tag:blogger.com,1999:blog-9343188696363111642024-03-19T12:20:03.936+02:00Matematică pentru începătoriLocul în care veți găsi o abordare a Matematicii de gimnaziu și liceu cu <b>lux de amănunte</b>, pe înțelesul elevilor neglijați în școală.
<br><br>Motto: „<em>Nu recunosc alt semn al superiorităţii decât bunătatea.</em>” (Ludwig van Beethoven)Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.comBlogger326125tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-38477050068879589512023-09-19T15:50:00.002+03:002023-10-04T11:51:39.598+03:00Teorema lui Pitagora și factorul comun<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Din experiența mea, peste 90% dintre elevi nu știu să folosească trucul de care vă voi vorbi în acest articol.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Este vorba despre modul rapid în care putem găsi a treia latură a unui triunghi dreptunghic atunci când le cunoaștem pe celelalte două. Desigur, se aplică teorema lui Pitagora, dar maniera de calcul este mult mai eficientă cu ajutorul factorului comun.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Așadar, să presupunem pentru început că ni se dă un triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză are lungimea de 75 cm, iar una dintre catete are lungimea de 60 cm și se dorește determinarea celeilalte catete. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh208B6XtSR-wvWq4IcQlGHxPS76z3Fk9OLlkezYjsOHDHYY1RAk0oab1588PxoRrTy0Kea3akrg-jR0i2LovBb9o4tNT3FlrLIqH0gAYDCFrTQ5ROr5diMUDsozd4WvOgQYQskeJWfpumjwlpBsX-Hur5dzO5n5k7tvYT5BMDA3RdXVWVwONcs6MSFFAuv" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="1034" data-original-width="1204" height="275" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh208B6XtSR-wvWq4IcQlGHxPS76z3Fk9OLlkezYjsOHDHYY1RAk0oab1588PxoRrTy0Kea3akrg-jR0i2LovBb9o4tNT3FlrLIqH0gAYDCFrTQ5ROr5diMUDsozd4WvOgQYQskeJWfpumjwlpBsX-Hur5dzO5n5k7tvYT5BMDA3RdXVWVwONcs6MSFFAuv=w320-h275" width="320" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">În acest caz, un elev gospodar se va pune pe treabă utilizând teorema lui Pitagora și va scrie că </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$c_1=\sqrt{ip^2-c_2^2}=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{5625-3600}=\sqrt{2025}=45.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Desigur, toate au mers brici, în ipoteza că știm să ridicăm repede la pătrat numărul 75 și știm să extragem repede radical din 2025. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Apropo! Știți să ridicați repede la pătrat un număr care se termină cu 5? E foarte fain: se înmulțește numărul din fața lui 5 cu succesorul său și se adaugă la final numărul 25, așa cum vedeți în exemplele din imaginea de mai jos.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhzeumizTI5DeVD9FXWwdLw-0RfT4D1xU_v_zE8jZZiRAmMuc_RZCmRGf3pXQybxGP059048KlVrsL9r3OSxi2WHsiRNQfoh1JNxD9um7Xzreow3c09kWQba2i0QWDhwHXAe5-O-VqG1XULyq2x089hZAtNO8qnNIjbu8FaRx3QVZkC5TUTZWykHL8rA0Er" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="1374" data-original-width="1530" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhzeumizTI5DeVD9FXWwdLw-0RfT4D1xU_v_zE8jZZiRAmMuc_RZCmRGf3pXQybxGP059048KlVrsL9r3OSxi2WHsiRNQfoh1JNxD9um7Xzreow3c09kWQba2i0QWDhwHXAe5-O-VqG1XULyq2x089hZAtNO8qnNIjbu8FaRx3QVZkC5TUTZWykHL8rA0Er" width="267" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Dar să revenim la teorema lui Pitagora. În cazul precedent (și în toate cazurile similare, cu factor comun) putem să observăm că cele două numere date în ipoteză, adică 75 și 60, au un divizor comun destul de mare, pe 15. Această observație ne va permite să facem calculele mult mai ușor. Pentru că dacă două dintre laturi au un divizor comun (desigur, ne referim la lungimile lor, prin abuz de limbaj), atunci cu certitudine și cea de-a treia latură va avea același divizor. Astfel, în cazul exemplului nostru, dacă 75 și 60 îl au ca divizor pe 15, atunci cu siguranță și 45 îl va avea ca divizor pe 15. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj12FYgch6F2VlxUpW2P37c6rPK8QEJO26CBSYhlub3DjL7L4K8YcdYmhyk075ZXRekMg71XTSGVrhZtIDpxymheid72jxadAWZH6izq0Se-WDudMr1bwG_E8LWu5QpRohIDW0QGPYljDwULbjvZYGKvj1eVFohrvVRnuADEsGWr7sFcC0z_0uY8u-u7iw9" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="980" data-original-width="1112" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj12FYgch6F2VlxUpW2P37c6rPK8QEJO26CBSYhlub3DjL7L4K8YcdYmhyk075ZXRekMg71XTSGVrhZtIDpxymheid72jxadAWZH6izq0Se-WDudMr1bwG_E8LWu5QpRohIDW0QGPYljDwULbjvZYGKvj1eVFohrvVRnuADEsGWr7sFcC0z_0uY8u-u7iw9" width="272" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Acest avantaj ne ajută să lucrăm cu numere mult mai mici. Căci, abstracție făcând de divizorul 15, triunghiul nostru se comportă acum ca și cum ar avea laturile mai mici de 15 ori. Adică, este suficient să găsim cu teorema lui Pitagora cateta necunoscută pentru <b><i>un triunghi mai mic</i></b>, cu laturile fără 15, după care să înmulțim înapoi cu 15.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgH7deONyvgv7S743SNXlfNtusLUXe7GXVzEBdN_jLpn_QjhoXs8Hrrf7oADcivSawMCu8bzio3w3FvEiPxI4J-Kg-VIohZqrIJD654UAgdKf4ju0QRnrEFLab6LLfT85QLxzJcaNDKWyCide6TmFFUX8rKs-qnoBB9IpEiqsU7yMcjhBbqh30Nay3AVIYx" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="794" data-original-width="816" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgH7deONyvgv7S743SNXlfNtusLUXe7GXVzEBdN_jLpn_QjhoXs8Hrrf7oADcivSawMCu8bzio3w3FvEiPxI4J-Kg-VIohZqrIJD654UAgdKf4ju0QRnrEFLab6LLfT85QLxzJcaNDKWyCide6TmFFUX8rKs-qnoBB9IpEiqsU7yMcjhBbqh30Nay3AVIYx" width="247" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br />Demonstrația acestui fapt pentru triunghiul inițial este simplă, căci putem scrie:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$c_1=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{(5\cdot\color{red}{15})^2-(4\cdot\color{red}{15})^2}=\sqrt{5^2-4^2}\cdot\color{red}{15}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><span style="font-size: x-large;">Cazul prezentat este mai simplu, căci se bazează pe celebrul și binecunoscutul triplet pitagoreic fundamental $\color{red}{3,4,5}$ cu derivatele sale obținute prin înmulțirea cu un factor natural. Dar utilitatea metodei descrise iese mai bine în evidență în cazuri mai complicate, cum este cazul triunghiului ale cărui catete sunt, de exemplu, 16 și 24. Cât va fi în acest caz ipotenuza?</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj1oUxI4ZPXjWzLJmM7uhbzVU8HWaPbsQoJ8WCfg-5UZEXB9KURMzX05B4bpij3_Cv07EwSJaIsLG_8d4bxRkADX26_-zOWphcOqjW2LhZIRdEw_Xi9w9lL-v0V7YLI-DhVcwXfN3Gv-1A31Db6rP7N5GSVpGOkkwrvSjaI51z8C7rldZowPm8YXtjegw_Q" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="606" data-original-width="928" height="209" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj1oUxI4ZPXjWzLJmM7uhbzVU8HWaPbsQoJ8WCfg-5UZEXB9KURMzX05B4bpij3_Cv07EwSJaIsLG_8d4bxRkADX26_-zOWphcOqjW2LhZIRdEw_Xi9w9lL-v0V7YLI-DhVcwXfN3Gv-1A31Db6rP7N5GSVpGOkkwrvSjaI51z8C7rldZowPm8YXtjegw_Q" width="320" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br />Dacă nu aplicăm trucul, trecem prin următorul chin:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$ip=\sqrt{16^2+24^2}=\sqrt{256+576}=\sqrt{832}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Și, desigur, pentru a găsi cât este radicalul lui 832 vă veți mai chinui să-l descompuneți:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEic04nTwLqNiygqKedOioqyxCi6svL_r7-VCidna7TF-epQJLHQW9IuypuwaPhNTKtvv22w6EueF0FBtFIfWuYWnxjum02vagXyB_EXzfirqRdlCCXTxSL69yX5j419rV7YbOGQRjHOGPpP6k26HRVGBi1tlTeE0BqWDDQ9VZvl2BTnt4GoHM3pMgirP47f" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="1042" data-original-width="1016" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEic04nTwLqNiygqKedOioqyxCi6svL_r7-VCidna7TF-epQJLHQW9IuypuwaPhNTKtvv22w6EueF0FBtFIfWuYWnxjum02vagXyB_EXzfirqRdlCCXTxSL69yX5j419rV7YbOGQRjHOGPpP6k26HRVGBi1tlTeE0BqWDDQ9VZvl2BTnt4GoHM3pMgirP47f" width="234" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br />obținând, în sfârșit, ipotenuza ca fiind egală cu $8\sqrt{13}$.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Dar ce am fi câștigat dacă foloseam trucul cu factorul comun? Păi, în loc să lucrăm cu triunghiul mare, am fi descoperit că 16 și 24 îl au pe 8 ca factor comun:</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEikanRF2cBObNsDUdOpIOrlp12BGwUI4cc0dLOL_Sw2umYYKM_c2gUGbAXxq8ZTPRgWYyu8yrQ_zrStI9FFlFeUKwWF_weIp1Rrn-58aL9nyUaSiqfHEPr6NRU-hJQm-UwGUyJC-_ZTgkJJUUxn6Y2ydr-XlX_zpy5ys59-QI-mcHq5wFFZtkC75lY3aQIx" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="632" data-original-width="1020" height="198" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEikanRF2cBObNsDUdOpIOrlp12BGwUI4cc0dLOL_Sw2umYYKM_c2gUGbAXxq8ZTPRgWYyu8yrQ_zrStI9FFlFeUKwWF_weIp1Rrn-58aL9nyUaSiqfHEPr6NRU-hJQm-UwGUyJC-_ZTgkJJUUxn6Y2ydr-XlX_zpy5ys59-QI-mcHq5wFFZtkC75lY3aQIx" width="320" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br />și atunci lucram cu triunghiul mic</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiRDVj1xSMrV--RBm49koEjQ8TfySBdH0s9_XBB2XDjdI5tbErLw4qG4a334zQdoZfBz94bPKVLvddpF8FXgoFvtn4qPwJF2o4RoBebEcojjy3miQNTmoKQcmCD7If6vv9IEgjeHurwuPFOKlFSH-DIAHCKNsnsXpY7Gxkr0hrmIEa_zfViPbRm0yRCiGkZ" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="578" data-original-width="1046" height="177" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiRDVj1xSMrV--RBm49koEjQ8TfySBdH0s9_XBB2XDjdI5tbErLw4qG4a334zQdoZfBz94bPKVLvddpF8FXgoFvtn4qPwJF2o4RoBebEcojjy3miQNTmoKQcmCD7If6vv9IEgjeHurwuPFOKlFSH-DIAHCKNsnsXpY7Gxkr0hrmIEa_zfViPbRm0yRCiGkZ" width="320" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">pentru a-l descoperi pe $\sqrt{13}$, adică procedam ca în imaginea:</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiw-sFjSN_uJUq_O2e-vFRq8llX3MzPNi979_fu8AoQizx5nBXMt2wF5buA-oQnEx9159_itBcPm1fAd6swrrOQaOTSqDAzj0HfyQqguXvXGNObEjVg-3eIqM__9mIGR0HbiunuGEgzV05q-uqLckRKG1rEtWzDri0qskpOtcTQPoVQz0NwXoJpjBT6eyXy" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img alt="" data-original-height="680" data-original-width="1010" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiw-sFjSN_uJUq_O2e-vFRq8llX3MzPNi979_fu8AoQizx5nBXMt2wF5buA-oQnEx9159_itBcPm1fAd6swrrOQaOTSqDAzj0HfyQqguXvXGNObEjVg-3eIqM__9mIGR0HbiunuGEgzV05q-uqLckRKG1rEtWzDri0qskpOtcTQPoVQz0NwXoJpjBT6eyXy" width="320" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;">Eu sper din toată inima ca acest truc să vă ajute să câștigați timp de-acum încolo atunci când doriți să găsiți mai rapid cea de-a treia latură a unui triunghi dreptunghic, dacă celelalte două au un divizor comun mare.<br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-29384463619813702622023-06-26T21:58:00.001+03:002023-06-26T21:58:44.668+03:00Metoda cireșelor<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Acum, fiind în vacanță și înfulecând cu nesaț niște cireșe dulci și grase, am găsit ceva timp ca să vă vorbesc despre metoda de descompunere în factori a unui trinom cu coeficienți întregi, pe care în gimnaziu o numim „metoda cireșelor”, căci amintește de perechile de cireșe savuroase atârnate după urechi. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Metoda se aplică cu mult succes la descompunerea trinomului cu coeficienți întregi pentru care coeficientul dominant (adică „a”-ul, deci coeficientul lui $x^2$) este egal cu unitatea, adică la trinoame de forma $x^2+bx+c$, unde $b$ și $c$ sunt numere întregi.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Fundamentul care stă la baza metodei cireșelor este dat de formulele lui Viète, care fac o legătură superbă între coeficienți și rădăcini.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Astfel, cu metoda cireșelor putem realiza, de exemplu, descompunerile următoare: </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">(ambele numere pozitive)</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{2}}+{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{5}x+\underset{\underset{{\color{red}{2}}\cdot{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{6}=(x+{\color{red}{2}})\cdot(x+{\color{blue}{3}}),$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">(ambele numere pozitive)</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{1}}+{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{6}x+\underset{\underset{{\color{red}{1}}\cdot{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{5}=(x+{\color{red}{1}})\cdot(x+{\color{blue}{5}}),$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">(ambele numere negative, termenul liber rămâne pozitiv)</span></div><div style="text-align: justify;"><div><span style="font-size: x-large;">$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{-5x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{+6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{-3}}),$$</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">(numere de semn contrar, termenul liber devine negativ)</span></div><div><div><span style="font-size: x-large;">$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{+x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{-6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{+3}}),$$</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div></div></div><div style="text-align: justify;"><div><span style="font-size: x-large;">(numere de semn contrar, termenul liber este, de asemenea, negativ)</span></div><div><div><span style="font-size: x-large;">$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-1}})+({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{+4x}\underset{\underset{({\color{red}{-1}})\cdot({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{-5}=(x{\color{red}{-1}})\cdot(x{\color{blue}{+5}}),$$</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div></div></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">unde puteți observa că termenul liber se scrie ca un produs de două numere, iar coeficientul lui $x$ se scrie ca o sumă de <b>aceleași</b> două numere.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">În fine, există desigur o metodă generală pentru a descompune orice trinom într-un produs de factori, dacă elevul știe deja să calculeze „cu delta” cele două rădăcini ale unui trinom. Prin această metodă, descompunerea trinomului general este dată de:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$\color{red}{ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)},$$ unde $x_1$ și $x_2$ sunt cele două rădăcini ale trinomului.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-30647721926381524642023-05-09T12:52:00.003+03:002023-05-09T12:52:27.618+03:00Teorema lui Pitagora în patrulaterul ortodiagonal<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;">Un patrulater ale cărui diagonale sunt perpendiculare se numește patrulater <i>ortodiagonal</i>.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgc2fk1DP75bsZfoRhAzUvkTg76i2mW5CQZGDr7gsP3p-_2q61i6uhyFLiFXNpleXlA9aF-3DLabf1hPn9zxM0gLd-WfNqUNhXskDvAp7xHLOQAvbixD7gmY1x0Q2fjt9eRV-ELxLBQeR84BbF820fLTy8Rm1YwtT_3ZiAJ3raG5rnu3HZpzjGGWeUjiA" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="932" data-original-width="896" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgc2fk1DP75bsZfoRhAzUvkTg76i2mW5CQZGDr7gsP3p-_2q61i6uhyFLiFXNpleXlA9aF-3DLabf1hPn9zxM0gLd-WfNqUNhXskDvAp7xHLOQAvbixD7gmY1x0Q2fjt9eRV-ELxLBQeR84BbF820fLTy8Rm1YwtT_3ZiAJ3raG5rnu3HZpzjGGWeUjiA=w616-h640" width="616" /></a></div><br />Într-un patrulater ortodiagonal este valabilă o teoremă extinsă a lui Pitagora care ne spune că <a href="https://www.geogebra.org/m/yqyxzgec" target="_blank"><i><span style="color: #2b00fe;">suma pătratelor laturilor opuse</span></i></a> dintr-o pereche este egală cu suma pătratelor laturilor opuse din cealaltă pereche. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;">Cu literele noastre, teorema lui Pitagora în patrulaterul ortodiagonal ABCD spune că:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;">$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhfjzINhJ0CiRccCZE4CsXX9Tb82qzx-b0bYiChp_rribnAMPNsnIJPvZQZv46HLhrEnAR5L4u142l-tYw00XUyTXW4kskxUk7T8HW6UpXFJlg9BOGSGele8MK_9qfFMv5cH19bgxLOPlDIK8SIcNmvc00t1ZE_jIAn87neaHBfyTz1iZI78cxyw_DP_Q" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="800" data-original-width="1276" height="402" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhfjzINhJ0CiRccCZE4CsXX9Tb82qzx-b0bYiChp_rribnAMPNsnIJPvZQZv46HLhrEnAR5L4u142l-tYw00XUyTXW4kskxUk7T8HW6UpXFJlg9BOGSGele8MK_9qfFMv5cH19bgxLOPlDIK8SIcNmvc00t1ZE_jIAn87neaHBfyTz1iZI78cxyw_DP_Q=w640-h402" width="640" /></a></div><br />Mai mult, dacă ne interesează aria acestui patrulater, putem observa că aceasta este dată suma ariilor celor patru triunghiuri dreptunghice care formează patrulaterul. Din acest motiv, <i>aria patrulaterului ortodiagonal este semiprodusul lungimilor diagonalelor sale</i>, adică</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;">$$A_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;">Rombul și pătratul sunt, prin excelență, patrulatere ortodiagonale, deci și pentru ele sunt valabile relațiile de mai sus.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><div style="text-align: center;"><br /></div><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: xx-large;"><br /></span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-81962254818070099832023-04-14T06:18:00.000+03:002023-04-14T06:18:54.393+03:00O prietenie dintre cerc și triunghiul dreptunghic, care durează de milioane de ani<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Se spune că, demult, încă din negura vremurilor, cu mult înainte de apariția dinozaurilor, <i>cercul și-a dat întâlnire cu triunghiul dreptunghic,</i> în taină și nu s-au mai despărțit de atunci niciodată. Și nici nu se vor mai despărți vreodată, deoarece au jurat într-o prietenie veșnică. Iar ei se țin de cuvânt...</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">De-a lungul anilor, însă, odată cu apariția pe Pământ a omului pasionat de Matematică (homo mathematicus), taina celor două figuri geometrice a început să se risipească, în ciuda faptului că ele au rămas, totuși, prietene.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Și iată care este taina lor, ascunsă în imaginea de mai jos:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgvCkD_8RMaW5nJSQFbFUKUKhLu8bT967qkNVxDZUbn8cgIGdtW8xLH0Uld1C1ZTorbs9xCFDNDqT_--6vRPhOa-3-UfzlMrw95iQtK9wUnyY74lIFv-XcuOVaZzToxmUoITgSKqllZCaKsWVmSoTmwA3ca3mEn9ebg-Tl5SB51DHM6DjbzRmHj-HAW-Q" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="952" data-original-width="964" height="632" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgvCkD_8RMaW5nJSQFbFUKUKhLu8bT967qkNVxDZUbn8cgIGdtW8xLH0Uld1C1ZTorbs9xCFDNDqT_--6vRPhOa-3-UfzlMrw95iQtK9wUnyY74lIFv-XcuOVaZzToxmUoITgSKqllZCaKsWVmSoTmwA3ca3mEn9ebg-Tl5SB51DHM6DjbzRmHj-HAW-Q=w640-h632" width="640" /></a></div>Ce trebuie să observați aici? Că unghiul CAB subîntinde semicercul roșu, adică are $90^o$, astfel că triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar <i><b><span style="color: red;">ipotenuza triunghiului dreptunghic este tocmai diametrul cercului circumscris</span></b></i> triunghiului. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Mai observați de aici că segmentele OA, OB și OC sunt tocmai raze ale cercului circumscris, deci sunt egale între ele, proprietate ce poartă numele de <i><b>teorema medianei </b></i>(mediana principală AO este jumătate din ipotenuză).<br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Multe probleme din geometria plană își găsesc rezolvarea în această legătură minunată de care uită majoritatea elevilor de gimnaziu. Așa că, intervenția mea are menirea de a sublinia încă o dată prietenia dintre triunghiul dreptunghic și cerc.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-78701668209079971612023-04-10T06:00:00.001+03:002023-04-10T06:00:00.166+03:00Suma cuburilor este pătratul sumei lui Gauss<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Știți că suma lui Gauss ne spune, de exemplu, că $$1+2+3+...+7=\frac{7\cdot 8}{2}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Așadar, suma primelor n numere naturale este semiprodusul dintre ultimul număr și succesorul său, fapt care se poate exprima prin formula $$1+2+3+\dots n={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Apoi, suma pătratelor se poate exprima printr-o formulă asemănătoare, la care se mai înmulțește o fracție simplă:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$1^2+2^2+3^2+\dots n^2={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\cdot\frac{2n+1}{3}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Dar cea mai interesantă dintre toate este suma cuburilor, care se scrie drept:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$1^3+2^3+3^3+\dots n^3=(1+2+3+\dots n)^2=\left[{\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\right]^2!$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Vă dați seama ce interesantă este această relație? Adică ea ne spune, de exemplu, că: </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2!$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Minunată-i Matematica asta!</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div>Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-62409527179157279302023-04-09T07:25:00.001+03:002023-04-09T07:29:30.384+03:00Cercul și poligoanele regulate<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Ca și oricare dintre triunghiuri, cel echilateral are două cercuri prietene, unul circumscris, care trece prin toate vârfurile sale și unul înscris care atinge toate laturile sale. Doar că, pentru triunghiul echilateral, datorită simetriei perfecte a acestuia, centrele celor două cercuri coincid cu centrul de greutate și cu ortocentrul triunghiului. Această coincidență plăcută simplifică legătura dintre lungimea laturii triunghiului echilateral și razele celor două cercuri.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">În <a href="https://www.geogebra.org/m/cqtmx8se" target="_blank"><i>geogebra am realizat o fișă</i></a> în care puteți găsi formulele aferente legăturii dintre poligoanele regulate aprofundate în gimnaziu, adică triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Vedeți mai jos imaginile corespunzătoare acestor poligoane:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEigNIBLHWf0nr8fOOsA5MJJacqCjLDpzhxEnInh3oaeCmCdcvf82AvrNf1zQoleq7Q16fP4j896VVe_hxY30iXey_WPiNj9dxKOE2XuDQYIoSi_RpupVb0Wd4cuhcXUUNdRReLS4qwha986_HkpUF8c7IVWQmyjWGnNCRxLLjwOfCyobPBKrWpMkCEo3Q" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1296" data-original-width="1546" height="537" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEigNIBLHWf0nr8fOOsA5MJJacqCjLDpzhxEnInh3oaeCmCdcvf82AvrNf1zQoleq7Q16fP4j896VVe_hxY30iXey_WPiNj9dxKOE2XuDQYIoSi_RpupVb0Wd4cuhcXUUNdRReLS4qwha986_HkpUF8c7IVWQmyjWGnNCRxLLjwOfCyobPBKrWpMkCEo3Q=w640-h537" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjm7-Y0QjN9Obox8Gm7BcLqHJI7FzjjotADjNeEYlaNss9iIRXw-uJkCl6cehTqmeBrf_CkR-FSTtW1sTpEtbGEUsGCwGKdxXSTT7Fpk_x7-YFCgcay5bN0fdtGTYzxukoSKHJPUXKTPDP_4Sk9Lw8TOUemZeyTd6ia69M4mSYUO6O5pkRMcqU4GC4W9g" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1298" data-original-width="1550" height="535" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjm7-Y0QjN9Obox8Gm7BcLqHJI7FzjjotADjNeEYlaNss9iIRXw-uJkCl6cehTqmeBrf_CkR-FSTtW1sTpEtbGEUsGCwGKdxXSTT7Fpk_x7-YFCgcay5bN0fdtGTYzxukoSKHJPUXKTPDP_4Sk9Lw8TOUemZeyTd6ia69M4mSYUO6O5pkRMcqU4GC4W9g=w640-h535" width="640" /></a></div><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg3CjCeItO2PmIPceAaOf1rMUGt-NXq_q0XibMf6-mj9U70zow9O8v7DvAkyiI8571zrIAmuJTN6vA0fe5ElURzCytAB4rBQ_6Qk9EQzALlc_7xJxjZGo8kUD0Zo7Z5aYZ294LP-rXHWxhJ_vfwl-w-R8apXtZZ8HzDfRXH0v5NeFynXQPxoPGOBS4gjg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1286" data-original-width="1510" height="545" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg3CjCeItO2PmIPceAaOf1rMUGt-NXq_q0XibMf6-mj9U70zow9O8v7DvAkyiI8571zrIAmuJTN6vA0fe5ElURzCytAB4rBQ_6Qk9EQzALlc_7xJxjZGo8kUD0Zo7Z5aYZ294LP-rXHWxhJ_vfwl-w-R8apXtZZ8HzDfRXH0v5NeFynXQPxoPGOBS4gjg=w640-h545" width="640" /></a></div><br />Vă doresc să puteți asimila cât mai multe dintre aceste minunate formule, între care există o legătură profundă.<br /><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-61148341580674766202022-12-07T07:00:00.002+02:002022-12-07T07:00:00.199+02:00Inegalitatea mediilor: media aritmetică este mai mare decât media geometrică<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Folosindu-ne de cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, despre care am discutat în articolul precedent, putem obține o nouă inegalitate importantă, valabilă pentru medii.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Mai exact, dacă pornim de la două numere reale pozitive $0\leq a\leq b$, putem calcula media lor aritmetică dată de $$M_a(a,b)=\frac{a+b}{2}$$ și media lor geometrică $$M_g=\sqrt{a\cdot b}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">De exemplu, dacă numerele sunt $a=4$ și $b=9$, atunci media lor aritmetică este $$M_a=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$ și $$M_g=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Observați deja că $6,5>6$ și astfel media aritmetică a celor două numere alese este mai mare decât media lor geometrică. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Această inegalitate este una generală, în sensul că media aritmetică a două (sau mai multor) numere reale pozitive este întotdeauna mai mare sau cel puțin egală cu media lor geometrică. Deci, întotdeauna avem $$\color{red}{\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Căci, pornind de la cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, care ne spune că orice număr real ridicat la puterea a doua este mai mare decât zero sau cel puțin egal cu zero, rezultă că acest lucru este valabil și pentru diferența a două numere reale pozitive, oricare ar fi ele $(x-y)^2$, adică avem $$(x-y)^2\geq 0.$$ </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Mai departe, ridicând la puterea a doua paranteza prin înmulțirea parantezei cu ea însăși sau prin utilizarea formulei de calcul prescurtat, vom avea că $$(x-y)^2=(x-y)\cdot(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2.$$ Și cum $(x-y)^2\geq 0$, rezultă că $$x^2-2xy+y^2\geq 0,$$ ceea ce mai înseamnă și $$x^2+y^2\geq 2xy$$ (am aruncat în dreapta termenul $2xy$) și mai înseamnă și $$\frac{x^2+y^2}{2}\geq xy$$ (am împărțit inegalitatea precedentă cu 2).</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Acum, notând $x^2=a$ și $y^2=b$, cum $a$ și $b$ sunt pozitive, va rezulta că $x=\sqrt{a}$, $y=\sqrt{b}$ și $xy=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, ceea ce ne duce direct la inegalitatea mediilor.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Și există o medie (media pătratică) care este chiar mai mare decât media aritmetică. Pentru numerele concrete alese mai sus avem $$M_p=\sqrt{\frac{4^2+9^2}{2}}=\sqrt{48,5}\approx 6,96.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Și există o medie (media armonică) care este mai mică decât media geometrică. Media armonică a lui 4 și 9 este $$M_h=\frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\frac{2}{0,25+0,(1)}\approx 5,53.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Astfel, putem sintetiza inegalitatea mediilor mai frumos: $$\color{red}{b\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq a}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Din această inegalitate celebră mai rezultă că dacă oricare două dintre aceste medii sunt egale, va rezulta că și numerele ale căror medii se calculează sunt egale, concluzie foarte subtilă ce este valorificată în unele probleme mai dificile.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-72532982681916075312022-12-06T04:37:00.001+02:002022-12-06T09:15:37.970+02:00Cea mai importantă inegalitate din gimnaziu!<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Elevii de clasa a șasea învață să lucreze cu numere negative, <i>mai mici</i> decât zero. Ca exemplu, primesc temperatura mediului înconjurător sau etajele de la subsolul unor clădiri înalte. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Li se spune că iarna, atunci când este mai frig decât frigul la care îngheață apele curate, temperatura este negativă, mercurul termometrului fiind foarte înghesuit, ocupând volum mai mic, în timp ce vara temperatura este, de regulă, pozitivă, iar mercurul termometrului este extins mai mult, dilatat mai mult. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">De exemplu, atunci când temperatura este de $-3^o$, este mai frig (nivelul mercurului este mai coborât) decât atunci când temperatura este de $+5^o$, iar diferența de temperatură în acest caz este de $8^o$, adică mercurul urcă 8 etaje ca să ajungă de la etajul $-3$ la etajul 5.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Apoi, după ce au învățat numerele negative, învață să lucreze cu puterile acestora și află că dacă exponentul la care se ridică un număr negativ este par, atunci rezultatul ridicării este un număr pozitiv. De exemplu, $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=+9$.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Din acest moment li se poate povesti despre <i>cea mai importantă inegalitate din gimnaziu</i> și anume despre faptul că $$\color{red}{orice^2\geq 0}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Așadar, <i>orice număr</i> învățat în gimnaziu, ridicat la puterea a doua va da un rezultat pozitiv, indiferent de număr. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">În liceu se învață și alt tip de numere (așa-numitele <i>numere complexe</i>), care ridicate la pătrat ne pot da și un rezultat negativ.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Această inegalitate de care v-am vorbit este cea mai importantă, deoarece din ea rezultă o mulțime de alte inegalități. De exemplu, <i>inegalitatea mediilor</i> se demonstrează ușor cu această inegalitate importantă, ceea ce denotă că inegalitatea mediilor este o consecință frumoasă a celei mai importante inegalități din gimnaziu. </span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Așadar, dragii mei, rogu-vă să vă amintiți des despre această minunăție învățată în gimnaziu, căci ea vă va scoate din belele în majoritatea cazurilor când vi se va cere să demonstrați o inegalitate.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-15864382054090076712022-09-13T21:11:00.002+03:002022-09-27T11:45:17.679+03:00Despre un generator automat de teste-fulger, în format pdf<h1 style="text-align: center;">Despre un generator automat de teste-fulger, în format pdf</h1><h2 style="text-align: justify;">Introducere</h2><div style="text-align: justify;"><div><span style="font-size: large;">Am bucuria să anunț apariția primei versiuni (versiunea beta.5) a unui produs românesc foarte interesant și foarte util pentru o mare categorie de clienți, fie că aceștia sunt elevi, profesori sau părinți. Acest proiect, de mare anvergură, a apărut din dorința de a ajuta cât mai multă lume să înțeleagă <i>fără profesor</i> minunata Matematică, precum și să evalueze cunoștințele dobândite din acest domeniu. El va putea inspira și alți profesori, de la alte materii, să conceapă și ei asemenea baze de date din care calculatorul să genereze aleatoriu o mulțime de teste.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Deocamdată a apărut versiunea corespunzătoare clasei a cincea (motiv pentru care versiunea se numește „beta.5”), urmând ca în lunile și anii care vin, în limita timpului disponibil, să construiesc cu migală și pasiune celelalte baze de date până la clasa a douăsprezecea inclusiv.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><h2>Descriere</h2><div><span style="font-size: large;">Testele-fulger sunt concepute pentru a verifica rapid cunoștințele fundamentale ale elevilor și a le confrunta cu rezolvările corecte amplasate în partea a doua a fișierului de test.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Ele caută să evite posibilitatea copierii de la colegi sau de pe internet a răspunsurilor, prin limitarea drastică a timpului de rezolvare, corelat cu limitarea dificultății problemelor.</span></div><div><span style="font-size: large;"> </span></div><div><span style="font-size: large;">Distractorii sunt concepuți cu multă migală, pe principiul ca elevul care știe să poată alege repede răspunsul corect, iar elevul care nu știe să fie, eventual, indus în eroare de unii distractori.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">La cerere, testele pot fi diversificate după mai multe criterii, precum clasa, unitatea de învățare și chiar tipul itemilor. Mai precis, pot fi generate teste de clasa a cincea cu probleme dintr-o singură unitate de învățare sau mai multe. De asemenea, pot fi generate teste ale căror probleme să prezinte distractorii (itemi obiectivi cu alegere multiplă) sau să nu prezinte distractorii (itemi semiobiectivi, de completare). Pot fi generate chiar și teste care combină itemi cu distractori și itemi fără distractori.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Pot fi generate cărți întregi cu sute de astfel de teste de tipul ales inițial de către client.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Fiecare problemă generată automat de către calculator are asociat un punctaj, care împreună cu punctajul din oficiu ar trebui să totalizeze 1000 de puncte în cazul unei rezolvări complete și corecte.</span></div><div><br /></div><h2>Structură</h2><div><span style="font-size: large;">Testul-fulger are un antet în care poate apărea unitatea de învățământ și numele profesorului, precum și momentul generării testului.</span></div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></div><br /><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhinWBy4ijFXb2IgSxMtK4XlQ-BGZuOV1dWEL5RN0YIEd_QpZqSJzKGnDAqlMykF-vX2223g_kJAvFSLRUUF0q-xu14yiJ3JiZ1slDOpSnGXmu-V6Xbh-PTJREYv1Uds49c2Y7vk3jg6Lxbmvx857w_gmEayDH8wyJBV7jcXHHINZsY7fdlxJQYp1mn4w" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="166" data-original-width="1826" height="58" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhinWBy4ijFXb2IgSxMtK4XlQ-BGZuOV1dWEL5RN0YIEd_QpZqSJzKGnDAqlMykF-vX2223g_kJAvFSLRUUF0q-xu14yiJ3JiZ1slDOpSnGXmu-V6Xbh-PTJREYv1Uds49c2Y7vk3jg6Lxbmvx857w_gmEayDH8wyJBV7jcXHHINZsY7fdlxJQYp1mn4w=w640-h58" width="640" /></a></div><br /><br /></div><div><span style="font-size: large;">Apoi urmează enunțul problemelor din primul test,</span></div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj42fiUpBxWcz1ONj5EB4pWiRZcXAwX7qBPfJH-RQqoScImZ6xw1gV7HwnKmVjx21Ic6qih-JVFeVAXIfHcTcKmwOhl2X0z_W3yAd8chfofTyv43T3GBvzpBBYbVSlWIiDvJF3T4vSkuJ_P8wkB5RJ_TxGKmIw_qw1qH10NHv_JWdqS7-lJWa_rjRdx3A" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1066" data-original-width="1880" height="362" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj42fiUpBxWcz1ONj5EB4pWiRZcXAwX7qBPfJH-RQqoScImZ6xw1gV7HwnKmVjx21Ic6qih-JVFeVAXIfHcTcKmwOhl2X0z_W3yAd8chfofTyv43T3GBvzpBBYbVSlWIiDvJF3T4vSkuJ_P8wkB5RJ_TxGKmIw_qw1qH10NHv_JWdqS7-lJWa_rjRdx3A=w640-h362" width="640" /></a></div><br /></div><div><span style="font-size: large;">care pot fi probleme <span style="color: red;">fără distractori</span> sau probleme <span style="color: #2b00fe;">cu distractori</span>, după cum apare în cerința clientului:</span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiD9EQ0E_fdDdbEo4Hnyu9Ld_OAlmDEFkWXTssko_QBi_7FtCchs3vWQBPco32LYktN4ipj0Q4dlr7k99zTsdiZubKY1n8k554YFaUvG9x-SqxtGwgnOdsZNOps7jZohTSla2ddhyBX_BXNp3nra7Eid-sR5PAEGhBS5zjvPQOB8hlT3mFFkhBOG68dHQ" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1148" data-original-width="1630" height="450" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiD9EQ0E_fdDdbEo4Hnyu9Ld_OAlmDEFkWXTssko_QBi_7FtCchs3vWQBPco32LYktN4ipj0Q4dlr7k99zTsdiZubKY1n8k554YFaUvG9x-SqxtGwgnOdsZNOps7jZohTSla2ddhyBX_BXNp3nra7Eid-sR5PAEGhBS5zjvPQOB8hlT3mFFkhBOG68dHQ=w640-h450" width="640" /></a></div><br /><br /></div><div><span style="font-size: large;"><span style="color: #ffa400;">unitățile de învățare</span> fiind cele din structura programei pentru clasa a cincea:</span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhO5WvjVqPeTlNDx871Qb6eDH4c8UJuldPfOsPCgulWVHdb2rv530mg2xga4cpz-mAoPnsJG9WTPvXMohYE7pJW9yRxHWBweTt4yyzKJWGjnbDKK77CUwNYFaTVyJJmqRgrv8HDg9KG0SSoQ8m48e4PS66tDvO1J4vTU4gJ74LSM3KGzegHEi0JDjz6MA" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="438" data-original-width="632" height="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhO5WvjVqPeTlNDx871Qb6eDH4c8UJuldPfOsPCgulWVHdb2rv530mg2xga4cpz-mAoPnsJG9WTPvXMohYE7pJW9yRxHWBweTt4yyzKJWGjnbDKK77CUwNYFaTVyJJmqRgrv8HDg9KG0SSoQ8m48e4PS66tDvO1J4vTU4gJ74LSM3KGzegHEi0JDjz6MA=w400-h278" width="400" /></a></div><br /><br /></div><div><span style="font-size: large;">iar numărul de teste putând fi, de asemenea, modificat după dorință în interiorul fișierului-sursă LaTeX:</span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgZtNV6IGHW8zuqpdXipFwRdgIBbiPEZA4zJA2UbWZKfdOfkjI3FyBrJoDIIqswYEt9JKafdQRRRYKe9B13a4YtK_Fh1U7K8PN_VXJe18wUjiBb8RYVZmZ3LdHgfF7Lu86SJBy7AW3TqbbZ-76PxN5V8Vrgyfed1P6qsiqYV7jTeIhyaX_To12g4egYlQ" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="402" data-original-width="1526" height="168" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgZtNV6IGHW8zuqpdXipFwRdgIBbiPEZA4zJA2UbWZKfdOfkjI3FyBrJoDIIqswYEt9JKafdQRRRYKe9B13a4YtK_Fh1U7K8PN_VXJe18wUjiBb8RYVZmZ3LdHgfF7Lu86SJBy7AW3TqbbZ-76PxN5V8Vrgyfed1P6qsiqYV7jTeIhyaX_To12g4egYlQ=w640-h168" width="640" /></a></div><br /><span style="font-size: large;">Testul mai conține, așa cum am considerat firesc, rezolvările și explicațiile, care apar pe o pagină nouă ca să poată fi imprimate separat și să nu le vadă la început elevul:</span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhxGZcUrvpDa_haP4-fdcynfyh75yls-I0VH1rsemJRGFCQi8rB2JQboPl4N9_JROP8Hy3hpZ4G-xVpsCKl38QEQ-_0rIOonlrGLUsrTuuBbQGlhp2eIeFcs_HzeJCE8PC_FXmLiEupCk31SEKkCzgeYUsryki6blQQ-S07b7wL0g8E_WKuBfSxjI4Qfg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1070" data-original-width="950" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhxGZcUrvpDa_haP4-fdcynfyh75yls-I0VH1rsemJRGFCQi8rB2JQboPl4N9_JROP8Hy3hpZ4G-xVpsCKl38QEQ-_0rIOonlrGLUsrTuuBbQGlhp2eIeFcs_HzeJCE8PC_FXmLiEupCk31SEKkCzgeYUsryki6blQQ-S07b7wL0g8E_WKuBfSxjI4Qfg=w568-h640" width="568" /></a></div></div><div><br /></div><h2>Pentru părinți</h2><div><span style="font-size: large;">Părintele poate imprima unul sau mai multe dintre testele alese, împreună cu rezolvările, iar copilul va primi doar partea cu enunțuri pentru a rezolva problemele, urmând ca după rezolvarea testului, să fie confruntată rezolvarea elevului cu rezolvarea propusă prin test. Asemenea teste pot ajuta părinții nu doar să-și evalueze singuri copiii, ci chiar și să le explice rezolvarea.</span></div><div><br /></div><h2>Pentru profesori</h2><div><span style="font-size: large;">Testele propuse pot ajuta enorm profesorii pentru a le da elevilor teme sau pentru a-i evalua la clasă. În funcție de nivelul clasei, profesorul poate mări (dubla, tripla) sau micșora timpul propus pentru rezolvarea testului.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Foarte important, antetul și filigranul pot fi modificate la cerere pentru profesori, folosindu-se școala și numele profesorului respectiv.</span></div><div><br /></div><h2>Versiuni</h2><div><span style="font-size: large;">Versiunea de lansare este „beta.5”, însemnând că este vorba despre versiunea beta aferentă clasei a cincea, care garantează existența unui număr suficient de probleme în baza de date aferente clasei a cincea.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Următoarele versiuni vor rămâne versiuni beta până la atingerea a cel puțin 100 de probleme în fiecare unitate de învățare, caz în care versiunile vor deveni 1.5, 1.6 și așa mai departe. Așadar, primul număr al versiunii va reprezenta numărul de sute de probleme din bazele aferente unităților de învățare, iar numărul al doilea, de după punct, reprezintă clasa la care s-a ajuns cu versiunea respectivă în ordinea crescătoare a lor (începând cu clasa a cincea și terminând cu clasa a douăsprezecea).</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Astfel, după versiunea beta.5 va urma versiunea beta.6, apoi beta.7 și tot așa până la apariția versiunii beta.12, după care va apărea versiunea 1.5 (cu peste 100 de probleme la fiecare unitate de învățare din clasa a cincea), apoi 1.6 (cu peste 100 de probleme la fiecare unitate de învățare din clasa a șasea) și așa mai departe.</span></div><div><br /></div><h2>Prețul</h2><div><span style="font-size: large;">Prețul de pornire al acestor teste este stabilit la 10 bani pe problemă, elevii mei beneficiind de gratuitate în cursul întregului an în care le sunt mentor. Astfel, un test care va conține, de exemplu, 15 probleme va costa 1,5 lei.</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Dacă clientul dorește 10 teste cu 15 probleme fiecare, se vor însuma 150 de probleme, prețul total devenind astfel 15 lei. Acest preț, împreună cu descrierea testului vor apărea automat la finalul fiecărui fișier pdf generat.</span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiz9CGEuIatuX-_EO9HKsviBk3yst1f4q4RYi--Izos0BW3lNYpDdC2hsL1oB9sSaVYvZSTZYRfvtDj8Uk-NDjfvQHWhJe3AqA0E4R6pbqbHvjG2s51rKt-vKECNRF130VAHYvBEl9SDLe8plXmdhWqj3PxBbgZSaNM9gs_xNsJ3vh1FDZ3DMdvIvJFWQ" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1456" data-original-width="1906" height="489" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiz9CGEuIatuX-_EO9HKsviBk3yst1f4q4RYi--Izos0BW3lNYpDdC2hsL1oB9sSaVYvZSTZYRfvtDj8Uk-NDjfvQHWhJe3AqA0E4R6pbqbHvjG2s51rKt-vKECNRF130VAHYvBEl9SDLe8plXmdhWqj3PxBbgZSaNM9gs_xNsJ3vh1FDZ3DMdvIvJFWQ=w640-h489" width="640" /></a></div>În foaia de calcul „<a href="https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Omu2i_1eFA5G6tussGG_AyqkwAnE6JNBSthbFoOZ-eU/edit?usp=sharing" target="_blank"><b><i>Lungimea bazelor de date</i></b></a>” puteți afla câte probleme am reușit să creez în fiecare dintre bazele de date până în prezent, adică găsiți ceva de genul:</div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhGjlBlIFUy7zetlqvyZ0qr0t82UcUgs-uCJ5O1-Wes7QZiZkDNYWEOoq7zhTxPnRiiB2JKbc_M1gYO0xtVTEey-sQ4KVAYNZCjfh6JLO-cRGhQRD9CzTycygQ6ZPkgeNW55rP3o_UULYiY43O08TFo2fatbyl4GKDCmm0wb9Ua5kA_Qkpx2BIU8ENI4w" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1188" data-original-width="2674" height="285" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhGjlBlIFUy7zetlqvyZ0qr0t82UcUgs-uCJ5O1-Wes7QZiZkDNYWEOoq7zhTxPnRiiB2JKbc_M1gYO0xtVTEey-sQ4KVAYNZCjfh6JLO-cRGhQRD9CzTycygQ6ZPkgeNW55rP3o_UULYiY43O08TFo2fatbyl4GKDCmm0wb9Ua5kA_Qkpx2BIU8ENI4w=w640-h285" width="640" /></a></div><br /><br /><br /></div></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-35436115684184373322022-06-21T15:26:00.002+03:002022-06-21T15:26:50.328+03:00V-M+F=2<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Acest domn Euler a fost o minune, un înger pe Pământ. Dânsul ne-a lăsat această relație superbă, $$\color{red}{V-M+F=2}$$ care ne face legătura între numărul de Vârfuri, de Muchii și de Fețe ale unui poliedru.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Puteți reține ușor relația domnului Euler, căci literele care apar sunt în ordine alfabetică descrescătoare și avem un semn minus în mijloc.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">De exemplu, o piramidă patrulateră are </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiZiwsroozLARdZd_5leur1LcyQjQJxh-vV7dImjqVSsnI6rUZ-QAhyOtoM7z5y8ApNEQ2oIzOD8tEoWM_bOeRDY3hNwdQ9dplcvPnqTk1ezJYiGx2lqyviPzrUBLgh60Bx_WJ3ViFONLT_eK6J0fxeDSnDbjPH-rbrs6HDY5bNkW_gSWPXdfuJg1_PNw" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img alt="" data-original-height="1000" data-original-width="1263" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiZiwsroozLARdZd_5leur1LcyQjQJxh-vV7dImjqVSsnI6rUZ-QAhyOtoM7z5y8ApNEQ2oIzOD8tEoWM_bOeRDY3hNwdQ9dplcvPnqTk1ezJYiGx2lqyviPzrUBLgh60Bx_WJ3ViFONLT_eK6J0fxeDSnDbjPH-rbrs6HDY5bNkW_gSWPXdfuJg1_PNw" width="303" /></span></a></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><span style="font-size: large;">$V=4+1=5$, cinci vârfuri, $M=2\cdot 4=8$, opt muchii și $F=4+1=5$, cinci fețe. Deci, $V-M+F=5-8+5=\color{red}{2}$.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Mai vedeți și voi alte exemple, poate vă iese tot $\color{red}{2}$.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-52972902596506614242021-12-10T06:51:00.001+02:002021-12-10T06:52:23.367+02:00Sensul unui vector. Orientare. Clasa a IX-a.<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh24dDS89GrcBnpnZAdrpvp4vIUUqpexiGtzNHRIBQOEVfB7ZFREpRtwPw1Cv45bt4_SwalB7YuZ49TuIMLVUmppqG_7kJZ0G7HZClnBeSvTIPnduC91fwIeq_J0BjXj0fvOpvjtsjmzZ4n/s922/testul+12.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" data-original-height="304" data-original-width="922" height="212" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh24dDS89GrcBnpnZAdrpvp4vIUUqpexiGtzNHRIBQOEVfB7ZFREpRtwPw1Cv45bt4_SwalB7YuZ49TuIMLVUmppqG_7kJZ0G7HZClnBeSvTIPnduC91fwIeq_J0BjXj0fvOpvjtsjmzZ4n/w640-h212/testul+12.png" width="640" /></span></a></div><span style="font-size: large;"><br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Problema 5 din ultimul test ne cere vectorul opus al unui vector. Datorită faptului că un vector este orientat, contează ordinea în care scriem cele două litere care definesc vectorul. Așadar, vectorul XK nu este tot una cu vectorul KX. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Este adevărat, cei doi vectori XK și KX nu diferă foarte mult între ei, căci au aceeași direcție și același modul. Singurul lucru prin care diferă ei este <i>sensul</i>. Dacă unul dintre ei pleacă „în sus”, celălalt va pleca „în jos”. Dacă unul dintre ei pleacă „spre dreapta”, celălalt va pleca „spre stânga”, iar dacă unul dintre ei va pleca „înainte”, celălalt va pleca „înapoi”. Am pus ghilimele pentru a mă referi la o orientare universală, independentă de suprafața Pământului.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Din acest motiv, cei doi vectori se numesc „opuși”. Așadar, dacă vi se va mai cere vreodată vectorul opus lui XK să știți că vi se cere de fapt vectorul ale cărui litere sunt comutate, adică vectorul <span style="color: red;">KX</span>.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-61919375447696400892021-10-17T17:20:00.000+03:002021-10-17T17:20:53.852+03:00Intersecția mulțimii precedente cu mulțimea numerelor raționale<div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><span style="font-size: large;">Dacă în problema precedentă trebuia să intersectăm mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8} cu mulțimea numerelor întregi, de data aceasta se cere să o intersectăm cu mulțimea numerelor raționale, notată cu Q. Astfel, elevul care va rezolva această problemă trebuie să cunoască simbolul mulțimii numerelor raționale și mai trebuie să știe ce înseamnă număr rațional sau măcar să poată face distincția dintre numerele raționale și numerele iraționale.<br /><br /><br />El va ști că tot ce a pus în rezolvarea precedentă (unde trebuia să intersecteze cu Z) va fi bun și în această rezolvare, deoarece orice număr întreg este și rațional. De asemenea, va ști că orice „radical urât”, adică radical cu virgulă va fi număr irațional, deci nu va trebui pus în intersecția cu Q. În mulțimea noastră avem doi radicali urâți, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$, deci aceștia nu vor avea ce căuta printre numerele raționale din rezultat.<br /><br />Drept urmare, intersecția dintre mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8} și Q va fi <br />$$M\cap \mathbb{Q}=\color{red}{\{-6;-1/5;-\sqrt{9};0;0,7;8\}}.$$</span><div style="text-align: justify;"></div>Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-1471180433087372142021-10-11T10:56:00.002+03:002021-10-11T10:56:40.801+03:00Intersecția cu mulțimea numerelor întregi a unei mulțimi care conține tot felul de numere ciudate<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">În 20 de secunde ar trebui să putem rezolva următoarea problemă simplă de clasa a șaptea, a treia din testul-fulger apărut recent: „<span style="color: #2b00fe;"><i>Dată fiind mulțimea M={-6;-1/5;-sqrt(9);0;sqrt(2);sqrt(3);0,7;8}, se cere intersecția dintre M și Z. </i></span>”</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi2YBwJo353GhTCvGhPJsi0sN6BcNjno-vlzSSq0Y-GgfCrfqsKS7kWCwB4K_Z_-pMxIMBbAUDqqvUcselD99Fh4AP5nceWBj_Zp1Aw1aE1Z67UUpjwY5uOo_ttN4kuNGCdkUobgtpTayg/s922/testul+12.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" data-original-height="304" data-original-width="922" height="212" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi2YBwJo353GhTCvGhPJsi0sN6BcNjno-vlzSSq0Y-GgfCrfqsKS7kWCwB4K_Z_-pMxIMBbAUDqqvUcselD99Fh4AP5nceWBj_Zp1Aw1aE1Z67UUpjwY5uOo_ttN4kuNGCdkUobgtpTayg/w640-h212/testul+12.png" width="640" /></span></a></div><span style="font-size: large;"><br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Altfel spus, se cer, de fapt, numerele întregi (căci Z este mulțimea numerelor întregi) din mulțimea M. Căci intersecția a două mulțimi este o nouă mulțime care conține elementele comune din cele două mulțimi, așa cum intersecția a două străzi conține partea comună a celor două străzi.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Ne rămâne atunci să analizăm pe rând fiecare element al mulțimii M ca să putem decide dacă el este număr întreg sau nu este. În cazul în care vom constata că este număr întreg îl vom așeza în noua mulțime, iar în cazul în care nu este număr întreg vom sări peste el.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Numerele întregi sunt cele ce pot fi scrise fără virgulă și fără fracție. Astfel, primul număr $-6$ este întreg, chiar dacă are semnul minus în față (numerele naturale sunt cele fără minus). Următorul număr, adică $-\frac{1}{5}$ nu poate fi scris fără fracție sau fără virgulă, așa că nu este număr întreg. Apoi, $-\sqrt{9}$ este număr întreg, căci este un radical frumos ce poate fi calculat și ne dă $-\sqrt{9}=-3$, așadar este număr întreg, deci îl vom așeza în mulțimea ce ne dă intersecția. Apoi numărul $0$ este număr întreg, căci este și natural și orice număr natural este și întreg (dar nu și reciproc). Radicalii urâți care urmează, $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt numere întregi, ba chiar nici măcar numere raționale, căci toți radicalii ăștia urâți, care nu se pot calcula exact, sunt numere iraționale. Ne mai rămâne atunci să analizăm numerele $0,7$ și $8$, dintre care, desigur, doar numărul $8$ este număr întreg, așa cum ne trebuie nouă în rezultat.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Atunci, punând împreună concluziile precedente, înțelegeți mai bine de ce obținem că noua mulțime de la răspuns va fi formată din elementele: $$\color{red}{-6,\,-\sqrt{9},\,0,\,8}.$$</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-57484276686645727512021-10-03T08:35:00.005+03:002021-10-03T08:36:59.971+03:00În triunghiul SUV unghiul U este dublul lui V, iar S are 60 de grade. Câte grade are U?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Acesta este enunțul celei de-a doua probleme din politestul pe care îl rezolvăm acum.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Pentru a rezolva problema pornim de la faptul că <b><i>suma (măsurilor) unghiurilor unui triunghi este 180 de grade</i></b>, oricât de urât ar fi triunghiul respectiv. Până aici a fost geometrie, iar de aici încolo va fi algebră. Deci, avem de rezolvat o ecuație. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Dacă notăm măsura unghiului V cu x, atunci ecuația noastră este $$2x+x+60=180.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Așadar, $3x=180-60=120$. De aici rezultă că unghiul V are măsura $x=40$, deci unghiul U, fiind dublul lui V, va avea valoarea $$U=2x=2\cdot 40=\color{red}{80}.$$</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-71140364835180960082021-10-01T08:10:00.003+03:002021-10-01T08:10:40.821+03:00Fracție ireductibilă cu numitorul 12<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Începem o nouă serie articole în care vom rezolva politestul-fulger de clasa a douăsprezecea apărut în 1 octombrie.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLXHIkQBuxA9pssuMM5YwJwjSus5zNb2swhbdRIo_cJMY8KtkVZ8z_F-rBHSHWuFdnWbi5l7v9bGPM9JjbYKngbXr6rCdYVYCfuylBm1sWJTSg5iGnoUnv2kFTCYsWrRPAc9rb6ZfmMrhk/s922/testul+12.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" data-original-height="304" data-original-width="922" height="212" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLXHIkQBuxA9pssuMM5YwJwjSus5zNb2swhbdRIo_cJMY8KtkVZ8z_F-rBHSHWuFdnWbi5l7v9bGPM9JjbYKngbXr6rCdYVYCfuylBm1sWJTSg5iGnoUnv2kFTCYsWrRPAc9rb6ZfmMrhk/w640-h212/testul+12.png" width="640" /></span></a></div><span style="font-size: large;"><br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Astăzi, prima problemă ne cere să dăm un exemplu de fracție ireductibilă cu numitorul 12. Elevul de clasa a cincea (și, implicit, cel de clasa a douăsprezecea) trebuie să știe că o fracție este ireductibilă dacă nu se mai poate simplifica. Mai departe, aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul sunt <i>relativ prime</i>, adică au cel mai mare divizor comun egal cu unitatea.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Numerele relativ prime nu trebuie să fie neapărat prime. Noțiunea de „relativ” se referă la o comparație între cele două numere, adică unul trebuie să fie prim <i>față de</i> celălalt. De exemplu, numerele 15 și 8, deși nu sunt prime, totuși sunt relativ prime pentru că nu există niciun număr cu care să se poată împărți exact amândouă (cu excepția lui 1, desigur, care este irelevant căci nu modifică nimic).</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Așadar, ca să putem crea o fracție ireductibilă cu numitorul 12 este necesar să găsim un număr relativ prim cu 12 pe care să-l așezăm la numărătorul fracției. Desigur că orice număr prim va fi relativ prim cu orice alt număr care nu-l va avea ca divizor pe acel număr prim. Aceasta înseamnă că, de exemplu, orice număr prim mai mare decât 12 ar putea rezolva problema noastră. Mai exact, oricare dintre fracțiile: </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">$$\color{red}{\frac{13}{12}},\,\frac{17}{12},\,\frac{19}{12},\,\frac{23}{12},\,\frac{29}{12},\,\dots$$ </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">va fi o fracție care duce la rezolvarea problemei.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Da, bineînțeles, cum spunea, nu doar numerele prime mai mari decât 12 pentru numărător sunt soluția. Alte exemple, fără numere prime, pot fi:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">$$\frac{25}{12},\,\frac{49}{12},\,\frac{121}{12},\,\frac{125}{12},\,\dots$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Evident că elevul din clasele terminale ale liceului ar fi bine să cunoască aceste detalii, pentru a putea rezolva problemele mult mai complicate apărute de-a lungul anilor.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-56087512490776476602021-09-20T06:00:00.006+03:002021-09-21T05:38:14.911+03:00Ce valoare are produsul scalar dacă vectorii sunt perpendiculari?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">
Textul</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Ultima problemă din politestul curent</span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMC0_AL7ZmAjP18d4GL6JfjcUOb6ngsmvQEiFtVHFziHQCL6SPwW31VmNJd1WBdnXsuKUcKJQDeyHDsDxZtXC2djaNGe5DTLh1jd-ycMiqD4jrzy2mVFSCTNfTfPHwH8_CiqI0_nHJrUUi/s1082/Politest+clasa+IX.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="396" data-original-width="1082" height="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMC0_AL7ZmAjP18d4GL6JfjcUOb6ngsmvQEiFtVHFziHQCL6SPwW31VmNJd1WBdnXsuKUcKJQDeyHDsDxZtXC2djaNGe5DTLh1jd-ycMiqD4jrzy2mVFSCTNfTfPHwH8_CiqI0_nHJrUUi/w640-h234/Politest+clasa+IX.png" width="640" /></a></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">spune „<span style="color: #2b00fe;">Ce valoare are produsul scalar dacă vectorii sunt perpendiculari?</span>”</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">În cinci secunde, elevul știe că doi vectori perpendiculari are produsul scalar egal cu <span style="color: red;"><i>zero</i></span>, deoarece unghiul dintre vectorii perpendiculari fiind un unghi drept, cosinusul acestuia este zero.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">În general, produsul scalar dintre doi vectori este un număr dat de un produs de trei factori, doi dintre factori fiind modulele vectorilor respectivi, iar al treilea factor fiind cosinusul unghiului dintre cei doi vectori. Adică:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">$$|\vec u|\cdot|\vec v|=uv\cos(\vec u;\vec v).$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Și cum $$\cos 90^o=0,$$ rezultă ceea ce se constată și la răspunsul din politest.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-72320702636620682232021-09-19T12:34:00.001+03:002021-09-19T12:36:58.892+03:00Care este valoarea extremă a funcției de gradul al doilea $f(x)=-2x^2+6x+5$?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">
În politestul de clasa a noua pe care îl discutăm acum</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/LyMQJE8Y6dg6bg-g5KYo3upqDJ3xI3o6SMnkkPudqiIPgm31gKRBJBAyTaO6HF-RSrOEw6eLwYJf8rk=s400" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" data-original-height="146" data-original-width="400" height="234" src="https://1.bp.blogspot.com/LyMQJE8Y6dg6bg-g5KYo3upqDJ3xI3o6SMnkkPudqiIPgm31gKRBJBAyTaO6HF-RSrOEw6eLwYJf8rk=w640-h234" width="640" /></span></a></div><span style="font-size: large;">găsim problema:</span><div><span style="font-size: large;">„<span style="color: #2b00fe;">Fie funcția de gradul al doilea, definită pe R cu valori în R, dată prin $f(x)=-2x^2+6x+5$. Care este valoarea ei extremă?</span>”</span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Se poate rezolva în 20 de secunde această problemă? Cum dumnezeu? Păi, elevul care știe că valoarea extremă a funcției de gradul al doilea este tocmai ordonata vârfului parabolei va calcula repede pe $\Delta$ și va face raportul necesar. </span></div><div><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: large;">Cum vârful parabolei are coordonatele: $$V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)$$ și cum ordonata acestui vârf este $$-\frac{\Delta}{4a},$$<br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">rezultă că vom calcula pe $\Delta=36+40=76$ și raportul $$-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{76}{-8}=\color{red}{\frac{19}{2}}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Aceasta este valoarea extremă (maximă) a funcției date. Valoarea minimă nu există, căci pentru $a<0$ (coeficientul lui $x^2$ este negativ) parabola are vârful în sus, iar în acest caz cea mai mică valoare posibilă a funcției ar fi $-\infty$, care nu aparține mulțimii numerelor reale (ci numai lui $\mathbb{\bar{R}}$).</span></div>
</div>Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-72021014526320264762021-09-17T04:36:00.005+03:002021-09-19T11:47:51.081+03:00Care interval este soluția inecuației $2x-1>7$?<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">A șaptea problemă din politestul recent de clasa a noua ne cere să găsim soluția unei inecuații. Inecuația nu este complicată și tocmai de aceea primim 20 de secunde pentru rezolvarea ei.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/Shwxhdh6sNNECS0caNbunubYlRLyhuOnOIgw_zV1ezVWve8OVj_LGibxyQWW3SHz6eObEhiUPZ6kdXQ=s400" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="146" data-original-width="400" height="234" src="https://1.bp.blogspot.com/Shwxhdh6sNNECS0caNbunubYlRLyhuOnOIgw_zV1ezVWve8OVj_LGibxyQWW3SHz6eObEhiUPZ6kdXQ=w640-h234" width="640" /></a></div><br /><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Așadar, să începem. Dacă inecuația este $$2x-1>7,$$ noi o vom transforma în așa fel încât să scăpăm de numerele din jurul lui $x$. Astfel, din $2x-1>7$ putem obține $2x>7+1$, căci l-am aruncat pe $-1$ de lângă $x$ în partea cealaltă a semnului de inegalitate. Și observați că am început cu $-1$, nu cu $2$ deoarece procedăm ca și în cazul „mersului invers” când începem tocmai invers, cu operațiile care se fac ultimele (în acest caz am început cu scăderea și am transformat-o în adunare).</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Acum am obținut inecuația echivalentă $$2x>8.$$ Următorul pas este să scăpăm și de $2$ care este înmulțit cu $x$. Pentru aceasta, desigur, vom împărți inecuația cu $2$. Cum $2$ este pozitiv, nu se va schimba semnul inegalității (dacă era negativ, s-ar fi schimbat). Obținem acum $$x>\frac{8}{2},$$ adică $$x>4.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Această ultimă formă a inecuației în care am reușit să-l eliberăm pe $x$ de numerele din jurul său este forma finală din care vom putea extrage intervalul cerut. Inecuația ne spune că ne trebuie toate numerele mai mari decât $4$. Toate acele numere sunt soluții ale inecuației date. Și cum exprimăm toate aceste numere ca un interval? Cum putem să ne referim la „toate numerele mai mari decât $4$”? Iată cum: $$\color{red}{(4;+\infty)}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Acest interval este soluția inecuației date.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Ați găsit explicații mai detaliate undeva? Ce mă bucur că pot să vă ajut!</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-28253304611874834372021-09-14T06:32:00.002+03:002021-09-14T06:32:23.692+03:00Care sunt elementele mulțimii A={x aparține lui Z | 3/x aparține lui Z}?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">A șasea problemă din politestul-fulger pe care îl rezolvăm în această serie de articole ne cere mulțimea elementelor care satisfac o anumită proprietate. Elevul trebuie să înțeleagă cerința și să fie atent la mulțimile care apar în cerință. În cazul problemei noastre în cerință apare mulțimea numerelor întregi, adică a celor ce pot fi scrise simplu fără virgulă (dar care pot fi negative).</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Așadar, <span style="color: #2b00fe;">care sunt elementele mulțimii A={x aparține lui Z | 3/x aparține lui Z}</span>? </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Înainte de toate trebuie să ne uităm la fracția $\frac{3}{x}$ și să studiem ce ar trebui să fie numitorul pentru ca această fracție să fie număr întreg. Desigur, numitorul trebuie să fie un divizor al lui trei. Iar acești divizori ai lui trei pot fi și negativi, deoarece mulțimea Z conține și numere negative. Dacă ar fi fost vorba de N, atunci trebuia să avem grijă să ne limităm doar la divizorii pozitivi, dar mulțimea Z ne permite și numerele negative.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Cum divizorii întregi ai lui $3$ sunt $-3$, $-1$, $1$ și $3$ și cum numitorul nu mai conține altceva decât tocmai necunoscuta $x$, rezultă că răspunsul la problema noastră va fi simplu: $$\color{red}{-3,\,-1,\,1,\,3}.$$</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-60820040980296563762021-09-11T22:15:00.003+03:002021-09-12T04:11:11.639+03:00Radical din 8 plus radical din 2 este radical din 18. Interesant, nu-i așa!?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">
Textul</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg16wzPEYy9OAdFUTWTu5hdnXsi_XxOTFfFcx4_nYdSe5wvGndwb7zT6koapuKLqPHxtIukvUVxVXxfUyjcgsavamCF6Boyv7Z0fyCCj-FMIWr-EPgwSv80dQU0ksxdl6YNnUpsLz3Uw8CK/s1082/Politest+clasa+IX.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" data-original-height="396" data-original-width="1082" height="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg16wzPEYy9OAdFUTWTu5hdnXsi_XxOTFfFcx4_nYdSe5wvGndwb7zT6koapuKLqPHxtIukvUVxVXxfUyjcgsavamCF6Boyv7Z0fyCCj-FMIWr-EPgwSv80dQU0ksxdl6YNnUpsLz3Uw8CK/w640-h234/Politest+clasa+IX.png" width="640" /></span></a></div><span style="font-size: large;"><br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Problema 5 din politest ne cere un lucru simplu: <span style="color: #2b00fe;">să adunăm $\sqrt{8}$ cu $\sqrt{2}$</span>.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Sunt elevi care cred că rezultatul ar fi $\sqrt{8+2}$. Alții cred că adunarea nu se poate face, deoarece radicalii nu sunt de același fel.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Dar, de fapt, calculul se poate face ușor după ce ne ocupăm întâi de $\sqrt{8}$ pe care îl transformăm în $2\sqrt{2}$. Astfel, avem:</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">$$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=\color{red}{3\sqrt{2}=\sqrt{18}}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Mai exact, radicalii de același fel se adună ușor, așa cum adunăm merele sau perele. Astfel, doi radicali din 2, adunat cu încă un radical din 2 ne vor da trei radicali din 2, așa cum două mere plus un măr fac trei mere.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Mai rămâne să înțelegem de ce $\sqrt{2}$ poate fi asimilat cu $2\sqrt{2}$. O metodă ar fi descompunerea numărului 8 în factori primi, care ne va da că $8=2^3$. Cum doar doi de 2 se pot împerechea, celălalt 2 rămâne sub radical.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Cealaltă metodă este să observăm că numărul $8$ nu este liber de pătrate, căci în el se ascunde pătratul perfect $4$. Atunci $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: large;">Și consider că astfel v-am arătat detaliile rezolvării acestei probleme frumoase.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-52775067693406917252021-09-09T22:29:00.002+03:002021-09-11T15:30:12.449+03:00Problemă de a șaptea cu paralelogramul ABEL<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">O altă problemă din testul precedent spune că „În paralelogramul ABEL unghiul E are 70 de grade. Câte grade are unghiul A?".</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Se poate rezolva problema în zece secunde, așa cum spune politestul-fulger? Bineînțeles. Oare trebuie desenat paralelogramul? Nicidecum. Este suficient să știm că ordinea literelor ne spune că unghiul A este opus unghiului E și că unghiurile opuse într-un paralelogram sunt egale. Gata.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Nu-i așa că aceste teste scot la iveală rapid și sigur cunoștințele fundamentale ale elevului? Nu-i așa că asemenea teste pot fi folosite chiar și cu cărțile în față? Cine știe nu mai are nevoie să caute și se încadrează în timp, iar cine are nevoie să caute nu știe și nu se încadrează în timp.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-66015664995714877302021-09-07T21:25:00.002+03:002021-09-08T07:14:36.620+03:00Cercul circumscris și mediatoarele<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">A doua problemă din politestul de clasa a IX-a apărut în 29 august este acum de clasa a șasea. Observați că politestele de clasa a IX-a au o problemă de a cincea și câte două problemele din clasele următoare.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuM1Tz-5O5DJV6O64-DlzGkelIfyYTHDnx72KXNwBHLRxUF58LrYpeGMxsi6uxPaokLHl3QYWRxZNS43c15NxcVOGiK7vT2KbTfXWsHnSodxLZwmuVVKcpQ-qN1eePCVStX_VS734Dr0s3/s1082/Politest+clasa+IX.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img border="0" data-original-height="396" data-original-width="1082" height="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuM1Tz-5O5DJV6O64-DlzGkelIfyYTHDnx72KXNwBHLRxUF58LrYpeGMxsi6uxPaokLHl3QYWRxZNS43c15NxcVOGiK7vT2KbTfXWsHnSodxLZwmuVVKcpQ-qN1eePCVStX_VS734Dr0s3/w640-h234/Politest+clasa+IX.png" width="640" /></span></a></div><span style="font-size: x-large;"><br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Această primă problemă de clasa a șasea ne spune: <i><span style="color: #2b00fe;">în triunghiul VOR centrul cercului circumscris se află la 12 cm de punctul V. Se cere distanța de la punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului VOR la punctul O.</span></i></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Problema este extrem de simplă și ar putea fi rezolvată în mai puțin de un minut de către elevul care știe că punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului este tocmai centrul cercului circumscris triunghiului dat. Dar elevul care nu cunoaște această proprietate este pierdut. Tot pierdut este și elevul care nu înțelege textul și, implicit, nu înțelege cerința problemei.</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoyQOLCcbyqaPrSvLhZQiRGg4A7bGuM-9XA2wd2GmpLT_26yWi6P_GLXGzLtEc3vp4AeX5CKPMufB8Ki3ObO7_Eo46XytF_nsQs3p3x2fCXml-HUZIK-q3U9SNTPYipKUzjCNzV5OzWQqm/s398/triunghiul.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: x-large;"><img border="0" data-original-height="343" data-original-width="398" height="345" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoyQOLCcbyqaPrSvLhZQiRGg4A7bGuM-9XA2wd2GmpLT_26yWi6P_GLXGzLtEc3vp4AeX5CKPMufB8Ki3ObO7_Eo46XytF_nsQs3p3x2fCXml-HUZIK-q3U9SNTPYipKUzjCNzV5OzWQqm/w400-h345/triunghiul.png" width="400" /></span></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><span style="font-size: x-large;">Elevul care știe că centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor știe că acest centru este la distanțe egale de vârfurile triunghiului, aceste distanțe fiind razele cercului circumscris, deci știe că răspunsul va fi tot <span style="color: red;">12 cm</span>.</span><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Desigur, elevul „pierdut” ar trebui să poată redescoperi proprietatea conform căreia centrul cercului circumscris este la intersecția mediatoarelor. Adică, ar trebui să știe ce este o mediatoare și să știe că orice punct de pe mediatoare se află la distanțe egale de capetele segmentului mediat. Atunci ar deduce că cel puțin două dintre mediatoare se intersectează într-un punct aflat la distanță egală de capetele ambelor segmente mediate, deci la distanță egală de vârfurile triunghiului.<br /></span><div style="text-align: justify;"><br /></div>
</div>Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-7855483649719851932021-08-29T00:55:00.000+03:002021-08-29T00:55:33.058+03:00Prima problemă din politestul-fulger de clasa a IX-a, generat în 29 august<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">În cele ce urmează ne vom ocupa de un politest-fulger din imaginea de mai jos, în care vedeți o listă cu 9 probleme, prima de clasa a cincea și apoi câte două din fiecare clasă până într-a noua inclusiv. Baza de itemi acoperită are 938 de elemente momentan, iar politestul apărut ar trebui să poată fi rezolvat în 270 de secunde.</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtBYDaIvRvKfV5abPZAre5B2QVxSFpb-tU00dozM77nquhFZY5Jm2BYva_MoD0TtZYZhMO-uFP_6Ux0n0vvMfW_3EbqEFZauj2mPo040RY69p1qbht4qXoMyHTjPajx694ZLv0vb4Azfof/s1082/Politest+clasa+IX.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="396" data-original-width="1082" height="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtBYDaIvRvKfV5abPZAre5B2QVxSFpb-tU00dozM77nquhFZY5Jm2BYva_MoD0TtZYZhMO-uFP_6Ux0n0vvMfW_3EbqEFZauj2mPo040RY69p1qbht4qXoMyHTjPajx694ZLv0vb4Azfof/w640-h234/Politest+clasa+IX.png" width="640" /></a></div><div><br /></div><span style="font-size: x-large;">Prima problemă, de clasa a cincea, ne spune că „<span style="color: #2b00fe;">Segmentul LH are lungimea de 8 cm, segmentul HV are lungimea de 50 mm, iar punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine. Ce lungime are segmentul VL?</span>”.<br /></span><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Dacă punctele H, V și L sunt coliniare în această ordine, atunci suma segmentelor mici trebuie să ne dea exact segmentul mare. Mai concret, </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">$$HV+VL=HL.$$</span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Așadar, elevul de clasa a cincea care întâlnește această problemă trebuie să înțeleagă enunțul, să își amintească ce înseamnă coliniaritatea celor trei puncte și ce consecință metrică are această coliniaritate. Desigur că în 60 de secunde se poate realiza aceasta.</span></div><span style="font-size: x-large;"><br /><br />Urmează atunci o simplă înlocuire, în care ținem seama că segmentul $HL$ are aceeași lungime cu segmentul $LH$, astfel că relația precedentă devine:<br />$$HV+VL=HL\Longrightarrow 50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}.$$
</span><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Următoarea etapă de rezolvare a problemei este transformarea unităților de măsură pentru a putea omogeniza relația, formă în care vom putea calcula lungimea lui VL. Căci, un elev superficial care s-ar grăbi să facă asemenea calcule fără să țină seama de faptul că unitățile de măsură sunt diferite, ar ajunge la un rezultat aberant și anume ar fi nevoit să facă scăderea $8-50$ care l-ar duce la un rezultat număr negativ.</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Așadar, contează mult unitatea de măsură. O valoare numerică singură, fără unitatea de măsură asociată nu ne dă nicio informație despre lungimea segmentelor. Numai ansamblul celor două ne poate da precizia de care este nevoie.</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Atunci trebuie să transformăm centimetri în milimetri sau milimetri în centimetri. Alegem ultima variantă. Cum 50 de milimetri înseamnă 5 centimetri, relația noastră devine acum omogenă:</span></div><span style="font-size: x-large;">$$50\, \text{mm}+VL=8\,\text{cm}\Longrightarrow 5\, \text{cm}+VL=8\,\text{cm}.$$</span><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Din această ultimă relație rezultă că <br />$$VL=8\,\text{cm}-5\,\text{cm}=\color{red}{3\,\text{cm}}.$$</span></div><div><br /></div>Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-72166207147083164112021-08-24T06:30:00.002+03:002021-08-24T20:21:44.246+03:00Ultima problemă din testul generat automat în 5 august<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: x-large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">A noua problemă, deci ultima, ne cere să găsim cel mai mic număr natural din intervalul (-7; 4]. Cu puțină atenție, elevul <i>nu</i> va confunda cerința. Căci, în timp ce un elev neatent ar putea crede că răspunsul este $-6$, elevul vigilent va observa că se cere numărul care trebuie să fie <i>natural</i>, nu întreg. </span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Și cum numerele naturale nu sunt negative, cel mai mic număr natural posibil este numărul $0$. Și cum acest număr se regăsește în intervalul dat, răspunsul final va fi, desigur, $\color{red}{0}$.</span></div>
Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004tag:blogger.com,1999:blog-934318869636311164.post-58861022553010572592021-08-23T06:00:00.015+03:002021-08-23T06:00:00.236+03:00Problema 8 din testul precedent, geometrie cu teorema medianei principale și a unghiului de 30<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">A opta problemă din test, de geometrie, ne spune că avem cateta mică de 14 cm și se cere distanța de la vârful unghiului mic la suportul medianei principale. Oare putem rezolva problema în 45 de secunde?</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTlB3rj2Jvb1pGaDa01tSJ2xUqC1u8l-m-nKRetRXst-4ufETOjpE6mXdDKFs4g-UzjMtWDmMo0_dvxWQ_PEkiGkWc8WdjKhbNebbBM6PNgUSkh7MbA2TmI9ZwpQzBRiyFcq3kluizzadr/s1169/t+clasa+VII+5+august+2021.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="527" data-original-width="1169" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTlB3rj2Jvb1pGaDa01tSJ2xUqC1u8l-m-nKRetRXst-4ufETOjpE6mXdDKFs4g-UzjMtWDmMo0_dvxWQ_PEkiGkWc8WdjKhbNebbBM6PNgUSkh7MbA2TmI9ZwpQzBRiyFcq3kluizzadr/w640-h288/t+clasa+VII+5+august+2021.png" width="640" /></a></div><br /><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span style="font-size: x-large;">Elevul harnic va schița repede un desen de genul:</span></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguu01e-v3ZbheGPHdtPnDkNtZPHiWdJLAvTYXJ97GHUrt-piz-HeCiQ_b7LthnPIAyH28BTVl8b1HhQE0qZaZt6q3JeJKIWiMM6fDvMtxcmEAEJY9A_WbS1o6W9SP0_KHi8mWLDXke-BMp/s578/pentru+problema+7.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="263" data-original-width="578" height="292" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguu01e-v3ZbheGPHdtPnDkNtZPHiWdJLAvTYXJ97GHUrt-piz-HeCiQ_b7LthnPIAyH28BTVl8b1HhQE0qZaZt6q3JeJKIWiMM6fDvMtxcmEAEJY9A_WbS1o6W9SP0_KHi8mWLDXke-BMp/w640-h292/pentru+problema+7.png" width="640" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-size: x-large;">Acest desen este justificat de două teoreme importante pe care le-a învățat deja elevul isteț de clasa a șaptea: teorema unghiului de 30 de grade (care poate fi înlocuită și de funcțiile trigonometrice) și teorema medianei principale (cea corespunzătoare ipotenuzei).</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-size: x-large;">Mai precis, elevul care știe ce este mediana corespunzătoare ipotenuzei va pregăti dreapta roșie, căci aceasta conține mediana care pornește din vârful unghiului de 90 de grade și se duce pe mijlocul M al ipotenuzei.</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><span style="font-size: x-large;">De asemenea, dacă știe ce înseamnă distanță de la un punct la o dreaptă, va duce frumos o perpendiculară (albastră) pe dreapta roșie din vârful unghiului mic, de 30 de grade, așa cum cere problema. </span><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Cu desenul făcut își va aminti că triunghiul dreptunghic special (Timaios) care are un unghi de 30 de grade este un triunghi cu proprietăți minunate (iar pentru studiul acestui triunghi are un echer cu un unghi de 30 de grade). Mai exact, își va aminti teorema unghiului de 30 de grade care spune că într-un asemenea triunghi dreptunghic special (ce cu unghiul de 30 de grade) <b><i><span style="color: red;">ipotenuza este dublul catetei mici</span></i></b>. </span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Cunoscând ipotenuza și cateta mică, el poate determina cu teorema lui Pitagora <b><i>lungimea catetei mari</i></b>. Sau, dacă este și mai isteț, el poate reține că lungimea catetei mari în triunghiul acesta minunat este ca și a celei mici, doar că îi mai lipim un radical din trei. Sau, dacă îi plac funcțiile trigonometrice, va putea afla direct cateta mare din cateta mică cu ajutorul funcției tangentă de 30 de grade care este raportul dintre cateta opusă unghiului de 30 de grade (cea mică în cazul nostru) și cateta alăturată (cea mare).</span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Odată ce a găsit lungimea catetei mari, elevul nostru va trebui să-și amintească teorema medianei principale care îi va spune că <i>în orice triunghi dreptunghic</i> (nu doar în cel cu un unghi de 30 de grade) <b><i><span style="color: red;">mediana corespunzătoare ipotenuzei este și ea jumătate din ipotenuză</span></i></b>, ceea ce înseamnă că triunghiul AMB este isoscel, deci și unghiul BAD este de 30 de grade, deci și în triunghiul BAD poate folosi teorema unghiului de 30 de grade, deci cateta mică din acest triunghi, adică BD va fi jumătate din ipotenuza triunghiului BAD, care ipotenuză este acum AB, adică fosta catetă mare din triunghiulABC, a cărei lungime a găsit că este $14\sqrt{3}$. </span></div><div><span style="font-size: x-large;"><br /></span></div><div><span style="font-size: x-large;">Și cum jumătate din $14\sqrt{3}$ este $\color{red}{7\sqrt{3}}$, elevul care știe dinainte, fără să clipească, toate aceste lucruri, poate finaliza rezolvarea într-un timp rezonabil, din câteva priviri ale desenului făcut corect.</span></div>Abel Cavașihttp://www.blogger.com/profile/16647152205444532974noreply@blogger.com0Satu Mare, România47.8016702 22.857592619.491436363821151 -12.2986574 76.111904036178842 58.013842600000004