Faceți căutări pe acest blog

joi, 10 august 2017

Cel mai mare divizor comun este, de fapt, mititel


Există un paradox al celui mai mare divizor comun, pe care mulți elevi de gimnaziu îl urăsc. Păi, dacă e CEL MAI MARE, atunci de ce este mic? Ce se întâmplă, de fapt?

Să studiem, de exemplu, numerele 18 și 24. Să le găsim cel mai mare divizor comun, ca să ne lămurim cum e cu paradoxul acesta supărător.

Întâi facem o listă cu divizorii lui 18, apoi cu cei ai lui 24, după care vom găsi cel mai mare divizor comun. Zis și făcut.

Divizorii lui 18. Cum îi găsim? Hmmm... Păi, începem cu 1, căci 1 este divizor al oricărui alt număr natural. Dar, dacă l-am găsit pe 1, atunci automat am găsit și perechea lui 1, care este 18. (Am numit „pereche” acel cuplu de divizori care prin înmulțirea lor ne dau exact 18.) Apoi, un alt divizor al lui 18 ar fi 2, căci 18 se împarte exact cu 2. Observați că nu am sărit de la 1 la 3, ci m-am străduit să găsesc divizorii într-o oarecare ordine crescătoare. Așadar, până în prezent i-am găsit pe 1, 18 și 2. Mai departe, mă gândesc la perechea lui 2, adică la 9, căci 2 înmulțit cu 9 ne dă 18. Următorul divizor va fi 3 și perechea lui, 6. Și cam atât, căci nu mai găsim numere cu care 18 să se poată împărți exact. Deci, putem construi o listă frumoasă cu divizorii lui 18: $$D_{18}=\lbrace 1,2,3,6,9,18\rbrace.$$

Divizorii lui 24. Procedând ca și pentru 18, vom găsi $$D_{24}=\lbrace 1,2,3,4,6,8,12,24\rbrace.$$ Am avut grijă să pun și la 24 toate perechile posibile.

Așadar, până aici am găsit divizorii lui 18 și ai lui 24. Să vedem mai departe care sunt divizorii comuni, adică divizorii care se găsesc atât în lista lui 18, cât și în lista lui 24. Desigur, primul divizor comun este 1, căci el se află și în $D_{18}$ și în $D_{24}$. Altul este 2, apoi 3 și apoi 6. Și cam atât. Putem construi o listă cu ei ca să îi vedem mai bine: $$DC_{18,24}=\lbrace1,2,3,6\rbrace.$$

Ei bine, care este cel mai mare dintre acești divizori? Desigur, 6. Cum este acest 6 față de 18 și 24? Desigur, mai mititel. Cu toate că vorbim despre cel mai mare divizor comun, asta nu înseamnă că el este mai mare decât 18 și 24. 

Și să mai clarificăm un aspect. De ce nu este interesant și n-am auzit niciodată despre „cel mai mic divizor comun”? Pentru că cel mai mic divizor comun pentru două numere naturale va fi întotdeauna 1 și nu trebuie să depunem niciun efort deosebit pentru a-l găsi. Tocmai de aceea nu este relevant cel mai mic divizor comun, ci doar cel mai mare.



Dar lucrurile stau similar și pentru cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24. Deși titulatura îi spune că este mic, el este de fapt mai mare decât 18 și decât 24. Dacă veți face o listă cu multiplii lui 18 și cu cei ai lui 24, veți constata că cel mai mic multiplu comun al lor este 72. Acest număr este multiplu și de 18 (căci 72 se împarte exact cu 18), dar și de 24. Și este cel mai mic dintre toți multiplii comuni ai celor două numere.

Ei bine, care o fi cel mai mare multiplu comun și de ce nu este interesant de găsit? De ce nu căutăm niciodată cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic? Păi, așa cum cel mai mic divizor comun este neinteresant, fiind 1, tot astfel, cel mai mare multiplu comun este neinteresant, căci el este tocmai infinit de mare. Infinitul este un multiplu comun atât pentru 18, cât și pentru 24, dar este multiplu comun pentru orice alte două numere naturale nenule. Așa că el nu aduce nicio informație interesantă în studiul multiplilor. Bineînțeles, problema cu infinitul ăsta este un pic mai complicată, dar măcar v-ați făcut o idee de ce nu căutăm cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic.



În concluzie, cel mai mare divizor comun al lui 18 și 24 este mai mic decât 18 și decât 24, iar cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24 este mai mare decât 18 și decât 24. Și sper că acest articol v-a adus mai multă lumină în ceea ce privește aceste două noțiuni importante.