Faceți căutări pe acest blog

duminică, 30 aprilie 2017

Simplificarea nu este posibilă în adunare sau scădere!


Dacă aveți fracția $\frac{8}{2}$ sau fracția $\frac{2}{8}$, atunci puteți face simplificarea cu $2$. Dacă aveți fracția $\frac{6\cdot 2}{2}$, atunci din nou puteți face simplificarea cu $2$. 

Dar dacă aveți fracția $\frac{6+2}{2}$, aici NU PUTEȚI face simplificarea brută, pentru că obțineți un rezultat greșit! De asemenea, nici în fracția $\frac{6-2}{2}$ nu puteți face simplificarea brută, din același motiv ca la adunare.

Ca să vă convingeți, haideți să facem calculele în cazul simplificărilor greșite. Dacă am calcula fracția $\frac{6+2}{2}$ fără simplificare, am obține rezultatul corect $$\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Dar dacă am face simplificarea greșită, am obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{6+1}{1}=7.\text{ FALS!!!}$$  
De asemenea, tot un rezultat greșit am obține și în cazul scăderii $$\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2\neq\frac{6-1}{1}=5.$$

Dacă, totuși, vreți să faceți simplificarea cu orice preț și la adunare sau scădere, atunci va trebui să dați FACTOR COMUN, ca să iasă până la urmă tot înmulțire. Mai exact, în fracția $\frac{6+2}{2}$, pot da un factor comun la numărător (acolo unde este adunare sau scădere) și voi obține $$\frac{6+2}{2}=\frac{2\cdot 3+2\cdot 1}{2}=\frac{2\cdot(3+1)}{2}=\frac{3+1}{1}=4.$$

Observați că am făcut simplificarea cu $2$ fără să greșesc, căci am simplificat FACTORUL $2$, nu TERMENUL $2$. Factorii sunt expresii între care se face înmulțire (sau împărțire), iar termenii sunt expresii între care se face adunare (sau scădere). Așadar, pe viitor fiți atenți la simplificări.

marți, 25 aprilie 2017

Planșele conțin esențialul


Dacă vreodată aveți chef de răsfoit netul după puțină matematică, vă sfătuiesc să vă orientați și după PLANȘE. Planșele conțin foarte multă informație condensată pe suprafață mică. Doar că ele sunt utile în special celui care le înțelege, adică celui care s-a lovit deja de câteva elemente prezentate pe planșa respectivă. Însă, oricât de greu de înțeles ar fi ele datorită densității (de regulă, informația foarte densă este mai greu de înțeles), merită să aruncați o privire și spre asemenea planșe. Studiindu-le, veți constata ce multă informație conțin ele și ce efort de abstractizare a depus profesorul care le-a întocmit străduindu-se să înghesuie cât mai multe cunoștințe importante în cât mai puțin spațiu.

duminică, 16 aprilie 2017

Să se deducă formula volumului pentru trunchiul de piramidă


Să presupunem că la un examen ați primi această problemă, aceea de a deduce că volumul trunchiului de piramidă este dat de formula
$$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right).$$

Sau poate că nu vă amintiți formula cu precizie și doriți să o deduceți din alte cunoștințe precedente pe care le aveți. Cum ați proceda? Ce cunoștințe precedente (învățate deja) ați folosi pentru a o deduce?

Păi, pornim întâi de la faptul că un trunchi de piramidă este o piramidă fără vârf. Ceva asemănător cu faptul că un trapez este un triunghi fără vârf. Adică, dacă la o piramidă pregătită de tăiere




cineva (un bun spadasin) îi retează în viteză cu o sabie ascuțită rău de tot partea de sus (paralel cu planul de jos), va rezulta un trunchi de piramidă foarte drăguț și cuminte:




Important este acum să observăm că „partea de sus”, cea retezată după planul roșu (sper că nu e de la sânge!), este tot o piramidă. Și, culmea, că această piramidă este sora mai mică a piramidei mari, în sensul că seamănă foarte mult prin ceva cu piramida mai mare din care a provenit trunchiul de piramidă.

Oare prin ce seamănă piramida mică cu piramida mare? Este important să stabilim asta, ca să putem duce mai departe raționamentul. Ei bine, vorbeam mai sus de „cunoștințe precedente”. Una dintre cunoștințele precedente de care avem nevoie pentru a putea deduce volumul trunchiului de piramidă este teorema lui Thales, adică teorema care ne va spune că fețele laterale ale piramidei mici (fețe care sunt întotdeauna triunghiuri) sunt asemenea cu fețele laterale ale piramidei mari.

Asta înseamnă că raportul (deci, împărțirea) dintre o latură a triunghiului mic (triunghi care este față laterală a piramidei mici) și o latură corespunzătoare din triunghiul mare (triunghiul mare este o față laterală a piramidei mari) este la fel (este egal) ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și latura corespunzătoare din triunghiul mare. Acest raport este un număr care poartă un nume clar: raportul de asemănare. El este numărul care arată prin ce se aseamănă sora mai mică cu sora cea mare, deci arată prin ce se aseamănă cele două piramide. Haideți să notăm acest raport cu $k$ și să vedem ce relații cantitative determină acesta.

Bineînțeles, nu doar fețele laterale sunt asemenea, ci chiar și bazele celor două piramide, adică podelele lor, precum și triunghiurile corespunzătoare care conțin înălțimile celor două piramide surori. Așadar, atât laturile bazelor sunt proporționale, cât și înălțimile piramidelor sunt proporționale în același raport de asemănare. Mai exact, dacă notăm cu minuscule laturile corespunzătoare ale piramidei mici și cu majuscule laturile piramidei mari, avem că $$\frac{l}{L}=\frac{h}{H}=k.$$

Acum e momentul să ne amintim de o altă cunoștință precedentă necesară pentru calculele noastre: dacă două triunghiuri (și, în consecință, două figuri plane oarecare) sunt asemenea și au raportul de asemănare egal cu $k$, atunci și ariile lor sunt proporționale, iar raportul lor este $k^2$. Acest fapt ne va permite să deducem că raportul de asemănare este tocmai radicalul raportului dintre ariile podelelor și ne vom apropia astfel de formula volumului trunchiului de piramidă. 

Pentru aceasta, vom nota cu $a$ aria podelei mici (podeaua roșie) și cu $A$ aria podelei mari (podeaua albastră). Cu aceste notații, putem scrie $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Desigur, $h$ este aici înălțimea piramidei mici, adică este numărul care ne arată cât de înaltă este piramida mică, deci ne arată câți centimetri sunt pe verticală de la podeaua piramidei mici până la vârful acesteia, iar $H$ este înălțimea piramidei mari. Din aceste două înălțimi putem afla ușor cât este înălțimea trunchiului de piramidă, pe care o notăm cu $d$ (de la distanța dintre cele două podele): $$d=H-h.$$

Așadar, cât este volumul trunchiului de piramidă (notat cu $V_t$)? Este volumul piramidei mari (notat cu $V$) minus volumul piramidei mici, notat cu $v$. Deci, $$V_t=V-v.$$ 

De aici încolo ne mai amintim cât este volumul unei piramide, iar restul este calcul algebric. Dar volumul unei piramide este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și înălțime, adică volumul piramidei mari este $$V=\frac{A\cdot H}{3},$$ iar al piramidei mici este $$v=\frac{a\cdot h}{3}.$$

Drept urmare, volumul trunchiului de piramidă va fi $$V_t=V-v=\frac{AH}{3}-\frac{ah}{3}=\frac{AH-ah}{3}.$$ Acum, în această formulă am dori să dispară înălțimea piramidei mari și a celei mici și am dori să apară înălțimea trunchiului de piramidă pentru că înălțimile piramidelor nu sunt parametri importanți, ci secundari, care nu prea ni se dau în probleme atunci când ni se cere volumul trunchiului. Mult mai importantă și mai relevantă este înălțimea trunchiului în asemenea probleme, așa că dorim ca formula noastră să conțină doar înălțimea trunchiului (și ariile podelelor), nu înălțimile piramidelor. Cum să procedăm ca să dispară $H$ și $h$ din formulă?

Ne folosim de cunoștințele precedente, materializate prin relațiile de mai sus: $$\frac{h}{H}=\sqrt{\frac{a}{A}}$$ și $$d=H-h.$$ Cum, într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor, obținem că $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}.$$ 

Astfel, scăpăm pentru început de $h$, căci peste tot unde vom găsi $h$ îl vom putea înlocui cu $H\sqrt{\frac{a}{A}}$. Mai exact, avem că $$d=H-H\sqrt{\frac{a}{A}}=H\left(1-\sqrt{\frac{a}{A}}\right).$$ Dar de aici îl putem scoate pe $H$ în funcție de $d$ și astfel vom scăpa și de $H$. Mai exact, după amplificarea cu $\sqrt{A}$, avem că $$H=\frac{d}{1-\sqrt{\frac{a}{A}}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Atunci, $$h=H\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\sqrt{\frac{a}{A}}=\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Se observă deja o oarecare simetrie. Numitorii celor două înălțimi sunt aceiași, iar numărătorii depind de radicalul ariei mari sau mici, după cum este și înălțimea mare sau mică. Cu această realizare, am scris înălțimile piramidelor în funcție de parametrii importanți ai trunchiului de piramidă.

Deci de-acum suntem boieri, căci acum avem cu ce să-l înlocuim atât pe $h$, cât și pe $H$. Atunci, formula volumului trunchiului de piramidă va deveni $$V_t=\frac{AH-ah}{3}=\frac{A\frac{d\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-a\frac{d\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}}{3}.$$

Aici putem scoate factorul comun $\frac{d}{3}$. Atunci, formula devine parcă mai compactă: $$V_t=\frac{d}{3}\left(\frac{A\sqrt{A}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}\right).$$

Și cum numitorii sunt aceiași, mai putem scrie $$V_t=\frac{d}{3}\frac{A\sqrt{A}-a\sqrt{a}}{\sqrt{A}-\sqrt{a}}.$$

Aoleu! Ce formulă-i asta?! Păi, nu trebuia să obținem formula de la început, adică $$V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)?$$

Stați așa, nu vă grăbiți! Ajungem și la formula de început dacă vom observa că $A\sqrt{A}=\sqrt{A^3}=\left(\sqrt{A}\right)^3$ și, respectiv, $a\sqrt{a}=\sqrt{a^3}=\left(\sqrt{a}\right)^3$. Haideți să notăm pe $\sqrt{A}$ cu $x$, iar pe $\sqrt{a}$ cu $y$, ca să ne fie mai ușor să observăm ceva. Cu aceste notații, am obținut că formula volumului trunchiului de piramidă este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}.$$

Ei bine, iar acum ne trebuie ultima „cunoștință precedentă” ce constă în formula de calcul prescurtat $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$ valabilă pentru $x\neq y$. Cu această formulă, putem scrie că volumul trunchiului este $$V_t=\frac{d}{3}\frac{x^3-y^3}{x-y}=V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}.$$

Dar acum putem simplifica cu $x-y$, căci podeaua de sus nu este la fel de mare ca podeaua de jos, ci au arii diferite, deci $x-y$ nu este zero (cu zero nu putem face simplificări, căci $\frac{0}{0}$ este o nedeterminare). Așadar, formula volumului trunchiului devine $$V_t=\frac{d}{3}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2).$$

Iar dacă ținem seama că am notat cu $x$ pe $\sqrt{A}$ și cu $y$ pe $\sqrt{a}$ și cum $\left(\sqrt{A}\right)^2=A$, obținem că $$V_t=\frac{d}{3}(x^2+xy+y^2)=\frac{d}{3}\left(A+\sqrt{A}\sqrt{a}+a\right),$$ adică tocmai formula de la început: $$\color{red}{V_t=\frac{d}{3}\left(A+a+\sqrt{Aa}\right)}.$$

În sfârșit!

Ei, nu-i așa că mai bine faceți un mic efort să o însușiți, decât să vă apucați de asemenea calcule pentru a v-o reaminti când aveți nevoie?

Observați că această formulă finală (deci, fără numitor) este valabilă și pentru cazul când cele două „podele” devin egale, adică $a=A$, caz în care trunchiul de piramidă devine o prismă. E suficient ca, în loc de $a$ să puneți $A$ și veți obține volumul prismei dat de $V_p=dA$. Totodată, această formulă este valabilă și pentru cazul când podeaua de sus devine mică, mică de tot, chiar zero, caz în care trunchiul se transformă în piramidă. Altfel spus, dacă știți volumul trunchiului de piramidă, atunci știți și volumul prismei și volumul piramidei.

O mică recapitulare: pentru a deduce formula volumului trunchiului de piramidă, am avut nevoie de teorema lui Thales, apoi de faptul că raportul de asemănare este radicalul raportului ariilor, ne-a mai trebuit formula volumului pentru o piramidă, iar în final am folosit formula de calcul prescurtat a diferenței cuburilor.