Faceți căutări pe acest blog

duminică, 21 mai 2017

Demonstrați formula lui Heron


Cineva numit Heron, undeva în Alexandria, cândva demult, pe la începuturile erei noastre, și-a pus problema ariei triunghiului la modul cel mai general posibil. Altfel spus, Heron a dorit să știe cum poate determina aria unui triunghi dacă știe cât de lungi sunt laturile sale, fără să se mai chinuie să afle vreun unghi sau o înălțime. E mai ușor să măsori lungimi, decât unghiuri, așa că inginerul Heron a dorit să ușureze cumva munca celui care dorește să găsească aria unui teren triunghiular. Iar din frământările sale s-a născut o formulă minunată care îi poartă numele și care ne permite nouă, urmașilor săi, să găsim câtă gresie ar trebui să cumpărăm pentru a acoperi o podea de orice formă triunghiulară.

Formula lui Heron are o formă simetrică și profundă. Ea nu necesită altceva decât lungimile laturilor triunghiului. Dacă reușiți să aflați prin măsurare sau prin calcul lungimile celor trei laturi ale unui triunghi (să le zicem a, b și c), atunci puteți găsi aria triunghiului respectiv (deci, câtă gresie v-ar trebui pentru suprafața triunghiului), cu ajutorul formulei lui Heron:
$$\large{\color{red}{A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}.$$

Știu, formula pare urâtă, pentru că ne sperie acel radical luuuung cât o zi de post. Și poate ne mai sperie și acel p care apare în formulă. Ce o fi p-ul acesta? Păi, nu era vorba că nu ne trebuie altceva decât laturile? Acum ne mai trebuie și p? Stați liniștiți că și p-ul se obține simplu cu ajutorul laturilor. Acest p mic este de fapt tocmai „semiperimetrul”, adică jumătate din suma celor trei laturi. Ca și convenție de notare se știe că P mare este tot perimetrul, iar p mic este jumătate din P mare.



Aș dori acum să vă prezint o demonstrație a acestei formule, folosindu-ne de una dintre înălțimile (deocamdată, necunoscute ale) triunghiului. Pentru că noi știm deja (se învață înaintea formulei lui Heron) că aria unui triunghi este dată de frumoasa poezie: „baza ori înălțimea supra doi”. Și, folosindu-ne de această poezie, vom găsi poezia lui Heron, care conține radicalul.


Vedeți mai jos un triunghi oarecare, pregătit pentru operație, pentru disecție, pe care îl vom obliga să ne spună cum putem găsi formula lui Heron atunci când noi știm alte formule mai simple învățate anterior. Cele trei laturi ale triunghiului au lungimile notate cu metoda consacrată (litere mici opuse vârfurilor). De asemenea, am mai notat și una dintre înălțimi cu h (știți că există trei înălțimi într-un triunghi, în funcție de cum avem noi chef să-l orientăm, mai bine zis, în funcție de alegerea pe care o facem privind baza triunghiului, caz în care înălțimea este perpendiculară pe bază). În fine, am rupt în două baza aleasă pentru triunghi, iar cele două bucăți din bază, determinate de punctul în care cade înălțimea, le-am notat cu x și cu y, pentru că sunt necunoscute (noi nu cunoaștem altceva decât a, b și c) și le vom folosi doar trecător, pentru a-l găsi pe h.
Priviți acest triunghi așezat pe masa de operație și gândiți-vă cum i-ați putea determina aria. Ei bine, aria întregului triunghi este dată de poezia amintită: „baza ori înălțimea supra doi”. Deci, aria triunghiului nostru va fi $A=\frac{ah}{2}$.

Desigur, pe $a$ îl știm, din moment ce cunoaștem toate cele trei lungimi ale laturilor triunghiului. Așa că mai rămâne să-l găsim pe $h$. Cu această ocazie, vom putea obține o formulă intermediară (pe care o vom evidenția) cu ajutorul căreia putem găsi rapid o înălțime a triunghiului din simpla cunoaștere a laturilor sale.

Dacă am cunoaște cât de mare este $x$, atunci cu teorema lui Pitagora ar fi un fleac să-l găsim pe $h$. Dar noi nu-l cunoaștem pe $x$, ci doar pe $x$ adunat cu $y$ (suma lor este tocmai $a$).

Noa, haideți să începem de undeva. Haideți să ne imaginăm că îl cunoaștem pe $x$ și că îl găsim pe $h$ cu teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic ABD. Cum $h$ este catetă în acest triunghi, obținem că $$h^2=c^2-x^2.$$

Bineînțeles, mare lucru n-am obținut încă, pentru că ne stă în coaste necunoscuta $x$, care vrem să dispară la un moment dat. Dar nu ne cramponăm aici, căci cine știe ce ne rezervă viitorul dacă ne vom folosi și de necunoscuta $y$. Așadar, depunem aceeași muncă și în triunghiul dreptunghic ACD, în care domnește necunoscuta $y$. Mai precis, din aceleași considerente ca și în triunghiul ABD (catetă și teorema lui Pitagora), în triunghiul ACD obținem că $$h^2=b^2-y^2.$$

L-am obținut, așadar, pe $h$ în două moduri distincte. Și cum $h$ din primul triunghi este egal cu $h$ din al doilea triunghi, avem că $$c^2-x^2=b^2-y^2.$$
Și, n-ați uitat, noi vrem să scăpăm de literele astea nerușinate $x$ și $y$ care ne încurcă ițele și nu ne lasă încă să obținem formula lui Heron fără ele. Vom scăpa întâi de $y$, pe care nu vrem să-l mai vedem. Pentru asta ne vom folosi de faptul că $$y=a-x.$$ Prin urmare, în loc de $$c^2-x^2=b^2-y^2,$$ putem scrie acum $$c^2-x^2=b^2-(a-x)^2.$$

Yuppiii! Am scăpat de $y$!!! Acum ne vom uita urât la $x$, pentru că și de el vrem să scăpăm. Banditul ăsta nu vrea să se lase așa ușor, dar tot o să-i venim de hac și lui. În relația precedentă, vom desface paranteza cu grijă, după formula binecunoscută $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, și vom ține seama de faptul că minusul acela enervant din fața parantezei trebuie să schimbe semnul tuturor termenilor din paranteza pe care o precede. Găsim atunci că $$c^2-x^2=b^2-a^2+2ax-x^2.$$

Aici îl putem reduce pe $-x^2$ din partea stângă a egalității, cu $-x^2$ din partea dreaptă a egalității și obținem ceva foarte drăguț care nu-l mai conține pe $x^2$: $$c^2=b^2-a^2+2ax.$$ Iată că am reușit să-l izolăm pe $x$ și bătălia noastră este aproape câștigată. Pentru a-l scoate pe $x$  din această egalitate, o scriem întâi rotită (pentru că suntem obișnuiți ca necunoscutele să fie în stânga). Mai exact, dacă $ceva=altceva$, atunci și $altceva=ceva$, așadar, putem scrie relația de mai sus mai convenabil: $$b^2-a^2+2ax=c^2.$$

Acum vom arunca numerele cunoscute în partea dreaptă a egalității și vom obține $$2ax=c^2-b^2+a^2.$$ Iar de aici va rezulta, în sfârșit, o formulă ce ne ajută să scăpăm de-acum încolo și de $x$. Astfel, avem că $$\color{blue}{x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}}.$$

Observați că aici $a$ este șeful (apare șmecher la numitor), căci pe el l-am rupt în două când am disecat triunghiul. Iar adjunctul este $c$, căci $x$ se află în dreptul lui $c$. Ultimul rămâne amărâtul de $b$, căci el apare cu minus, săracul.

Ok. Bine, bine, dar ce putem face cu acest $x$ până la urmă? Aaaa, păi, ce, nu vă amintiți la ce ne trebuia $x$? Ne trebuia $x$ ca să îl putem găsi pe $h$! Undeva mai sus am scris că $h^2=c^2-x^2$. Ori, odată ce am reușit să-l scriem pe $x$ în funcție de laturile triunghiului, înseamnă că îl vom putea scrie și pe $h$ în funcție de aceste laturi.

Să fim deci atenți la formula faină pe care o vom obține pentru înălțimea unui triunghi atunci când cunoaștem toate laturile triunghiului. Sunt curios cine va fi și acolo șeful.

Așadar, dacă $h^2=c^2-x^2$, după înlocuirea lui $x$ cu ceea ce am găsit mai sus, vom avea $$\large{\color{blue}{h^2=c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2}}.$$

Mammma mia, ce expresie complicată! Ditamai paranteza la pătrat! Dacă vreți, o rețineți. Aveți aici o formulă (destul de urâtă) cu ajutorul căreia puteți găsi înălțimea unui triunghi atunci când îi cunoașteți laturile. 

Hmmm... Urât! Destul de urât! Trebuie să facem ceva ca să reparăm nedreptatea asta! Ce putem face? Eu văd acolo o diferență de pătrate. Când văd o diferență de pătrate, mă gândesc la formula $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Această formulă ne ajută să scăpăm de pătrate. Și ne mai ajută ea în multe cazuri. Haideți s-o folosim, să vedem ce iese în acest caz. Eu am o diferență de pătrate, între $c^2$ și paranteza la pătrat. Înseamnă că, din formula descompunerii sumei de pătrate în produs de două paranteze, voi obține
$$h^2=\left(c-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(c+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right).$$

Am scăpat de pătratul parantezei, dar parcă, parcă se mai poate face ceva în fiecare paranteză. Hai să aducem la același numitor, să vedem ce obținem. $$h^2=\left(\frac{2ac}{2a}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(\frac{2ac}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right).$$

Acum facem câte un singur numitor în paranteză, avem grijă la semne (semnul minus din fața fracției va schimba semnele de la numărător) și scăpăm de paranteze. Obținem atunci $$h^2=\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a}\cdot\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a}.$$

Așadar, cu prețul unei munci îndelungate, am scăpat de paranteze. Și parcă tot mai vrem ceva. Mai vrem simplitate. Simplitatea apare atunci când aceiași termeni apar de cât mai puține ori. Astfel, eu când văd $2ac-a^2-c^2$ mă gândesc la un pătrat perfect, căci îmi amintesc formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Așadar, când văd $2ac-a^2-c^2$, mă gândesc la $-(a^2-2ac+c^2)$, adică la $-(a-c)^2$. 

Veți înțelege acum de ce formula $$h^2=\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a}\cdot\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a}$$ va deveni $$h^2=\frac{-(a-c)^2+b^2}{2a}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.$$

Dar la numărătorul fracțiilor vedem din nou o diferență de pătrate! Căci formula poate fi rescrisă și astfel $$h^2=\frac{b^2-(a-c)^2}{2a}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2a}.$$

Așadar, cum diferența de pătrate este un produs de paranteze, conform lui $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, rezultă că vom avea:
$$h^2=\frac{(b-a+c)(b+a-c)}{2a}\cdot\frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2a}.$$

Și iată că suntem aproape de final. Căci știm că perimetrul $P=a+b+c$, iar semiperimetrul este $p=\frac{P}{2}$. Asta înseamnă că fiecare dintre parantezele care apar la numărătorul fracției lui $h^2$ poate fi scrisă în funcție de perimetru astfel: $b-a+c=P-2a$, apoi $b+a-c=P-2c$ și, în fine, $a+c-b=P-2b$.

Ce obținem acum? Ceva superb! Iată: $$h^2=\frac{(P-2a)(P-2c)}{2a}\cdot\frac{(P-2b)\cdot P}{2a}.$$ Iar dacă facem aici un pic de ordine, făcând o singură fracție din cele două și ordonând factorii de la numărător, avem ceva și mai simetric: $$h^2=\frac{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}{4a^2}.$$

Deci, după cum v-am promis, dacă extragem radicalul din $h^2$, avem o scumpete de formulă pentru înălțimea unui triunghi când îi cunoaștem laturile:
$$\large{\color{red}{h=\frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{2a}}}.$$

Vedeți că tot $a$ este șeful, deoarece înălțimea triunghiului a fost aleasă ca fiind perpendiculară pe latura de lungime $a$. Dar dacă ne-ar fi trebuit înălțimea dusă pe latura de lungime $b$, șeful ar fi fost $b$-ul, căci roteam triunghiul un pic în sensul de mers al acelor de ceasornic până când jos la bază ajungea latura de lungime $b$.

Ei, ce ziceți? Putem face pasul final, pentru găsirea formulei lui Heron? Acum că știm înălțimea, ne amintim că aria unui triunghi este „baza ori înălțimea supra doi”. Deci, cum $$A=\frac{ah}{2}=\frac{a}{2}\cdot h,$$ rezultă că $$A=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{2a}.$$

Simplificăm acum cu $a$ și obținem $$A=\frac{\sqrt{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}}{4}.$$

Îl introducem acum pe $4$ sub radical și vom avea $$A=\sqrt{\frac{P(P-2a)(P-2b)(P-2c)}{16}}.$$

Pe $16$-le ăsta de sub radical îl putem scrie ca fiind $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, deci ca fiind patru factori de doi. Obținem astfel că $$A=\sqrt{\frac{P}{2}\cdot\frac{P-2a}{2}\cdot\frac{P-2b}{2}\cdot\frac{P-2c}{2}}.$$ Și cum P mare supra doi este tocmai p mic, și cum $$\frac{P-2a}{2}=\frac{P}{2}-\frac{2a}{2}=p-a,$$ obținem, în sfârșit, interesanta formulă a lui Heron: $$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

luni, 15 mai 2017

Scăderea și împărțirea nu sunt asociative


Spre deosebire de adunare și înmulțire, care sunt operații cuminți, adică asociative, la scădere și la împărțire trebuie să avem grijă la paranteze. Altfel spus, în timp ce la adunare nu contează parantezele, căci $$8+4+2=(8+4)+2=8+(4+2)$$ și nici la înmulțire, căci $$8\cdot 4\cdot 2=(8\cdot 4)\cdot 2=8\cdot(4\cdot 2),$$ la scădere (și la împărțire) lucrurile se schimbă dramatic, pentru că scăderea dă rezultate diferite după cum grupăm termenii scăderii. 

Astfel, $$(8-4)-2=4-2=2,$$ pe când $$8-(4-2)=8-2=6.$$ Așadar, la scădere contează unde punem parantezele

Și împărțirea ne face astfel de probleme, obligându-ne să fim mai grijulii, căci $$(8:4):2=2:2=1,$$ în timp ce $$8:(4:2)=8:2=4.$$

Totuși, oamenii au găsit o soluție pentru a evita parantezele astea greoaie. Pentru aceasta, ei au făcut o convenție, adică s-au pus toți la o masă rotundă și au spus așa: „haideți să facem cumva să nu mai folosim paranteze și să ne înțelegem între noi ca atunci când vedem scăderi sau împărțiri fără paranteze, să facem operațiile ÎN ORDINEA ÎN CARE SUNT SCRISE”.

Așadar, ei s-au înțeles ca un calcul de genul $$8-4-2$$ să fie echivalent cu un calcul de genul $$(8-4)-2,$$ iar la împărțire, un calcul de genul $$8:4:2$$ să însemne de fapt calculul $$(8:4):2.$$

Problema este că unii elevi au lipsit de la acea masă rotundă la care s-a convenit regula, așa că unii elevi nu știu cum să facă asemenea calcule. Acesta este motivul pentru care m-am gândit să scriu acest articol, în care dau în vileag ceea ce s-a discutat la acea masă rotundă cândva.

Dar ce putem face cu elevii care lipsesc și de pe acest blog? :)