Acum, fiind în vacanță și înfulecând cu nesaț niște cireșe dulci și grase, am găsit ceva timp ca să vă vorbesc despre metoda de descompunere în factori a unui trinom cu coeficienți întregi, pe care în gimnaziu o numim „metoda cireșelor”, căci amintește de perechile de cireșe savuroase atârnate după urechi.
Metoda se aplică cu mult succes la descompunerea trinomului cu coeficienți întregi pentru care coeficientul dominant (adică „a”-ul, deci coeficientul lui $x^2$) este egal cu unitatea, adică la trinoame de forma $x^2+bx+c$, unde $b$ și $c$ sunt numere întregi.
Fundamentul care stă la baza metodei cireșelor este dat de formulele lui Viète, care fac o legătură superbă între coeficienți și rădăcini.
Astfel, cu metoda cireșelor putem realiza, de exemplu, descompunerile următoare:
(ambele numere pozitive)
$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{2}}+{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{5}x+\underset{\underset{{\color{red}{2}}\cdot{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{6}=(x+{\color{red}{2}})\cdot(x+{\color{blue}{3}}),$$
(ambele numere pozitive)
$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{1}}+{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{6}x+\underset{\underset{{\color{red}{1}}\cdot{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{5}=(x+{\color{red}{1}})\cdot(x+{\color{blue}{5}}),$$
(ambele numere negative, termenul liber rămâne pozitiv)
$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{-5x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{+6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{-3}}),$$
(numere de semn contrar, termenul liber devine negativ)
$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{+x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{-6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{+3}}),$$
(numere de semn contrar, termenul liber este, de asemenea, negativ)
$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-1}})+({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{+4x}\underset{\underset{({\color{red}{-1}})\cdot({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{-5}=(x{\color{red}{-1}})\cdot(x{\color{blue}{+5}}),$$
unde puteți observa că termenul liber se scrie ca un produs de două numere, iar coeficientul lui $x$ se scrie ca o sumă de aceleași două numere.
În fine, există desigur o metodă generală pentru a descompune orice trinom într-un produs de factori, dacă elevul știe deja să calculeze „cu delta” cele două rădăcini ale unui trinom. Prin această metodă, descompunerea trinomului general este dată de:
$$\color{red}{ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)},$$ unde $x_1$ și $x_2$ sunt cele două rădăcini ale trinomului.
