Despre cum puteți deduce în joacă două proprietăți importante ale logaritmului

Știu că logaritmul este tare încuietor pentru mulți elevi. Și aș dori să le arăt acestora cum ar putea să se descurce în situații limită.

Rețineți întâi un LOGARITM DE REFERINȚĂ: $$\large{\color{red}{\log_2 8=3}}.$$ Deci, logaritm în baza doi din opt este trei. Da, trei. De ce trei? Pentru că doi la puterea A TREIA este opt. 

Observați, deci, că logaritmul este „puterea” la care trebuie să ridicăm baza (2-ul este baza) ca să obținem argumentul (8-ul este argumentul).

Relația de mai sus, din LOGARITMUL DE REFERINȚĂ se poate citi și invers, de la dreapta la stânga. Așadar, putem scrie și $$3=\log_2{8}.$$ Această egalitate ne spune că „peste tot, în loc de numărul 3 putem să punem expresia $\log_2 8$”.

Haideți să ne jucăm cu această informație și vom obține o proprietate faină a logaritmului. Noi știm că $$2^3=8.$$ Dacă în locul acelui 3 de la exponent noi vom pune expresia $\log_2 8$, vom obține ceva drăguț: $$2^{\log_2{8}}=8.$$ Am obținut ceva care ne sugerează că 2 cu 2 se „simplifică”. Dar aceasta ne duce la o formulă importantă cu logaritmii, dacă înlocuim numerele cu litere. Mai exact, avem că: $$\large{\color{red}{a^{\log_a b}=b}}.$$


Ne mai jucăm o dată cu logaritmul de referință, deci cu $\log_2 8=3$, doar că, de data aceasta, în loc de 8 noi vom pune $2^3$. Obținem $$\log_2 2^3=3.$$ Așadar, din nou, parcă s-a simplificat 2 și a rămas 3. Prin urmare, avem o altă formulă importantă, de bază, a logaritmilor:  $$\large{\color{red}{\log_a{a^b}=b}}.$$

Iată ce minuni puteți face cu acest logaritm de referință. Dar, poate mai găsiți și voi altele...