Problema 8 din testul precedent, geometrie cu teorema medianei principale și a unghiului de 30

A opta problemă din test, de geometrie, ne spune că avem cateta mică de 14 cm și se cere distanța de la vârful unghiului mic la suportul medianei principale. Oare putem rezolva problema în 45 de secunde?

Elevul harnic va schița repede un desen de genul:

Acest desen este justificat de două teoreme importante pe care le-a învățat deja elevul isteț de clasa a șaptea: teorema unghiului de 30 de grade (care poate fi înlocuită și de funcțiile trigonometrice) și teorema medianei principale (cea corespunzătoare ipotenuzei).

Mai precis, elevul care știe ce este mediana corespunzătoare ipotenuzei va pregăti dreapta roșie, căci aceasta conține mediana care pornește din vârful unghiului de 90 de grade și se duce pe mijlocul M al ipotenuzei.

De asemenea, dacă știe ce înseamnă distanță de la un punct la o dreaptă, va duce frumos o perpendiculară (albastră) pe dreapta roșie din vârful unghiului mic, de 30 de grade, așa cum cere problema. 

Cu desenul făcut își va aminti că triunghiul dreptunghic special (Timaios) care are un unghi de 30 de grade este un triunghi cu proprietăți minunate (iar pentru studiul acestui triunghi are un echer cu un unghi de 30 de grade). Mai exact, își va aminti teorema unghiului de 30 de grade care spune că într-un asemenea triunghi dreptunghic special (ce cu unghiul de 30 de grade) ipotenuza este dublul catetei mici. 

Cunoscând ipotenuza și cateta mică, el poate determina cu teorema lui Pitagora lungimea catetei mari. Sau, dacă este și mai isteț, el poate reține că lungimea catetei mari în triunghiul acesta minunat este ca și a celei mici, doar că îi mai lipim un radical din trei. Sau, dacă îi plac funcțiile trigonometrice, va putea afla direct cateta mare din cateta mică cu ajutorul funcției tangentă de 30 de grade care este raportul dintre cateta opusă unghiului de 30 de grade (cea mică în cazul nostru) și cateta alăturată (cea mare).

Odată ce a găsit lungimea catetei mari, elevul nostru va trebui să-și amintească teorema medianei principale care îi va spune că în orice triunghi dreptunghic (nu doar în cel cu un unghi de 30 de grade) mediana corespunzătoare ipotenuzei este și ea jumătate din ipotenuză, ceea ce înseamnă că triunghiul AMB este isoscel, deci și unghiul BAD este de 30 de grade, deci și în triunghiul BAD poate folosi teorema unghiului de 30 de grade, deci cateta mică din acest triunghi, adică BD va fi jumătate din ipotenuza triunghiului BAD, care ipotenuză este acum AB, adică fosta catetă mare din triunghiulABC, a cărei lungime a găsit că este $14\sqrt{3}$. 

Și cum jumătate din $14\sqrt{3}$ este $\color{red}{7\sqrt{3}}$, elevul care știe dinainte, fără să clipească, toate aceste lucruri, poate finaliza rezolvarea într-un timp rezonabil, din câteva priviri ale desenului făcut corect.

Echerul special

Există în comerț o trusă de instrumente pentru geometrie care,  printre o mulțime de alte bunătăți, conține și o piesă extrem de drăguță despre care doresc să vă vorbesc aici și anume „echerul special”. Mai exact, există acolo un echer, care mie îmi este tare drag, ce are un unghi de 30°, un unghi de 60° și un unghi drept, adică de 90°. Acest echer, mai bine zis, acest triunghi dreptunghic, are o importanță supremă în geometrie, deoarece apare foarte, foarte des în problemele pe care le veți întâlni vreodată.

El ne amintește de o proprietate fundamentală în geometrie pe care o are triunghiul acesta dreptunghic cu un unghi de 30°: cateta mică este jumătate din ipotenuză.  În aceste șase cuvinte magice este cuprinsă o proprietate geometrică pe care o veți întâlni în sute de probleme de acum încolo. Ea ne spune că în acest triunghi dreptunghic special, cateta mică (adică latura aceea care formează unghiul drept și care este departe de unghiul de 30°),  este tocmai jumătate din ipotenuză, deci este tocmai jumătate din cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic special.

Concret, dacă veți avea curiozitatea să măsurați cu liniarul lungimea ipotenuzei echerului special, după care să măsurați lungimea catetei mici a acestui echer, veți constata că, așa ca printr-o minune, cateta mică este jumătate din ipotenuză.  Așadar, mai putem spune și că ipotenuza este de două ori mai mare decât cateta mică.  

Bineînțeles, această proprietate este valabilă pentru orice triunghi dreptunghic special (deci, triunghi cu unghiurile de 30°, 60°, 90°) și ea este echivalentă cu faptul că sinus de 30° este unu supra doi ($\frac 1 2$), sinusul unui unghi fiind, prin definiție, cateta opusă acelui unghi supra ipotenuză.

Dacă știți una, le știți și pe celelalte

Să presupunem că ați reținut o singură formulă trigonometrică de trecere de la sumă la produs și ați vrea să le puteți deduce pe celelalte. Să presupunem, deci, că ați reținut-o pe cea mai frumoasă, adică pe următoarea:
$$\large{\color{red}{\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Ca să le puteți afla pe celelalte trebuie să vă amintiți două lucruri care sunt mult mai ușor de reținut decât toate formulele-astea urâte de trecere de la sumă la produs.

Primul lucru pe care va trebui să vi-l amintiți este paritatea funcțiilor trigonometrice, adică faptul că sinus de minus ceva este minus sinus de acel ceva, adică $\sin(-ceva)=-\sin ceva$ și că cosinus de minus ceva este ca și cosinus fără minus, adică $\cos(-x)=\cos x$ (minusul iese în față la sinus, iar la cosinus dispare). Asta înseamnă cu alte cuvinte, mai chinezești, că funcția sinus este funcție impară, iar funcția cosinus este funcție pară.


Al doilea lucru ce trebuie să vi-l amintiți este o metodă de a putea trece ușor de la sinus la cosinus sau invers. Această metodă este foarte simplă și anume: $\sin(ceva)=\cos(90^\circ-ceva)$ și $\cos(ceva)=\sin(90^\circ-ceva)$.


Haideți acum să folosim aceste două chestii faine ca să deducem celelalte urâțenii de formule de trecere de la sumă la produs. Pentru început, să presupunem că ne interesează cât ar fi $$\sin a-\sin b$$, când noi știm doar cât este $\sin a+\sin b$, după cum am văzut mai sus. Ne folosim de paritatea funcției sinus, citită în sens invers, adică ne folosim de faptul că $-\sin x=\sin(-x)$. Așa vom putea transforma scăderea în adunare și ne vom putea folosi de formula frumoasă cu adunare.

Așadar, $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b).$$ Altfel spus, dacă vrem să obținem formula pentru scădere, este suficient ca în loc de $b$ să punem în formula pentru adunare pe $-b$. Vom obține atunci $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b)=2\sin\frac{a+(-b)}{2}\cos\frac{a-(-b)}{2},$$ adică $$\large{\color{blue}{\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a+b}{2}}}.$$


Acum să presupunem că ne interesează cât este $$\cos a+\cos b$$ ca și produs de funcții trigonometrice. Ne amintim cum trecem de la cosinus la sinus și avem $$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b).$$ Iată, deci, că am reușit să transformăm suma de cosinuși în suma de sinuși. Ne folosim, deci, de formula frumoasă a sumei de sinuși care ne spune, după cum ați văzut chiar la început, că $$\sin ceva+\sin altceva=2\sin\frac{ceva+altceva}{2}\cos\frac{ceva-altceva}{2}.$$

Acum, ceva-ul nostru este $90^\circ-a$, iar altceva-ul nostru este $90^\circ-b$. Atunci 

$$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b)=\\

=2\sin\frac{90^\circ-a+90^\circ-b}{2}\cos\frac{90^\circ-a-(90^\circ-b)}{2}=\\

2\sin\frac{180^\circ-a-b}{2}\cos\frac{-a+b}{2}.$$

Aranjând convenabil prima fracție, putem să-l împărțim separat pe 180 la 2 (care va deveni 90) și obținem ceva interesant: $$\cos a+\cos b=2\sin\left(\frac{180^\circ}{2}-\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(-\frac{a-b}{2}\right),$$ adică $$\cos a+\cos b=2\sin\left(90^\circ-\frac{a+b}{2}\right)\cos\frac{a-b}{2}.$$
Observați că la cosinus am folosit deja paritatea și am scăpat de minusul din fața fracției, deci am scăpat de paranteză (nu întotdeauna ne plac parantezele).

De aici încolo mă folosesc de transformarea lui $\sin(90^\circ-ceva)$ în $\cos(ceva)$ și obțin, în sfârșit, o altă formulă faină: $$\large{\color{blue}{\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Iar dacă veți lupta în mod asemănător ca să găsiți o formulă pentru scăderea cosinușilor, veți obține că $$\large{\color{blue}{\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}}.$$


Așadar, nu le tociți pe toate. Faceți legături frumoase între ele și rețineți-le pe cele care vă atrag cel mai mult. Iar la un examen aveți mari șanse să vă amintiți cum să le deduceți. Și ați văzut că nu ar trebui să vă ia prea mult timp ca să le deduceți, dacă știți de-acum metoda.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4} $ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:  $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}. $$

Teorema lui Pitagora generalizată se mai numește și „teorema cosinusurilor”

Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.

Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$

Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.

În care cadran se află unghiul de 3145 de grade?

Dacă, printr-o minune dumnezeiască, veți fi întrebat vreodată pe stradă în ce cadran se află unghiul de 3145 grade, va trebui să stabiliți două lucruri:

1. Care unghi mai mic de 360 de grade îi corespunde unghiului de 3145 de grade.
2. În ce cadran se află acel unghi corespunzător.

Să vedem, deci, care este povestea cu cadranele. V-am mai povestit cândva despre cadrane în articolul privind reducerea la primul cadran.

Cadranul este un sfert din cercul trigonometric. Și cum există patru sferturi, există și patru cadrane. Ele sunt numerotate în sens trigonometric (opus sensului de mers al acelor de ceasornic), așa cum se vede în figura de mai jos:

Ne amintim mai departe că un cerc complet are 360 de grade. Înseamnă că un cadran conține un sfert din 360, adică 90 de grade. Aceasta înseamnă că:

1. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 0 grade și 90 de grade se află în cadranul I;
2. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 90 de grade și 180 de grade se află în cadranul II;
3. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 180 de grade și 270 de grade se află în cadranul III;
4. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 270 de grade și 360 de grade se află în cadranul IV.

Bun. Dar ce ne facem cu unghiuri mai mari de 360 de grade, așa cum este al nostru (3145)? Păi, bineînțeles, după 360 de grade cadranele încep să se repete, iar unghiurile mai mari de 360 de grade se află în același cadran ca și unghiurile corespunzătoare, mai mici de 360 de grade.

Altfel spus, pentru unghiuri mari este suficient să scădem un multiplu de 360 de grade ca să ajungem la unghiul corespunzător ce ne va furniza cadranul căutat. Iar dacă unghiurile sunt foarte mari și ne-ar lua prea mult timp să tot scădem 360 și iar 360, atunci facem pur și simplu împărțirea acelui număr mare la 360, iar restul rămas este tocmai unghiul căutat.

Zis și făcut. Unghiul nostru de 3145 este prea mare ca să tot scădem din el de câteva ori 360, așa că vom face împărțirea lui 3145 la 360 și vom obține restul ca fiind 265. Înseamnă, deci, că unghiul de 3145 de grade se va afla în același cadran ca și unghiul de 265 de grade.

Apoi, unghiul de 265 de grade se află în cadranul III, din moment ce se află între 180 și 270. Așadar, răspunsul final pe care îl veți da este că unghiul de 3145 de grade se află și el tot în cadranul III.

Cosinusul și sinusul jumătății

Vă spuneam pe undeva că teorema fundamentală a trigonometriei (deci, teorema pe care ar trebui s-o știe întru început un elev care învață trigonometrie) ne spune că $$\large{\color{red}{\cos^2x+\sin^2x=1}}.$$ De asemenea, tot pe undeva pe blog am arătat că $$\large{\color{red}{\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)}}.$$

Observați ce seamănă cele două formule? Un simplu semn le schimbă într-atât valoarea! Așadar, atenție la semnele pe care le folosiți. Eu vă recomand să respectați semnul minus cam de cinci ori mai mult decât îl respectați pe semnul plus.

Mergem treptat (era să zic „pas cu pas”) pornind de la aceste două minuni și vom obține niște formule foarte importante privind jumătatea unghiului. Suma celor două minuni ne va da cosinusul jumătății, iar diferența celor două ne va da sinusul.

Problema V1SIP6: Calculați $\cos 105^\circ$.

Dacă trebuie să calculăm $\cos 105^\circ$, unul dintre primele gânduri care ne-ar putea trece prin minte ar fi să reducem cumva unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Pentru aceasta ne-am putea folosi de metoda pe care v-am prezentat-o într-un articol mai vechi pe care l-ați apreciat foarte mult. 

În esență, spuneam acolo că dacă scădem din unghiul dat $90^\circ$, atunci sinusul se transformă în cosinus sau cosinusul se transformă în minus sinus. În cazul nostru, cosinusul de $105^\circ$ se transformă în minus sinus de $105^\circ-90^\circ=15^\circ$. Adică, $\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ$.

V1S1P3: Să se rezolve ecuația $\sin x-\cos x=1$

Ecuația $\sin x-\cos x=1$ din enunț este o ecuație trigonometrică. De regulă, ecuațiile trigonometrice au o infinitate de soluții, dar cele mai interesante se află în intervalul $[0, 2\pi)$. Dacă găsim soluțiile interesante (deci, soluțiile care se află pe cercul trigonometric, căci intervalul $[0, 2\pi)$ reprezintă toate cele patru cadrane la un loc, patru sferturi în care este împărțit cercul), atunci restul soluțiilor se repetă prin adunare cu $360^\circ$ (sau cu $2\pi$, dacă vorbim în radiani, nu în grade).

Așadar, ne vom concentra întâi pe găsirea soluțiilor interesante, aflate în intervalul $[0,2\pi)$. Pentru aceasta, vă invit să aruncăm întâi o privire asupra ecuației, de data aceasta cu intenția de a ghici măcar câteva soluții. Obișnuiți-vă mintea să lupte și cu astfel de încercări, să ghicească soluțiile unor probleme chiar dacă încă nu are metoda riguroasă de a le obține.

Tabelul trigonometric, versiunea blog

Acest articol este versiunea blog a celuilalt articol în care m-am folosit de Google Docs.

În acest articol doresc să vă fac să înțelegeți (și astfel să rețineți) odată pentru totdeauna cele mai importante valori trigonometrice din primul cadran. Primul cadran înseamnă primul sfert din cercul trigonometric (în ordine trigonometrică). Mai jos puteți vedea cadranele unui cerc trigonometric.

Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler

Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$

Altă metodă pentru calculul sinusului triplului

În articolul precedent am dat exemplul prin care, cu ajutorul formulei lui Moivre, am calculat ușor cosinusul și sinusul triplului unui unghi.

Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.

Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b. $$
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului. 

Din bunătățile formulei lui Moivre

În liceu, după ce învățați numerele complexe (alea de forma $z=a+bi$, cu $i=\sqrt{-1}$), vine și vremea în care primiți cadou această formulă tulburătoare, ce ne spune că 
$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}!!!$$Doamne, dumnezeule, ce formulă! Ea este aproape la fel de tare ca și formula mai generală a lui Euler (din care poate fi dedusă foarte ușor această formulă a lui Moivre). 

Ce geniu trebuie să ai în sânge ca să descoperi o asemenea formulă?! Cât de sus trebuie să fii cu capul în nori ca să poți ajunge la o asemenea formulă?! Cât de ciudat și chiar nebun trebuie să apari în ochii celorlalți oameni banali care-și duc veacul căutând nimicuri?!

Dedic acest articol anonimului care, într-un comentariu recent pe blog, amplasat exact unde trebuia, m-a stârnit să scriu despre formula lui Moivre, întrebându-mă cum ar putea reține mai ușor valorile pentru funcțiile trigonometrice surori, cosinus și sinus.

Reducerea la primul cadran

Într-un material alăturat, numit „Tabelul trigonometric” prezentam cele mai importante lucruri despre primul cadran și spuneam că primul cadran conține numai unghiurile ascuțite, deci pe cele mai mici de 90 de grade. A venit vremea să discutăm și despre valorile trigonometrice ale unghiurilor mai mari decât 90 de grade. 

Vom vedea că pentru a găsi funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiurilor mai mari de 90 de grade va fi suficient să le folosim pe cele din primul cadran, cu niște semne modificate.

Trecerea de la cadranul II la cadranul I

Să începem întâi cu cadranul II. De exemplu, alegem unghiul de 120 de grade. Chiar dacă acest unghi este mai mare decât 90 de grade, are și el un sinus și un cosinus, deci are și tangentă și cotangentă. Vrem să determinăm valorile acestora și vrem să arătăm că există o legătură între valorile din cadranul II și cele din cadranul I. Altfel spus, dacă știți bine valorile din cadranul I, atunci puteți ști și valorile din cadranul II, învățând în plus formulele de trecere de la cadranul II la cadranul I.

Vom arăta mai jos cum apar aceste formule de trecere. Pentru aceasta, ca să ajungă în cadranul II, punctul M din desenul nostru trebuie să se deplaseze mai departe în sens trigonometric și trebuie să iasă din cadranul I pentru a ajunge în următorul cadran. Aveți mai jos desenul cu punctul M ajuns la unghiul de 120 de grade.

Arcul galben are 120 de grade, iar arcul albastru are 30 de grade, deoarece 120=90+30. Acum ne interesează cât de lungă este cateta roșie, ea reprezentând tocmai sinusul unghiului de 120 de grade. De asemenea, ne va interesa cât de lungă este cateta verde, ea reprezentând cosinusul unghiului de 120 de grade (cosinușii sunt verzi și mereu paraleli cu axa OX).

Dar putem observa ceva interesant: triunghiul dreptunghic care a apărut în desen ar putea fi rotit cu imaginația spre dreapta cu 90 de grade ca să ajungă în primul cadran. Atunci, cateta roșie ar fi paralelă cu axa OX (deci ar fi un cosinus), iar cateta verde ar fi paralelă cu axa OY (deci ar fi un sinus). Așadar, putem ușor determina lungimile celor două catete din moment ce cunoaștem sinusul de 30 de grade și cosinusul de 30 de grade, unghiul de 30 de grade fiind unghiul din primul cadran. 

Având determinate lungimile, ne mai rămâne să determinăm semnul lor, acesta fiind singurul care ne va face probleme. Dar de ce vorbesc despre probleme cu semnul în al doilea cadran? Că doar n-o fi mare lucru să clarificăm și problema semnelor din al doilea cadran. Haideți să clarificăm, deci, problema semnelor în al doilea cadran.

Ce înseamnă a clarifica problema semnelor? Înseamnă a stabili ce semn are sinusul în al doilea cadran și a stabili ce semn are cosinusul în al doilea cadran. Atât. Păi, ia să vedem. Știm că sinușii sunt verticali, iar cosinușii sunt orizontali. Observăm, deci, cum cateta roșie corespunzătoare unghiului de 120 de grade se află deasupra axei OX, acolo unde sunt încă valori pozitive pentru y, deci pentru sinuși. Așadar, în al doilea cadran sinusul este încă pozitiv, chiar dacă începe să scadă de la valoarea 1 către valoarea 0.

În schimb, cosinusul corespunzător unghiului de 120 de grade, fiind orizontal, se află în partea stângă a axei OY, deci este în zona valorilor negative. Așadar, în al doilea cadran cosinusul este negativ. 

Observați cu această ocazie că, în general, pe măsură ce punctul M se plimbă pe cerc de colo-colo, sinusul se poate afla numai în două poziții posibile, deasupra sau dedesubtul axei OX, iar cosinusul se poate afla și el numai în două poziții posibile, la dreapta sau la stânga axei OY. Aceste poziții vor determina fără dubiu semnul celor două funcții trigonometrice: sinusul aflat deasupra axei OX este pozitiv, iar cosinusul aflat în dreapta axei OY este pozitiv.

Dar nu avem încă ceea ce ne trebuie pentru unghiul de 120 de grade. Cu toată vorbăria noastră prelungită, încă nu am stabilit clar cât este sinusul și cât este cosinusul acestui unghi interesant. Așadar, suntem nevoiți să facem un rezumat al celor povestite, ca să vedem ce valori au funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiului de 120 de grade. Ne trebuie semn și valoare. Începem cu sinusul.

Am zis că sinusul este deasupra, deci are semnul pozitiv. Valoarea. De asemenea, am mai zis că valoarea sinusului de 120 e grade este exact ca și valoarea cosinusului de 30 de grade, căci prin rotația spre dreapta (deci, în sens invers trigonometric a) triunghiului format, cu 90 de grade, obținem un triunghi răsturnat și cu catetele egale în primul cadran. Putem scrie, deci, că

$$\sin 120=\sin(90+30)=\cos 30.$$

Cum, în loc de 30 putem să punem orice valoare (care să producă un unghi aflat în cadranul II, desigur), vom putea scrie formula generală

$$\color{red}{\sin(90+x)=\cos x}.$$

Această relație ne spune cât va fi sinusul unui unghi din cadranul II atunci când (se presupune că) cunoaștem (bine de tot) funcțiile trigonometrice din cadranul I. 

Să vedem acum cât va fi cosinusul unui unghi din cadranul II.

Din răsturnarea triunghiului am văzut că sinusul se transformă în cosinus, iar cosinusul se transformă în sinus. Așadar, valoarea cosinusului din cadranul II va fi egală cu sinusul din cadranul I, atâta doar că în cadranul doi cosinusul trebuie să fie negativ, deci vom pune semnul minus în față. Așadar,

$$\cos 120=\cos(90+30)=-\sin 30$$

În general, vom avea pentru cosinusul din cadranul II

$$\color{limegreen}{\cos(90+x)=-\sin x}.$$

Acum doresc să vă atrag atenția asupra unui lucru foarte interesant care ne va fi de un folos nemaipomenit în cele ce urmează. Observați că sinusul s-a transformat în cosinus, iar cosinusul s-a transformat în minus sinus. Nu vi se pare ceva cunoscut? Cum să nu? Dacă știți derivate, știți că sinus derivat este cosinus, iar cosinus derivat este minus sinus. Așadar, dacă știți derivate, atunci știți să obțineți ușor funcțiile trigonometrice din al doilea cadran, făcând șmecheria că prin derivare se scad 90 de grade din unghi.

Trecerea de la oricare cadran la cadranul I

Dar matematica este și mai frumoasă de atât! Regula asta cu derivarea este valabilă pentru oricare dintre cele patru cadrane! Ce dumnezeu vreau să spun aici? Vreau să spun că în oricare dintre cele patru cadrane vă aflați, dacă doriți să ajungeți la cadranul I, derivați de atâtea ori de câte ori trebuie pentru a scăpa de câte un 90 de grade. La fiecare derivare SE SCAD 90 de grade din unghi. Sau, poate vă place mai mult integrarea (deși mă îndoiesc :) ). 

Dacă vă place mai mult integrarea, atunci respectați regula opusă: la fiecare integrare SE ADUNĂ 90 de grade la unghi. Integrarea este utilă, de exemplu, atunci când vreți să treceți de la cadranul patru la cadranul unu și nu aveți chef să derivați de trei ori, ci mai degrabă preferați să integrați o singură dată, pentru a aduna 90 de grade și pentru a obține astfel un unghi mai mare de 360 de grade, dar aflat în primul cadran (căci adunând sau scăzând 360 de grade este ca și cum am sta pe loc).

Cunoscând cum trece sinus și cosinus de la un cadran la altul, puteți afla ușor și tangenta și cotangenta, din moment ce tangenta este sinus supra cosinus, iar cotangenta este inversa tangentei.

Exemplu

Ei, ce părere aveți, v-ați lămurit cum e cu trecerea asta de la un cadran la altul? Sunteți pregătiți de un exemplu? Ia să vedem. Vrem să găsim sinus de 240 de grade. Desigur, 240 este mai mare decât 90, deci putem aplica derivarea ca să dispară 90 de grade din unghi. Deoarece noi știm că sinus derivat este cosinus, avem că $\sin 240=\cos(240-90)=\cos 150$. Deci, am scăpat de cadranul III și am ajuns în cadranul II, mai aproape de casă (deci, mai aproape de cadranul I) :) .

Acum suntem ca și în situația în care exemplul nostru ar fi început cu determinarea lui $\cos 150$. Aplicăm, așadar, pasul de derivare a lui cosinus. Cosinus derivat este minus sinus. Așadar, $\cos 150=-\sin(150-90)=-\sin 60$. Iată, deci, că prin două derivări succesive, am ajuns de la cadranul III la cadranul I și am obținut rezultatul final că $\color{blue}{\sin 240=-\sin 60}$, reducând astfel problema din cadranul III la cadranul I.

Deci, să nu uitați niciodată șmecheria asta cu derivarea! Ea vă va ajuta enorm ori de câte ori veți avea nevoie de funcțiile trigonometrice ale unghiurilor mari. Demonstrația riguroasă a acestei șmecherii ține de proprietățile remarcabile ale numerelor complexe.