Faceți căutări pe acest blog

luni, 24 iulie 2017

Arătați că rădăcina dublă a unui polinom este rădăcină și pentru derivata polinomului


Să notăm cu $P$ un polinom oarecare și cu $P'$ derivata acestuia. Apoi, să ne amintim că un polinom căruia îi cunoaștem rădăcinile (adică, numerele care îl anulează) poate fi scris ca un produs de paranteze cu acele rădăcini (căci un produs de paranteze se anulează doar atunci când cel puțin una dintre paranteze se anulează). De exemplu, polinomul $X^2-5X+6$, ale cărui rădăcini sunt $x_1=2$ și $x_2=3$, poate fi scris ca un produs de paranteze cu aceste rădăcini, adică avem $$X^2-5X+6=(X-2)(X-3).$$

Așadar, în general, un polinom de gradul $n$ poate fi scris ca un produs de $n$ paranteze cu cele $n$ rădăcini $x_1,\,x_2,\dots,\,x_n$, astfel: $$\color{blue}{aX^n+bX^{n-1}+\dots+c=a(X-x_1)(X-x_2)\dots(X-x_n)}.$$

Dar ce înseamnă „rădăcină dublă”? Înseamnă că acea rădăcină apare de două ori, deci apare în două paranteze. Mai înseamnă atunci că paranteza care o conține apare la puterea a doua. De exemplu, polinomul de gradul trei $X^3-X^2-8X+12$ are rădăcina dublă $x_1=x_2=2$, motiv pentru care el poate fi scris astfel: $$X^3-X^2-8X+12=ceva\cdot(X-2)^2.$$ Pentru acest polinom de gradul trei, $ceva=X+3$.

Prin urmare, în general, un polinom $P$ care are rădăcina dublă $x_1=x_2=d$ va putea fi scris astfel: $$P=ceva\cdot(X-d)^2.$$ Dacă rădăcina ar fi triplă, atunci paranteza ar apărea la puterea a treia. Și așa mai departe.

Sper că ați înțeles până aici cam care este legătura dintre multiplicitatea unei rădăcini și exponentul parantezei în care apare acea rădăcină.

Acum să vedem ce se întâmplă dacă derivăm polinomul $P$ care are rădăcina dublă $d$. Cum $P=ceva\cdot(X-d)^2$, înseamnă că derivata acestui polinom va fi derivata unui produs, deci vom aplica formula pentru derivata produsului, despre care știm că este $$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$$

Concret, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot[(X-d)^2]'.$$

Pe $[(X-d)^2]'$ îl putem calcula în două moduri: ori desfacem paranteza și derivăm termen cu termen, ori folosim mai bine și mai elegant proprietatea că $$(u^2)'=2u\cdot u'.$$ Astfel, $$[(X-d)^2]'=2(X-d)\cdot(X-d)'=2(X-d),$$ căci $(X-d)'=1$.

Prin urmare, $$P'=ceva'\cdot(X-d)^2+ceva\cdot 2(X-d).$$

Acest rezultat ne permite să observăm că dacă în locul necunoscutei $X$ din polinomul $P'$ punem rădăcina $d$, obținem anularea lui $P'$. Așadar, rădăcina dublă a lui $P$ este rădăcină și pentru $P'$. Adică exact ceea ce am dorit să arătăm.

De aici, mai departe, un elev isteț va trage concluzia că rădăcina triplă a unui polinom este de asemenea rădăcină atât pentru prima derivată a polinomului, cât și pentru cea de-a doua derivată a acestuia. Adică, în general, o rădăcină cu multiplicitatea $n$ a unui polinom este rădăcină de asemenea și pentru toate derivatele polinomului până la ordinul $n-1$ inclusiv. Dar, atenție!, ea nu mai este rădăcină pentru derivata de ordinul $n$ a polinomului, căci atunci multiplicitatea ei ar fi $n+1$, nu $n$.

Această proprietate este utilă atunci când vi se cere să determinați un polinom cu câțiva coeficienți necunoscuți în condițiile în care știți că un anumit număr este rădăcină multiplă a polinomului respectiv. 

Dacă, de exemplu, polinomul $P$ are trei coeficienți necunoscuți, atunci vi se va da o rădăcină cu multiplicitatea doi, pe care o veți înlocui în necunoscuta $X$ a lui $P$, a lui $P'$ și a lui $P''$ și veți obține un sistem de trei ecuații cu cei trei coeficienți necunoscuți ai polinomului, din care sistem va rezulta soluția problemei.