trunchiului de piramidă, atunci știți și volumul prismei și volumul piramidei.

O mică recapitulare: pentru a deduce formula volumului trunchiului de piramidă, am avut nevoie de teorema lui Thales, apoi de faptul că raportul de asemănare este radicalul raportului ariilor, ne-a mai trebuit formula volumului pentru o piramidă, iar în final am folosit formula de calcul prescurtat a diferenței cuburilor.

vineri, 17 martie 2017

La ce este bună matematica?


Iată una dintre cele mai grele întrebări pe care mi le-au pus vreodată elevii cărora le predau (deocamdată, în particular) de-a lungul anilor. Și m-am descurcat destul de greu și nu am fost mulțumit niciodată de calitatea răspunsului pe care li-l dădeam.

Recent însă, am găsit un răspuns ceva mai convingător, care se pare că lasă urme  mai serioase în mintea lor prețioasă. Mi-am adus aminte de răspunsul pe care l-a dat marele fizician Michael Faraday atunci când a fost întrebat despre utilitatea inducției electromagnetice pe care a descoperit-o atunci. Pe vremea lui Faraday, când încă nu erau concepute generatoarele electrice și nu se întrezărea nimic din viitorul descoperirii sale, oamenii n-aveau cum să înțeleagă importanța descoperirii acestui mare savant. Așa că i s-a pus în mod firesc și această întrebare, oarecum jignitoare: „Domnule Faraday, la ce este bună descoperirea dumneavoastră?”. Dar, înțelegător, Faraday a răspuns tot cu o întrebare: „La ce este bun un nou-născut?”.

Chiar așa! La ce este bun un nou-născut? La ce bun ca părinții unui nou-născut să se chinuiască din greu cu acesta, dându-i păpică, schimbându-i scutecele, trezindu-se în toiul nopții datorită plânsetului insistent și ducându-l la doctor ori de câte ori se impune? Nou-născutul nu produce nimic, ci doar consumă. Așadar, după o logică superficială, nou-născutul nu este bun de nimic.

La fel este și matematica pentru unii elevi (în special, pentru cei de gimnaziu): o corvoadă, care le dă numai bătăi de cap, le consumă timpul și nu le aduce nicio satisfacție. La fel precum un nou-născut, matematica cere multă atenție, cere mult timp și nu dă mai nimic în schimb, la început. Matematica este ca o duzină de injecții dureroase pe care trebuie să le iei ca să te însănătoșești viguros. Așa că elevii de gimnaziu au tot dreptul să fie revoltați că sunt bătuți la cap cu o asemenea povară.

Dar, dragii mei, nou-născutul acela va crește mare peste câțiva ani și poate va deveni un geniu, precum acel Faraday ce a dat omenirii inducția electromagnetică (și Faraday a fost cândva un nou-născut, nu-i așa?). Matematica voastră, pentru care suferiți atât de mult acum, va crește și ea mare în mintea voastră, dacă veți avea răbdarea necesară, se va cristaliza și vă va permite să aveți o perspectivă mai deplină asupra lumii înconjurătoare. Vă va permite să vă alegeți locuri de muncă bine plătite și vă va permite să construiți tehnologia viitorului.

Ce ne-am fi făcut fără matematică? Ce era omenirea fără această abundență de informații ascunse în matematică? Cum am mai fi construit noi telefoane mobile, avioane sau nave cosmice? Nicicum. Ar fi trebuit să ne mulțumim în continuare cu un trai asemănător cu al animalelor și cu o viziune îngustă asupra realității.

Într-adevăr, pentru a mătura strada sau pentru a da la târnăcop nu vei avea nevoie de matematică. Dar dacă vei dori ceva mai mult, atunci împrietenește-te urgent cu această Știință minunată, ca să nu pierzi ani prețioși pe care i-ai putea regreta în viitor. 

Așadar, nu lăsa niște profesori nepricepuți să-ți distrugă viitorul prin simplul fapt că nu au darul să te facă să înțelegi ceva atât de clar precum este matematica. Dacă ei nu pot, caută singur. Este ghinionul tău că ai avut profesori slabi, dar nu lăsa acest ghinion să-și întindă ghearele asupra întregului tău viitor. Ia măsuri, fă eforturi, fă ceva ca să înțelegi matematica, dedică-i timp, căci matematica este o materie de referință în societate, fără de care nu poți face o mulțime de lucruri interesante.

duminică, 12 martie 2017

Aria triunghiului în geometria analitică plană



Am furat de la domnul profesor Chris Mizell această minunăție de applet și l-am modificat puțin ca să se vadă și pe telefoane.



Appletul vă arată cum se determină aria unui triunghi atunci când cunoașteți coordonatele din plan ale vârfurilor sale.

Redescoperiți aici determinantul 

$$\Delta =

\begin{vmatrix}

x_A& y_A & 1 \\

x_B & y_B & 1 \\

x_C & y_C & 1 \\

\end{vmatrix}$$

format cu coordonatele vârfurilor triunghiului, despre care am mai discutat deja într-un alt articol. Desigur, faptul că matricea din applet este transpusă nu modifică valoarea determinantului, căci determinantul unei matrice este egal și cu determinantul matricei transpuse.

Mi-ar plăcea să știu că vă jucați cu acest applet, trăgând încoace și încolo de vârfurile triunghiului. 

De asemenea, mi-ar plăcea să observați ce se întâmplă cu determinantul atunci când reușiți să aliniați în așa fel vârfurile triunghiului încât acestea să devină coliniare. Veți reuși astfel să înțelegeți care este în geometria analitică plană condiția de coliniaritate a trei puncte din plan.

miercuri, 15 februarie 2017

Numărul lui Euler și dobânda la o bancă ideală


Există în analiza matematică un număr ciudat și foarte important, numit „numărul lui Euler” și notat cu „e”, în onoarea marelui matematician care a descoperit o mulțime de proprietăți legate de acest număr. 

Nu Euler a descoperit numărul e, ci Jacob Bernoulli, în timp ce acesta studia probleme financiare legate de rata dobânzilor. Mai exact, Bernoulli și-a pus următoarea problemă:
-dacă aș depune un leu la o bancă ideală, corectă, care mi-ar calcula o dobândă de 100% pe an, dar nu doar o dată pe an, ci în fiecare lună, în fiecare zi, în fiecare oră, în fiecare minut, în fiecare secundă și așa mai departe, atunci cât aș primi după un an de la acea bancă ideală?

Desigur, un răspuns rapid ar fi că după un an ai primi în total doi lei de la bancă, din moment ce dobânda calculată la un leu este de 100%. Așa este, ar fi doi lei, dar asta în condițiile unei bănci care nu face efortul să-ți calculeze dobânda în fiecare moment al anului, ci doar după un an.

Dar cum ar fi dacă banca ar aplica dobânda de 100% pe an în fiecare lună sau în fiecare zi sau în fiecare oră sau în fiecare minut sau chiar în fiecare secundă? Tot doi lei aș primi de la bancă la sfârșit de an? Nici vorbă! Aș primi mai mult. Dar cât de mult aș primi de la bancă? Crește suma oricât de mult pe măsură ce micșorăm intervalul de timp pentru care calculăm dobânda? Sau există o limită superioară pe care n-o depășește niciodată, de exemplu, 3 lei?


Lunar

Păi, să vedem cum ar face calculele o asemenea bancă ideală. Pentru început, ca să capete prestigiu de corectitudine, șeful băncii și-ar putea propune să recalculeze și să aplice dobânda lunar la suma apărută. Ar însemna atunci că dobânda de 100% dintr-un an ar trebui s-o împartă la 12 și să aplice această dobândă în fiecare lună. 

Astfel, după prima lună, în cont s-ar strânge un leu, plus încă a douăsprezecea parte dintr-un leu. Adică, s-ar strânge $$l_1=1+\frac{1}{12}.$$ În a doua lună deja ar trebui aplicată dobânda la această sumă nou apărută, adică ar trebui să adunăm la această sumă a douăsprezecea parte din noua sumă. Așadar, în luna a doua am avea în cont suma de $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}.$$

Bineînțeles, în a treia lună am avea în cont suma de $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12},$$ după a șaptea lună am avea în cont suma de $$l_7=l_6+\frac{l_6}{12}$$ și așa mai departe, astfel încât în ultima lună am avea în cont suma de $$l_{12}=l_{11}+\frac{l_{11}}{12}.$$

Vrem să vedem cum arată mai exact acest rezultat. Calculăm mai amănunțit, ca să nu mai vedem rezultate intermediare precum au fost $l_7$, ci să vedem rezultatul final în funcție de leul acela depus inițial. Știind că $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12},$$ după care dând factor comun pe $l_1$ și înlocuindu-l pe $l_1$ cu $1+\frac{1}{12}$, obținem că 
$$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}=l_1\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2.$$

Deci, în luna a doua a apărut acea paranteză la puterea a doua. Oare cum va fi în luna a treia? În luna a treia avem $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12}=l_2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^3.$$

Și, bineînțeles, în ultima lună paranteza aceasta magică va apărea la puterea a douăsprezecea, adică va fi $$\color{blue}{l_{12}=\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}}.$$ O fi oare numărul acesta mai mare și mai corect decât dacă șeful băncii nu s-ar fi complicat cu împărțirea dobânzii totale la 12 luni? Bineînțeles, dacă veți face calculul cu un calculator, veți constata că $$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2,613,$$ deci mult mai mare decât acei 2 lei pe care i-am fi primit de la o bancă ursuză căreia i-ar fi fost lene să facă aceste calcule lunar.


Zilnic

Dar ce s-ar întâmpla dacă șeful băncii noastre ideale (hai să-i spunem „banca lui Bernoulli”) ar decide că poate să fie și mai corect în aplicarea dobânzii și că ar fi mai bine dacă ar reface calculele în fiecare zi, nu în fiecare lună? 

Bineînțeles, după cum deja cred că intuiți, atunci suma finală se va obține înlocuind în suma precedentă pe $12$ (care a reprezentat numărul de luni dintr-un an) cu $365$ (care reprezintă numărul de zile dintr-un an obișnuit).

Așadar, banca noastră și mai corectă ne-ar da la sfârșit de an după un leu, de fapt suma $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2,714}.$$



Pe ore

În fine, pentru că acum ați înțeles ce se întâmplă, dacă șeful băncii s-ar încăpățâna să facă pe eroul, ar recalcula dobânda în fiecare oră, iar la sfârșit de an ne-ar oferi suma de $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2,718}.$$ 

Mai departe, văzând că efortul de calcul devine sisific, iar contribuția suplimentară la suma finală devine insignifiantă, probabil că șeful băncii lui Bernoulli va decide că este mai rațional și mai realist să se oprească aici, căci oricum banca lui va fi câștigat deja prestigiul de bancă excelentă și foarte corectă.



Desigur, un matematician zelos va căuta totuși să vadă ce e cu numărul acesta ciudat de care se apropie suma de la sfârșit de an pe măsură ce împărțim acest an în intervale de timp egale din ce în ce mai mici. Astfel, el va scrie o expresie chinezească foarte complicată și va spune că numărul de care se apropie suma finală este $$\color{red}{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.$$ Acesta este fascinantul număr al lui Euler, care apare în matematică alături de numărul $\pi$ ca să nu ne lase să ne plictisim.

marți, 7 februarie 2017

Dacă știți una, le știți și pe celelalte


Să presupunem că ați reținut o singură formulă trigonometrică de trecere de la sumă la produs și ați vrea să le puteți deduce pe celelalte. Să presupunem, deci, că ați reținut-o pe cea mai frumoasă, adică pe următoarea:
$$\large{\color{red}{\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Ca să le puteți afla pe celelalte trebuie să vă amintiți două lucruri care sunt mult mai ușor de reținut decât toate formulele-astea urâte de trecere de la sumă la produs.

Primul lucru pe care va trebui să vi-l amintiți este paritatea funcțiilor trigonometrice, adică faptul că sinus de minus ceva este minus sinus de acel ceva, adică $\sin(-ceva)=-\sin ceva$ și că cosinus de minus ceva este ca și cosinus fără minus, adică $\cos(-x)=\cos x$ (minusul iese în față la sinus, iar la cosinus dispare). Asta înseamnă cu alte cuvinte, mai chinezești, că funcția sinus este funcție impară, iar funcția cosinus este funcție pară.


Al doilea lucru ce trebuie să vi-l amintiți este o metodă de a putea trece ușor de la sinus la cosinus sau invers. Această metodă este foarte simplă și anume: $\sin(ceva)=\cos(90^\circ-ceva)$ și $\cos(ceva)=\sin(90^\circ-ceva)$.


Haideți acum să folosim aceste două chestii faine ca să deducem celelalte urâțenii de formule de trecere de la sumă la produs. Pentru început, să presupunem că ne interesează cât ar fi $$\sin a-\sin b$$, când noi știm doar cât este $\sin a+\sin b$, după cum am văzut mai sus. Ne folosim de paritatea funcției sinus, citită în sens invers, adică ne folosim de faptul că $-\sin x=\sin(-x)$. Așa vom putea transforma scăderea în adunare și ne vom putea folosi de formula frumoasă cu adunare.

Așadar, $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b).$$ Altfel spus, dacă vrem să obținem formula pentru scădere, este suficient ca în loc de $b$ să punem în formula pentru adunare pe $-b$. Vom obține atunci $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b)=2\sin\frac{a+(-b)}{2}\cos\frac{a-(-b)}{2},$$ adică $$\large{\color{blue}{\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a+b}{2}}}.$$


Acum să presupunem că ne interesează cât este $$\cos a+\cos b$$ ca și produs de funcții trigonometrice. Ne amintim cum trecem de la cosinus la sinus și avem $$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b).$$ Iată, deci, că am reușit să transformăm suma de cosinuși în suma de sinuși. Ne folosim, deci, de formula frumoasă a sumei de sinuși care ne spune, după cum ați văzut chiar la început, că $$\sin ceva+\sin altceva=2\sin\frac{ceva+altceva}{2}\cos\frac{ceva-altceva}{2}.$$

Acum, ceva-ul nostru este $90^\circ-a$, iar altceva-ul nostru este $90^\circ-b$. Atunci 

$$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b)=\\

=2\sin\frac{90^\circ-a+90^\circ-b}{2}\cos\frac{90^\circ-a-(90^\circ-b)}{2}=\\

2\sin\frac{180^\circ-a-b}{2}\cos\frac{-a+b}{2}.$$

Aranjând convenabil prima fracție, putem să-l împărțim separat pe 180 la 2 (care va deveni 90) și obținem ceva interesant: $$\cos a+\cos b=2\sin\left(\frac{180^\circ}{2}-\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(-\frac{a-b}{2}\right),$$ adică $$\cos a+\cos b=2\sin\left(90^\circ-\frac{a+b}{2}\right)\cos\frac{a-b}{2}.$$
Observați că la cosinus am folosit deja paritatea și am scăpat de minusul din fața fracției, deci am scăpat de paranteză (nu întotdeauna ne plac parantezele).

De aici încolo mă folosesc de transformarea lui $\sin(90^\circ-ceva)$ în $\cos(ceva)$ și obțin, în sfârșit, o altă formulă faină: $$\large{\color{blue}{\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Iar dacă veți lupta în mod asemănător ca să găsiți o formulă pentru scăderea cosinușilor, veți obține că $$\large{\color{blue}{\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}}.$$


Așadar, nu le tociți pe toate. Faceți legături frumoase între ele și rețineți-le pe cele care vă atrag cel mai mult. Iar la un examen aveți mari șanse să vă amintiți cum să le deduceți. Și ați văzut că nu ar trebui să vă ia prea mult timp ca să le deduceți, dacă știți de-acum metoda.

sâmbătă, 28 ianuarie 2017

Bacalaureat, V39SIP6 (arie triunghi dreptunghic special)

Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de $60^\circ$ și ipotenuza de lungime $8$.





Aria unui triunghi dreptunghic? Hmmm... Ce știți despre aria unui triunghi dreptunghic? Cum o calculăm? Vă amintiți ceva formule pentru aria unui triunghi dreptunghic?

În general, aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Dar în cazul triunghiului dreptunghic avem o formulă mai concretă. Aria unui triunghi dreptunghic este „cateta unu ori cateta doi supra doi”. Deci, ca să găsim aria unui triunghi dreptunghic, înmulțim cele două catete, iar rezultatul îl împărțim la doi.

Ok, deci ne trebuie cele două catete ale triunghiului nostru dreptunghic. Off... Dar examinatorul ne-a dat doar ipotenuza! De ce? Ne-a dat exact ceea ce nu ne trebuie! Căci nouă ne-ar trebui catetele...

Da, recunosc, examinatorul pare un om rău, căci nu ne-a dat catetele. Totuși, este bun pentru că ne-a dat și un unghi. Mai mult de atât, este un om și mai bun decât ne-am imaginat, deoarece unghiul pe care ni l-a dat nu este unui aiurea de 43,5 grade să zicem, ci este un unghi foarte frumos, adică un unghi „normal”, de 60 de grade, despre care știm foarte multe.

Ce știm despre unghiul de 60 de grade? Păi, îi cunoaștem sinusul (radical din trei supra doi) și îi cunoaștem cosinusul (unu pe doi). Cunoscând sinusul sau cosinusul, putem afla oricare dintre catete, dacă ne amintim că sinusul este „cateta opusă supra ipotenuză” sau cosinusul este „cateta alăturată supra ipotenuză”. Apoi, după ce am aflat catetele, avem tot ce ne trebuie pentru a calcula aria, desigur (cu formula „catetă ori catetă supra doi”). 

Am putea să mergem și pe linia asta, a calculării catetelor, dar mai interesant ar fi să ne mai reamintim o proprietate faină a unui triunghi dreptunghic care are un unghi special, de 60 de grade, proprietate pentru care nu aveți nevoie de cunoștințe de trigonometrie, cu sinus și cosinus. Acestei proprietăți i se mai spune „teorema 30, 60, 90”. Teorema spune că într-un triunghi dreptunghic special, în care există un unghi de 60 de grade, cateta mică este jumătate din ipotenuză.

Deci, dacă ni s-a dat ipotenuza și un unghi de 60 de grade, atunci automat putem trage concluzia că una dintre catete (cea mai micuță) este jumătate din ipotenuză, adică în cazul nostru, jumătate din 8, deci 4. Una dintre catete este 4. 

Mai rămâne să aflăm cealaltă catetă. Tot cu mijloace simple, precum este teorema lui Pitagora, teoremă foarte importantă într-un triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora ne spune că suma pătratelor catetelor este tocmai pătratul ipotenuzei. Așadar, dacă notăm cateta necunoscută cu $x$, atunci teorema lui Pitagora ne va spune că $$4^2+x^2=8^2.$$
Deci, $16+x^2=64$, deci $x^2=64-16=48$. Iar dacă ceva la pătrat este 48, atunci numai ceva-ul acela neridicat la pătrat va fi radical din 48. Astfel, cateta necunoscută este $$x=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$ 

Bun. Deci, una dintre catete este $4$, iar cealaltă este $4\sqrt{3}$. Cât va fi atunci aria căutată? Am văzut mai sus că aria este semiprodusul catetelor. Așadar, $$A=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\color{red}{8\sqrt{3}}.$$