Cea mai importantă inegalitate din gimnaziu!

Elevii de clasa a șasea învață să lucreze cu numere negative, mai mici decât zero. Ca exemplu, primesc temperatura mediului înconjurător sau etajele de la subsolul unor clădiri înalte. 

Li se spune că iarna, atunci când este mai frig decât frigul la care îngheață apele curate, temperatura este negativă, mercurul termometrului fiind foarte înghesuit, ocupând volum mai mic, în timp ce vara temperatura este, de regulă, pozitivă, iar mercurul termometrului este extins mai mult, dilatat mai mult. 

De exemplu, atunci când temperatura este de $-3^o$, este mai frig (nivelul mercurului este mai coborât) decât atunci când temperatura este de $+5^o$, iar diferența de temperatură în acest caz este de $8^o$, adică mercurul urcă 8 etaje ca să ajungă de la etajul $-3$ la etajul 5.

Apoi, după ce au învățat numerele negative, învață să lucreze cu puterile acestora și află că dacă exponentul la care se ridică un număr negativ este par, atunci rezultatul ridicării este un număr pozitiv. De exemplu, $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=+9$.

Din acest moment li se poate povesti despre cea mai importantă inegalitate din gimnaziu și anume despre faptul că $$\color{red}{orice^2\geq 0}.$$

Așadar, orice număr învățat în gimnaziu, ridicat la puterea a doua va da un rezultat pozitiv, indiferent de număr. 

În liceu se învață și alt tip de numere (așa-numitele numere complexe), care ridicate la pătrat ne pot da și un rezultat negativ.

Această inegalitate de care v-am vorbit este cea mai importantă, deoarece din ea rezultă o mulțime de alte inegalități. De exemplu, inegalitatea mediilor se demonstrează ușor cu această inegalitate importantă, ceea ce denotă că inegalitatea mediilor este o consecință frumoasă a celei mai importante inegalități din gimnaziu. 

Așadar, dragii mei, rogu-vă să vă amintiți des despre această minunăție învățată în gimnaziu, căci ea vă va scoate din belele în majoritatea cazurilor când vi se va cere să demonstrați o inegalitate.

Calculați $i^i$.

Cum adică, să calculăm $i^i$? Ce trebuie să mai obținem din $i^i$? Nu este suficientă această formă? Doar știm că $i$ este o literă folosită pentru a-l scrie mai compact pe $\sqrt{-1}$. Atunci, se poate duce „mai departe” prin calcul expresia $i^i$, o literă la literă? Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $3125^{625}$, ce rezultat ar fi trebuit să prezentăm? Oare ni s-ar fi cerut să arătăm numărul acela lung, lung de tot dat prin $191101259794547752\dots 1680908203125$? Sau dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ce ni s-ar fi cerut de fapt, ni s-ar fi cerut numărul acela urât, $1,414213562373095\dots$?

Iată o mulțime de probleme pe care le putem pune în legătură cu ideea de a calcula ceva. Desigur, pentru un elev cu ceva intuiție matematică, a calcula va însemna a prezenta o ALTĂ formă a numărului dat, o formă ceva mai relevantă, mai compactă, mai condensată, mai elegantă, o formă la care se referă examinatorul cel cu ochi de vultur.

Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler

Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$

Din bunătățile formulei lui Moivre

În liceu, după ce învățați numerele complexe (alea de forma $z=a+bi$, cu $i=\sqrt{-1}$), vine și vremea în care primiți cadou această formulă tulburătoare, ce ne spune că 
$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}!!!$$Doamne, dumnezeule, ce formulă! Ea este aproape la fel de tare ca și formula mai generală a lui Euler (din care poate fi dedusă foarte ușor această formulă a lui Moivre). 

Ce geniu trebuie să ai în sânge ca să descoperi o asemenea formulă?! Cât de sus trebuie să fii cu capul în nori ca să poți ajunge la o asemenea formulă?! Cât de ciudat și chiar nebun trebuie să apari în ochii celorlalți oameni banali care-și duc veacul căutând nimicuri?!

Dedic acest articol anonimului care, într-un comentariu recent pe blog, amplasat exact unde trebuia, m-a stârnit să scriu despre formula lui Moivre, întrebându-mă cum ar putea reține mai ușor valorile pentru funcțiile trigonometrice surori, cosinus și sinus.

Numerele complexe nu sunt complexe

Unii dintre voi ați auzit de ciudatele numere complexe. Și poate v-ați speriat de numele lor nedrept. Eu vă voi arăta aici că aceste numere nu sunt nici pe departe atât de complexe pe cât le spune numele, ci chiar există analogii cu celelalte numere.

Facem întâi o mică recapitulare pentru numerele necomplexe. Astfel, cunoaștem numere naturale (numere care nu au nici virgulă și nici minus), apoi numere întregi (numere care nu au virgulă dar pot avea minus), apoi numere raționale (numere care pot fi scrise ca o fracție de numere întregi) și numere iraționale (de regulă, orice radical sau logaritm care nu poate fi extras fără virgulă, numărul $\pi$, numărul $e$ și multe multe altele (sunt „mai multe” numere iraționale decât numere raționale!)).

Mulțimile formate cu numere necomplexe au următoarele notații:

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 1

Fie numărul complex $z=1+i$. Să se calculeze $(z-1)^2$.





Metoda corectă (deci, și rapidă) de rezolvare este simpla înlocuire a lui $z$. Adică,

$(z-1)^2=[(1+i)-1]^2=(1+i-1)^2=i^2=\color{red}{-1}$.




O metodă mult mai laborioasă și nerecomandată ar fi să ridicăm întâi la pătrat binomul $(z-1)$ cu ajutorul formulei de calcul prescurtat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ și abia apoi să facem înlocuirile lui $z$ cu $1+i$. Desigur, am avea mult mai mult de lucru.

$(z-1)^2=z^2-2z+1=(1+i)^2-2(1+i)+1=1^2+2i+i^2-2-2i+1=i^2=\color{red}{-1}$.

Numerele imaginare nu pot fi numere reale

Când m-am lovit pentru prima dată de această noțiune șocantă de „număr complex” am gândit ceva de genul: „Altă noțiune, alt număr? Oare nu putem găsi un număr real care să ne scutească de necesitatea numerelor complexe?”

Profesorul meu de matematică de la liceu, dragul domn Bohler, mi-a clarificat repede această dilemă, pe măsură ce lecția se desfășura. Acest profesor ne-a pus în față problema: „cât este radical din minus unu?” și ne-a dat o pauză de meditație pe care tot el a întrerupt-o continuând să răspândească în clasă undele sonore minunate provenite de la dragile lui corzi vocale.

Ei bine, cât credeți că este radical din minus unu?

Știți că radical din 16 este 4 sau că radical din 25 este 5 pentru că $4\cdot 4=4^2=16$ și, respectiv, $5\cdot 5=5^2=25$. Atunci cât o fi radical din minus unu? Să fie oare 1? Păi, facem proba. Dacă radical din -1 ar fi fost 1, atunci ar fi trebuit ca $1\cdot 1$ să fie -1. Dar, desigur, $1\cdot 1$ nu este -1, ci este 1.

Să fie oare atunci -1? Presupunem că da. Facem atunci iar proba. Dacă radical din -1 ar fi -1, atunci ar trebui ca $(-1)\cdot(-1)$ să ne dea $-1$. Dar, nici vorbă, $(-1)\cdot(-1)$ nu ne dă $-1$, ci ne dă $+1$, căci minus ori minus este plus.

Atunci ce ne facem? Abandonăm studiul? Abandonăm lupta? Lupta cu ce? Ce căutăm, de fapt? Căutăm să calculăm cât este $\sqrt{-1}$. Cum ar trebui să arate acest calcul? Ce rezultat am vrea să ne dea el? Un număr real? Ceva de genul lui 1, 3 sau 8,5?

Ei bine, nu. Nu vom reuși niciodată să găsim un număr real care înmulțit cu el însuși să ne dea $-1$! Pentru că pătratul oricărui număr real (chiar dacă acesta este negativ!) este un număr real pozitiv, nu unul negativ. Riguros spus, $a\cdot a=a^2\ge 0$, orice număr real ați pune în locul lui $a$.

Așadar, trebuie să căutăm altă soluție. Ar fi o pierdere de vreme să ne mai chinuim să găsim vreun număr real care ridicat la pătrat să ne dea -1. Soluția găsită s-a conturat începând cu marii matematicieni care se chinuiau să rezolve ecuațiile de grad mai mare sau egal cu 2. Astăzi s-a ajuns să considerăm că radical din minus unu este o literă, litera i, căreia să-i dăm noi semnificația lui radical din minus unu.

Așadar, riguros, avem $\sqrt{-1}=i$, ceea ce mai înseamnă că $i\cdot i=i^2=-1$.

Poate că extratereștrii folosesc alt semn pentru radical din minus unu, dar noi ne-am obișnuit să îl folosim pe acesta. Uneori mai folosim și litera j, atunci când există pericolul să confundăm litera i cu altceva. Important este să ne înțelegem toți între noi să folosim același semn pentru radical din minus unu.

Această înțelegere, această convenție, se transmite din generație în generație, de la profesor la elev și a ajuns așa până la noi.

Bun. Acum, că avem o soluție de a „calcula” cât este radical din -1, putem afla și cât este radical din -16, de exemplu. Avem așa
$$\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot(-1)}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}=4\cdot i=4i.$$

Observați, deci, că dacă cunoaștem cât este radical din minus unu, putem cunoaște ușor cât este radical din orice număr negativ prin simpla alăturare a literei i la radicalul numărului pozitiv.

Numerele de forma 4i, 35i sau -20i sau $\frac{\pi}{2}i$ se numesc „numere imaginare” pentru că ele nu sunt numere reale, din moment ce au în componența lor litera i care este, prin convenție, radical din minus unu.

De la numerele imaginare până la numerele complexe nu mai e decât un pas. Mai exact, numărul complex este suma dintre un număr real și un număr imaginar. Numărul real din această sumă se numește „partea reală” a numărului complex, iar numărul imaginar din această sumă se numește „partea imaginară” a numărului complex dat.

Observați de aici că numărul complex este mai cuprinzător decât un număr real, căci orice număr real poate fi considerat un număr complex a cărui parte imaginară este nulă.


Pe mine m-a liniștit astfel profesorul Bohler. Oare voi sunteți mai liniștiți acum?